LAPORAN STATISTIK ELEMENTER UJI ANALISIS VARIAN SATU ARAH (ANOVA) Dosen pengampu Dr. Sri Harini, M.Si. Oleh Nurul Anggraeni Hidayati NIM.

Transkripsi

1 LAPORAN STATISTIK ELEMENTER UJI ANALISIS VARIAN SATU ARAH (ANOVA) Dosen pengampu Dr. Sri Harini, M.Si Oleh Nurul Anggraeni Hidayati NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015

2 I. Contoh Soal 1. Hasil pengamatan terhadap jumlah penonton di 5 gedung bioskop yang memutar film yang sama adalah sebagai berikut: Gedung Bioskop Glory Venus Hollywood Galaxy Metropole Apakah dapat dikatakan bahwa lokasi gedung bioskop mempengaruhi jumlah penonton? Gunakan taraf uji 0.05! Sumber: Sihono Dwi Waluyo, Statistika Untuk Pengambilan Keputusan, (Jakarta:Ghalia Indonesia, 2001), hlm. 190, Nomor 2 2. Tiga kelas statistika diberikan oleh tiga dosen. Nilai akhirnya dicatat sebagai berikut: Dosen A B C

3 Apakah terdapat selisih nyata diantara rata-rata nilai yang diberikan oleh ketiga dosen tersebut? Gunakan taraf nyata Sumber: Sihono Dwi Waluyo, Statistika, Untuk Pengambilan Keputusan, (Jakarta:Ghalia Indonesia, 2001), hlm. 190, Nomor 3 II. Kajian Pustaka 1. Pengertian Analisis Varian Suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rataan adalah analisis varian. Analisis of variance atau Anova merupakan salah satu uji parametrik yang berfungsi untuk membedakan nilai rata-rata lebih dari dua kelompok data dengan cara membandingkan variansinya (Ghozali, 2009). Analisis Varians (Anova) adalah teknik analisis statistik yang dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir R. A Fisher (Kennedy & Bush, 1985). Anova dapat juga dipahami sebagai perluasan dari uji-t sehingga penggunaannya tidak terbatas pada pengujian perbedaan dua buah rata-rata populasi, namun dapat juga untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata populasi atau lebih sekaligus. Andaikan ada k perlakuan yang masing-masing dengan sampel berbeda dan berturut dengan ukuran atau banyak pengamatan maka hipotesis untuk uji kesamaan rataan adalah,

4 Analisis varian tidak hanya digunakan dalam satu jenis atau faktor perlakuan, tetapi dapat lebih dari satu faktor yang masing-masing faktor terdiri dari beberapa perlakuan. Bila perlakuan hanya berdiri dari satu faktor, maka disebut klasifikasi eka arah atau one way anova dan apabila terdiri dari dua faktor disebut klasifikasi dwi arah atau two way anova. Dalam analisis varian menyangkut pada varian dalam masingmasing perlakuan, varian antar perlakuan, dan mungkin juga varian interaksi antar perlakuan dari faktor satu dengan perlakuan dalam faktor yang lain. (Simbolon, 2009) Prinsip uji Anova adalah melakukan analisis variabilitas data menjadi dua sumber variasi yaitu variasi di dalam kelompok (within) dan variasi antar kelompok (between). Bila variasi within dan between sama (nilai perbandingan kedua varian mendekati angka satu), berarti nilai mean yang dibandingkan tidak ada perbedaan. Sebaliknya bila variasi antar kelompok lebih besar dari variasi didalam kelompok, nilai mean yang dibandingkan menunjukkan adanya perbedaan. Jika kita menguji hipotesis nol bahwa rata-rata dua buah kelompok tidak berbeda, teknik Anava dan uji-t (uji dua pihak) akan menghasilkan kesimpulan yang sama; keduanya akan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam hal ini, statistik F pada derajat kebebasan 1 dan n-k akan sama dengan kuadrat dari statistik t. Telah dibahas sebelumnya, bahwa Anova digunakan untuk menguji perbedaan antara sejumlah rata-rata populasi dengan cara membandingkan variansinya. Pembilang pada rumus variansi tidak lain adalah jumlah kuadrat skor simpangan dari rata-ratanya, yang secara sederhana dapat ditulis sebagai. Istilah jumlah kuadrat skor simpangan sering disebut jumlah kuadrat (sum of squares). Jika jumlah kuadrat tersebut dibagi dengan n atau n-1 maka akan diperoleh rata-rata kuadrat yang tidak lain dari variansi suatu distribusi. Rumus untuk menentukan varians sampel yaitu,

5 Seandainya kita mempunyai suatu populasi yang memiliki variansi dan rata-rata. Dari populasi tersebut sampel secara independent. Dari setiap sampel tersebut dapat ditentukan rata-rata dan variansinya, masingmasing merupakan statistik (penaksir) yang tidak bias bagi parameternya. Dikatakan demikian karena, dalam jumlah sampel yang tak hingga, ratarata dari rata-rata sampel akan sama dengan rata-rata populasi dan ratarata dari variansi sampel juga akan sama dengan variansi populasi. Prosedur analisis varians (Analysis of Variance ANOVA) menggunakan variabel numerik tunggal (single numerical variable) yang diukur dari sejumlah sampel untuk menguji hipotesis nol dari populasi yang (diperkirakan) memiliki rata-rata hitung (mean) sama. Variabel dimaksud harus berupa variabel kuantitatif. Variabel ini terkadang dinamakan sebagai variabel terikat (dependent variable). Hipotesis nol dalam uji ANOVA adalah bahwa semua (minimal 3) populasi yang sedang dikaji memiliki rata-rata hitung (mean) sama. Ringkasnya, hipotesis nol dan hipotesis alternatif dalam ANOVA adalah: : 1 = 2 = 3 = = n : Tidak semua populasi memiliki rata-rata hitung (mean) sama. Dalam uji ANOVA, bukti sampel diambil dari setiap populasi yang sedang dikaji. Data-data yang diperoleh dari sampel tersebut digunakan untuk menghitung statistik sampel. Distribusi sampling yang digunakan untuk mengambil keputusan statistik, yakni menolak atau menerima hipotesis nol ( ), adalah Distribusi F (F Distribution). Dalam uji ini diasumsikan bahwa semua populasi yang sedang dikaji memiliki keragaman atau varians (variance) sama tanpa mempertimbangkan apakah populasi-populasi tersebut memiliki rata-rata hitung (mean) sama atau berbeda. Ada 2 (dua) cara atau metode dalam mengestimasi nilai varians ini, yakni metode dalam kelompok (within method) dan metode antar-kelompok (between method). Metode dalam kelompok menghasilkan estimasi tentang varians yang sahih (valid) apakah hipotesis nol salah atau benar. Sementara metode antar-

6 kelompok menghasilkan estimasi tentang varians yang sahih (valid) hanya jika hipotesis nol benar. Langkah akhir dari uji Anova adalah menghitung rasio antara metode antar kelompok (between method) sebagai numerator (faktor yang dibagi) dan metode dalam kelompok (within method) sebagai denominator (faktor pembagi). Jika hipotesis nol benar (diterima), rasio di atas berisikan dua hasil estimasi yang terpisah dari populasi yang memiliki varians sama dan, karenanya, berasal dari distribusi F. Namun demikian, jika rata-rata hitung (mean) populasi yang dikaji tidak sama, hasil estimasi dalam numerator akan mengembung sehingga rasionya akan menjadi sangat besar. Jelas bahwa rasio demikian, dengan membandingkannya dengan distribusi F, tidak berasal dari distribusi F, dan hipotesis nol akan ditolak. Uji hipotesis dalam ANOVA adalah uji hipotesis bersisi-satu (one-tailed) di mana nilai statistik F yang besar akan mengarah ke ditolaknya hipotesis nol, sementara nilai statistik F yang kecil akan mengarah ke penerimaan hipotesis nol. Uji Anova dapat dibagi menjadi 2 jenis berdasarkan jumlah variabel yang diamati, yaitu One Way Anova dan Two Way Anova. One Way Anova digunakan bila ada satu variabel yang ingin diamati, sedangkan Two Way Anova digunakan apabila terdapat dua variabel yang ingin diamati. A. Analisis Varians Satu-Arah (One-Way Analysis of Variance ANOVA) Dinamakan analisis varians satu arah, karena analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh satu faktor.dari tiap populasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n 1 dari populasi kesatu, n 2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran n k dari populasi ke k. Data sampel akan dinyatakan dengan Y ij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil dari populasi ke-i.

7 Langkah-langkah uji anova satu arah (one way anova) 1) Hipotesis masalah Buat hipotesis masalah yang ada, hipotesis awal bahwa rata-rata dari beberapa populasi adalah sama, dan hipotesis relatif bahwa rata-rata dari beberapa populasi tidak sama. 2) Hipotesis statistik Buat hipotesis statistik dari hipotesis masalah yang telah dibuat. 3) Menentukan taraf signifikansi Biasanya terdapat dalam soal, disimbolkan dengan α. 4) F Tabel Dari distribusi F mempunyai 2 macam derajat kebebasan, yakni derajat dari pembilang dan derajat kebeban dari penyebut. a. Derajat Kebebasan Pembilang Derajat kebebasan pembilang (numerator) = (jumlah banyaknya sampel-1) Atau derajat kebebasan pembilang = k-1 b. Derajat Kebebasan Penyebut Derajat kebebasan penyebut (denominator) = {(jumlah data setiap sampel-1) x jumlah sampel} Atau Derajat kebebasan penyebut = k (b-1) Guna pengujian hipotesis dengan distribusi F, digunakan tabel F. Dalam tabel F, kolom menunjukkan derajat kebebasan dari pembilang (numerator) dan pada baris menunjukkan derajat kebebasan penyebut (denominator). Tabel F akan berbeda untuk setiap taraf nyata (significant level.) 5) F Hitung Untuk memudahkan perhitungan Anova, maka dapat digunakan tabel Anova;

8 Source of df SS MS Variation Treatmen k-1, merupakan hasil F hitung. Error N-k - Total N ) Bandingkan nilai dan Untuk One-way Anova Jika F tabel F hitung maka H 0 diterima dan H 1 ditolak Jika F tabel < F hitung maka H 0 ditolak dan H 1 diterima 7) Kesimpulan Dari hasil perbandingan dan dapat ditarik kesimpulan apakah hipotesis awal diterima atau ditolak. Dengan ini, dibuatlah analisis kesimpulan dari masalah yang ada.

9 III. Langkah-langkah 1. Dibuka Aplikasi Minitab pada menu start; Sehingga muncul windows Minitab seperti di bawah ini;

10 2. Memasukkan data ke dalam satu kolom dalam minitab; Kemudian pada kolom yang berbeda, dimasukkan faktor (dalam hal ini bisa digunakan angka 1-5) berdasarkan perlakuan yang berbeda;

11 3. Di Klik toolbar stat ANOVA One Way; 4. Di masukkan nama kolom tempat data berada pada kolom Response pada window One-Way Analysis of Variance, serta nama kolor tempat Faktor berada pada kolom Factor. Di masukkan pula confidence level. Setelah itu diklik OK. 5. Mengulangi langkah-langkah di atas setiap data dan pertanyaan yang berbeda.

12 IV. Ouput dan Interpretasi a. Output b. Interpretasi 1. Contoh Soal 1 a) Perhitungan Manual 1) Hipotesis Masalah : Rata-rata jumlah penonton di lokasi gedung bioskop sama.

13 : Rata-rata jumlah penonton di lokasi gedung bioskop tidak sama. 2) Hipotesis Statistik 3) Taraf Signifikansi Diketahui dalam soal bahwa 4) F Tabel Numerator Denominaator 5) F Hitung Glory Venus Hollywood Galaxy Metropole

14 Tabel Anova Source of df SS MS Variation Treatmen k- 1=5-1=4 merupakan hasil F hitung. Error 20 - Total ) Perbandingan Nilai F Tabel dan F Hitung Jika F tabel F hitung maka H 0 diterima dan H 1 ditolak Jika F tabel < F hitung maka H 0 ditolak dan H 1 diterima 7) Kesimpulan Berdasarkan hasil perhitungan, menunjukkan bahwa nilai F tabel =2.87, sedangkan hasil F hitung = Ini berarti bahwa >, sehingga diterima dan ditolak. Artinya, pernyataan atau hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata jumlah penonton di 5 gedung bioskop tersebut adalah sama. b) Pembahasan Hasil pengolahan tabel Anova dengan menggunakan Minitab di atas menunjukkan hasil yang mayoritas tidak sama dengan perhitungan manual dimana variabel independen (hotel,

15 dikategorikan 5 macam) memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variable Y (F=16.14 menurut minitab, dan menurut perhitungan manual Fhitung dan Ftabel 2.87 dan p=0.000 menurut minitab, jelas dibawah nilai α=0.05 berdasarkan yang terdapat dalam soal). Dari hasil dapat dilihat bahwa hasil F minitab jika dibandingkan dengan hasil manual baik Ftabel maupun F hitung tidak sama, perbedaannya sangat besar. Begitupun juga dengan nilai p dari hasil minitab menunjukkan angka 0.000, tidak sama dengan nilai α. Tanda minus diabaikan, karena nilai distribusi F tidak mengenal tanda minus, sebagaimana yang terdapat dalam tabel distribusi F. Sebagaimana yang ditunjukkan oleh hasil minitab dengan membandingkan 5 rata-rata diketahui bahwa masing-masing hotel memiliki 5 observasi (N=5), dengan rata-rata masingmasing 122.4, 111.8, 125.6, dan dan standar deviasi masing-masing 2.88, 3.21, 3.29, 4.56, dan Nilai Pooled StDev diketahui dengan cara Family error rate (=5%) menjelaskan bahwa confidence interval yang digunakan adalah 95%. Garis-garis putus dan bintang serta tanda kurung dalam hasil minitab menunjukkan ukuran pemusatan dari masing-masing populasi. Dimana tanda kurung menunjukkan selang kepercayaan pada populasi tersebut, dan tanda bintang menunjukkan letak mean. Hasil perhitungan yang tidak sama antara minitab dan manual dimungkinkan karena terjadi kesalahan pada perhitungan manual, serta terdapat perbedaan sistem pembulatan yang dilakukan oleh minitab dan kalkulator yang digunakan praktikan.

16 2. Contoh Soal 2 a) Perhitungan Manual 1) Hipotesis Masalah : Rata-rata nilai yang diberikan oleh tiga dosen tersebut adalah relatif sama. : Rata-rata nilai yang diberikan oleh tiga dosen tersebut adalah relatif tidak sama. 2) Hipotesis Statistik 3) Taraf Signifikansi Diketahui dalam soal 4) F Tabel Numerator Denumerator 5) F Hitung Dosen A B C

17 Σ=655 Σ=46157 Σ=903 Σ=66941 Σ=838 Σ=58994 Tabel Anova Source of df SS MS Variation Treatmen k- 1=3-1 merupakan hasil F hitung.

18 Error 36 - Total ) Perbandingan Nilai F Tabel dan F Hitung Jika F tabel F hitung maka H 0 diterima dan H 1 ditolak Jika F tabel < F hitung maka H 0 ditolak dan H 1 diterima 7) Kesimpulan Berdasarkan hasil perhitungan, menunjukkan bahwa nilai F tabel =2.63, sedangkan hasil F hitung = Ini berarti bahwa >, sehingga diterima dan ditolak. Artinya, pernyataan atau hipotesis yang menyatakan bahwa rata-rata nilai yang diberikan oleh tiga dosen tersebut adalah relatif sama. b) Pembahasan Hasil pengolahan tabel Anova dengan menggunakan Minitab di atas menunjukkan hasil yang mayoritas tidak sama dengan perhitungan manual dimana variabel independen (dosen, dikategorikan 3 macam karena terdapat 3 orang) memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variable Y (F=0.45 menurut minitab, dan menurut perhitungan manual Fhitung dan Ftabel 2.63 dan p=0.643 menurut minitab, jelas diatas nilai α=0.05 berdasarkan yang terdapat dalam soal). Dari hasil dapat dilihat bahwa hasil F minitab jika dibandingkan dengan hasil manual baik Ftabel maupun F hitung tidak sama, perbedaannya sangat besar. Begitupun juga dengan nilai p dari hasil minitab menunjukkan angka 0.643, tidak sama dengan nilai α. Tanda minus diabaikan, karena nilai distribusi F tidak mengenal tanda minus, sebagaimana yang terdapat dalam tabel distribusi F. Sebagaimana yang ditunjukkan oleh hasil minitab dengan membandingkan 3 rata-rata diketahui bahwa masing-masing

19 dosen memiliki observasi yang berbeda, kemudian dicari nilai mean, sehingga didapat 13 (N=13), dengan rata-rata masingmasing 68.08, 71.27, dan dan standar deviasi masingmasing 18.54, 18.10, dan Nilai Pooled StDev diketahui dengan cara Family error rate (=5%) menjelaskan bahwa confidence interval yang digunakan adalah 95%. Garis-garis putus dan bintang serta tanda kurung dalam hasil minitab menunjukkan ukuran pemusatan dari masing-masing populasi. Dimana tanda kurung menunjukkan selang kepercayaan pada populasi tersebut, dan tanda bintang menunjukkan letak mean. Hasil perhitungan yang tidak sama antara minitab dan manual dimungkinkan karena terjadi kesalahan pada perhitungan manual, serta terdapat perbedaan sistem pembulatan yang dilakukan oleh minitab dan kalkulator yang digunakan praktikan. V. Kesimpulan Dari pembahasan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa hasil perhitungan minitab dan manual dari distribusi F mayoritas tidak sama. Hal ini dimungkinkan karena terjadi kesalahan pada perhitungan manual, serta terdapat perbedaan sistem pembulatan yang dilakukan oleh minitab dan kalkulator yang digunakan praktikan. Daftar Pustaka Riduwan:2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta Sudjana Metoda Statistika. Bandung:Tarsito Bandung Usman,Husaini.2006.Pengantar Statistika.Jakarta:PT Bumi Aksara Waluyo, Sihono Dwi Statistika untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta:Ghalia Indonesia