MODEL SIR UNTUK KETAHANAN BEHAVIOURAL

Transkripsi

1 PROSDG SB : T MODEL SR UTUK KETAHAA BEHAVOURAL KEASH BATAR Matematika Terapan, Juruan Pendidikan Matematika Fakulta Matematika dan lmu Pengetahuan Alam Univerita egeri Yogyakarta, Yogyakarta ABSTRAK Ada dua bentuk ketahanan (reitant yang ering dilakukan yaitu ketahanan ecara immunological dan ketahanan ecara behavioural. Model SR yang akan dibaha kali ini merupakan perluaan dari model SR Kermack McKendrik dengan menggunakan ketahanan ecara behavioural. Selanjutnya akan dibaha mengenai titik ekuilibrium dan ketabilan di ekitar titik ekuilibriumnya. Model SR dengan aumi perluaan ini mengindikaikan bifurkai ke belakang (backward bifurcaion. Kata kunci : Model SR, Reitant, backward bifurcaion PEDAHULUA Penularan wabah penyakit yang terjadi pada uatu populai dapat dimodelkan ke dalam bentuk matemati. Salah atu bentuk pemodelan terebut yaitu model SR(Supectible, nfectiou, Recovered. Model SR ini dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan uatu wabah penyakit dalam uatu populai. Jika model dianalia, diharapkan kita dapat mengetimai apakah penyebaran penyakit terebut akan menimbulkan wabah atau tidak. Pola penyebaran penyakit dalam uatu populai bergantung dengan ketahanan individu terhadap uatu penyakit menular. Ketahanan terhadap penyakit menular (infeki adalah uatu bentuk perlindungan yang dapat mengurangi reiko individu terjangkit penyakit. Ada dua bentuk ketahanan yang ering dilakukan yaitu ketahanan ecara immunological dan ketahanan ecara behavioral. Program vakinai merupakan alah atu ketahanan ecara immunological yaitu dengan melatih item kekebalan kita untuk mengidentifikai pathogen, edangkan Program Pendidikan Mayarakat merupakan alah atu contoh ketahanan ecara behavioral yaitu dengan mengajarkan cara cara pencegahan dari dini. Dalam kedua kau ini, meningkatkan ketahanan tentu aja mengurangi penyebaran penyakit. Mekipun kedua bentuk ketahanan ini bertujuan mengurangi penyebaran penyakit, namun terdapat dua perbedaan ignifikan. Pada program vakinai, individu Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 87

2 PROSDG SB : yang udah divakinai apabila terinfeki maka item kembali. Berbeda dengan program vakinai, Program Pendidikan Mayarakat memungkinkan individu yang embuh (removed untuk terinfeki kembali. Pada paper kali ini, hanya akan dibaha mengenai model SR untuk penanganan ecara behavioral. A. AALSA Aumi aumi yang digunakan :. Populai tertutup, jumlah individu tetap. Hanya menular jika terjadi kontak langung dengan penderita. Laju penularan kontan. 3. Penanganan hanya dari dan ke kela embuh (removed. 4. Penanganan dini menyebabkan individu yang rentan dapat langung removed. Laju penanganan dini kontan. 5. ndividu terinfeki yang embuh dapat kembali rentan atau mauk dalam kela removed. Laju keembuhan kontan. Sebanyak f bagian kembali rentan edangkan ianya removed. 6. Sebanyak bagian individu removed dapat terinfeki kembali atau kembali menjadi rentan dengan laju kontan. 7. ndividu yang terlahir dimaukkan kedalam kela rentan. Laju kelahiran kontan. 8. Penyakit tidak fatal ehingga kematian tidak diebabkan oleh penyakit. Jadi, kematian yang terjadi diini adalah kematian normal bukan kematian yang diebabkan oleh penyakit. Laju kematian kontan. 9. Laju kelahiran = laju kematian.. Maa inkubai yang cukup ingkat. Model SR Parameter : b = laju penularan/kontak a = laju keembuhan u = laju penanganan dini g = laju kehilangan ketahanan (rate of lo of immunity f = bagian banyaknya individu terinfeki yang embuh kemudian rentan. - f = bagian banyaknya individu terinfeki yang embuh kemudian removed. = bagian banyaknya individu removed yang kembali terinfeki. m = laju kematian = laju kelahiran abug,,,, f, m>, = total populai Diagram tranfer Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 88

3 PROSDG SB : Dari aumi aumi di ata, didapatkan diagram tranfer ebagai berikut : Dari diagram tranfer di ata, maka peramaan model matematikanya yaitu : ds = m - bs + f a + gr- us - ms ( a dt d = bs + br - ( - f a - f a - m ( b dt dr =- br + ( - f a - gr + us - mr ( c dt Model veri ini telah dipelajari oleh Hadeler dan Van Den Drieche, Kribzaleta dan Velaco Hernandez, dan Gome et al. Angka reproduki daar (baic reproduction number untuk item ( ini adalah angka harapan dari penularan individu rentan dan angka harapan dari penularan baru individu tervakinai atau Selanjutnya akan dianalia ketabilan item ( di ekitar titik ekuilibriumnya. Titik Ekuilibrium Titik ekuilibrium adalah olui kontan item, ehingga S( t = c, ( t = c, R( t = c3. ds d dr Hal ini ekuivalen dengan olui kontan item memenuhi = = =. dt dt dt Akibatnya, m - bs + f a + gr- us - ms = ( d b S + R ( f f ( e b br + ( - f a - gr + us - mr = ( f Karena = S + + R, maka R = S, ehingga m - bs + f a + g( - S - - us - ms = ( d b S + ( S ( f f ( e b Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 89

4 PROSDG SB : b( - S - + ( - f a - g( - S - + us - m( - S - = ( f Dari peramaan ( dan (, jika olui item S dan telah diketahui, maka untuk mencari R cukup dengan R = S. Jadi, cukup dicari olui untuk item (d dan (e. Dari (e, didapatkan b S + ( S ( f f b ( - S- ( b S + f f atau b - - = a. untuk = (olui beba penyakit ubtitui pada (d, didapatkan m- bs + fa+ g - S- - us- ms = m + g - S - us - ms = ( ( m + g - gs - us - ms = ( m+ g - ( g+ u+ S = ( m+ g Ŝ = ( g+ u+ Jadi, olui beba penyakitnya adalah. b. untuk > (olui endemi maka b S ( S ( f f b b S ( S b a - m = Subtitui pada (d didapatkan m- bs + fa+ g( - S- - us- ms = æ ( ö m+ g - ç b + g+ u+ m S + ( f a- g = çè ø ( m g æ b ( f g u m öæ æ b b a m b æ ö a - g = çè ø èç - ç è çè ø Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 9

5 PROSDG SB : Perhatikan bahwa peramaan di ata merupakan peramaan kuadrat, ehingga dapat dituli dalam bentuk a + b + c =, >. Bifurkai aat R = adalah bifurkai ke belakang atau backward bifurcation jika ( ( ( ( γ + συ + μυσ + σ + γμ+ μ συ + < + f α σ γ + μ γ + μ Akan diteliti ketabilan Sitem d dan Sitem e di ekitar titik ekuilibrium. Untuk meneliti ketabilan item maka dapat dilihat dari olui ytem dimana komponenkomponennya adalah perkalian kontanta dengan e λ ; hal ini berarti bahwa λ adalah t nilai eigen dari matrik koefiiennya (matrik Jacobian. Syarat agar emua olui dari lineariai di titik ekuilibrium mendekati nol untuk t adalah bahwa emua nilai eigen dari matrik koefiiennya mempunyai bagian real negative. Atau dapat dikatakan bahwa titik ekuilibrium tabil aimtotik jika emua bagian real dari nilai eigennya bernilai negative. Didefiniikan fungi fungi ebagai berikut : f ( S, = m- bs + fa+ g( - S- - us- ms g( S, = bs + b( - S- - ( - f a- fa- m Selanjutnya akan dibaha bifurkai pada ytem (. Akan ditunjukkan bahwa bifurkai yang terjadi pada ytem ( adakah bifurkai ke belakang (backward bifurcation. A. Titik ekuilibrium Pada awal pembahaan, titik ekuilibrium (, S dari item ( dapat diketahui dengan mencari olui dari peramaan berikut ini : m- bs + fa+ g( - S- - us- ms=...(a bs + b( - S- - ( - f a- fa- m =.(b P = S, % untuk emua nilai Terdapat titik ekuilibrium beba penyakit ( parameter, dengan S % > adalah akar poitif dari fungi berikut : f( S =- ( m+ g( - S - us- ms (fungi di ata didefiniikan dari peramaan (a dengan =. Selanjutnya, titik ekuilibrium pada item ( diebut titik ekuibrium endemi P = S, jika >. Untuk >, dari peramaan (b kita dapatkan ( Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 9

6 PROSDG SB : ( - S - S b + b - a - m= ( Sehingga ( - æ S a + m ö = - - b. çè ø Subtituikan penyeleaian P = ( S, yaitu titik ekuilibrium endemi ini pada peramaan (a dari item (. m- bs + fa+ g( - S- - us- ms= æ S ö ( m+ g - b fa g ( S ç g- u- m = çè ø æ S öæ( - æ ( f S a + m ö ö m+ g - b a g ( g u S b = èç ç øè ç èç ø ø æ ( ( ( S ö S f S a m m g g u m b a g æ - æ + ö ö = çè ø è b èç ç ø ø æ ( ( ( S öæ - æ S f S a + m ö ö - m+ g + g- u- m = - b - a + g - - ç ç ç ç b è øè è ø ø Dari ini dapat diimpulkan bahwa titik ekuilibrium endemi memenuhi f( S = f( S...( dengan æ S f ( S b öæ - f æ a g S a + m ö ö = ç è ç øç ç b è è ø ø Dari ( diketahui bahwa titik ekuilibrium endemi dapat dianalia ecara geometri dari perpotongan kurva f dan f. Sitem ( dapat mempunyai lebih dari atu titik ekuilibrium endemi jika f adalah fungi konkaf ke bawah dan mempunyai akar poitif. b - Karena - <, maka cukup ditunjukkan bahwa f mempunyai akar poitif f a - g æa m ö yaitu > dan + - > b b ( - çè ø Jadi, apabila alah atu dari ketakamaan terebut tidak berlaku, maka didalam item tidak akan terdapat backward bifurcation. Aumikan kondii ( terpenuhi, maka hal berikutnya yaitu dipatikan bahwa kedua fungi terebut berpotongan (diturunkan dari kondii f ' ( S% > f ' ( S%. yaitu Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 9

7 PROSDG SB : ( m g ( + + ( æa + m- bö - b + f a - g + ç > g + u+ m g u m çè ø B. Ketabilan titik equilibrium m - bs + f a + g( - S - - us - ms = ( d b S + ( S ( f f ( e b Akan diteliti ketabilan ytem di ata di ekitar titik ekuilibrium beba penyakit æ ( ( m+ g ö S, =,. Untuk meneliti ketabilan item maka dapat dilihat ç è( g+ u+ ø dari olui ytem m- bs + fa+ g( - S- - us- ms= æ S ö ( m+ g - b fa g ( S ç g- u- m = çè ø æ S öæ( - æ ( f S a + m ö ö m+ g - b a g ( g u S = ç b è ç øè ç ç è ø ø æ ( ( ( S ö S f S a m m g g u m b a g æ - æ + ö = - + ö - - èç ø ç è b è ç ø ø æ ( ( ( S öæ - æ S f S a + m ö ö - m+ g + g- u- m = - b a g ç ç ç ç b è øè è ø ø Dari ini dapat diimpulkan bahwa titik ekuilibrium endemi memenuhi f( S = f( S...( dengan æ S f ( S b öæ - f æ a g S a + m ö ö = ç è ç øç ç b è è ø ø Dari ( diketahui bahwa titik ekuilibrium endemi dapat dianalia ecara geometri dari perpotongan kurva f dan f. Sitem ( dapat mempunyai lebih dari atu titik ekuilibrium endemi jika f adalah fungi konkaf ke bawah dan mempunyai akar poitif. b - Karena - <, maka cukup ditunjukkan bahwa f mempunyai akar poitif f a - g æa + m ö yaitu > dan - > b b ( - çè ø Jadi, apabila alah atu dari ketakamaan terebut tidak berlaku, maka didalam item tidak akan terdapat backward bifurcation. Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 93

8 PROSDG SB : Aumikan kondii ( terpenuhi, maka hal berikutnya yaitu dipatikan bahwa kedua fungi terebut berpotongan (diturunkan dari kondii f ' ( S% > f ' ( S%. yaitu - ( m+ g ( ( - æa + m- bö - b + f a - g + ç > g + u+ m g + u+ m çè ø C. Ketabilan titik equilibrium m - bs + f a + g( - S - - us - ms = ( d b S + ( S ( f f ( e b Akan diteliti ketabilan ytem di ata di ekitar titik ekuilibrium beba penyakit æ ( ( m+ g ö S, =,. Untuk meneliti ketabilan item maka dapat dilihat èç ( g+ u+ ø γ υ μ β + α γ dari olui ytem J = σβ + α μ yang mempunyai nilai eigen γ υ μ dan ( μ+ γ f ( γ + υ+ μ ( β σβ( μ+ γ ( γ + υ+ μ ( b- b( m+ g ( g+ u+ b+ - a- m. Dari ini, titik ekuilibrium beba penyakit tabil aimtotik jika ( β σβ( μ+ γ σβ + α μ < atau γ + υ+ μ ( ( b- b( m+ g ( g+ u+ ( b- b( m+ g ( g+ u+ ( b- b( m+ g + ( g+ u+ b+ - a- m< Û b+ < a+ m b Û < a + m b ( b- b( m+ g a + m ( a + ( g+ u+ b( g+ u+ ( a + ( g+ u+ ( b- b( m+ g ( a + ( g+ u+ b( g+ + bu ( a + ( g+ u+ Û + < Û + < Û < Û R < Jadi, titik ekuilibrium beba penyakit tabil lokal untuk R o <. Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 94

9 PROSDG SB : Ketabilan di ekitar titik ekuilibrium endemi. a. jika Ro = Q, hanya terdapat dengan tunggal titik ekuilibrium endemic b. jika Q< R o <, terdapat dua buah titik ekuilibrium endemi P S, P = S, dengan S < S dan >. = ( dan ( = ( S, tabil aimtotik lokal edangkan P = ( S, P merupakan titik addle. c. Jika R o >, terdapat dengan tunggal titik ekuilibrium endemic P = S, yang tabil aimtotik global. ( Bukti : Diketahui ebelumnya : f ( S, = m- bs + fa+ g( - S- - us- ms f( S, =-b - S g- u- m f( S, S =- b + f a - g g( S, = bs + b( - S- - ( - f a- fa- m g( S, = b - b S g( S, S b b = b + ( - S - - a - m Dibentuk matrik Jacobian ebagai berikut : S β γ υ μ β + f α γ J = S β β β σβ β + σ ( S σ α μ Matrik Jacobian untuk titik ekuilibrium endemi (, P S adalah S β γ υ μ β + f α γ J PS (, = S β ( S β β σβ β + σ σ α μ Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 95

10 PROSDG SB : ( S - S- Karena b + b - a - m= (menurut didapatkan S β γ υ μ β + f α γ J PS (, = β β σβ σ Dariini didapatkan β TrJ (, = β γ υ μ σ < PS Jadi, TrJ (, < untuk P PS = ( S, dan P = ( S,. Kemudian, dengan menggunakan definii f dan f didapatkan β S det J PS (, = β γ υ μ σ f β + α γ β σβ β S = β + γ + υ+ μ σ β fα γ β σβ +. β S = σ β + γ + υ+ μ β + fα γ ( σ ( Karena - æ S a + m ö = - - b, maka çè ø ( β σ α + μ S det J ( = σβ S σγ συ σμ β fα γ ( σ PS, σ σβ β S S = ( σ β ( α + μ σβ + σγ + συ + σμ β + fα γ ( σ β S = ( ( f ( ( ( σ β + α + γ σ α + μ σβ + σ γ + υ+ μ β ( σ S ( ( σ f α + μ = σ β + α + γ β + σ ( γ + υ+ μ σ σ σβ σβ ' ' = ( f ( S + f ( S ' ' f S + f S > untuk S S ' ' f S + f S < untuk Mialkan ( ( = dan ( ( S = S Dari ini didapatkan P = ( S, dan P = ( S, dengan S < S dan Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 96

11 PROSDG SB : >, P ( S, titik addle. Terbukti. = tabil aimtotik lokal edangkan P ( S, = merupakan Kurva Bifurkai untuk item ( dapat digambarkan ebagai berikut : B. DAFTAR PUSTAKA (BAHA ACUA. Reluga C. Timothy, Medlock Jan, Reitance Mechanim Matter in SR Model, 3 May 7, Mathematical Biocience and Engineering journal, volume, number, Xxxx XXXX.. Y.Li Michael. Gomez Acevedo, Horacio. Backward bifurcation in a model for HTLV infection of CD4+ T cell, Bulletin of Mathematical Biology. Univerity of Alberta. Canada. 3. Catillo Chave, Carlo. Brauer, Fred. Mathematical Model n Population Biology And Epidemiology. Springer. Seminar aional Matematika dan Pendidikan Matematika Juruan Pendidikan Matematika FMPA UY, 5 Deember 9 97