BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 4 BAB II LANDAAN EORI ala sau insrun rivaif yang punyai ponsi unuk ikbangkan aala opsi. Opsi aala suau konrak anara ua piak, sala sau piak (sbagai pbli) punyai ak unuk bli aau njual suau as rnu ngan arga yang la inukan pula, paa aau sblu waku yang inukan. Pgang opsi iak iwajibkan unuk nggunakan aknya aau akan nggunakan aknya jika prubaan ari arga as yang nasarinya akan ngasilkan kunungan baik ngan njual aau bli as yang nasari rsbu.. As yang Mnasari Opsi Dala pragangan opsi rapa bbrapa as yang nasari, anara lain opsi inks (inx opion), opsi valua asing (forign currncy opion) opsi brjangka (fuur opion) an opsi saa (sock opion). Opsi inks aala suau opsi ngan as yang nasarinya aala inks pasar saa. Opsi valua asing aala suau opsi ngan as yang nasarinya aala aa uang asing ngan kurs rnu, sangkan opsi brjangka aala suau opsi ngan as yang nasarinya aala konrak brjangka. Opsi saa aala suau opsi ngan as yang nasarinya aala saa. Bursa Arika yang pragangkan opsi saa anara lain Cicago Boar Opion Excang (CBOE), Pilapia ock Excang (PHLX), Arican ock Excang (AMEX), Pacific ock Excang (PE), an Nw York ock Excang (NYE). Bursa Inonsia yang pragangkan opsi saa aala Bursa Efk Jakara (BEJ). Dala pnliian ini yang igunakan aala opsi saa.. Nilai Opsi.. Nilai inrinsik Nilai inrinsik opsi aala nilai konois, nggabarkan kunungan invsor jika opsi ikskusi ngan sgra. Jika nilai konois ari kskusi opsi ngan sgra iak posiif, aka nilai inrinsik aala nol. Unuk opsi call, nilai

2 5 inrinsik akan posiif jika arga saa yang rjai lbi bsar ari paa arga kskusi (arga yang iapkan paa saa jau po). angkan unuk opsi pu nilai inrinsik akan posiif jika arga saa brlaku arga kskusi K. kurang ari.. Nilai waku Nilai waku aala slisi anara nilai inrinsik ngan arga opsi. Harga aau pri suau opsi aala nilai yang wajar ari suau opsi yang inukan ol pasar kopiif yang ibayarkan ol pbli opsi paa saa konrak ibua..3 ip Opsi rapa ua ip konrak opsi yang paling nasar, yaiu opsi call an opsi pu. uau opsi call brikan ak kpaa pbli unuk bli suau as rnu ngan jula rnu paa arga kskusi (srik pric, xrcis pric) sapai waku jau po. angkan opsi pu brikan ak kpaa pbli unuk njual suau as rnu ngan jula rnu paa arga kskusi sapai waku jau po. Dala konrak opsi call rsbu aa pa al uaa, yaiu:? arga as yang nasari yang akan ibli? jula as yang nasari yang apa ibli? arga kskusi as yang nasari? anggal brakirnya ak bli, aau isbu ngan xpiraion a. Paa konrak opsi pu pa al rsbu inik ngan yang ruang ala opsi call. ransaksi opsi akan rkai ngan plaksanaan ak. Brasarkan waku plaksanaannya opsi ibagi njai ua, yaiu opsi Eropa an opsi Arika. Misalkan arga saa awal (paa saa isujui konrak) aala, waku jau po an arga kskusi aala K, sra c c, nyaakan arga opsi call Eropa paa saa, an p p, nyaakan arga opsi pu Eropa paa saa. Nilai inrinsik ari opsi call Eropa paa saa jau po apa iuliskan sbagai suau payoff aau pnriaan bagi pgang konrak opsi yaiu

3 6 c ax K,. Jika K, opsi ikaakan ala kaaan in ony. Pgang opsi akan ngkskusi opsi call, yaiu ngan njual saa ngan arga lbi bsar ari K, an akan napakan asil sjula K. Jika opsi call ikaakan ala kaaan a ony. angkan apabila yang K K opsi call ikaakan ala kaaan ou of ony. Konisi payoff ari opsi pu Eropa aala Jika p ax K,. K, opsi iak brnilai singga pgang opsi iak nggunakan aknya. Hubungan anara arga opsi call Eropa ngan pu Eropa yang iknal ngan pu-call-pariy, apa inyaaan sbagai briku: r c K p, ngan r nyaakan suku bunga bbas risiko. Apabila C C, nyaakan arga opsi call Arika an P P, nyaakan arga opsi pu Arika, aka payoff paa waku auriy unuk call aala: angkan unuk opsi pu C ax K,. P ax K,..4 Kunungan Opsi Dngan laksanakan pragangan opsi, akan apa iprol bbrapa anfaa spri briku ini.? Manajn risiko: pnrbi opsi pu aas suau as yang nasari apa lakukan ging, yaiu brinvsasi paa suau as unuk ngurangi risiko porofolio ksluruan. Hal ini ilakukan bila arga as yang nasarinya urun rais scara iba-iba, singga apa nginari risiko krugian.

4 7? Mbrikan waku yang flksibl: unuk opsi ip Arika, aka pgang opsi call aupun opsi pu apa nnukan apaka akan laksanakan aknya aau iak ingga asa jau po brakir.? Mnyiakan sarana spkulasi: para invsor apa prol kunungan jika apa nnukan ngan pa kapan bli opsi pu aau call. Apabila iprkirakan arga naik aka akan bli opsi call, an sbaliknya bila arga cnrung urun aka akan bli opsi pu.? Pnabaan pnapaan: prusaaan yang nrbikan saa akan prol abaan pasukan apabila nrbikan opsi warran, yaiu brupa pri ari opsi rsbu..5 Fakor-Fakor yang Mpngarui Harga Opsi.5. Harga as yang nasari an arga kskusi Jika suau opsi call ikskusi paa suau waku i asa yang akan aang, pbayarannya sbsar slisi anara arga as yang nasari an arga kskusi. uau opsi call akan njai lbi brnilai jika arga as yang nasari ningka an kurang brnilai jika arga kskusi ningka. nara paa opsi pu, pbayaran aas kskusi ak aala sbsar slisi anara arga kskusi an arga as yang nasarinya..5. anggal jau po Unuk ip Arika, ari kua aca opsi baik opsi call aupun opsi pu njai lbi brarga jika waku jau ponya sakin ningka. nara unuk ip Eropa nilai raap opsi baik call upun pu iak rpngaru ngan jau po, al ini brknaan ngan waku kskusi ak..5.3 olailias olailias aas as yang nasari aala sbua ukuran ingka kiakpasian ngnai prgrakan as yang nasari rsbu i asa aang. Jika volailias sakin ningka aka akan sakin ningka pula pluang as yang nasari unuk ngalai pningkaan aau pnurunan raap suau opsi.

5 8.5.4 uku Bunga Bbas Risiko (Risk fr inrs ra) uku bunga bbas risiko pngarui arga suau opsi. Jika ingka suku bunga ala prkonoian ngalai knaikan akan pngarui arapan knaikan arga as yang nasari (ala al ini saa). Dngan ngasusikan bawa sua puba ap, aka arga opsi pu akan nurun jika suku bunga bbas risiko ngalai pningkaan. Bgiu pula sbaliknya, arga opsi call akan slalu ningka siring ngan pningkaan suku bunga bbas risiko..6 Prsaaan Black-cols Fiscr Black an Myron cols paa aun 973 ala ruuskan nilai opsi call Eropa nasarkan paa bbrapa asusi briku ini: Harga ari as yang nasari ngikui pross Winr ngan an konsan. iak aa biaya ransaksi an pajak. iak aa pbayaran ivin paa opsi. iak rapa pluang arbiras, yaiu suau pluang unuk prol kunungan anpa risiko. or slling iijinkan. uku bunga bbas risiko r aala konsan an saa unuk sua waku jau po. Unuk olkan Prsaaan Black-cols ifinisikan aau inukan bbrapa isila briku: Dfinisi (Pross okasik) Pross sokasik X X, H aala suau kolksi (ipunan) ari puba acak. Unuk siap paa ipunan inks H, X aala suau puba acak an sring iinrprasikan sbagai waku (Ross 996). Dfinisi (Grak Brown) Pross sokasik X X, H isbu pross grak Brown jika (Ross 996): X.

6 9 Unuk n puba acak X i X i, i,, 3,..., n saling bbas. 3 Unuk siap, X brisribusi noral ngan raaan an varian. Dfinisi 3 (Grak Brown Goris) Jika X, aala grak Brown, aka pross sokasik Z, yang ifinisikan X Z isbu grak Brown goris (Ross 996). Dfinisi 4 (Pross Winr ) Pross Winr aala Grak Brown ngan raaan an variansi (Niwiga 5). Dfinisi 5 (Pross Winr Uu) Pross Winr Uu unuk suau puba acak X apa inyaakan sbagai briku (Hull 3): X a bw ( ) (.) a isbu sbagi koponn rinisik an bw ( ) nyaakan koponn sokasik, sra W ( ) aala pross Winr, sangkan a an b asing-asing nyaakan raaan an sanar viasi ari X. Dfinisi 6 (Pross Io ) Pross Io aala pross Winr uu ngan a an b nyaakan suau fungsi ari puba acak X an waku. cara aljabar pross Io apa inyaakan sbagai briku (Hull,3): X a X, b X, W (.) Dfinisi 7 (La Io ) Misalkan pross X nui (.) an fungsi Y f X, aala koninu sra urunan-urunan f X,, f X X,, fxx X, koninu, aka Y f X, nui prsaaan briku (Gian 97):

7 Y f X, f X X, X fxx X, X, (.3) ngan an f, f X, f XX f f f X X W W, W. Dfinisi 8 (Mol Harga aa) Jika arga saa paa waku, µ aala parar konsan yang nyaakan ingka raa-raa prubuan arga saa an saa, aka ol ari prubaan arga saa, yaiu (Hull 3): volailias arga W. (.4) Brasarkan knuan-knuan i aas akan iurunkan prsaaan Black-cols. Misalkan X() ngikui pross Winr uu, yaiu prsaaan (.). Prsaaan ini apa ikbangkan njai (.). lanjunya akan inukan ol ari pross arga saa. Diasusikan bawa iak rjai pbayaran ivin paa saa. Misalkan () aala arga saa paa waku. Mnginga pross Io, prubaan () akan iliki nilai arapan rif ra. Parar nyaakan ingka raa-raa prubuan arga saa an isbu koponn rinisik. Karna arga saa juga ipngarui ol fakor kiakpasian aka koponn sokasiknya aala W, ngan nyaakan volailias arga saa. olailias arga saa nginikasikan ingka risiko ari arga saa. Dngan ikian ol ari arga saa aala brbnuk (.4), yaiu: W. Dngan (.4) ini, apa irapkan la Io unuk suau fungsi (,), yaiu nilai opsi ngan arga saa paa waku, singga iprol: W. (.5)

8 Unuk ngilangkan pross Winr ipili sbua porofolio yang iinvsasikan paa saa an rivaif. ragi yang ipili aala bli sau opsi an njual aka saa. Misalkan aala nilai porofolio yang iaksu,. (.6) Prubaan porofolio paa slang waku ifinisikan sbagai. Dngan nyubsiusikan (.3) an (.5) k ala (.7) iprol (.7). (.8) (Buki apa ilia paa lapiran ) Rurn ari invsasi sbsar prubuan sbsar r ala slang waku, paa saa akbrisiko akan iliki ngan r aala suku bungan bbas rsiko. Agar iak rapa pluang arbiras, nilai prubuan ini arus saa ngan ruas kanan ari (.8), yaiu: r. (.9) ubsiusi (.6) k ala (.9), ngasilkan r r r r. (.) Prsaaan (.) ini iknal sbagai prsaaan Black-cols..7 Forulasi Harga Black-cols Hull (3) nunjukkan bawa sala sau cara unuk nnukan solusi analiik prsaaan Black-cols, yang rupakan arga opsi an isbu forula Black-scols, aala ngan nggunakan pnkaan pnilaian risiko

9 nral. Unuk sbua opsi call Eropa, nilai arapan payoff ari opsi call paa saa jau po aala Misalkan Eˆ ax K,. (.) Difinisikan g( ) aala fungsi kpkaan pluang ari, aka Io iprol E ˆ ax K, K g. (.) K G G G G ln, aka, an. Brasarkan la G W W. Karna an konsan aka G ln ngikui grak Brown ngan raaan an variansi. Brasarkan (.3), rupakan ingka pngbalian ari arga saa. Bnuk pngbalian ari arga saa yang apa ipriksi an brsifa rinisik aala. bagai cono ari pngbalian yang brsifa rinisik aala pngbalian ari sjula ana yang iinvsasikan i bank yang brsifa bbas risiko. Karna brsifa bbas risiko aka kspkasi ari arga saa apa ikaakan sbagai ingka suku bunga r, singga konsana apa igani ngan r. Karna G ln bruba ari sapai ngan an G ln ngikui grak Brown, aka ln brisribusi noral ngan raaan r an variansi. Misalkan paa waku = nilai G ln an paa waku nilai G ln, aka paa slang waku sapai ngan, ln ln aala brisribusi noral ngan raaan an variansi spri i aas, singga iprol:

10 3 \ ln ln ~ N r, aau apa iuliskan ln brisribusi noral ngan ln ~ N ln r,. Dngan ikian ln brisribusi noral ngan raaan ln r an sanar viasi s. (.3) lanjunya ifinisikan pula sbua puba Q ngan ln Q =. (.4) ubsiusi ari (.3) k ala (.4) iprol Q ln ln r, aka puba Q juga brisribusi noral ngan raaan an sanar viasi, an fungsi kpkaan pluang ari Q inyaakan ngan (Q), yaiu Q / Q. (.5) (Buki apa ilia paa lapiran ) Prsaaan (.4) iuba njai Q. (.6) aka, prubaan baas ingral paa sisi kanan ari (.), ari ingral nuru njai ingral nuru Q aala sbagai briku: Jika, aka Q =. Jika K aka K = Q singga Q = ln K. Dngan nggunakan (.5), (.6) an prubaan baas ingral sra isalkan s =, aka (.) njai:

11 4 Eˆ ax K, ln K Qs / s K Q Q = Qs ( Q) Q K ( Q) Q ) / s ) / s = ) / s Qs Q / Q K ( Q) Q ) / s = ) / s ( Q Qs ) / Q K ( Q) Q ) / s = ) / s ( ( Q s) s ) / Q K ( Q) Q ) / s = ) / s s / ( ( Q s) ) / Q K ( Q) Q ) / s = s / ( Q s) Q K ( Q) Q, ) / s ) / s singga (.) apa inyaakan ngan Eˆ ax K, = s / ( Q s) Q K ( Q) Q. (.7) ) / s ) / s aka Jika N(x) ifinisikan sbagai suau fungsi brisribusi noral kuulaif, s / ) / s ( Q / s) Q = [ N[(ln K ) / s s]] = / [ N[( ln K ) / s s]]. Puba paa ruas kanan yang rapa ala ana kurung siku prsaaan i aas isubsiusi ngan (.3) an s =, aka iprol ) / s s / ( Q s) Q / N ln K ln r / / N ln / K r /

12 5 / N ln / K r / / N, ngan ln / K r /. Dngan alasan yang spri i aas, aka K ( Q) Q K N )/ s ln K ln K KN. (.8) Dngan nyubsiusikan an s paa (.3) k ala (.8) iprol K ( Q) Q KN ln K ln r / )/ s KN ln / K r / = KN, ngan ln / K r /, singga (.) njai / Ê [ax( K, )] N KN ln r / / N KN = N KN r. (.9) Brasarkan argunasi pnilaian risiko nral, arga opsi call Eropa yang ilabangkan ngan c aala nilai arapan yang iiskon paa suku bunga bbas risiko yang apa inyaakan sbagai c r Eˆ ax K,. (.) Dngan subsiusi (.9) k ala (.) iprol forula Black-cols unuk opsi call Eropa anpa bayarkan ivin paa saa konrak opsi ibua, yaiu

13 6 r c N K N (.) an ngan pu-call-pariy iprol arga opsi pu Eropa ngan r p K N N ln / K r / an ln / K r /..8 olusi Prsaaan Black-cols Briku ini akan iunjukkan bawa c, paa (.) rupakan solusi ari (.), aka kia nukan urunan-urunan (.) raap an sra puba igani ngan. urunan raap aala K K ( / ). (.) Dari prsaaan aala an singga, urunan raap an bruru-uru. (.3)

14 7 urunan parsial (.) raap aala' c N ' rk N K N ' r( ) r( ) r( ) = N ' rk N N '( ) r( ) = N ' rk N ubsiusi (.3) k ala (.4) iprol ngan c N ' rk N r( ). (.4) (.5) r( ) N ' N ' K. (.6) (Buki apa ilia paa lapiran 3) urunan parsial (.) raap aala c N( ) N ' K N ' r( ) ubsiusi (.3) an (.6) k ala (.7) iprol c N( ) N ' N ' c N( ) N ' N ' (.7) = N (.8) c N ' ubsiusi (.) k ala (.9) iprol c N ' (.9) (.3) Puba paa (.) iuba ngan c aka njai c r c ubsiusi (.), (.5), (.7) an (.3) k ala (.3) iapa c rc (.3)

15 8 c c c r rc N rk N r( ) ' rn N ' r N K N r( ) = rn rn + N ' ' N + rk N rk N r( ) r( ) =. 9 Kaksaaan Black-cols unuk Opsi Arika Prsaaan (.4) nyaakan bawa ol prubaan arga saa aala W. pri alnya paa pnurunan Prsaaan Black-cols, ibnuk suau porofolio ngan bli sbua opsi pu Arika an njual sjula saa, aka iprol:. Dngan ili njai an analogi (.8), aka nilai porofolio bruba. Paa Prsaaan Black-cols unuk opsi Eropa argunasinya aala ibnuk suau prsaaan ngan rurn akbrisiko, agar iak rjai pluang arbiras. Naun kika opsi paa porofolio iu opsi Arika, iprol pnapaan iak lbi banyak ari suku bunga bbas risiko porofolio iu, singga r r.

16 9 Alasannya aala pgang opsi Arika ngonrol kapan ia akan ngkskusi. Jika kskusinya iak opial, aka nilai prubaan porofolio akan kurang ari rurn anpa risiko, singga iapa priaksaaan: r aau r r. (.3) Priaksaaan (.3) aala rupakan kaksaaan Black-cols opsi Arika. Priaksaaan (.3) apa inyaakan sbagai briku: r r (.33) r r. (.34) Dngan aanya kaksaaan rsbu, aka prlu aanya nilai baas unuk nnukan nilai opsi pu Arika. Masala Nilai Baas Bbas Opsi Pu Arika aala Pauly (4) nyaakan, konisi baas bawa unuk opsi pu Arika, K,,. (.35) Hal ini ngan alasan sbagai briku: jika = = K ssorang apa bli opsi pu, an sgra ngkskusinya, yaiu ngan bli an njualnya sbsar K. Dngan ikian ia prol pnapaan iak brisiko sbsar K. Karna Black-cols ngan asusi iak rjai kspaan arbiras, aka (.35) aala knala yang bnar unuk opsi pu Arika. Misalkan () nyaakan arga kriis saa sikian singga opsi akan opial apabila ikskusi lbi awal an K, jika aka opsi akan ikskusi, naun jika opsi iak ikskusi. Dngan ikian (.35) apa inyaakan ngan:

17 (, ) K, ( ) ( K ), ( ). (.36) Karna () iak ikaui posisinya, pnylsaian raap (,) ini isbu asala nilai baas bbas (fr bounary-valu probl), singga kika ( ) K nilai, K, sra arus nui (.33), singga nilai opsi pu Arika nui: r r (, ) K. (.37) Paa saa, nilai (, ) ( K ), sra arus nui (.34), singga nilai opsi pu Arika nui: r r (, ) ( K ) (.38) Dngan ikian asala nilai baas bbas ari opsi pu Arika aala sbagai briku: unuk < () r r (, ) K unuk ( )< r r (, ) ( K ). yara baas li (, ) li (, ) K an syara akir ( ( ), ) K ( ). (.39)

18 BAB III PENDEKAAN ANALIIK UNUK HARGA OPI AMERIKA Pnliian ngan pnkaan analiik unuk nnukan arga opsi Arika la ilakukan ol bbrapa pnlii. ala sau pnlii aala MacMillan, yang slanjunya ikbangkan ol Baron-Asi an Waly (Hull 3). Mrka isakan arga opsi njai ua koponn, yaiu: arga opsi Eropa an pri kskusi awal. Kuian iprol prsaaan ifrnsial parsial unuk pri kskusi awal. Dari prsaaan ifrnsial rsbu, akan ibrikan bbrapa asusi pnyranaan unuk napakan prsaaan kuaraik unuk ngaproksiasi solusi. 3. Pnnuan Harga Opsi Call Arika Mngacu paa Hull (3), unuk nnukan arga opsi Arika ngan pnkaan analiik igunakan bbrapa pisalan, yaiu: isalkan v aala arga v v opsi, ngan v, v kskusi. Kuian isalkan an v v sra K nyaakan arga, an v, asing-asing nyaakan arga opsi Arika an Eropa. Harga opsi call inyaakan ol C, unuk opsi Arika an c, unuk opsi Eropa. Misalkan opsi iak brikan ivin, singga prsaaan ifrnsial parsial yang nyaakan arga opsi call Arika brasarkan (.) ibrikan ol C rc C rc. (3.) lanjunya pri kskusi awal ifinisikan ol, C(, ) c,. (3.) ngan nyaakan arga saa, an waku jau po sra (3.) arus nui Misalkan r r. (3.3)

19 , r, r, an, ( ) g,. (3.4) Dari (3.4) iprol g, g an g g. g g g g g g. (3.5) g lanjunya kua ruas (3.3) ikalikan ngan singga iapa prsaaan r r. (3.6) ubsiusi (3.4) k ala (3.6) iprol g an subsiusi (3.5) k ala (3.7) iprol r, (3.7) g g g g g g g g g g r r r g g r g g r g g g g g g g g g g. (3.8) Pnkaan analiik iprol ngan ngasusikan suku rakir paa (3.8) apa iabaikan karna nilainya rlaif kcil. Asusi rsbu iasarkan paa al-al briku. Unuk, aka li = r li = r li =, sangkan unuk, aka li g, singga g.

20 3 Dngan ikian aka iprol g g g. ( 3.9) Prsaaan (3.9) aala prsaaan ifrnsial biasa or ua yang punyai ua solusi yang brbnuk a. Misalkan g a isubsiusikan k ala (3.9) iprol a a a a Akar polinoial karakrisik ari (3.) aala an. (3.) 4 4. (3.) Karna 4 /, aka an singga solusi uu (3.9) aala Nilai an g ( ) a a. (3.) brasarkan (3.) apa inukan, slanjunya akan inukan kofisin a an a. Karna an isalkan a aka li g( ) li a a. Hal ini konraiksi ngan knyaaan bawa kika, nkai nol. Misalkan a aka iprol prsaaan C, c, a. (3.3) Prsaaan (3.3) rupakan pnkaan unuk arga opsi call Arika. Unuk nnukan a ipraikan bbrapa konisi briku: unuk, brakiba ax K singga kika ningka aka C, akan nkai K, jika nyaakan arga kriis saa sikian singga opsi akan opial apabila ikskusi lbi awal, aka analog ngan (.36), unuk arga

21 4 opsi call Arika ibrikan ol (3.3), an unuk arga opsi call Arika aala K. Dngan praikan konisi i aas aka K c, a. (3.4) Unuk nnukan nilai, ifrnsialkan (3.4) raap, aka brasarkan (.8) iprol N a (3.5) ngan ln / K r. Dngan nggunakan (3.5) apa inukan nilai ari a, yaiu a N ubsiusi (3.6) k ala (3.4), aka iprol. (3.6) N K c, c, N c, N. (3.7) la a apa inukan, aka arga opsi call Arika aala sbagai briku: unuk, aka subsiusi (3.6) k ala (3.3) iprol N C, c, c, N c, N,

22 5 sangkan unuk arga opsi call Arika aala K. Dngan ikian arga opsi call Arika aala C, c, A /, jika (3.8) K, jika unuk nilai A N. 3. Pnnuan Harga Opsi Pu Arika Misalkan P, nyaakan arga opsi pu Arika an p, unuk opsi Eropa. Prsaaan ifrnsial parsial yang nyaakan arga opsi pu Arika ibrikan ol P rp P rp. Misalkan pri kskusi awal unuk opsi pu Arika ifinisikan ol ngan, ( ) g,., P(, ) p, (3.9) Paa opsi pu Arika nilai a, karna an pri kskusi awal unuk opsi pu Arika arus nkai nol kika nkai ak ingga. ingga arga pnkaan unuk opsi pu Arika inyaakan ol P, p, a. (3.) Unuk nnukan nilai ari a, ipraikan konisi briku: jika nyaakan arga kriis saa sikian singga opsi akan opial apabila ikskusi lbi awal, aka brasarkan (.36), unuk arga opsi pu Arika ibrikan ol (3.), an unuk arga opsi pu Arika aala K. Dngan praikan konisi i aas aka K p, a. (3.) Unuk nnukan nilai, iifrnsialkan (3.) raap aka iprol N a (3.)

23 6 ngan ln / K r. Dngan nggunakan (3.) apa inukan nilai ari a, yaiu a N ubsiusi (3.3) k ala (3.) iprol. (3.3) K p, N p, N p, N. (3.4) la a apa inukan, aka arga opsi pu Arika aala sbagai briku. Unuk, aka subsiusi (3.3) k ala (3.) iprol P, p, N p, N p, N, sangkan unuk arga opsi pu Arika aala K. Dngan ikian arga opsi pu Arika aala P, p, K A /, jika (3.5), jika ngan A N /.

24 7 Unuk nnukan nilai opsi pu ngan nggunakan forula (3.5), aka rlbi aulu inukan nilai ngan o nurik, isalnya ngan o Nwon yang iak akan ibaas lbi lanju.