BAB 3 PENGENALAN GEOMETRI TERURUT

Transkripsi

1 3 PENGENLN GEOMETRI TERURUT Lobachevsky Lahir di Nizhny Novgorad, Rusia. orangtuanya bernama Ivan Maksimovich Lobachevsky dan Praskovia lexan drovina Lobachevsky. Pada tahun 1800 ayahnya meninggal dan ibunya pindah ke Kazan. Di Kazan, Nikola Ivanovich Lobachevsky mengikuti Kazan Gymnasium pada tahun dan lulus tahun Manfaat utama teori yang ditemukan Lobachevsky adalah perkembangan geometri Non-Euclide yang tidak berbeda dari Janos ulyai. Sebelumnya para matematikawan mencoba membuat kesimpulan 5 postulat euclide dari aksioma-aksioma lain.kelima postulat euclide adalah postulat kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat John Playfair yang mengatakan bahwa diberikan sebuah garis dan sebuah titik di luar garis, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik diluar garis tersebut. geometri Lobachevsky menerima semua postulat geometri euclidedengan membuang postulat kesejajarannya. Lobachevsky mengganti postulat kesejajaran euclide dengan suatu postulat bahwa ada lebih dari satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui suatu titik diluar garis tersebut.geometri lobachevsky memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya kurang dari 180 derajat. perkembangan geometri non-euclide Lobachevsky disebut geometri hiperbolik. Pada Geometri Terurut ditentukan titik-titik,,... sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan 60 / Geometri Terurut

2 relasi keantaraan sebagai relasi yang tidak didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [ ], yang berarti terletak antara dan. Jika tidak terletak antara dan, maka dikatakan tidak []. ksioma-aksioma pada Geometri Terurut: ksioma 3.1 da paling sedikit dua titik ksioma 3.2 Jika dan dua titik berlainan, maka ada satu titik yang memenuhi [ ]. ksioma 3.3 Jika [ ], maka dan berlainan ksioma 3.4. Jika [ ], maka [ ] tetapi tidak [ ] Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teoremateorema seperti berikut. Teorema 3.1 Jika [ ], maka tidak [ ] ukti: Menurut ksioma 3.4 Jika [ ], maka tidak [ ] Ini ekuivalen dengan jika [ ], maka tidak [] Teorema 3.2 Jika [ ], maka, dan berlainan atau ukti: ndaikan =, maka [ ] Jika [ ] maka [ ] (aksioma 3.4) Jika [ ] maka tidak [ ] (aksioma 3.4). Kontradiksi Jadi ndaikan =, maka [ ] Jika [ ], maka [ ] (menurut ksioma 3. 4) Geometri Terurut / 61

3 Jika [ ], maka tidak [ ] (menurut Teorema 3.1) terdapat kontradiksi, jadi. ksioma 3.3 didapat Terbukti, bahwa Definisi 3.1 Jika dan dua titik berlainan, maka segmen atau ruas garis ialah himpunan titik P yang memenuhi [ P ]. Dikatakan titik P terletak pada segmen. Teorema 3.3 Titik maupun titik tidak terletak pada segmen ukti : ndaikan atau terletak pada segmen maka terdapat [] atau [ ]. Ini bertentangan dengan Teorema 3.2. Jadi maupun tidak terletak pada segmen. Teorema 3.4 Segmen = segmen ukti Segmen = himpunan titik P sedemikian hingga [P] (definisi) = himpunan titik P sedemikian hingga [P] (aksioma 3.4) = segmen (definisi) Definisi 3.2 Interval ialah segmen ditambah ujungujungnya yaitu dan. Jadi = + + Sinar / (dari menjauhi ) ialah himpunan titik-titik P yang memenuhi [P ]. 62 / Geometri Terurut

4 Garis ialah interval ditambah sinar-sinar / dan /. Jadi garis = / + + / kibat : Interval = interval Garis = garis, ukti Interval = segmen ditambah dan = segmen ditambah dan = segmen ditambah dan = interval ksioma 3.5 Jika dan D titik-titik berlainan pada garis, maka pada garis D. Teorema 3.5 Jika dan D titik-titik berlainan pada garis, maka garis = garis D. ukti : Jika,, dan D tidak semuanya berlainan, maka dapat dimisalkan = D dan akan dibuktikan, bahwa garis = garis. Untuk membuktikan, bahwa garis = garis, kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada garis adalah juga titik pada garis dan sebaliknya. i) pada garis (premis) Misalkan X pada garis. maka menurut ksioma 3.5, pada garis X pada garis X pada garis X ( ujung X) Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis. Jadi, jika X pada garis, maka X pada garis. Geometri Terurut / 63

5 Kesimpulan garis himpunan bagian dari garis ii) Misalkan Y pada garis, pada (premis) pada ( ujung ) maka menurut ksioma 3.5, pada garis. Y pada garis pada garis menurut ksioma 3.5, maka pada garis Y pada garis Y pada garis Y ( ujung Y) Jadi menurut ksioma 3.5, Y pada garis. Jika Y pada garis, maka Y pada garis. Kesimpulan garis himpunan bagian dari garis Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis = garis. Jika D, maka dengan jalan yang sama dapat dibuktikan, bahwa garis sama dengan garis D, sehingga garis = garis = garis D. Jadi jika,, dan D semua berlainan garis = garis D. kibat 1: Dua titik berlainan terletak tepat pada satu garis. Dua garis berlainan (jika ada) mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong kedua garis itu. kibat 2: Tiga titik berlainan, dan pada suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu dari relasi-relasi [ ], [ ], atau [ ]. ksioma / Geometri Terurut

6 Jika suatu garis, ada suatu titik tidak pada garis ini. Teorema 3.6 Jika tidak pada garis, maka tidak pada, juga tidak pada. Garis-garis, dan berlainan. ukti : ndaikan pada garis pada garis ( ujung ) Jadi pada garis, kontradiksi dengan tidak pada garis. Kesimpulan tidak pada garis Dengan cara yang sama untuk yang lain. Definisi Titik-titik yang terletak pada garis yang sama disebut ollinear (kolinier atau segaris). 2. Tiga titik noncollinear,, menentukan suatu segitiga yang memuat tiga titik ini, yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen,, yang disebut sisi-sisi. ksioma 3.7 Jika suatu segitiga, [ D] dan [ E ], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [ F ]. Teorema 3.7 ntara dua titik berlainan ada suatu titik lain. ukti : Misalkan dan kedua titik itu seperti pada gambar berikut. Geometri Terurut / 65

7 D E F Menurut ksioma 3.6 ada suatu titik E tidak pada. Menurut ksioma 3.2 ada suatu titik memenuhi [ E ]. Mengingat Teorema 3.5 maka garis sama dengan garis E, tidak terletak pada garis ini, maka suatu segitiga. Menurut ksioma 3.2 ada suatu titik D yang memenuhi [ D]. Menurut ksioma 3.7 ada titik F antara dan. terbukti. ontoh 3.1 Didefinisikan, bahwa suatu segmen ialah himpunan titik-titik. pakah himpunan ini dapat berupa himpunan kosong? Jawab: Jika dan dua titik berlainan, maka segmen ialah himpunan titik P yang memenuhi [ P ]. Dikatakan titik P terletak pada segmen. Menurut Teorema 3.7 yang mengatakan, bahwa antara dua titik berlainan ada suatu titik lain, maka himpunan titik P tersebut tidak mungkin berupa himpunan kosong. 66 / Geometri Terurut

8 Teorema 3.8 Jika suatu segitiga dan [ D] dan [ E ], maka pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [ F ] dan [D E F]. ukti : Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5 kemungkinan: a) F = D; b. F = E; c) [E F D]; d. [F D E] e) [D E F] Kemungkinan: a) Jika F = D, maka [ D] dan [ D ], jadi, dan collinear. Kontradiksi dengan suatu segitiga. Jadi F D. b) Jika F = E, maka [ E ] dan [ E ], jadi, dan collinear. Kontradiksi dengan suatu segitiga. Jadi F E c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut. Dalam segitiga D E dengan [ E ] dan [E F D] Menurut ksioma 3.2 pada F ada X yang memenuhi [D X ]. Karena F dan D tidak mungkin berpotongan lebih dari satu kali, maka X =, sehingga terdapat [D ]. Kontradiksi dengan ketentuan [ D]. Jadi Geometri Terurut / 67

9 tidak mungkin [E F D] d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai berikut. Dalam segitiga FE dengan [ F ], maka menurut ksioma 3.7 pada garis D ada suatu titik X sedemikian, sehingga [ X E]. Karena D dan E tidak berpotongan di lebih dari satu titik, maka X =, sehingga terdapat [ E]. Ini bertentangan dengan ketentuan [ E ]. Jadi tidak mungkin [F D E]. Jadi kemungkinan hanya [D E F]. ontoh 1.2 Tunjukkan bahwa suatu garis mempunyai titik yang tidak terhingga banyaknya. Jawab: Menurut definisi garis ialah interval ditambah sinar-sinar / dan /. Jadi garis = / + + /. Garis ialah himpunan titik P yang memenuhi [P ] digabung dengan himpunan titik P yang memenuhi [ P ] dan digabung lagi dengan himpunan titik P yang memenuhi [ P] dan ditambah titik-titik dan. 68 / Geometri Terurut

10 Sehingga banyaknya titik pada garis tidak terhingga (ksioma 3.2 dan Teorema 3.8). Teorema 3.9 Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu segitiga (sisi berupa segmen) Teorema 3.10 Jika [ ] dan [ D], maka [ D] D Teorema 3.11 Jika [ ] dan [ D] serta D, maka: 1) [ D] atau [ D ], dan 2) [ D] atau [ D ] lihat gambar a), b) Teorema 3.12 Jika [ D] dan [ D] dan, maka [ ] atau [ ] lihat gambar c), d) Teorema 3.13 Jika [ ] dan [ D], maka [ D] dan [ D] lihat gambar e) a) D b) D c) D d) D Geometri Terurut / 69

11 e) D Definisi 3.3 Jika [ ] dan [ D], kita tulis [ D] Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [ D], maka [D ]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik O pada segmen membagi segmen itu dalam dua segmen, O dan O. 0 Sebarang titk O pada sinar dari membagi sinar dalam suatu segmen dan suatu sinar, O dan O/. 0 Sebarang titik pada garis membagi garis dalam dua sinar berlawanan, jika [ O ], maka sinar-sinar itu ialah O/ dan O/, sinar O/ yang memuat titik, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar O. 0 Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik titiknya dapat T1, T2,.Tn sedemikian hingga kedua sinar itu T1/Tn dan Tn/T1, 70 / Geometri Terurut

12 T 1 T 2 T 3 T n sedang n 1 segmen itu T1T2, T2T3,.. Tn-1Tn, masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan, bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2. Tn dan ditulis [T1T2, T2T3,.., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini ialah : [T1T2T3], [T2 T3 T4], [T3 T4 T5],.. [Tn-2 Tn-1 Tn]. Marilah kita perhatikan kembali ksioma 3.8. Perkembangan logika yang terbaik dari suatu subjek menggunakan himpunan aksioma yang paling sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan pernyataan yang lebih kuat tentang ksioma 3.7 Ia menyatakan : Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain (atau melalui suatu titik sudut). ksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu aksioma dari Peano, lebih baik, karena a. kata bidang tidak dipakai sama sekali b. garis DE memasuki segitiga dengan cara yang khusus, yaitu sebelum memotong ia berasal dari titik D pada / ksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat diturunkan Teorema Jika Teorema 3.14 ini diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat diturunkan ksioma 3.7 sebagai Teorema. Teorema 3.14 Jika suatu segitiga dan [ F ] dan [ D] maka pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [ E ]. Geometri Terurut / 71

13 ukti : Diambil G pada /F dan dipandang OF dengan [F G] dan [ D]. Maka menurut aksioma VII pada garis G ada titik H sedemikian, sehingga [D H F]. Menurut Teorema 3.8 [G H]. D K H E G F Menurut Teorema 3.10, karena [ F H] dan [F G], maka [ F G]. Di pandang FD dengan [ F G] dan [D H F]. Maka menurut ksioma 3.7 pada garis GH ada suatu titik K sedemikian, sehingga [D K ], dan menurut Teorema 3.8 [G H K]. Karena [G H] dan [G H K], maka [ H K]. Jadi ada segitiga K dengan [ K D] dan [K H ], maka menurut ksioma 3.7 pada garis DH (atau garis DF) ada suatu titik E yang memenuhi [ E ] terbukti. ontoh 3.3 uktikan.bahwa jika suatu segitiga dan [ L ], [ M ] dan [ N ], maka ada suatu titik E yang memenuhi [ E L] dan [M E N]. M E D L 72 / Geometri Terurut N

14 Diketahui segitiga, [ L ], [ M ] dan [ N ] Dibuktikan : ada titik E yang memenuhi [ E L] dan [M E N]. ukti : Dipandang segitiga N dengan [ N ] (karena [ N ] dan [ L ]. Menurut Teorema 3.14 pada garis L ada titik D yang memenuhi [ D N]. Dipandang segitiga M N dengan [ D N] dan [ M ]. Maka menurut Teorema 3.14 pada garis D ada titik E yang memenuhi [M E N]. Karena [ D L], maka garis D sama dengan garis L. Jadi ada titik E yang memenuhi [M E N] dan [ E L] Terbukti. ontoh 3.4 Jika suatu segitiga, maka ketiga sinar /, /, / mempunyai transversal (yaitu suatu garis yang memotong ketiganya). uktikan! Diketahui segitiga Dibuktikan : /, /, / mempunyai transversal ukti : mbillah titik pada / dan titik pada / dan dipandang segitiga. Dipenuhi [ ] dan [ ]. D Geometri Terurut / 73

15 Maka menurut ksioma 3.7 pada garis ada suatu titik D yang memenuhi [ D ] dan menurut Teorema 3.8 [ D]. Jadi garis merupakan transversal dari /, / dan / Terbukti. ontoh 1.5 Jika suatu segitiga, maka /, / dan / tidak mempunyai transversal. Diketahui segitiga uktikan ; /, /, / tidak mempunyai transversal. ukti : mbillah pada / dan pada /. Telah terbukti (pada soal 4) bahwa memotong / jadi tidak mungkin memotong /. Maka /, / dan / tidak mempunyai transversal. Terbukti. Definisi Jika,, tiga titik noncolinier, bidang adalah himpunan semua titik yang colinier dengan pasangan titik-titik pada satu atau dua sisi dari segitiga. 2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar dikatakan terletak dalam bidang, jika semua 74 / Geometri Terurut

16 titiknya terletak dalam bidang itu. ksioma 3.1 sampai 3.7 dapat digunakan membuktikan letak dalam bidang. ksioma lainnya yang dapat digunakan adaladh aksioma yang dikemukakan Hilbert, yaitu: 1. Sekarang tiga titik noncolinier dalam bidang menentukan dengan lengkap bidang tersebut. 2. Jika dua titik berlainan pada suatu garis m terletak pada bidang, maka setiap titik dari m terletak dalam bidang. Definisi 3.5 Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar yang noncoliner yang titik pangkalnya O. Titik O disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi-sisi sudut. ksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua) Semua titik ada dalam satu bidang ksioma 3.9 Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya. LTIHN Jika [ D] dan [ D] dan, buktikan [ ]. atau [ ]. Geometri Terurut / 75

17 2. uktikan Teorema uktikan Teorema uktikan Teorema / Geometri Terurut