Regresi dan Interpolasi

Transkripsi

1 Regresi dan Interpolasi Modul #3 Praktikum AS2205 Astronomi Komputasi Oleh Dr. Muhamad Irfan Hakim Program Studi Astronomi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2014

2 Daftar Isi Daftar Isi i 1 Pendahuluan 1 2 Praktikum Interpolasi Newton Regresi i

3 Bab 1 Pendahuluan Untuk pekerjaan komputasi regresi dan interpolasi kali ini, ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan: 1. Pekerjaan pertama praktikum ini adalah interpolasi, pekerjaan kedua adalah regresi linear dan kuadratik. 2. Pada interpolasi Newton, proses perhitungan interpolasi terdiri atas dua algoritma (a) algoritma perhitungan koefisien interpolan Newton m len(xdata) # jumlah titik data a ydata.copy() # salin koordinat-y dari data for k in range(1, m): for i in range(k, m): a[i] (a[i] - a[k-1])/(xdata[i] - xdata[k-1]) atau m len(xdata) # jumlah titik data a ydata.copy() # salin koordinat-y dari data for k in range(1, m): a[k:m] (a[k:m]-a[k-1])/(xdata[k:m]-xdata[k-1]) (b) algoritma perhitungan interpolan Newton n len(xdata) - 1 # derajat maksimum polinom p a[n] # nilai awal polinom for k in range(1, n + 1): p a[n - k] + (x - xdata[n - k])*p 3. Untuk dapat memanfaatkan modul python secara maksimal, modul array dan arange dapat dimanfaatkan. Contoh: from numpy import array,arange cx = array([2., 3., 4.]) # deklarasi cx sebagai array 1

4 Bab 1. Pendahuluan # arange = array range, mirip dengan pemanfaatan range # namun dapat menggunakan bilangan riil for x in arange(0.0, , 0.1): print(x) # cek!! Ini dapat dimanfaatkan misalnya untuk tabulasi fungsi, atau plot data. 4. Pada interpolasi, variabel xdata dan ydata perlu dipasok sebagai input. Akan dipilih input dengan cara baca file. Misalkan file data.csv (6 baris): File ini dapat dibaca sebagai berikut (silakan coba): import numpy as np fdata = open("data.csv", "r") # buka data.csv u/ dibaca m = input( Number of data, m = ) # jumlah baris di data.csv xdata = np.zeros(m) ydata = np.zeros(m) # nilai awal nol u/ xdata # nilai awal nol u/ ydata for j in range(0, m): # data kolom-1 dimulai dari byte 0, dibaca 4 karakter # data kolom-2 dimulai dari byte 5, dibaca 7 karakter # tiap baris ada 12 karakter (termasuk karakter ganti baris # (invisible character)). Maka, pembacaan berikutnya dimulai # dari byte 13 (dan seterusnya). fdata.seek(0+13*j); x = fdata.read(4); xdata[j] = x fdata.seek(5+13*j); y = fdata.read(7); ydata[j] = y fdata.close() # jangan lupa tutup file # print(xdata) # u/ debug # print(ydata) # u/ debug 5. Untuk regresi, diperlukan solusi SPL. Dengan melihat rujukan modul praktikum sebelumnya, solusi via algoritma milik numpy dapat dilihat dalam contoh di bawah ini: # Solusi numerik SPL: # BA = C Institut Teknologi Bandung 2

5 Bab 1. Pendahuluan # menggunakan algoritma SPL dari numpy import numpy as np from numpy.linalg import * # matriks B untuk contoh B = np.array([ [ 2., 3., -1.], [ 4., 4., -3.], [-2., 3., -1.] ]) # matriks C untuk contoh C = np.array([5., 3., 1.]) A = np.linalg.solve(b, C) # solusi # print(a) # u/ debug Institut Teknologi Bandung 3

6 Bab 2 Praktikum 2.1 Interpolasi Newton Lakukan langkah-langkah berikut: 1. Siapkan file viscos0.csv (7 baris) di bawah ini (dengan editor sederhana atau misalnya dengan spreadsheet Excel). Ini adalah relasi temperatur terhadap viskositas kinematik pada suatu fluida Untuk dapat melihat hasil yang lebih baik dalam grafik, plot data dan interpolasi akan dilakukan. Keseluruhan modul-modul yang diperlukan dipanggil sebagai berikut: import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import array,arange 3. Secara ringkas, ada beberapa urutan blok pada program yang harus Anda kerjakan (a) blok pemanggilan modul (lihat sebelumnya) (b) blok buka file, baca data, simpan data, dan tutup file (pelajari contoh sebelumnya) (c) blok perhitungan koefisien interpolan (d) blok penyiapan plot, contoh: 4

7 Bab 2. Praktikum 2.2. Regresi plt.grid(true) # ya, pakai grid plt.xlabel( label sumbu x ) # temperatur plt.ylabel( label sumbu y ) # viskositas plt.xlim(min(minx, 0.),1.1*maxx) # min & max plt.ylim(min(miny, 0.),1.1*maxy) # u/ plot (e) blok perhitungan interpolan Newton yang dibuat bersarang dalam loop untuk tabulasi atau plot menggunakan arange. Contoh: for x in arange(minx, maxx + h, h): # algoritma ASLINYA mulai dari baris di bawah ini p = a[n] # nilai awal polinom for k in range(1, n + 1): p = a[n - k] + (x - xdata[n - k])*p # SAMPAI DI SINI y = p plt.plot(x,y, b. ) # black b plot w/ dot. (f) Jangan lupa, plot titik data dari file(kali ini pakai range), dan tunjukkan grafik for j in range(0,m): # red r plot w/ circle o plt.plot(xdata[j], ydata[j], ro,linewidth=5) plt.title( Tulis judul grafik bila perlu ) plt.show() 2.2 Regresi Untuk regresi (linear, polinomial), lakukan debugging blok demi blok pada program berikut, lalu berikan ulasan, manakah hasil regresi yang lebih baik? import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from numpy import array,arange from math import * from numpy.linalg import * ####################################################### # kinematic viscosity of water varies with temperatur T # T <--> xdata # viscosity <--> ydata ####################################################### fdata = open("viscos0.csv", "r") m = input( Number of data, m = ) xdata = np.zeros(m) Institut Teknologi Bandung 5

8 Bab 2. Praktikum 2.2. Regresi ydata = np.zeros(m) sumx = 0.; sumx2 = 0.; sumx3 = 0.; sumx4 = 0. sumy = 0.; sumxy = 0.; sumx2y = 0. st = 0.; sr1 = 0.; sr2 = 0. # # sample data for j in range(0,m): fdata.seek(0+11*j); xdt = fdata.read(3); xdata[j] = xdt fdata.seek(4+11*j); ydt = fdata.read(6); ydata[j] = ydt sumx += float(xdt) sumx2 += float(xdt)*float(xdt) sumx3 += float(xdt)*float(xdt)*float(xdt) sumx4 += float(xdt)*float(xdt)*float(xdt)*float(xdt) sumy += float(ydt) sumxy += float(xdt)*float(ydt) sumx2y += float(xdt)*float(xdt)*float(ydt) fdata.close() xmean = sumx/m ymean = sumy/m # print(m) # print(sumx) # print(sumx2) # print(sumx3) # print(sumx4) # print(sumy) # print(sumxy) # print(sumx2y) # linear regression a1 = (m*sumxy - sumx*sumy)/(m*sumx2 - sumx*sumx) a0 = ymean - a1*xmean # quadratic regression B = np.array([ [m, sumx, sumx2], [sumx, sumx2, sumx3], [sumx, sumx3, sumx4] ]) C = np.array([sumy, sumxy, sumx2y]) A = np.linalg.solve(b, C) print( [A] = ) print(a) Institut Teknologi Bandung 6

9 Bab 2. Praktikum 2.2. Regresi for j in range(0,m): st += (ydata[j] - ymean)*(ydata[j] - ymean) sr1 += (ydata[j] - a0 - a1*xdata[j])*(ydata[j] - a0 - a1*xdata[j]) sr2 += (ydata[j] - A[0] - A[1]*xData[j] - A[2]*xData[j])*\ (ydata[j] - A[0] - A[1]*xData[j] - A[2]*xData[j]) syx1 = sqrt(sr1/(m - 2)) syx2 = sqrt(sr2/(m - 3)) r12 = (st - sr1)/st r22 = (st - sr2)/st n = m - 1 minx = min(xdata[0],xdata[n]) maxx = max(xdata[0],xdata[n]) miny = min(ydata[0],ydata[n]) maxy = max(ydata[0],ydata[n]) print( ) print( xi yi ) print( ) for j in range(0,m): print( %.1f %.3f % (xdata[j], ydata[j])) print( ) print( a[0] = %+.5f % a0) print( a[1] = %+.5f % a1) print( syx1 = %+.5f % syx1) print( syx2 = %+.5f % syx2) print( r1^2 = %+.5f % r12) print( r2^2 = %+.5f % r22) plt.grid(true) plt.xlabel( label sumbu x ) plt.ylabel( label sumbu x ) plt.xlim(min(minx, 0.),1.1*maxx) plt.ylim(min(miny, 0.),1.1*maxy) h = input( plot interval, h = ) der = input( linear (1) / quadratic (2)? der = ) ################################# # ################################# if der==1: for x in arange(minx,maxx+h,h): y1 = a0 + a1*x plt.plot(x,y1, b. ) Institut Teknologi Bandung 7

10 Bab 2. Praktikum 2.2. Regresi plt.title( judul ) elif der==2: for x in arange(minx,maxx+h,h): y2 = A[0] + x*(a[1] + A[2]*x) plt.plot(x,y2, b+ ) plt.title( judul ) for j in range(0,m): plt.plot(xdata[j], ydata[j], ro,linewidth=5) plt.show() Institut Teknologi Bandung 8