MAKALAH PELUANG OLEH :

Transkripsi

1 MAKALAH PELUANG OLEH : Nama Kelompok 1. Asri Sihotang NIM Astika Laras Hutagaol NIM Bethesda Butarbutar NIM Sefta A P Hutauruk NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2012

2 KATA PENGANTAR Pertama sekali kami panjatkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan rahmatnya lah kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat waktu. Kami juga berterima kasih kepada teman sekelompok yang telah meluangkan waktunya untuk dapat bekerja sama dalam menyusun makalah ini. Makalah ini berisikan materi Peluang. Dalam makalah ini kami membahas konsep Usaha dan Energi, hukum kekekalan energy dalam menyelesaikan persoalan-persoalan fisika sederhana serta menyelesaikan soal-soal yang konsep dan penerapan usaha dan enegi dalam kehidupan sehari-hari. Kami sebagai penulis, menyadari bahwa masih banyak kesalahan dan kekurangan dalam makalah kami ini, untuk itu kami mengharapkan kepada para pembaca ataupun dosen yang menilai makalah ini agar dapat memberikan masukan atau kritik yang membangun, agar dikemudian hari kami dapat memperbaikinya. Hormat Kami Kelompok III

3 PERCOBAAN Kegiatan yang dilakukan berulang-ulang dengan keadaan yang serupa dan hasil kegiatan itu kita catat untuk dipelajari kemudian, maka kegiatan itu disebut percobaan. Dua sifat dasar berikut akan kita jumpai dalam suatu percobaan. a) Setiap jenis percobaan mempunyai beberapa kemungkinan hasil atau peristiwa (kejadian) yang akan terjadi (possible out comes). b) Hasil dari setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan (tidak dapat diramalkan). Percobaan Melempar 1 keping mata uang logam Kemungkinan Muncul Gambar (G) atau angka (A) Melempar 1 buah dadu Muncul mata 1,2,3,4,5, atau 6 Melempar 1 buah paku payung Muncul ujung diatas atau ujung dibawah RUANG SAMPEL Ruang sampel atau ruang contoh (sample space) adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada semua percobaan (total possible out comes) yang dilambangkan dengan S. Titik sampel atau titik contoh (sample point) adalah elemen-elemen (anggota-anggota/ unsur-unsur) dari ruang sampel. Pada percobaan melempar dadu berisi enam sebanyak satu kali, tentukan ruang sampel dan titik sampelnya! Solusi : Hasil yang mungkin muncul adalah {1},{2}, {3}, {4}, {5}, dan {6}. Dengan demikian ruang sampel S ={1,2,3,4,5,6} dan titik sampelnya adalah 1,2,3,4,5, dan 6.

4 KEJADIAN Kejadian atau peristiwa (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan. Kejadian ada 2 macam, yaitu kejadian elementer atau kejadian sederhana dan kejadian majemuk. Kejadian elementer atau kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. : Percobaan pelemparan sebuah dadu bermata 6; Percobaan pelemparan sebuah dadu bermata 4. Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang memiliki titik sampel lebih dari satu. : Percobaan pelempar sebuah dadu, muncul mata dadu (bisa 2 atau 5) bil.prima. Dari uraian di atas kita dapat mengemukakan bahwa : a. Kejadian elementer atau kejadian sederhana adalah himpunan bagian dari kejadian majemuk. b. Kejadian elementer atau kejadian majemuk adalah himpunan bagian dari ruang sampel. c. Gabungan dari beberapa kejadian elementer membentuk kejadian majemuk. d. Gabungan dari semua kejadian elementer membentuk ruang sampel. e. Menentukan Peluang Kejadian dengan Pendekatan Frekuensi Relatif Menentukan peluang kejadian berbagai Situasi 1. Menentukan Peluang Kejadian dengan Pendekatan Frekuensi Relatif Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, ternyata kejadian E munculnya sebanyak k kali, maka frekuensi relatif munculnya kejadian E adalah : Percobaan : Melempar sekeping mata uang logam

5 Hasil : Muncul Angka (A) atau Gambar (G) Banyaknya lemparan Frekuensi munculnya angka (A) Frekuensi relatif munculnya angka (A) F 1 F 2 F 3 F 4 a) Carilah frekuensi relatif F 1, F 2, F 3, F 4 b) Carilah frekuensi relatif munculnya angka (A) untuk 250 kali lemparan. c) Gambarlah diagram batang frekuensi relatifnya. Penyelesaian. a. Frekuensi relative munculnya angka b. Pada pelemparan 250 kali diperoleh dengan menjumlahkan pelemparan 25 kali, 50 kali, 75 kali dan 100 kali. Dengan frekuensi munculnya angka (A) = = 130. Jadi, frekuensi relatif munculnya angka (A) untuk 250 kali lemparan adalah c. Diagram

6 Frekuensi relatif munculnya angka (A) Series 1 0 Banyak Lemparan 2. Menentukan Peluang Kejadian dengan Pendekatan Definisi Peluang Klasik Misalnya suatu percobaan menyebabkan munculnya salah satu dari n hasil yang memiliki kesempatan yang sama (equally likely). Dan n hasil itu, kejadian A munculnya sebanyak k kali maka peluang kejadian A adalah : Sebuah dadu berisi enam dilempar satu kali. Tentukan nilai peluang setiap kejadian berikut ini. Solusi : a. Kejadian E adalah munculnya mata dadu dengan angka-angka prima. b. Kejadian A adalah munculnya mata dadu kurang dari 6. c. Kejadian B adalah munculnya mata dadu dengan angka-angka komposit. Dari percobaan melempar dadu berisi enam menghasilkan munculnya 6 hasil yang mungkin yaitu mata dadu dengan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sehingga n = 6 a. Kejadian E adalah munculnya matu dadu angka dengan angka-angka prima. Angka-angka itu adalah 2, 3, dan 5 sehingga k = 3. Jadi, nilai peluang kejadian E adalah b. Kejadian A adalah munculnya mata dadu kurang dari 6. Angka-angka itu adalah 1, 2,3, 4, dan 5, sehingga k = 5.

7 Jadi nilai peluang kejadian A adalah c. Kejadian B adalah munculnya mata dadu dengan angka-angka komposit. Angka-anga itu adalah 4 dan 6, sehingga k = 2. Jadi, nilai peluang kejadian B adalah 3. Menentukan Peluang Kejadian dengan Menggunakan Ruang Sampel Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan dengan setiap anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A adalalh suatu kejadian dengan, maka peluang kejadian A adalah : Dengan : n(a) : Banyak anggota dalam himpunan kejadian A n(s) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S Dua kartu diambil dari 52 kartu. Carilah peluang terjadi : Solusi : a. Keduanya sekop, b. Satu sekop dan satu hati. Untuk mengambil 2 kartu dari 52 kartu ada : a) Misalkan kejadian A adalah muncul keduanya sekop. Untuk mengambil 2 sekop dari 13 sekop ada : Jadi, peluang terjadi keduanya sekop adalah : b) Misalnya kejadian B adalah munculnya satu sekop dan satu hati.

8 Karena terdapat 13 sekop dan 13 hati, maka untuk mengambil sebuah kartu sekop dan sebuah kartu hati ada: 13 x 13 = 169 cara n(b) = 169. Jadi, peluang terjadinya satu sekop dan satu hati adalah: Arti Nilai Peluang suatu Kejadian Dalam suatu kejadian percobaan terhadap suatu obyek tertentu ada kejadian yang pasti terjadi dan kejadian yang tidak mungkin terjadi. Misalnya Eadalah sebarang kejadian pada ruang sampel S, maka. P(E) = 0 dikatakan E adalah kejadian yang mustahil terjadi. P(E) = 1 dikatakan E adalah kejadian yang pasti terjadi Kepastian adalah suatu jaminan bahwa dalam suatu percobaan yang dimaksud pasti terjadi. Sedangkan kemustahilan adalah suatu jaminan bahwa dalam suatu percobaan, peristiwa yang dimaksud tidak mungkin terjadi. : Matahari terbit dari Timur, Matahari tenggelam di Barat, Manusia pasti mati. Frekuensi Harapan suatu Kejadian Misalnya suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dengan peluang kejadian A adalah P(A). Frekuensi harapan kejadian A adalah : Sebuah kantong berisi 5 buah bola putih dan 3 buah bola kuning. Dari kantong itu diambil 2 bola secara acak dan setiap kali bola itu diambil akan dikembalikan lagi ke dalam kantong. Proses pengambilan seperti itu dilaksanakan sebanyak 112 kali. Berapakah frekuensi harapan yang terambil itu : a. Keduanya bola putih, b. Satu bola putih dan satu bola kuning?

9 Solusi: Bola putih ada 5 dan bola kuning ada 3. Jumlah bola putih dan bola kuning : = 8 Dari 8 bola diambil 2 buah bola, maka seluruhnya ada n(s) = 28 a) Misalnya A adalah kejadian munculnya keduanya bola putih. 2 bola putih dapat diambil dari 5 bola putih dalam : Peluang kejadian A adalah : b) Jadi, frekuensi harapan yang terambil itu adalah keduanya bola putih adalah kali. c) Misalnya C adalah kejadian munculnya satu bola putih dan satu bola kuning. 1 bola putih dapat diambil dari 5 bola putih dalam 1 bola kuning dapat diambil dari 3 bola kuning dalam. n(c) = 5 x 3 = 15 Peluang kejadian C adalah : Jadi, frekuensi harapan yang terambil itu adalah 1 bola putih dan 1 bola kuning adalah kali. Peluang Kejadian Majemuk A. Peluang Gabungan Dua Kejadian Misalnya S adalah ruang sampel dari suatu percobaan. A dan B adalah sebarang peristiwa dalam ruang sampel S. Peristiwa tunggal yang mengaitkan antara peristiwa A dengan peristiwa B, yakni peristiwa munculnya A atau B ditulis dengan lambang A B. Ada kemungkinan peristiwa A atau B tidak saling lepas satu dengan lainnya, sehingga ada kemungkinan kedua peristiwa itu dapat terjadi bersama-sama dan diperoleh A B Ø.

10 Kejadian ini dinamakan non mutually exclusive events. Jika A dan B adalah dua peristiwa sebarang dalam ruang sampel S, maka P(A B) = P(A) + P(B) P(A B ) Hasil survei yang dilakukan pada suatu wilayah mengenai langganan koran A dan B adalah : 25% wara berlangganan koran A 50% warga berlangganan koran B, dan 15% warga berlangganan koran A dan B Jika dari wilayah itu dipilih 1 warga berlangganan koran secara acak, berapakah peluang warga itu berlanggan koran A atau koran B? Solusi : 25 % warga berlangganan koran A P(A) = 50% warga berlangganan koran B P(B) = 15% warga berlangganan koran A dan B

11 P(A B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = + - = = 0,6 Jadi peluang warga itu berlangganan koran A atau B adalah 0,60. B. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dinamakan saling lepas (saling asing/disjoint/ mutually exclusive) apabila dalam percobaan yang menghasilkan ruang sampel S itu, kedua peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga A B = Ø. Jika A dan B dua kejadian saling lepas, maka P(A B) = P(A) + P(B) Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu, maka kartu itu tidak dapat diperoleh sekaligus terambil kartu As dan King. Jika peluang munculnya kartu As = P(A) dan peluang munculnya kartu As King = P(B), maka A atau B adalah suatu peristiwa yang sifatnya mutually exclusive. Tentukan peluang terambilnya satu kartu As atau kartu King? Solusi. S = {Satu set kartu Bridge}, maka n(s) = 52 A= {kartu As}, maka n(a) = 4 B= {kartu King}, maka n(b) = 4 A B = Ø

12 C. Peluang Komplemen suatu Kejadian Peristiwa A adalah komplemen A (ditulis A atau A C, dibaca : A Komplemen ) atau sebaliknya sehingga A dan A merupakan kejadian saling lepas, maka A A = Ø. Jika A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel S, maka A atau A C adalah komplemen dari suatu kejadian A dengan semua elemen dari A atau A C terdiri dari semua elemen pada S yang tidak terdapat pada A. Dengan demikian : 1. P(A ) = 1- P(A) 2. P(A A ) = P(S) = 1 3. A dan A adalah dua kejadian yang saling lepas. Dari suatu kelas yang memiliki 120 siswa, 60 siswa di antaranya belajar Matematika, 50 siswa belajar Fisika, dan 20 siswa keduanya. Jika dari kelas itu dipilih secara acak, tentukan peluang siswa yang sama sekali tidak belajar Matematika maupun Fisika. Solusi : Peluang siswa belajar Matematika, Peluang siswa belajar Fisika, Peluang siswa yang belajar Matematika dan Fisika,

13 ( ) Jadi,Peluang siswa sama sekali tidak belajar Matematika maupun Fisika adalah 0,25. D. Peluang Kejadian Bersyarat (Pelaung Dua Kejadian yang tidak Saling Bebas) 1) Jika P(B) adalah peluang kejadian B maka P(A B) didefinisikan sebagai peluang kejadian dengan syarat B telah terjadi. Bila P(A B) adalah pelaung terjadinya A dan B, maka : ( ) 2) Jika P(A) adalah peluang kejadian A maka P(B A) didefinisikan sebagai peluang kejadian dengan syarat A telah terjadi. Bila P(A B) adalah peluang terjadinya A dan B maka: ( ) Hubungan antara P(A B) dengan P(B A) ( ) ( ) Sebuah dadu dilemparkan 1 kali dan diketahui bahwa mata dadu yang muncul adalah genap. Tentukan peluang akan muncul mata dadu yang lebih dari 3. Solusi: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(s) = 6 A : Peristiwa muncul mata dadu genap = (2, 4, 6), maka n(a) = 3 B : Peristiwa muncul mata dadu > 3 = (4, 5, 6), maka n(b) = 3 A B ={4, 6}, maka n (A B) = 2

14 A B merupakan himpunan yang terdiri dari mata dadu genap dan juga lebih dari 3. Peluang muncul mata dadu genap yang lebih dari 3 adalah: ( ) Dengan demikian, ada tiga kemungkinan muncul dadu mata genap yaitu {2, 4, 6} dan dua diantaranya adalah lebih dari 3, yaitu {4, 6}.