PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL HELGA ARINA PRAMUDITYA

Transkripsi

1 PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL HELGA ARINA PRAMUDITYA STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2015 Helga Arina Pramuditya NIM G

4 ABSTRAK HELGA ARINA PRAMUDITYA. Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan CICI SUHAENI. Pendugaan parameter pada analisis regresi linier sederhana dapat dilakukan dengan Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini mensyaratkan asumsi bahwa galat harus menyebar Normal. Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Akibatnya, pendugaan terhadap parameter dengan menggunakan MKT menjadi tidak optimal. Permasalahan ini dapat diatasi dengan menerapkan regresi kekar. Penelitian ini menerapkan metode Least Trimmed Square (LTS), Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil sebagai solusinya. Data yang digunakan adalah data simulasi. Peubah penjelas (x) dibangkitkan dari sebaran Normal, sementara galat dibangkitkan dari sebaran Eksponensial. Hasil pendugaan dievaluasi dengan kriteria KTG dan KTG Relatif. Hasilnya menunjukkan bahwa LTS merupakan metode terbaik yang dapat digunakan ketika galat menyebar Eksponensial. Kata kunci: LTS, Metode Theil, MKT, WIN ABSTRACT HELGA ARINA PRAMUDITYA. Comparison of OLS, LTS, WIN, and Theil s Method in Parameter Regression Estimation for Error is Exponentially Distributed. Supervised by KUSMAN SADIK and CICI SUHAENI. Parameter estimation in simple linear regression analysis can be done with Ordinary Least Square (OLS). This method requires the assumption that error must be Normally distributed. However, in reality error is not always Normally distributed, but has another distribution, for example Exponential. Concequently, parameter estimation by MKT is not optimal. This problem can be solved by applying robust regression. This research applied Least Trimmed Square (LTS) method, Winsorized Least Square (WIN) method, and Theil s method as a solution. The data used in this study was simulation data. Explanatory variables (x) is generated from the Normal distribution, while the error generated from the Exponential distribution. The results of estimation are evaluated with MSE and Relative MSE. The results showed that LTS was the best method when the error is Exponentially distributed. Keywords: LTS, OLS, Theil s Method, WIN

5 PERBANDINGAN METODE MKT, LTS, WIN, DAN THEIL PADA PENDUGAAN PARAMETER REGRESI APABILA GALATNYA MENYEBAR EKSPONENSIAL HELGA ARINA PRAMUDITYA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7 Judul Skripsi : Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial Nama : Helga Arina Pramuditya NIM : G Disetujui oleh Dr Kusman Sadik, MSi Pembimbing I Cici Suhaeni, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Anang Kurnia, MSi Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penelitian ini berjudul Perbandingan Metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada Pendugaan Parameter Regresi Apabila Galatnya Menyebar Eksponensial. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Kusman Sadik, MSi dan Ibu Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, serta saran selama proses penulisan karya ilmiah ini. Di samping itu, penulis juga ucapkan terima kasih kepada Ayah, Ibu, dan Mbak Amanda atas doa, semangat, dan kasih sayangnya. Bapak Dr Anang Kurnia, MSi beserta seluruh staf pengajar Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu selama penulis melaksanakan studi di Departemen Statistika. Seluruh staf adminidtrasi dan karyawan Departemen Statistika yang selalu membantu penulis dalam menyelesaikan berbagai keperluan terkait penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih untuk teman-teman Statistika 47 dan teman-teman KSR PMI Unit I IPB, yang telah memberikan dukungan kepada penulis. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semua orang yang membacanya. Bogor, Maret 2015 Helga Arina Pramuditya

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Regresi Linier Sederhana 2 Least Trimmed Squares (LTS) 2 Winsorized Least Squares (WIN) 3 Metode Theil 3 Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif 4 DATA DAN METODE 4 Data 4 Metode 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 6 SIMPULAN DAN SARAN 9 Simpulan 9 Saran 10 DAFTAR PUSTAKA 10 RIWAYAT HIDUP 15

10 DAFTAR TABEL 1 Nilai KTG penduga intersep (β 0) 6 2 Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β 1) 7 3 Nilai KTG Relatif penduga intersep (β 0) 8 4 Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β 1) 9 DAFTAR LAMPIRAN 1 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga intersep (β 0) hasil simulasi 11 2 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga koefisien kemiringan garis (β 1) hasil simulasi 13

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Analisis regresi merupakan salah satu alat statistika yang sering digunakan untuk melihat hubungan antara peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Regresi linier sederhana merupakan analisis regresi dengan satu peubah respon dan satu peubah penjelas. Linier yang dimaksud adalah adanya hubungan linier antara peubah respon dengan peubah penjelas (Draper dan Smith 1992). Salah satu metode pendugaan parameter regresi yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). MKT merupakan metode pendugaan parameter regresi dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam MKT adalah galat menyebar Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ 2 (Draper dan Smith 1992). Namun dalam praktik nyata di lapangan galat tidak selalu menyebar Normal, melainkan memiliki sebaran yang lain, misalnya Eksponensial. Jika tidak memenuhi asumsi kenormalan, maka akan menyebabkan pendugaan terhadap parameter menjadi tidak optimal (Mutan 2009). Terdapat beberapa alternatif regresi kekar yang dapat digunakan ketika galat tidak menyebar Normal, diantaranya adalah Least Trimmed Square (LTS), Winsorized Least Square (WIN), dan metode Theil. LTS merupakan salah satu metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan, prinsipnya adalah dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan dari sebagian atau total pengamatan (Mutan 2009). WIN merupakan salah satu regresi kekar dengan prinsip mengubah nilai pada data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009). Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsipnya adalah menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median kemiringan garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990). Wulandari et al. (2013) membandingkan metode LTS dan penduga M dalam mengatasi pencilan dan hasilnya metode LTS memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan penduga M. Azizah et al. (2013) melakukan penelitian dengan menggunakan metode LTS pada regresi berganda yang mengandung pencilan dengan berbagai ukuran contoh dan didapatkan kesimpulan bahwa LTS memang salah satu metode regresi yang kekar terhadap pencilan. Mutan (2009) melakukan penelitian tentang perbandingan pendugaan regresi linier sederhana jika galat menyebar Long Tailed Symmetric dengan membandingkan metode MKT, Modified Maximum Likelihood, Least Absolute Deviation, LTS, WIN, Theil, dan Weighted Theil. Hasil dari penelitian Mutan diperoleh bahwa metode WIN dan metode Theil cukup baik digunakan ketika galat menyebar long tailed symmetric. Penelitian ini akan membandingkan metode MKT, LTS, WIN, dan Theil untuk mengetahui metode yang paling efisien digunakan ketika galatnya menyebar Eksponensial.

12 2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah membandingkan metode MKT, LTS, WIN, dan Theil pada pendugaan parameter regresi apabila galatnya menyebar Eksponensial. TINJAUAN PUSTAKA Regresi Linier Sederhana Model umum regresi linier sederhana yaitu Y = β 0 + β 1 X + ε, dengan Y merupakan peubah respon, X merupakan peubah penjelas, β 0 serta β 1 merupakan parameter regresi, dan ε merupakan besaran yang membuat nilai Y menyimpang dari garis regresinya. Pada pendugaan parameter regresi, metode yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Prinsip dari MKT adalah meminimumkan jumlah kuadrat sisaan, sehingga dapat ditulis sebagai berikut: n min ε i 2 i=1 i n = min (y i - β 0 - β 1 x i ) 2 dengan i : 1, 2, 3,... n. Untuk mendapatkan 2 i=1 e i yang minimum, caranya adalah dengan melakukan diferensiasi terhadap β 0 dan β 1. Dengan melakukan diferensiasi, maka akan didapatkan nilai dan sebagai berikut: β 0 β 1 β 1= dengan: y : rata-rata peubah respon x : rata-rata peubah penjelas : dugaan intersep β 0 i=1 n n i=1 (x i- x )(y i - y ) n (x i -x ) 2 i=1 dan β 0= y - β 1x β 1 : dugaan koefisien kemiringan garis. Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam menduga parameter dengan MKT. Diantaranya yaitu galat bebas satu sama lain dan galat menyebar Normal dengan nilai tengah nol serta ragam yang konstan σ 2 (Draper dan Smith 1992). Least Trimmed Squares (LTS) Least Trimmed Square (LTS) merupakan salah satu metode pendugaan parameter regresi yang kekar terhadap pencilan. Prinsip pendugaan parameternya hampir sama dengan metode MKT, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisaan. Namun pada metode LTS jumlah kuadrat sisaan yang diminimumkan adalah jumlah kuadrat sisaan dari h pengamatan. Sehingga dapat ditulis bahwa prinsip dari metode LTS adalah untuk meminimumkan:

13 3 h (y i - ŷ i ) 2 i=1 dengan: ŷ i : dugaan peubah respon h : konstanta pemotongan. Nilai h berada pada interval n h n. Regresi terbaik yang didapat dengan 2 menggunakan metode LTS ini ketika h merupakan 50% dari data atau h= n/2 (Mutan 2009). Winsorized Least Squares (WIN) Winsorized Least Square (WIN) merupakan salah satu regresi kekar yang digunakan pada data yang mengandung pencilan dengan metode iterasi. Prinsip dari WIN adalah dengan mengubah data berdasarkan besarnya sisaan (Mutan 2009). Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β 0(MKT) dan β 1(MKT). Kemudian menghitung nilai dugaan peubah respon (ŷ i ) dan didapatkan sisaan ε i= y i - ŷ i. Nilai ε i kemudian diurutkan, sehingga ε (1) ε (2)... ε (n). Langkah selanjutnya adalah iterasi, yaitu sisaan data yang ekstrem digantikan dengan sisaan data yang berada di dekatnya atau dapat ditulis: y i ' = ŷ i + ε i'. Kemudian dengan peubah respon yang baru akan didapatkan penduga parameter dan sisaan yang baru, selanjutnya dilakukan iterasi kedua. Hasilnya yaitu y i ''= ŷ i ' + ε i'' digunakan untuk iterasi ketiga dan begitu seterusnya sehingga didapatkan penduga parameter (β ) yang konvergen (Mutan 2004). Metode Theil Metode Theil merupakan salah satu metode nonparametrik. Prinsip dari metode Theil yaitu menduga koefisien kemiringan garis regresi dengan cara mencari median kemiringan seluruh garis dari pasangan titik-titik pengamatan (Daniel 1990). Tahap pertama yang harus dilakukan adalah mengurutkan peubah penjelas dari terkecil hingga terbesar sehingga x 1 < x 2 <....< x n. Untuk setiap pasangan (x j, y j ) dan (x k, y k ) nilai kemiringannya dinotasikan dengan b jk dan dirumuskan sebagai berikut: b jk = y k - y j, j < k x k - x j dengan: b jk : kemiringan garis dari pasangan(x j, y j ) dan (x k, y k ) j : 1, 2,..., n-1 k : 2, 3,..., n.

14 4 Penduga untuk koefisien kemiringan garis ( β 1 ) adalah median dari b ij ( β 1= median (b ij ) ) (Daniel 1990). Penduga intersep ( β 0 ) diperoleh dengan menghitung nilai a i, yaitu: a i = y i - β 1x i, dengan i: 1, 2,..., n. Kemudian median dari a i merupakan penduga intersepnya ( β 0= median (a i ) ) (Mutan 2004). Kuadrat Tengah Galat (KTG) dan KTG Relatif Penduga parameter dikatakan baik apabila memiliki nilai bias dan ragam yang kecil. Melihat kebaikan penduga parameter dengan metode MKT, LTS, WIN, dan metode Theil dapat dilihat dari nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG). Semakin kecil nilai KTG maka semakin baik penduga parameter (Azizah et al. 2013). Nilai KTG dapat dihitung dengan: KTG(β )= var(β ) + [bias(β )] 2 dengan: KTG(β ) : KTG penduga parameter var(β ) : ragam pendugaan parameter bias(β ) : selisih dugaan parameter dengan parameter (β β). Selain KTG, untuk melihat kebaikan penduga parameter dapat pula dilihat dari nilai KTG Relatif. Nilai KTG Relatif dapat dihitung dengan: dengan: KTG Relatif (β ) KTG Relatif(β ) = KTG MKT - KTG β' KTG MKT : KTG Relatif penduga parameter dengan suatu metode KTG MKT : KTG penduga parameter dengan metode MKT KTG β' : KTG penduga parameter dengan suatu metode KTG Relatif berguna untuk mengukur kualitas dari penduga parameter. Nilai KTG Relatif yang positif menandakan bahwa penduga parameter dengan metode tersebut lebih baik dibandingkan dengan metode MKT (Mutan 2004). DATA DAN METODE Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi. Proses pembangkitan data dilakukan pada perangkat lunak R versi Peubah penjelas (x) dibangkitkan menyebar Normal (1,2), kemudian galat dibangkitkan menyebar Eksponensial dengan lambda λ = 0.1, 2.5, dan 10. Banyak pengamatan (n) yang digunakan dalam penelitian ini adalah n = 10, 30, 50, dan 150. Setelah galat dibangkitkan, nilai y dihitung dengan: y i = β 0 + β 1 x i + ε i.

15 5 Metode Tahapan analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Membangkitkan peubah penjelas (x) menyebar Normal (1,2) sebanyak n. 2. Membangkitkan galat yang menyebar Eksponensial (λ) sebanyak n. 3. Menghitung peubah respon y i = β 0 + β 1 x i + ε i, dengan β 0 = 3 dan β 1 = Melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT. 5. Melakukan pendugaan parameter dengan metode LTS: a. Menentukan nilai h, kemudian menentukan banyaknya subset yang dapat terbentuk, yaitu kombinasi ( n h ). b. Mengitung β dari subset yang terbentuk dengan MKT. c. Menghitung ŷ dan ê untuk semua subset. h d. Memilih β yang menghasilkan 2 i=1 e i paling kecil. 6. Melakukan pendugaan parameter dengan metode WIN 10% dan WIN 20%: a. Melakukan pendugaan parameter dengan metode MKT untuk mendapatkan β. b. Menghitung nilai ŷ i dan ê i, kemudian mengurutkan ê i. c. Mengganti sisaan data ekstrem dengan siaan data yang berada di dekatnya. Jika WIN 10%, maka sisaan yang diganti sebanyak 10% dari data dan jika WIN 20% maka sisaan yang diganti sebanyak 20% dari data. d. Menghitung peubah respon yang baru y ' i = ŷ i + ε i'. e. Dengan peubah resppon yang baru, mengulang tahap a sampai d sehingga didapatkan β yang konvergen. 7. Melakukan pendugaan parameter dengan metode metode Theil: a. Mengurutkan peubah penjelas dari yang terkecil hingga terbesar. b. Menghitung kemiringan b jk untuk setiap pasangan ( x j, y j ) dan (x k, y k ), yaitu b jk = y k - y j x k - x j, j < k. c. Menghitung β 1 berdasarkan median dari b ij. d. Menghitung a i = y i - β 1x i untuk semua data dan menghitung β 0 berdasarkan median dari a i. 8. Mengulangi langkah 2 sampai 7 sebanyak 500 kali. 9. Menghitung rataan, ragam pendugaan, dan rata-rata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif. 10. Membandingkan hasil yang diperoleh dari empat metode berdasarkan rata-rata serta ragam dari penduga parameter, rata-rata bias mutlak, KTG, dan KTG Relatif.

16 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Kebaikan dari pendugaan parameter dapat dilihat berdasarkan nilai ragam, rata-rata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif. Semakin kecil nilai ragam, rata-rata bias mutlak, dan KTG maka akan semakin baik pendugaan parameter. Nilai KTG Relatif yang positif menunjukkan bahwa metode pendugaan parameter tersebut lebih baik dibandingkan dengan metode MKT, karena nilai KTG Relatif didapatkan dengan membandingkan KTG suatu metode pendugaan parameter dengan KTG metode MKT. Tabel 1 merupakan nilai KTG untuk pendugaan terhadap intersep (β 0). Dari nilai KTG tersebut dapat dilihat bahwa metode LTS merupakan metode yang paling baik untuk semua data set dilihat dari nilai KTG yang paling kecil. Namun, ketika dilihat nilai ragamnya (Lampiran 1), dari keseluruhan data set tidak memberikan kesimpulan yang sama dengan nilai KTG. Ketika ukuran contoh 10, metode MKT memiliki ragam pendugaan yang paling kecil untuk semua nilai lambda. Ketika ukuran contoh 30, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah WIN 10% untuk lambda 0.1, MKT untuk lambda 2.5, dan LTS untuk lambda 10. Ketika ukuran contoh 50, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah MKT untuk lambda 0.1 dan 2.5, serta LTS untuk lambda 10. Ketika ukuran contoh 150, metode yang memiliki ragam pendugaan paling kecil adalah metode Theil untuk lambda 0.1 serta metode LTS untuk lambda 2.5 dan 10. Tabel 1 Nilai KTG penduga intersep (β 0) METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 10 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL Jika dilihat dari rata-rata bias mutlak (Lampiran 1), metode LTS merupakan metode yang paling baik karena memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil

17 7 untuk semua data set kecuali ketika ukuran contoh 10 dengan lambda 10. Untuk data set ini metode WIN 20% memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil. Karena rata-rata bias mutlak metode LTS kecil, maka nilai KTGnya pun akan menjadi kecil dikarenakan nilai KTG dihitung dari penjumlahan antara ragam pendugaan dengan bias yang dikuadratkan. Rata-rata bias mutlak untuk semua metode memiliki nilai yang cukup besar ketika lambda 0.1. Hal ini disebabkan karena ketika galat menyebar Eksponensial (λ) maka nilai tengah galat adalah 1 λ, sehingga ketika lambda kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar dan bias penduga untuk intersep akan besar. Pada Tabel 1 juga dapat dilihat bahwa ketika lambda 0.1 nilai KTG untuk semua metode cukup besar. Hal ini dapat terjadi karena nilai KTG dipengaruhi oleh ragam dan rata-rata bias mutlak. Pada Lampiran 1 terlihat bahwa ketika lambda 0.1, ragam pendugaan dan rata-rata bias mutlak yang dihasilkan cukup besar untuk semua metode, sehingga nilai KTG pun akan menjadi besar. Ketika lambda 2.5 dan 10, nilai KTG yang dihasilkan jauh lebih kecil dibandingkan dengan lambda 0.1. Artinya, semakin kecil lambda maka pendugaan untuk intersep ( β 0 ) akan lebih buruk dan sebaliknya, semakin besar lambda maka pendugaan untuk intersep (β 0) akan menjadi lebih baik untuk semua metode. Tabel 2 Nilai KTG penduga koefisien kemiringan garis (β 1) METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 10 MKT x x LTS x x x10-5 WIN 10% WIN 20% THEIL x x x10-5 Tabel 2 merupakan nilai KTG untuk pendugaan terhadap koefisien kemiringan garis (β 1). Hampir sama dengan pendugaan terhadap intersep (β 0), metode LTS memiliki nilai KTG yang paling kecil untuk semua data set. Jika dilihat dari nilai ragam pendugaannya (Lampiran 2), metode LTS juga memiliki ragam pendugaan yang paling kecil untuk semua set data, kecuali ketika ukuran

18 8 contoh 10 untuk lambda 2.5 dan 10 metode Theil memiliki ragam pendugaan yang lebih kecil dibandingkan metode LTS. Dan jika dilihat dari rata-rata bias mutlak (Lampiran 2), metode LTS memiliki nilai rata-rata bias mutlak yang paling kecil untuk semua data set. Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa ketika lambda 0.1, metode LTS dan Theil memiliki nilai KTG Relatif yang positif untuk semua data set. Artinya, metode LTS dan metode Theil lebih baik dibandingkan dengan metode MKT. Metode WIN 10% dan WIN 20% memiliki nilai KTG Relatif yang negatif ketika ukuran contoh 10 dan 30, artinya metode WIN 10% dan WIN 20% tidak lebih baik dibandingkan metode MKT ketika banyaknya pengamatan 10 dan 30. Ketika lambda 2.5 semua metode memiliki nilai KTG Relatif yang positif kecuali metode WIN 20%, yaitu pada ukuran contoh 30. Dan ketika lambda 10, semua metode memiliki nilai KTG Relatif yang positif, artinya metode LTS, WIN 10%, WIN 20%, dan metode Theil lebih baik dibandingkan metode MKT. Tabel 3 Nilai KTG Relatif penduga intersep (β 0) METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 10 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL Tabel 4 merupakan nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β 1). Pada Tabel 4 dapat dilihat bahwa metode LTS dan Theil memiliki nilai KTG Relatif yang positif pada semua data set. Artinya, metode LTS dan metode Theil lebih baik dibandingkan dengan metode MKT. Berbeda dengan nilai KTG Relatif penduga intersep (β 0), metode WIN 10% dan WIN 20% memiliki nilai KTG Relatif yang negatif pada semua set, artinya metode WIN 10% dan WIN 20% tidak lebih baik dibandingkan metode MKT.

19 9 Tabel 4 Nilai KTG Relatif penduga koefisien kemiringan garis (β 1) METODE n=10 n=30 n=50 n=150 λ = 0.1 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL λ = 10 MKT LTS WIN 10% WIN 20% THEIL Secara keseluruhan metode terbaik untuk menduga parameter regresi linier sederhana (β 0 dan β 1) ketika galat menyebar Eksponensial (λ) adalah metode LTS dilihat dari nilai KTG yang kecil, dan nilai KTG Relatif yang positif. Metode LTS menjadi metode yang terbaik untuk semua data set. Dari hasil simulasi juga dapat dilihat bahwa ketika nilai lambda (λ) kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar sehingga nilai bias dari dugaan untuk intersep (β 0) akan menjadi besar. Nilai lambda (λ) juga mempengaruhi besarnya ragam pendugaan parameter. Ketika lambda (λ) kecil, maka ragam pendugaan parameter menjadi besar dan sebaliknya ketika lambda (λ) besar, maka ragam pendugaan menjadi kecil. Artinya, semakin besar nilai lambda maka akan semakin baik pendugaan parameternya. Banyaknya pengamatan (n) juga mempengaruhi besarnya ragam pendugaan parameter. Ketika banyak pengamatan kecil (n=10) ragam pendugaan cukup besar. Ketika banyak pengamatan sedang (n=30 dan 50) dan besar (n=150) maka ragam pendugaan menjadi lebih kecil. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Kebaikan pendugaan parameter dapat dilihat dari ragam pendugaan, ratarata bias mutlak, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif. Dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa metode LTS merupakan metode yang paling baik untuk menduga

20 10 intersep (β 0) ketika galatnya menyebar Eksponensial. Hal ini dikarenakan metode LTS memiliki nilai KTG yang paling minimum untuk semua data set. Namun metode LTS tidak selalu memiliki ragam pendugaan yang minimum, akan tetapi memiliki rata-rata bias mutlak yang paling kecil untuk semua data set kecuali ketika ukuran contoh 10 dengan lambda 10. Pada pendugaan terhadap koefisien kemiringan garis (β 1), metode LTS merupakan metode yang paling baik karena memiliki nfilai KTG yang paling minimum untuk semua data set. Ragam pendugaan dan rata-rata bias mutlak metode LTS juga memiliki nilai yang minimum kecuali untuk beberapa ukuran contoh dan lambda tertentu. Metode LTS dan metode Theil selalu memiliki nilai KTG Relatif yang positif untuk penduga intersep (β 0) dan koefisien kemiringan garis (β 1). Artinya, metode LTS dan Theil lebih baik dibandingkan MKT. Sedangkan WIN tidak selalu memiliki nilai KTG Relatif yang positif. Ketika nilai lambda (λ) kecil, maka nilai tengah galat akan menjadi besar sehingga nilai bias dari dugaan untuk intersep (β 0) akan menjadi besar. Artinya, semakin besar nilai lambda maka akan semakin baik pendugaan parameternya. Saran Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan metode pendugaan parameter regresi yang lain dan jenis sebaran yang lain dalam mengkaji pendugaan parameter regresi ketika galatnya tidak menyebar Normal. DAFTAR PUSTAKA Azizah AN, Fitriani R, Solimun Analisis Sifat Penduga Least Trimmed Squares (LTS) pada Regresi Linier Berganda yang Mengandung Pencilan dengan Berbagai Ukuran Contoh. Jurnal Mahasiswa Statistika, 1(4): Daniel WW Applied Nonparametric Statistics (Second Edition). Boston(USA): PWS-KENT Publishing Company. Draper N, Smith H Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Bambang Sumantri. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis (Second Edition). Mutan OC Comparison of Regression Techniques via Monte Carlo Simulation[tesis]. Turki: Middle East Technical University. Mutan OC A Monte Carlo Comparison of Regression Estimators When The Error Distribution is Long Tailed Symmetric. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 8(1): Wulandari S, Sutarman, Darnius O Perbandingan Metode Least Trimmed Squares dan Penaksir M dalam Mengatasi Permasalahan Data Pencilan. Jurnal Saintia Matematika, 1(1):

21 11 Lampiran 1 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga intersep (β 0) hasil simulasi n=10 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT LTS WIN WIN THEIL n=30 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT LTS WIN WIN THEIL

22 12 n=50 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT LTS WIN WIN THEIL n=150 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT x LTS x WIN WIN THEIL x

23 13 Lampiran 2 Rataan, ragam, bias, nilai KTG, dan nilai KTG Relatif untuk penduga koefisien kemiringan garis (β 1) hasil simulasi n=10 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT LTS WIN WIN THEIL n=30 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT x x LTS x x WIN WIN THEIL x x

24 14 n=50 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 10 MKT x LTS x x WIN WIN THEIL x x n=150 Metode Rataan Ragam Bias KTG KTG Relatif λ = 0.1 MKT LTS WIN WIN THEIL λ = 2.5 MKT LTS x WIN WIN THEIL λ = 10 MKT x x LTS x x WIN x WIN THEIL x x

25 15 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Helga Arina Pramuditya dan dilahirkan di Boyolali pada tanggal 11 Juli 1992, anak dari pasangan Slamet Joko Santosa, S.Pd dan Sri Daruki, S.Pd. Penulis merupakan putri kedua dari dua bersaudara. Tahun 2004 penulis menamatkan pendidikan sekolah dasar di SDN 1 Juwangi, Boyolali. Kemudian penulis melanjutkan studinya di SMP Al-Islam 1 Surakarta dan lulus pada tahun Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Al- Islam 1 Surakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis mengambil mayor Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama kuliah, penulis pernah aktif di beberapa Lembaga Kemahasiswaan IPB, yaitu Korps Sukarela Palang Merah Indonesia Unit I IPB (KSR PMI Unit I IPB), Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA), dan Badan Pengawas Gamma Sigma Beta (BP GSB), serta beberapa kali menjadi asisten praktikum Fisika.