KELIPATAN DAN FAKTOR BILANGAN
|
|
- Hamdani Sudjarwadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KELIPATAN DAN FAKTOR BILANGAN 1.1 Bilangan Ganjil dan Genap Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasioperasi hitung tersebut harus benar-benar kamu pahami karena akan kita gunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan. Selain itu juga kita harus menguasai sifat dari bilangan genap dan bilangan ganjil serta bagaimana cara mengenalkannya pada anak didik. 1. Bilangan ganjil dan bilangan genap Definisi : Bilangan asli yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil. Bilangan asli yang habis dibagi dua disebut bilangan genap. Contoh a. 3, 5, 7, 9, 11, adalah bilangan ganjil, sebab tidak habis dibagi dua, karena jika dibagi dua menghasilkan sisa satu. b. 4, 6, 8, 10, 12, adalah bilangan genap, sebab habis dibagi dua, atau jika dibagi dua hasilnya nol Dari keadaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa: I. Bilangan ganjil adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk 2k+1,dimana k adalah bilangan cacah. II. Bilangan genap adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk 2k, dimana k adalah bilangan cacah. Contoh a) 5= 2x2+1 jadi 5 adalah bilangan ganjil. b) 7= 2x3+1 jadi 7 adalah bilangan ganjil. c) 19= 2x9+1 jadi 19 adalah bilangan ganjil. d) 2= 2x1 jadi 2 adalah bilangan genap.
2 e) 8= 2x4 jadi 8 adalah bilanhan genap. f) 26= 2x13 jadi 16 adalah bilangan genap. 2. Sifat bilangan ganjil Setelah mengenalkan kepada siswa tentang jenis bilangan ganjil dan genap, selanjutnya anda dapat mengenal beberapa sifat dari bilangan tersebut. Perhatikan penjumlahan tersebut: = = = = 30 Bilangan bilangan apakah yang terletak di ruas kiri (di sebelah kiri tanda sama dengan) dan bilangan- bilangan apakah yang terletak di ruas kanan (di sebelah kanan tanda sama dengan)? Kepada siswa anda dapat menjelaskan secara induktif dengan beberapa contoh seperti diatas dan kemudian menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Teorema 5.1 Jumlah dua bilangan ganjil adalah genap. Bukti: Misalkan p dan q masing masing bilangan ganjil, akan dibuktikan bahwa p+q merupakan bilangan genap. Karena p dan q bilangan ganjil maka terdapat bilangan cacah k dan h sehingga,,
3 p = 2k + 1 q = 2h + 1 jadi, p+q = (2k + 1) +(2h + 1) = 2k + 2h + 2 = 2 (k + h + 1) Karena k, h, dan 1 bilangan cacah maka k + h + 1 juga bilangn cacah, sehingga p+q merupakan kelipatan dua dari satu bilangan cacah. Jadi, p+q merupakan bilangan genap. Teorema 5.2 Hasil kali dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. Bukti : Misal p bilangan ganjil maka ada bilangan asli k sehingga p = 2k + 1, dan misal q bilangan ganjil maka ada bilangan asli h sehingga q = 2h + 1. Sehingga pxq= (2k + 1)(2h + 1) = 4kh + 2k + 2h + 1 = 2 (2kh + k + h) + 1 Karena 2(2kh + k + h) bilangan genap (mengapa??), maka 2(2kh + k + h) + 1 merupakan bilangan ganjil. Dengan demikian teorema terbukti. 1.2 Kelipatan Suatu Bilangan Perhatikan garis bilangan berikut.
4 Kita melompat tiga-tiga sebanyak empat kali dari 0 sampai 12, dengan masingmasing lompatan sejauh tiga satuan. Ini berarti 12 = 4 x 3, oleh karena itu dikatakan bahwa 12 adalah kelipatan dari 3. Demikian juga dari 0 kita dapat melompat tiga-tiga sbanyak 5 kali untuk dapat sampai ke-15. Jadi, 15 = 3 x 5, yang berarti 15 adalah kelipatan dari 3. Tetapi, 6 jua kelipatan tiga, sebab dari 0 kita dapat melompat tiga-tiga sebanyak dua kali untuk sampai di 6, yang berarti 6 = 2 x 3 Ini berarti kelipatan 3 itu tidak tunggal, melainkan sangat banyak dan tak terbatas. Definisi 1.1 Misal a bilangan asli. Bilangan asli c disebut kelipatan dari a, jika terdapat terdapat bilangan asli k sedemikian hingga c =ka Contoh 12 adalah kelipatan dari 3, sebab 12 = 4 x 3 12 adalah kelipatan dari 6, sebab 12 = 2 x 6 15 adalah kelipatan dari 5, sebab 15 = 3 x 5 15 adalah kelipatan dari 3, sebab 15 = 5 x 3 Definisi diatas dapat juga dirumuskan dalam bentuk lain, yaitu : Definisi 1.2 Bilangan asli c disebut kelipatan dari bilangan asli a, jika a membagi habis c. Contoh 12 adalah kelipatan 3 sebab 12 : 3 = 4 ( jadi 12 habis dibagi 3 ) 18 adalah kelipatan dari 9 sebab 18 : 9 = 2 ( jadi habis dibagi 9 ) Catatan : Yang dimaksud dengan habis dibagi disini adalah jiaka suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain hasilnya adalah bilangan asli dan sisanya nol, misalnya 12 : 6 = 2. Hal ini berarti 12 habis dibagi 6, atau 6 habis membagi 12. Sebaliknya jika kita akan mencari kelipatan suatu bilangan maka kita cukup mengalikan bilangan tersebut dengan suatu bilangan asli. Misalnya :
5 Kelipatan dari 7 adalah : 7 x 2 =14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 11 = 77 Dan sebagainya Jadi, 14,21,28,77 adalah kelipatan 7. Untuk menanamkan konsep bilangan ini, anda dapat menggunakan garis bilangan seperti contoh diatas, tetapi anda juga dapat menggunakan lidi atau kelereng atau benda laian yang mudah didapat. Misalnya, siswa ditugasi mengambil kelereng sebanyak 14 butir. Kemudian mereka diminta untuk mengelompokan kelerengnya, misalnya menjadi kelompok dua-dua. Ternyata 14 kelereng tersebut dapat dibuat menjadi 7 kelompok dua-dua. Ini berarti 14 merupakan kelipatan 2. Dengan cara seperti itu anda dapat menguasai siswa sehingga siswa dapat menemukan bahwa suatu bilangan yang ditentukan merupakan kelipatan dari bilangan yang lain. Setelah itu ajak siswa anda untuk berpikir secara abstrak, yaitu tanpa menggunakan alat peraga siswa diminta mencari suatu bilangan yang kelipatannya merupakanbilangan yang telah diketahui, yaitu menggunakan sifat perkalian dasar bilangan. Misalnya, siswa diminta menuliskan perkalian dua bilangan yang hasil kalinya 24 untuk menyelesaikan soal seperti : 24 merupakan kelipatan dari Kemudian kalimat perkalian dua bilangan yang terjadi dikaitakan dengan pengertia kelipatan suatu bilangan yang sedang dipelajari siswa dan dinyatakan sebagai berikut. 24= 4 x 6, jadi 24 adalah kelipatan dari 6 24= 6 x 4, jadi 24 adalah kelipatan dari 4 24= 3 x 8, jadi 24 adalah kelipatan dari 8 Dan seterusnya Jangan lupa bahwa suatu bilangan merupakan kelipatan dari dirinya sendiri, misalnya : 8 adalah kelipatan dari 8, sebab 8 = 1 x 8 7 adalah kelipatan dari 7, sebab 7 = 1 x 7
6 1.3 Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan Pada kegiatan belajar 1 anda telah mengenal konsep kelipatan dari suatu bilangan. Pada kegiatan belajar 2 ini anda diminta mengidentifikasikan menentukan kelipatan persekutuan dari dua bilangan. Langkah yang dapat dilakukan adalah : Tentukan kelipatan bilangan yang pertama secara berurutan mulai dari kelipatan yang paling kecil. Tentukan kelipatan bilangan yang kedua juga secara berurutan, dan mulai dari paling kecil. Pilih bilangan yang sama dari kedua kelompok kelipatan tadi, dan urytkan dari yang paling kecil Contoh a.tentukan kelipatan persekutuan dari bilangan 3 dan 4 Penyelesaian Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36, Jadi, kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah: 12,24, Karena banyaknya kelipatan dari suatu bilangan itu banyak sekali maka sebaiknya anda menentukan berapa banyak kelipatan suatu bilangan yang harus dicari sehingga dapat menjawab pertanyaan yang diajukan. b.tentukan kelipatan persekutuan dar 4 dan 6 dengan lebih dahulu menentukan kelipatan dari 4 dan 6 masing-masing sebanyak 10 buah. Penyelesaian : Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48,54,60 Jadi kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12,24,36, Setelah melakukan hal serupa untuk beberapa pasang bilangan, anda dappat memperhatikan pola urutan bilangan kelipatan persekutuan yang didapat sehingga anda dapat menentukan bilangan urutan berikutnya.
7 Misal dari pola kelipatan persekutuan bilangan 4 dan 6 yang didapat diatas, yaitu 12,24,36, Coba perhatikan selisih antara dua bilangan yang berdekatan. Selisihnya adalah 12 sehingga urutan berikutnya adalah 48, 60 dan seterusnya bertambah 12. Dengan demikian kelipatan persekutuan 4 dan 6 adalah 12,24,36,48,60,72, c. tentukan kelipatan persekutuan dari 3 dan 5 sebanyak 5 buah. Penyelesaian: Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36 Kelipatan dari 5 adalah :5,10,15,20,25,30,35 Kelipatan persekutuan dari 5 dan 3 adalah 15,30,45,60,75 Penjelasan Karena pada mulanya sudah didapat kelipatan persekutuannya 15 dan 30, sedang yang diminta sebanyak 5 buah maka tinggal melengkapinya dengan memperhatikan selisih dua bilangan yang telah didapat itu. Langkah serupa dapat dilakukan jika kita diminta untuk menentukan kelipatan persekutuan dari tiga bilangan atau lebih. d. tentukan kelipatan persekutuan dari 3,4, dan 6. Kelipatan dari 3 adalah : 3,6,9,12,15,18,21,24,27, Kelipatan dari 4 adalah : 4,8,12,16,20,24,28, Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36, Jadi, kelipatan persekutuan dari 3,4, dan 6 adalah :12,24,36,48,60, Penjelasan Karena kelipatan persekutuan yang didapat adalah 12 dan 24 yang mempunyai selisih 12, maka pastilah urutan berikutnya adalah 36,48 dan seterusnya. e.tentukan keliptan persekutuan dari 6,8,12. Penyelesaian Kelipatan dari 6 adalah :6,12,18,24,30,36,42,48, Kelipatan dari 8 adalah 8,16,24,32,40,48, Kelipatan 12 adalah 12,24,48,60, Jadi kelipatan persekutuan dari 6,8, dan 12 adalah 24,48,72,96,120,
8 Dari beberapa contoh diatas terlihat bahwa jika dua bilangan yang akan dicari kelipatan persekutuannya, yang satu merupakan kelipatan dari yang lain, ternyata bilangan kelipatan dari bilangan yang lebih besar juga merupakan kelipatan dari bilangan yang lebih kecil. Yaitu jika a,c dan k bilangan asli dan c = ka maka keliptan dari c juga merupakan kelipatan dari a Misalnya: Kelipatan dari 6 juga merupakan kelipatan dari 3 Kelipatan dari 8 juga merupakan kelipatan dari 4 Kelipatan dari 12 juga merupakan kelipatan dari 6 Tetapi tidak berlaku sebaliknya Kelipatan dari 6 belum tentu merupakn kelipatan dari 12 Kelipatan dari 4 belum tentu merupakan kelipatan dari 8 Misalnya: 18 merupakan kelipatan dari 6, tetapi bukan kelipatan dari merupakan kelipatan dari 4, tetapi bukan kelipata dari Faktor Suatu Bilangan Selain kelipatan, setiap bilangan juga mempunyai faktor. Apakah yang disebut faktor? Bagaimana cara menentukannya? Mari kita pelajari bersama. 1. Menentukan Suatu Faktor Bilangan Bila suatu bilangan asli A habis dibagi bilangan asli B dan hasilnya adalah C, maka B disebut faktor dari A, sebab A = C x B. Karena perkalian memenuhi sifat komutatif, maka A = B x C atau A : C = B. Dengan demikian C juga merupakan faktor dari A. Jadi jika A = B x C, maka B dan C adalah faktor dari A. Mari kita perhatikan pembagian di bawah ini. 6 : 1 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1 Ternyata bilangan 6 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6.
9 Dengan cara lain dapat dituliskan sebagai berikut. 6 = = = = 6 1 Karena 6 diperoleh dari hasil kali 1x6, 2x3, 3x2, dan 6x1, maka faktor dari 6 adalah 1,2,3, dan 6. Bila ditulis dalam bentuk himpunan, maka himpunan faktor dari 6 adalah {1,2,3, 6}. Menentukan faktor dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan beberapa cara. Cara berikut adalah dengan menggunakan kotak perkalian/ petak perkalian. Sepasang bilangan pada petak-petak yang berpasangan hasil kalinya adalah bilangan yang akan ditentukan faktornya. Berikut di bawah ini. 6. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari bilangan 6. 2 adalah faktor dari 6, sebab 2 habis membagi Dari pembahasan di atas, Kalian dapat menyimpulkan pengertian faktor dari suatu bilangan. Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Oleh karena itu, untuk mencari faktor dari semua bilangan, dan suatu bilangan adalah faktor dari dirinya sendiri. Contoh : Tentukan faktor dari bilangan 8 dan 9 Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8 Faktor dari 9 adalah 1, 3, 9
10 Berdasarkan contoh diatas, bahwa 8, merupakan kelipatan dari 1, 2, 4, dan 8. Hal ini berarti1, 2, 4, dan 8 adalah faktor dari 8. Secara umum dapat dkatakan bila x merupakan kelipatan dari A, B, C, dan D, maka himpunan faktor dari x adalah {A, B, C, D}. 1.5 Faktor Persekutuan Dua Bilangan Seperti yang telah kita ketahui Faktor suatu bilangan adalah sebuah bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut. Jadi, Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari kedua bilangan tersebut atau dengan kata lain Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih. sebagai contoh : Tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10! Jawab : - Faktor dari 5 adalah 1, 5. - Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 5 dan 10, yaitu 5. - Dikatakan bahwa 5 adalah faktor persekutuan dari 5 dan Jadi, faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5. Tentukan faktor persekutan dari 6 dan 15! Jawab : - Faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6.
11 - Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 6 dan 15, yaitu 1 dan 3. - Dikatakan bahwa 1 dan 3 adalah faktor persekutuan dari 6 dan Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 15 adalah 1 dan 3. Tentukan faktor persekutuan dari 12 dan 20! Jawab : - Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 12 dan 20, yaitu 1, 2 dan 4. - Dikatakan bahwa 1, 2 dan 4 adalah faktor persekutuan dari 12 dan Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang mempunyai tepat dua faktor positif yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 1. Cara Mengidentifikasi Bilangan Prima
12 Pada abad II sebelum Masehi, seorang matematisi bangsa Greek yang bernama Erastothenes, menemukan cara untuk menemukan bilangan prima. Cara yang ditemukan itu selanjutnya dusebut saringan Eristothenes, yang bentuknya sebagai berikut Susunlah bilangan asli dari 1 sampai dengan 100 menjadi bentuk persegi Dari susunan bilangan diatas, kemudian : a. Coretlah bilangan 1; b. Coretlah semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2; c. Coretlah semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3; d. Dari langkah b dan c, semua bilangan yang merupakan kelipatan 4,6,8, dan 9 dengan sendirinya sudah ikut tercoret. e. Coretlah semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5; f. Coretlah semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Langkah ini diteruskan, sampai semua bilangan yang mempunyai pembagi selain dirinya dan 1 tercoret semuanya. Maka, bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 100, yaitu : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,, 97
13 2. Cara mengidentifikasi Bilangan Prima Secara Umum Misal diketahui bilangan p kurang dari 100. Untuk mengetahui apakah p merupakan bilangan prima atau bukan, secara umum dapat diidentifikasi sebagai berikut. a. p adalah bilangan ganjil, kecuali 2 b. p tidak merupakan angka kembar, misalnya 33, 77, 55, 99, bukan bilangan prima c. jumlah angka-angka yang membentuk p bukan kelipatan 3, misalnya 21, 27, 63, 273, bukan bilangan prima d. angka terakhir dari p bukan 5, misalnya 35, 75, 95, 365 buakn bilangan prima e. bukan bilangan kuadrat, misalnya 25, 49, 81 bukan bilangan prima. Contoh : 37 adalah bilangan prima, sebab memenuhi kriteria di atas 25 bukan bilangan prima, sebab angka terakhirnya 5 99 bukan bilangan prima, sebab merupakan bilangan kembar 73 bilangan prima, sebab memenuhi kriteria diatas 69 bukan bilangan prima, sebab = kelipatan 3 49 bukan bilangan prima, sebab bilangan kuadrat Tetapi kita perlu berhati-hati dengan cara identifikasi di atas, sebab bilangan 91 walaupun memenuhi kriteria di atas tetapi 91 bukan bilangan prima. Pada tahun 1963 ditemukan bilangan prima terbesar sampai saat itu, yaitu _ 1, dan tahun 1971 ditemukan lagi bilangan prima yang lebih besar, yaitu _ 1.
14 Bilangan prima terakhir ini merupakan bilangan prima terbesar sampai saat ini. Beberapa pakar matematika telah menemukan rumus fungsi untuk menentukan bilangan prima, namun rumus tersebut hanya berlaku untuk nilai bilangan asli n yang terbatas. a. f(n) = n 2 - n + 41 menentukan bilangan prima untuk setiap bilangan asli n < 41, yaitu : f(1) = = 41 f(6) = = 71 f(15) = = 251 Rumus ini tidak berlaku untuk n > 40. b. f(n) = n 2 79n juga merupakan rumus untuk mendapatkan bilangan prima; Pembelajaran Untuk mencari bilangan prima yang lebih kecil dari 100, kita dapat menggunakan saringan Erastothenhes. Saringan ini, dapat kita modifikasi, agar anak lebih tertarik, bila kita lihat pada Standar Kompetensi sesuai dengan kurikulum saat ini yaitu KTSP, pembelajaran faktor bilangan dan kelipatan dipelajari di kelas IV sekolah dasar, dalam karakteristik perkembangan siswa di kelas ini, proses kehidupan tumbuhan dan binatang menarik bagi mereka. Kita dapat membuat alat peraga seperti dibawah :
15 a. Petik daun berangka 1 dari pohon. b. Petik semua daun bilangan kelipatan 2, kecuali 2 c. Petik semua daun bilangan kelipatan 3, kecuali 3 d. Petik semua daun bilangan kelipatan 5, kecuali 5 e. Petik semua daun bilangan kelipatan 7, kecuali 7 f. Petik semua daun bilangan kelipatan 11, kecuali 11 g. Dan seterusnya, kelipatan 13, 17, 19, Bilangan yang tidak terpetik adalah bilangan prima. Selanjutnya tanyakan kepada siswa, mengapa pada langkah nomor 4, kita tidak memetik bilangan kelipatan 4?, dengan harapan siswa dapat memberi jawaban bahwa bilangan kelipatan 4 atau 6, telah terpetik pada saat kita memetik semua bilangan kelipatan 2.Demikian juga kelipatan 10 atau 15 telah terpetik pada saat kita memetik kelipatan 5. Kitapun perlu menjelaskan kepada siswa bahwa bilangan yang tidak terpetik tadi adalah bilangan prima, sedangkan semua bilangan yang terpetik selain 1 adalah
16 bilangan komposit, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua bilangan asli yang berbeda dengan dirinya. 1.7 Menentukan Faktor Prima Suatu Bilangan Cara untuk menentukan faktor prima dari suatu bilangan adalah dengan diagram pohon (pohon faktor). Aturan untuk menentukan pohon faktor dari suatu bilangan adalah kita menentukan sepasang bilangan yang hasil kalinya sama dengan bilangan yang akan dicari faktornya. Karena 1 merupakan faktor dari setiap bilangan maka tidak dituliskan dalam diagram pohon tersebut. Contoh : 1. Tentukan faktor prima dari 30 Karena 30=2x15 dan 15=3x5, maka pohon faktor dari 30 adalah Kita perhatikan 2, 3, 5 pada ujung pohon faktor di atas dan bilangan-bilangan ini adalah bilanagn prima. Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5} Untuk menentukan faktor dari 30 dapat pula ditentukan sebagai berikut. Karena 30 = 5x6 dan 6=2x3, maka pohon faktornya adalah
17 Jadi faktor prima dari 30 adalah {2,3,5} Bila dibandingkan antara keduanya terletak pada saaat menentukan pasangan bilangan yang hasil kalinya sama dengan 30. Sebenarnya masih banyak kemungkinan untuk pohon faktor di atas. 2. Faktor prima dari 12. Karena 12 = 2 x 6 dan 6 = 2 x 3, maka pohon faktornya adalah : Jadi faktor prima dari 12 adalah 2, 2 dan 3 pada contoh di atas angka 2 ditulis 2 kali, sebab angka 2 muncul dua kali pada ujung pohon tersebut. Untuk selanjutnya bila faktor suatu bilangan diperoleh bilangan yang sam, maka faktornya akan ditulis sebagai bilangan berpangkat. Jadi untuk 2 faktor prima dari 12 pada contoh di atas menjadi 2 2 dan 3. Bila di tulis dalam himpunan adalah {2 2, 3}
18 Hubungan yang perlu kita ketahui dari faktor prima suatu bilangan dengan bilangannya adalah hasil kali faktor-faktor primanya merupakan bilangan itu sendiri. Untuk contoh di atas : 30 = 2 x 3 x 5 KESIMPULAN Secara singkat yang dibahas dalam makalah ini adalah hasil kali, faktor dan bilangan prima. Bila bilangan N merupakan kelipatan A, B, C, dan D, maka faktor dari N adalah {A, B, C, D}. {A, B, C, D} disebut faktor prima jika { A, B, C, D } merupakan himpunan bilangan prima (bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan satu). Pohon faktor atau diagram pohon dapat digunakan untuk menentukan faktor prima dari suatu bilangan. Faktor prima pada diagram pohon adalah bilangan prima yang terdapat pada ujung pohon faktor tersebut. Jika (A, B, C, D) merupakan faktor prima dari bilangan N, maka pemfaktoran {faktorisasi} dari N adalah A x B x C x D.
19 DAFTAR PUSTAKA Darhim Materi Pokok Pendidikan Matematika 2.Jakarta : Universitas Terbuka, Depdikbud. Mustaqim, Burhan dan Astuty, Ary Ayo Belajar Matematika. Jakarta : Aneka Ilmu.
Pemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciSumber: Kamus Visual, 2004
1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0
Lebih terperinciMelakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah
Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciFAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA
FAKTOR DAN KELIPATAN KELAS MARS SD TETUM BUNAYA A. KELIPATAN A. KELIPATAN Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh: 1. penjumlahan berulang, dan 2. penjumlahan bilangan dengan bilangan asli Contoh: Tentukanlah
Lebih terperinci1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor
ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciIdentitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.
Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciModul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
PENDAHULUAN Konsep Pra - Bilangan dan Bilangan Cacah KONSEP PRA-BILANGAN DAN BILANGAN CACAH Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah. Isi modul ini membahas tentang konsep pra-bilangan dan bilangan
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I Oleh: Sri Subiyanti NIP 19910330 201402 2 001 DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN PATI KECAMATAN JAKEN SEKOLAH DASAR NEGERI MOJOLUHUR 2015 I. Tinjauan Umum A. Standar Kompetensi
Lebih terperinciContoh Bilangan Prima : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, }
BILANGAN PRIMA Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2. Contoh Bilangan Prima : {2,
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciTeori Bilangan. Contoh soal : 1. Buktikan bahwa untuk setiap berlaku. Jawaban : a. Petama, kita uji untuk. Ruas kiri sama dengan.
Contoh soal : Teori Bilangan 1. Buktikan bahwa untuk setiap berlaku a. Petama, kita uji untuk Ruas kiri sama dengan dan ruas kanan Jadi pernyataan benar untuk n=1 b. Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciUsia Usia Usia Jumlah
Bilangan Prima Jika kita menulis a b maka kita katakan bahwa a adalah pembagi b. Salah satu metode yang biasa digunakan di sekolah dasar untuk menentukan pembagi suatu bilangan adalah menggunakan kertas
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciBAB I BILANGAN A. JENIS BILANGAN B. LAMBANG BILANGAN, NILAI TEMPAT, DAN NILAI ANGKA C. OPERASI HITUNG BILANGAN USEFUL BOOK MATEMATIKA KLS 6 SD
BAB I BILANGAN A. JENIS BILANGAN WAWASAN buat kamu!... Jenis bilangan terdiri dari: 1. Bilangan cacah : 0, 1,,,... Bilangan asli : 1,,,.. Bilangan bulat :.,-, -, -1, 0, 1,,,.. 4. Bilangan genap : 0,, 4,
Lebih terperinciMATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII
MATEMATIKA KONSEP DAN APLIKASINYA Untuk SMP/MTs Kelas VII Pengetik : Siti Nuraeni (110070009) Dewi Komalasari (110070279) Nurhasanah (110070074) Editor : Dewi Komalasari Abdul Rochmat (110070117) Tim Kreatif
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinci- Burhan Mustaqim - Ary Astuty
- Burhan Mustaqim - Ary Astuty - Burhan Mustaqim - Ary Astuty Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciB. POLA BILANGAN 1. Pengertian pola bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan.
A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET 1. Pengertian barisan bilangan Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Contoh barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8,... 2. Pengertian
Lebih terperinci134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV
Bilangan Bulat 133 134 Ayo Belajar Matematika Kelas IV Bab 5 Bilangan Bulat Mari menggunakan konsep keliling dan luas bangun datar sederhana dalam pemecahan masalah. Bilangan Bulat 135 136 Ayo Belajar
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciPerhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b
2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. A. Pola Bilangan
BARISAN DAN DERET A. Pola Bilangan Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut: a. 1 2 3... b. 4 9 16... c. 31 40 21 30 16... Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan
Lebih terperinciBAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus
Lebih terperinciKelipa Faktor Bilangan
Bab 2 Kelipa elipatan dan Faktor Bilangan Mari memahami dan menggunakan faktor dan kelipatan dalam pemecahan masalah. Kelipatan dan Faktor Bilangan 41 42 Ayo Belajar Matematika Kelas IV A. Kelipatan Bilangan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinci1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
BAB I BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : Bulat positif (,,, 4, 5, ) Nol : 0 Bulat Negatif (,-5,-4,-,-,-) Himpunan Bilangan bulat A = {, -4,
Lebih terperinciBAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN
BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat
Lebih terperinciBab 1. Bilangan Bulat. Standar Kompetensi. 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah.
Bab 1 Bilangan Bulat Standar Kompetensi 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan pengunaannya dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1.1. Melakukan operasi hitung bilangan pecahan. 1.2. Menggunakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinci1. BARISAN ARITMATIKA
MATEMATIKA DASAR ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA 1. BARISAN ARITMATIKA Sering disebut barisan hitung, adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada
II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1
Lebih terperinciKelipatan dan Faktor Suatu Bilangan
BAB II Kelipatan dan Faktor Suatu Bilangan Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, kamu diharapkan mampu: 1. Menentukan kelipatan suatu bilangan, 2. Menentukan faktor suatu bilangan, 3. Menyelesaikan
Lebih terperinciR. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik
Lebih terperinciA. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal sebagai istilah
A. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinciBAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN
BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN Algoritma adalah suatu prosedur yang singkat dan sistematis untuk melakukan operasi aritmetika, misalnya penjumlahan dan perkalian. Jika kita melakukan
Lebih terperinciPusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit CV. Usaha
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciPEMBAHASAN. Teorema 1. Tidak ada bilangan asli N yang lebih besar dari semua bilangan bulat lainnya.
PEMAHAAN 1. Pengertian Kontradiksi Kontradiksi adalah dua pernyataan yang bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari setiap komponen-komponennya. 2. Pembuktian dengan Kontradiksi Kontradiksi merupakan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciCARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA
CARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA Oleh : Paini, A.Ma.Pd. SDN 1 Karangan Kabupaten Trenggalek Jawa Timur Dalam kehidupan sehari-hari muncul berbagai macam masalah. Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciMATERI HIMPUNAN. b. Himpunan tak kosong Himpunan tak kosong adalah himpunan yang memiliki anggota Contoh : Himpunan bilangan prima kurang dari 10
MATERI HIMPUNAN 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehinggadengan tepat dapat diketahuiobjek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.
BAB V HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinci2. Pengurangan pada Bilangan Bulat
b. Penjumlahan tanpa alat bantu Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan.
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 005 TINGKAT PROVINSI TAHUN 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Kedua Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi
Lebih terperinciBAB I BILANGAN A. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN USEFUL BOOK MATEMATIKA KLS 5 SD SIFAT OPERASI HITUNG
A. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN SIFAT OPERASI HITUNG BAB I BILANGAN 1. Sifat Komutatif ( Pertukaran ) a + b = b + a a x b = b x a Sifat komutatif hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian. 1)
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciTEORI BILANGAN (3 SKS)
BAHAN AJAR: TEORI BILANGAN (3 SKS) O l e h Drs. La Misu, M.Pd. (Dipakai dalam Lingkungan Sendiri) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI
Lebih terperinci1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai
1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai tempat. Menggunakan sistem desimal (dari kata decem, bahasa
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciPENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin*
PENERAPAN AKSIOMA KETERBAGIAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP Oleh : Andi Syamsuddin* A. Aksioma Keterbagian Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan
Lebih terperinciALTERNATIF MENENTUKAN FPB DAN KPK
ALTERNATIF MENENTUKAN FPB DAN KPK Welly Desriyati 1, Mashadi 2, Sri Gemawati 3 1 Mahasiswa Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau wellydesriyati@gmail.com
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciRingkasan Materi Contoh Soal dan Pembahasan. Matematika.
Ringkasan Materi Contoh Soal dan Pembahasan Matematika BILANGAN BAB 1 A. PENDAHULUAN Bilangan merupakan suatu sebutan untuk menyatakan banyaknya sesuatu. 1. Lambang Bilangan Lambang Dibaca Lambang Dibaca
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciMatematika 5 SD dan MI Kelas 5
R.J. Soenarjo Matematika SD dan MI Kelas i Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MATEMATIKA Untuk SD/MI Kelas Tim Penyusun Penulis : R. J. Sunaryo Ukuran Buku : x 8 7.7
Lebih terperinciMengenal Bilangan Bulat
Mengenal Bilangan Bulat Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi tahukah kamu bahwa ada
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinciMETODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima
Lebih terperinciBILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.
BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciPembahasan Uji Coba KMNR 12 Kelas 9 SMP Versi Mr. Oes
Pembahasan Uji Coba KMNR 12 Kelas 9 SMP Versi Mr. Oes 1. Nilai dari 12:4+x16=... 12:4+x16= 3+3 = 323 (C) 2. Nilai 2+0+1+6 6 1 0 2 =... 2+0+1+6 = 9 = 3 (E) 6 1 0 2 3 3. Tiga per empat dari bilangan 1 adalah...
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciPEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN
H. Sufyani Prabawanto, M. Ed. Bahan Belajar Mandiri 7 PEMBELAJARAN BILANGAN PECAHAN Pendahuluan Bahan belajar mandiri ini menyajikan pembelajaran bilangan pecahan yang dibagi menjadi dua kegiatan belajar,
Lebih terperinciBab 1. Faktorisasi Suku Aljabar. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 1 Faktorisasi Suku Aljabar Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.1 Melakukan operasi aljabar. 1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam
Lebih terperinci4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }
1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,
Lebih terperinciBILANGAN PECAHAN. A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
BILANGAN PECAHAN A. Pengertian Bilangan Pecahan dan Pecahan Senilai Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Bilangan a disebut pembilang dan
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMA/MA 2013 AHMAD THOHIR
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMA/MA 2013 DIBAHAS OLEH : AHMAD THOHIR www.ahmadthohir1089.wordpress.com MA FUTUHIYAH JEKETRO GUBUG GROBOGAN JAWA TENGAH APA BILA ADA KESALAHAN DAN KEKELIRUAN DALAM
Lebih terperinciBilangan Bulat. A. Pengenalan Bilangan Bulat Himpunan bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.
Bilangan Bulat A. Pengenalan Bilangan Bulat Himpunan bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif. mundur maju -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 negatif positif Bilangan
Lebih terperinciKALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian
Lebih terperinciEKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN
EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 BARISAN BILANGAN 1 EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah
Lebih terperinciBab. KPK dan FPB. SUmber buku: bse.kemdikbud.go.id
Bab 2 KPK dan FPB Masih ingatkah kamu bilangan prima? Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu bilangan satu dan bilangan itu sendiri. Coba kamu sebutkan contoh 5 anggota bilangan
Lebih terperinciIV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Euler Definisi 4.1 Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu bilangan bulat yang sama dengan jumlah dari iterasi Totientnya. yaitu jika
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Rantauprapat,11 April Penyusun
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-nya lah dan hidayah-nya jualah penulisan makalah ini dapat selesai dengan tepat waktu. Makalah ini
Lebih terperinci2 x 1 dengan x anggota bilangan bulat adalah. 1 bagian senang sepakbola, 2
PEMNTPN UJIN NSINL 03 Kerjakan dengan sungguh-sungguh dan penuh kejujuran!. alam sebuah ruangan terdapat 5 baris kursi. anyaknya kursi pada baris ke tiga terdapat 3 buah, dan pada baris ke tujuh terdapat
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciBIMBINGAN BELAJAR GEMILANG
BIMBINGAN BELAJAR GEMILANG A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Banyaknya titik sampel dari pelemparan koin dan sebuah dadu adalah. 0. Banyaknya ruang sampel pada pelemparan buah mata uang sekaligus adalah.
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciKata Pengantar Faktor dan Kelipatan
Kata Pengantar Puji syukur kami tim penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT, karena hanya dengan izin dan kuasanyalah penulis dapat menyusun dan menyalesaikan makalah Faktor dan Kelipatan ini dengan baik.
Lebih terperinci