Acoustics An Introduction by Heinrich Kuttruff

Transkripsi

1 Acoustics An Introduction by Heinrich Kuttruff Diterjemahkan oleh : Okta Binti Masfiatur Rohmah Fisika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret, 1 Bab Solusi dari ersamaan gelombang Gelombang harmonik Catatan sedikit ada keceatan bunyi 54

2 Atenuasi Gelombang datar Dalam tie yang aling sederhana dari gelombang bunyi, variable akustik seerti tekanan suara atau keceatan artikel hanya tergantung ada koordinat ruang. Jika ada saat tertentu semua variable konstan tegak lurus terhada koordinat ini kita samai ada gelombang datar. Ketika enyebarannya tegak lurus bentuknya tinggal disajikan tana dirubah semua damak yang merugikan diabaikan. Oleh karena itu, erlakuan umum ada gelombang ini cuku sederhana. Maka dari itu, gelombang datar sesuai untuk menjelaskan fenomena erkembangan artikel seerti enguatan bunyi yang akan didiskusikan lebih lanjut ada bab ini, atau refleksi, refraksi, dan difraksi dari suara yang akan lebih didetaikan di bab 6 dan 7. Lagiula, gelombang datar adalah dasar untuk gelombang yang lebih rumit ada analogi Analisis Fourier yang menghadirkan hamir semua getaran dalam kaitannya dengan getaran selaras (lihat Bagian.9). Bagaimanaun, gelombang datar menghadirkan sebuah rinsi untuk erkembangan suara. Dalam kehiduan kita sehari-hari hamir tidak ernah ditemui, sedikitnya tidak dalam rinsi murninya. Bidang bunyi terbaik seerti gelombang sferis daat dilakukan endekatan dengan gelombang datar ada daerah terbatas. Lebih dari itu, dengan tindakan tertentu seseorang daat menghasilkan dan meyebarkan gelomang datar dalam botol dengan dinding keras.

3 4.1 Solusi dari ersamaan gelombang Untuk lebih sederhananya kita asumsikan bahwa gelombnag datar menjalar seanjang sumbu-x dalam system koordinat. Kemudian kita daat mengambil keuntungan dari ersamaan gelombang satu dimensi (3.1) untuk fluida diberikan ada bagian 3.4 : 1 = x c t Itu mudah untuk melihat bahwa semua turunan kedua fungsi = f (x,t) adalah sebuah solusi dari ersamaan diferensial arsial yang terdiri dari variable x dan t dalam kombinasi x ct. Untuk menunjukkan ini, kita mengenalkan variable u = x ct untuk enurunan ertama : d u d d u d =. = dan =. = c (4.1) x du x du t du t du Turunan kedua dihitung dengan cara yang sama : x d u =. du x + d. du x u d = du dan d u =. t du t d u +. = c du t d du Memasukkan hasilnya ke dalam ersamaan gelombang membuktikan bahwa = f (x ct) adalah satu solusi yang mungkin. Solusi yang lain adalah = g (x + ct) dengan g menandakan fungsi lain. Ini dibuktikan dengan cara yang sama. Solusi umum dari ersamaan gelombang satu dimensi dibaca : ( x, t) = f ( x ct) + g( x+ ct) (4.) Untuk menggambarkan makna dari ungkaan ini kita memertimbangkan bagian ertama dari ersamaan (4.), kita menetakan (x,t) = f (x ct). Ungkaan ini menunjukkan bahwa

4 gangguan awal yang diberikan oleh suatu fungsi f (x) ada saat t = akan digeser ada jarak ct ke arah x setelah t sekon tana mengubah bentuknya. Faktanya ditunjukkan ada gambar 4.1. Itu menjelaskan bahwa gangguan menjalar dengan keceatan c dari kiri ke kanan. Sejak gangguan tekanan gelombang bunyi, kuantitasnya ditunjukkan di ersamaan (3.13) sebagai keceatan bunyi. Lagiula, diskusi ini menunjukkan dugaan suatu gelombang bunyi tidak berarti terbatas ada lebih atau kurang dari rangkaian bukit dan lembah gelombang. Hasil yang sama berlaku untuk bagian kedua dari ersamaan (4.) dengan erbedaan kombinasi x + ct menunjukkan bahwa gangguan g menyebarkan dalam arah sebaliknya, dalam arah nilai x yang turun. Pertimbangan gelombang disini dinamakan gelombang datar sejak semua dasar dasar volume yang memunyai koordinat x dan situasi tegak lurus terhada sumbu x adalah ada keadaan getaran yang sama ada saat tertentu yang diberikan. Mereka dimamatkan atau direnggangkan untuk tingkat yang sama. Umunya, ermukaan dari keadaan getaran yang sama atau fase getaran yang sama disebut ermukaan gelombang atau ermukaan fase konstan, dan garis tegak lurus terhada mereka adalah gelombang normal. Dengan begitu kita daat mengatakan, ermukaan gelombang dari gelombnag datar adalah aralel (lihat Gambar 4.).

5 Gambar 4.1 Proagasi dari gangguan tekanan Gambar 4. Gelombang datar Sekarang kita kembali ada ersamaan gelombang yang diwakili oleh =f(x ct). Keceatan artikel v x berhubungan dengan variasi distribusi tekanan juga dengan u = x - ct. Itu dieroleh dengan menggunakan ersamaan (3.15), erhitungan dari enurunan serua dengan ersamaan (4.1). Kemudian,

6 dvx c du 1 = ρ d du Hasil enurunan tak tentu dari suatu yang konstan ditetakan sama dengan nol. v x 1 = (4.3) ρc Karenanya keceatan artikel dalam gelombang datar adalah sebanding dengan tekanan bunyi. Perbandingan dari tekanan bunyi dan keceatan artikel disebut karakteristik imedansi dan diberi symbol Z : =ρ c= Z (4.4a) vx Itu adalah komonen akustik yang enting dalam suatu medium dan kita akan menggunakannya dalam banyak hubungan. Itu adalah hasil numerik dari udara ada suhu C dan tekanan normal 416Ns/m 3. untuk enjalaran gelombang dalam arah x negative kita mencarinya dengan cara yang sama. vx = ρ c= (4.4b) Z Dengan menggunakan ersamaan (4.3) ungkaan yang lain untuk raat energi dan untuk intensitas gelombang bunyi dieroleh. Dengan demikian ersamaan (3.3) daat disederhanakan menjadi ~ w= (4.5) ρ c sedangkan dari ersamaan (3.9) ~ ~ I = = Z vx (4.6) Z

7 intensitas vector yang dieroleh menunjukkan arah erambatan gelombang. Sejak artikel dari medium berosilasi aralel ke arah erambatan gelombang, bidang gelombang tidak akan diganggu oleh ermukaan kasar dan tidak beroros berjalan aralel ke arah itu. Kita menyimulkan dari ini bahwa gelombang bunyi datar daat menyebar dalam tabung dengan dinding yang keras. Untuk umumnya seerti iston daat dilukiskan ada Gambar Gelombang Harmonik Sekarang kita ertimabangkan suatu gelombang datar menjalar ada arah x dengan variasi tekanan bunyi menurut hukum waktu harmonik, kita menetakan: Gambar 4.3 Gelombang datar dalam botol berdinding keras, oleh isolasi iston. Gambar 4.4 Distribusi tekanan arsial dalam gelombang datar harmonik.

8 g ada ersamaan (4.) ketika fungsi f adalah fungsi kosinus. Oleh karene itu ( x, t) = cos[ k( x ct) ] = cos( ωt kx) (4.7) Dimana k sebagai suatu konstanta dengan dimensi m -1. dalam notasi komlex dibaca : i( ωt kx) ( xt) = e, (4.8) Diberikan jarak x ini menghadirkan getaran harmonik setelah ersamaan (.8) dengan amlitudo, frekuensi sudut ω = kc dan sudut fase kx. Sebagai fungsi koordinat ruang x ersamaan (4.7) meghadirkan sebuah getaran dalam ruang. Itu tamak ada gambar 4.4 yang seadan dengan gambar. dengan erbedaan bahwa sekarang x bereran sebagai variabel bebas. Dimana, eriode waktu T digantikan dengan eriode sasial λ : dalam gelombang dengan jarak λ = π/k (atau dengan engintegralkan dua kali) mengarahkan kita untuk keadaan yang sama dari getaran sebelumnya. Dan konstanta k hanya sasial analog dari frekuensi sudut ω. Disebut bilangan gelombang sudut. Kombinasi formula ini menghasilkan hubungan dan π ω k = = λ c (4.9) c= f.λ (4.1) Tentu saja, gelombang datar daat menjalar selain ada sumbu x. Untuk menemukan ungkaan matematika untuk kasus yang lebih umum kita menandai orientasi dari gelombang datar menggunakan garis vektor normal n dengan comonen cartesius cos, cos β, dan cos γ. Huruf itu mencukui kondisi cos + cos β + cos γ = 1;, β, dan γ adalah sudut

9 dengan tiga sumbu (lihat gambar 4.5). Itu arah erambatan gelombang. Jarak salah satu dari titik asal sistem koordinat adalah n r = x. cosα + y.cosβ + z. cosγ r menandakan vektor dengan komonen x, y, dan z, dan roduk skalar dari kedua vektor. nr menandai Gambar 4.5 Definisi dari sudut, β, γ. Oleh karena itu enjalaran gelombang ada arah ωt k( x cosα+ y cosβ+ z cosγ ) ( x, y, z) e [ ] n ditunjukkan oleh = (4.11) Untuk enyajian yang lebih umum kita daat menggambarkan bilangan gelombang vektor dan samai ada k = kn dengan komonen k. cos, k. cos β, k. cos γ ( x y, z, t) i ωt k r, = e (4.1) 4.3 Catatan Sedikit Pada Keceatan Bunyi Sekarang kita kembali sekali lagi ke ersamaaan (3.14) dan diskusi di bagian 4.1, keceatan bunyi didefinisikan oleh

10 ( ad) d t c= dρ (4.13) t ρ Notasi (ad) mengingatkan kita ada asumsi bahwa semua erubahan keadaan membawa ada roses adiabatik. Untuk gas ideal ersamaan keadaan adiabatik (3.11) dibaca t t = K Dari ini kita tentukan dengan endeferensialan : c d ( ad) kp k = (4.14) t t = dρ (4.15) ρ ρ ρ t t Konstanta k adalah exonen adiabatik atau isotroik, nilai untuk udara adalah 1.4. Disaming itu, ersamaan umum untuk gas ideal bahwa t = ρ t RT M r (4.16) T menandakan suhu mutlak dalam Kelvin (K), R = 8.31 Nm/mol. K adalah konstanta molar gas dan M r adalah massa mol dari gas. Maka dari itu keceatan bunyi untuk gas ideal daat dituliskan krt c= (4.17) M r Tabel 4.1 Keceatan bunyi dan karaktersitik imedansi dari fluida Gas Bahan Suhu ( C) Keraatan (kg/m 3 ) Keceatan Bunyi (m/s) Argon Helium Oksigen Nitrogen Karakteristik Imedansi (Ns/m 3 )

11 Hidrogen Amonia Karbon dioksida Udara Cairan (dalam 1 6 ) Air Merkuri Etil Alkohol Gliserin Karkon tetraklorida Bensin Aseton Oli disel Helium Hidrogen Oksigen Itu memungkinkan dicatat bahwa turunan ada ersamaan (3.13) adalah modulus komresi adiabatik k (ad) dibagi oleh keraatan ρ. Jadi kita mendaatkan k ρ ( ad ) c= (4.18) ernyataan ini lebih cocok digunakan untuk cairan. Pada tabel 4.1 telah didata keceatan bunyi dan karakteristik imedansi dari beberaa gas dan cairan.