Estimasi Parameter Copula Dan Aplikasinya Pada Klimatologi

Transkripsi

1 Estimasi Parameter Copula Dan Aplikasinya Pada Klimatologi Irwan Syahrir ( ) Dosen Pembimbing: Dr. Ismaini Zaini, M.Si Dr.rer.pol. Heri Kuswanto, M.Si

2 . PENDAHULUAN Latar belakang Analisis Statistik Asumsi Distribusi Normal Analisis hubungan antara 2 (dua) variabel - Masalah lebih mudah dan sederhana - Mudah perhitungan estimasi Korelasi pengukuran dependensi antara variabel -Spearman - Kendall Pearson 2

3 Latar belakang (lanjutan) Penelitian - Biostatistic - Risk management - insurance/actuaria - Climatology/meteorology, etc Kasus distribusi tidak normal Ketidaknormalan diabaikan dalam perhitungan korelasi Kasus Multivariat Struktur dependensi Struktur probabilitas fungsi densitas kompleks Pendekatan Copula Mengapa? - Mampu mengatasi dependensi variabel yang berdistribusi tak normal - Informasi struktur dependen lebih banyak - Lebih fleksibel : distribusi marginal dari variabel dependen dapat dibedakan atau bahkan dapat mengetahui distribusi variabel yang tidak diketahui. (Schölzel,2008) 3

4 Latar belakang (lanjutan) Penelitian dengan pendekatan Copula : hidrology : Favre et al. (2004) dan Genest et al. (2007). Keuangan dan asuransi : Cherubini et al. (2004) dan Mcneil et al. (2005) Ekonometrika dan time series: Patton (2002;2009). Klimatologi : Schölzel (2008). Schölzel (2008), menjelaskan pola distribusi dan fungsi densitas dari variabel random multivariat pada data temperatur, curah hujan dan kecepatan angin. Copula Theorema Sklar s Sklar (959) Suatu cara untuk menjelaskan struktur dependensi vektor random Estimasi copula menyatakan bahwa setiap distribusi marginal harus dihitung dan dimasukkan ke dalam estimasi distribusi multivariat 4

5 Estimasi Parameter Copula Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). (Choroś et al.,200) Pendekatan model parametrik, semiparametrik dan non parametrik (Charpentier et.al.,2006) Copula Archimedean Aplikasi Geoscience (Embrechts et al.,200) Kasus Klimatologi Gumbel Clayton 5

6 Tujuan Penelitian. Menentukan estimasi parameter copula archimedean 2. Mengaplikasikan pada data klimatologi Manfaat Penelitian. Memperkenalkan metode alternatif yaitu pendekatan copula khususnya keluarga archimedean, yang dapat diaplikasikan pada data iklim yang distribusinya tidak normal. Batasan Masalah. Estimasi parameter copula dg pendekatan Kendall s Tau 2. Parameter Copula gumbel dan Clayton 3. Variabel yang dilibatkan hanya dibatasi 2 (dua) variabel atau bivariat, yaitu data kecepatan angin rata-rata dengan tekanan udara diatas permukaan air laut dan kecepatan angin dengan temperatur udara 6

7 2. Teori Copula copula fungsi yang menghubungkan margin univariat menjadi distribusi multivariat, dimana fungsi tersebut merupakan fungsi distribusi bersama dari variabel random uniform standar normal. (Nelsen,999) Variabel random multivariat Asumsi Suatu m dimensi vektor random X dengan fungsi distribusi kumulatif marginal (Marginal Cumulative Distribution Function) F,..., X F Xm dengan domain R F ( ) 0 X = F ( ) X = Theorema Sklar s (959) joint distribusi dari vektor random dapat ditulis sebagai fungsi dari distribusi marginalnya. F ( x) = C ( F ( x ),..., F ( x ) X X X X m m 7

8 F ( x) = C ( F ( x ),..., F ( x ) X X X X m m [ ] [ ] [ ] C : 0, x... x 0, 0, X fungsi distribusi bersama dari transformasi variabel random Uj memiliki distribusi marginal yg uniform. Jika distribusi marginalnya kontinu, maka fungsi copula adalah unik (nelsen,2006) U F ( X ) = j=,,m j X j j Distribusi fungsi copula u u m C ( u,..., u )... c ( u,..., u ) du... u = X m X m m 0 0 u = F ( x ) j X j j 8

9 Teorema Sklar s setiap probabilitas densitas bersama dapat dituliskan sebagai hasil dari probabilitas densitas marginal dan densitas copula. f ( x) = f ( x )... f ( x ). c ( u,..., u ) X x Xm m X m Fungsi copula Fungsi distribusi multivariat dengan marginal uniform standar 9

10 Keluarga Copula a. Copula Ellip b. Copula Archimedian Copula ellip Copula normal Fungsi distribusi kumulatif bivariat standar normal dengan korelasi ρ (sklar,959) 2 Copula Students t Fungsi copula normal : ( ) C ( u, u ) =Φ Φ ( u ), Φ ( u ) ρ 2 ρ 2 Fungsi densitas copula normal : c ρ,, ρ ( Φ ( ), Φ ( 2) ) ( Φ ( u) ) ϕ( Φ ( u2) ) ϕx X u u 2 ( u, u2) = ϕ dimana 2 2, 2, ( x, x ϕ 2) exp [ ] X X 2 2( ) x x xx ρ = + ρ π ρ ρ 0

11 Copula Students t Karakteristik Copula student s t Contoh pdf dari t-copula dengan ρ=0,865 dan v =, 5, 2.5 (dari kiri ke kanan). Dalam kasus bivariat copula t dapat dituliskan sebagai berikut: t C ( u, u, v, ρ) = v 2 t v v v d t ( u ) t ( u ) t v v + 2 Γ 2 v Γ πv ρ 2 2 ( ) v ρ x xx x x + ( ρ ) v dx dx 2 dimana ρ adalah koefisien korelasi, ν adalah jumlah derajat bebas.

12 Copula Archimedian (i) Clayton (ii) Frank (iii) Gumbel Fungsi copula archimedian C ( u,..., u ) = φ ( φ( u ) φ( u )) X m m θc φ ( u) = u (Clayton) C θfu e φf ( u) = log (Frank) θ F e θg φ ( u) = ( log u) (Gumbel) G Kasus bivariat C ( u, u ) = φ ( φ( u ) + φ( u )) X 2 2 φ fungsi disebut fungsi generator dari copula (Nelsen,2006) 2

13 3. Estimasi Copula Estimasi parameter copula dapat diperoleh dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) (Mikosch,2006). Dengan mendeskripsikan parameter yang diberikan copula dan distribusi marginal, estimasi ML diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log likelihood. d f( x, x,..., x) = cf ( ( x), F( x),..., F( x) f( x) 2 d 2 2 d d i i i= cu (, u,..., u) 2 d Cu (, u,..., u) u u,..., u 2 d densitas dari = 2 d d-dimensi copula 2 Cu (, u,..., u; θ ) d model fungsi likelihood Copula ln f( x, x; θ, ρ) = ln cf ( ( x; θ), F( x; θ); ρ) + ln f( x; θ) + ln f( x; θ)

14 4. Estimasi Parameter Copula Archimedean Menurut Genest dan rivest (993) untuk mengkonstruksi estimasi parameter COPULA dapat menggunakan observasi nilai Kendall s tau τ = φ( u) du φ ( u) φc Fungsi generator Copula Archimedean

15 Pengertian Cuaca dan Iklim - Cuaca (weather) - Iklim (climate) besaran unsur fisika atmosfer unsur cuaca atau unsur iklim - penerimaan radiasi matahari - suhu udara - kelembaban udara - tekanan udara - Kecepatan angin - arah angin - penutupan awan - presipitasi (embun, hujan, salju) - evaporasi. Cuaca keadaan udara pada saat tertentu dan di wilayah tertentu yang relatif sempit dan pada jangka waktu yang singkat. Iklim keadaan cuaca rata-rata dalam waktu satu tahun yang dilakukan dalam waktu yang lama dan meliputi wilayah yang luas. 5

16 Tekanan udara adalah suatu gaya yang timbul akibat adanya berat dari lapisan udara. Besarnya tekanan udara di setiap tempat pada suatu saat berubah-ubah. Makin tinggi suatu tempat dari permukaan laut, makin rendah tekanan udaranya. Besarnya tekanan udara diukur dengan barometer dan dinyatakan dengan milibar (mbar). Angin adalah udara yang bergerak dari daerah bertekanan udara tinggi ke daerah bertekanan udara rendah. Kecepatan angin dapat diukur dengan suatu alat yang disebut Anemometer Temperatur Udara adalah tingkat atau derajat panas dari kegiatan molekul dalam atmosfer yang dinyatakan dengan skala Celcius, Fahrenheit, atau skala Reamur. Dari pengertian diatas dapat diketahui bahwa antara tekanan udara,kecepatan angin dan temperatur udara saling berhubungan. Perbedaan tekanan udara di suatu daerah akan mengakibatkan adanya pergerakan angin dari daerah yang bertekanan tinggi ke daerah yang bertekanan rendah. 6

17 5. Metodology Kajian teori Aplikasi data Data klimatologi Variabel penelitian: Kecepatan angin rata-rata (km/jam) Tekanan udara diatas permukaan air laut (mbar) τ τ 0 Temperatur udara ( C) Sumber data Stasiun Surabaya/Perak Data observasi harian Tahun Sampel : 69 pengamatan 7

18 Metodology (lanjutan) A. Tujuan pertama Mendefinisikan fungsi distribusi bersama variabel random. Menentukan fungsi distribusi Copula untuk kasus bivariat. Menentukan fungsi likelihood Copula Mengestimasi parameter fungsi Copula dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Mengestimasi parameter Copula Archimedean untuk keluarga Gumbel dan Clayton dengan pendekatan Kendall s Tau B. Tujuan kedua: Membuat scatter plot antara kedua variabel yaitu : i. Kecepatan angin rata-rata dan tekanan udara ii. Kecepatan angin rata-rata dan temperatur udara Menguji ketaknomalan data dengan menggunakan histogram dan uji Kolmogorov-Smirnov Menghitung parameter dependensi antara kedua variabel dengan observasi nilai Kendall s Tau Menghitung parameter pada Copula Archimedean khususnya Copula Gumbel dan Copula Clayton. Menentukan estimasi fungsi Copula Archimedean pada keluarga Clayton dan Gumbel. 8

19 5. Hasil dan Pembahasan Copula untuk Kasus Bivariat Fungsi distribusi bivariat Transformasi Fx (, x) = CF { ( x), F( x)} Nelsen (2006) C( u, u ) = F{ F ( u ), F ( u )}, u, u [0,] Fungsi copula Cu (, u) c( u, u ) =,, [0,] u u2 u u2 f( x, x ) = c{ F( x ), F ( x )} f ( x ) f ( x ), x, x Fungsi densitas copula bivariat 9

20 Fungsi likelihood Copula n L= Π c { F( x ), F ( x )} f ( x ) f ( x ) i= uu MLE ln f( x, x; θ, ρ) = ln cf ( ( x; θ), F( x; θ); ρ) + ln f( x; θ) + ln f( x; θ) Estimasi parameter copula Observasi Kendall s Tau. Nelsen (2006) no closed form numerik 20

21 Hasil dan Pembahasan Estimasi Parameter Copula Archimedean τ C = φ( u) du φ '( u) φ( u) Fungsi generator copula Gumbel: Clayton : φ( u) φ( u) τ = + 4 du τ = + 4 du 0 0 φ ( u) φ ( u) =+4 0 θ ( log u) θ θg G( log( u)) / G θg du = u θ G =+4 0 ( u ) / θ θ θc c C du = θc u θc + 2 θ G = ( τ ) θ C 2τ = τ 2 2

22 Fungsi Copula Keluarga Archimedean Versi Bivariat Family Copula (C θ ) Parameter range Clayton θ θ θ 2 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ = + θ [, ] \ { 0} Gumbel Gu Cθ ( u, u ) = exp (log u ) + (log u ) ( ) θ θ θ 2 2 θ [, ] Sumber : Schmidt (2006) 22

23 5. Hasil dan Pembahasan (lanjutan) Aplikasi Copula Scatter plot wind ave vs SLP Scatter plot wind ave vs T mean. Plot-plot yang terkonsentrasi dalam satu area menunjukkan adanya korelasi yang berdekatan. Sedangkan plot-plot yang outlier menunjukkan hubungan yang sangat jauh antar kedua variabel. Hubungan dependensi antar kedua variabel tidak dapat hanya dideskripsikan dengan korelasi pearson karena banyaknya outlier pada scatter plot. Untuk mengatasi hal tersebut maka struktur dependensi dapat dijelaskan dengan korelasi yang berbasis pada rank yaitu korelasi kendall tau atau spearman. 23

24 Uji Kenormalan Histogram Wind Ave (kecepatan angin, km/jam) Histogram SLP(Tekanan udara, Mbar) Variabel Kolmogorov-Smirnov Statistic df Sig. Wind_ave 0, ,000 SLP 0, ,000 T mean ,029 24

25 b. Temperatur udara (T mean- 0C) Histogram T mean (Temperatur udara, 0C) 25

26 Grafik distribusi bivariat antara kecepatan angin dan tekanan udara 26

27 Grafik distribusi bivariat antara kecepatan angin dan temperatur udara 27

28 Transformasi ke distribusi marginal uniform pada domain [0,] Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi uniform [0,] Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean pada transformasi uniform [0,] kedua variabel adalah dependen, meskipun tingkat dependensinya kecil. Plot antar keduanya menunjukkan terkonsentrasi pada beberapa ruang interval yaitu pada ujung scatter, tetapi pada bagian interval tertentu diantara keduanya plot tidak jelas. Bagian plot yang tidak jelas mengindikasikan tail dependence. Dari sini dapat didefinisikan beberapa copula yang memiliki karakteristik bentuk tail dependence. 28

29 Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan Clayton dengan θ = 2 Copula Gumbel Copula Clayton Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan Clayton dengan θ =4 Gumbel Copula Clayton Copula 29

30 Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan Clayton dengan θ = 6 Gumbel Copula Clayton Copula Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan Clayton dengan θ =0 Clayton Copula Gumbel Copula 30

31 Sebelum melakukani fitting model copula maka terlebih dulu mengestimasi koefisien korelasi dari kedua variabel tersebut dengan 3 metode, yaitu Pearson, Spearman dan Kendall. Tabel pengukuran korelasi wind_ave vs SLP Pearson Kendall Spearman Correlation 0, , , p-value 7,84 x 0-9 7,772 x 0-5 2,554 x 0-4 α <0,05 Tabel pengukuran korelasi wind_ave vs T mean Pearson Kendall Spearman Korelasi 0, , , p-value 2,2 x 0-6 2,2 x 0-6 2,2 x 0-6 3

32 Perhitungan parameter copula berbasis Kendall s Tau Kecepatan angin vs tekanan udara Parameter copula clayton 2τ θc = τ 2(0,28978) = 0,28978 = 0, Parameter copula gumbel θ G = τ = 0,28978 =,47049 Kecepatan angin vs temperatur udara Parameter copula clayton Parameter copula gumbel 2τ θc = τ 2(0,474547) = 0, = 0,34523 θ G = τ = 0, =,

33 Fungsi Copula A. Kecepatan angin dan tekanan udara B. Kecepatan angin dan tekanan udara Copula Clayton θ θ θ 2 = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ 0, , , = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ Copula Clayton θ θ θ 2 = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ 0, , , = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ Copula Gumbel Gu Cθ ( u, u ) = exp (log u ) + (log u ) ( ) θ θ θ 2 2 Gu Cθ ( u, u ) exp (log u ) (log u ),47049,47049, = + 2 ( ) Copula Gumbel Gu Cθ ( u, u ) = exp (log u ) + (log u ) ( ) θ θ θ 2 2 Gu Cθ ( u, u ) exp (log u ) (log u ),72958,72958, = + 2 ( ) 33

34 Estimasi parameter θ dan nilai loglikelihood dihitung untuk mengetahui model struktur dependensi yang terbaik pada copula Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Tekanan Udara Copula Estimate Std. error Z Log likelihood Gumbel Clayton Model terbaik Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Temperatur Udara Copula Estimate Std. error Z Log likelihood Gumbel, , Clayton Model terbaik 34

35 Fungsi Copula Model terbaik A. Kecepatan angin dan tekanan udara Gu Cθ ( u, u ) = exp (log u ) + (log u ) ( ) θ θ θ 2 2 Gu Cθ ( u, u ) exp (log u ) (log u ),47049,47049, = + 2 ( ) Copula Gumbel B. Kecepatan angin dan tekanan udara θ θ θ 2 = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ 0, , , = + 2 Cl C ( u, u ) ( u u ) θ Copula Clayton 35

36 Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi uniform [0,] Scatter plot rank dari Copula Gumbel untuk variabel random dengan parameter θ =,

37 Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean pada transformasi uniform [0,] Scatter plot rank dari Copula Clayton untuk variabel random dengan parameter θ = 0,

38 Kesimpulan. Variabel kecepatan angin rata-rata (wind_ave) dan tekanan udara diatas permukaan air laut (SLP) memiliki distribusi yang tidak normal. 2. Copula archimedean dapat digunakan untuk menjelaskan struktur dependensi kedua variabel iklim tersebut. 3. Copula Archimedean dari keluarga Gumbel merupakan model terbaik untuk menjelaskan struktur dependensi antara variabel kecepatan angin rata-rata dan tekanan udara diatas permukaan air laut. 4. Copula Clayton merupakan model terbaik untuk variabel kecepatan angin rata-rata temperatur udara 38

39 Saran. Dalam penelitian ini peneliti menghitung estimasi parameter Copula Archimedean dengan pendekatan parametrik, padahal seringkali kasus yang muncul dalam analisis data adalah pola distribusi data termasuk katagori non parametrik. Oleh karena itu perlu adanya perhitungan estimasi dengan pendekatan non parametrik. 2. Perlu juga adanya penelitian pembanding dalam perhitungan estimasi dengan menggunakan keluarga Copula yang lain, misal: Copula Ellip yang meliputi Copula Normal dan Copula Student s t. 3. Pada penelitian ini struktur dependensi antara kedua variabel dalam bentuk scatter plor rank tidak terlalu kelihatan dengan jelas karena dimungkinkan jumlah sampel data hanya pada observasi selama 5 tahun. Oleh karena itu pada penelitian berikutnya perlu ditambah sampel penelitian hingga 0 tahun atau lebih. 39

40 Terima Kasih 40