KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS. Moh. Affaf Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan

Transkripsi

1 KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS Moh. Affaf Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan ABSTRAK. Bertahun-tahun yang lalu, telah diketahui bahwa Tripel Pythagoras dapat dikonstruksi dengan konstruksi, yaitu. Namun, konstruksi ini masih memiliki sedikitnya dua kekurangan, yaitu konstruksi ini masih perlu memperhatikan urutan dari sisi-sisi tegakya konstruksi ini tidak bisa memproduksi semua tripel pythgoras yang ada. Dalam penelitian ini, akan dibahas tentang konstruksi baru untuk tripel pythagoras yang dapat memproduksi semua tripel pythagoras yang diinginkan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya. Keyword : Teorema Pythagoras, Tripel Pythagoras, konstruksi Tripel Pythagoras Pendahuluan Salah satu tokoh penting dalam Matematika, khusunya cabang geometri ilmuan asal Yunani, Pythagoras. Salah satu temuan penting Pythagoras yang masih diperbincangkan hingga saat ini oleh para ilmuwan matematika Teorema Pythagoras tentang hubungan sisi-sisi tegak segitiga siku-siku dengan hepotenusanya. Ketiga sisi segitiga tersebut selanjutnya disebut Triple Pythagoras dalam kasus ketiganya bilangan bulat. Salah satu bukti bahwa para pakar matematika masih tertarik dengan teorema ini sampai saat ini para pakar masih terus mencari memberikan bukti yang menawan untuk teorema pythagoras ini. Salah satu bahasan penting dalam teorema pythagoras Primitive Triple Pythagoras. Primitive tripel pythagoras ialah gagasan tentang triple pythagoras sedemikian hingga ketiga panjang sisi segitiga siku-siku tersebut faktor pembagi bersama terbesarya 1. Salah satu ciri yang diberikan oleh peneliti tentang primitif tripel pythagoras hepotenusanya harus merupakan jumlah kuadrat dari bilangan asli. Lebih jelasnya, primitif tripel pythagoras jika hanya jika terdapat bilangan bulat x y yang prima relatif berbeda paritas sehingga,,. Sampai saat ini, masih banyak penelitian tentang primitif tripel pythagoras, 44

2 Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf terutama dalam hal ciri atau dasar untuk mempelajari pengkonstruksian karakteristiknya. salah satunya yang dilakukan Leyendekkers Shannon tripel pythagoras. Mempe- lajari kembali syarat-syarat yang harus pada tahun dipenuhi dalam pengkonstruksian Jika lebih diperhatikan lagi,. konstruksi primitif tripel pythagoras Pada tahap investigasi yang yang menyatakan dilakukan penyelidikan tentang primitif tripel pythagoras jika syarat pengkonstruksian yang hanya jika terdapat bilangan bulat x y yang prima relatif berlainan masih perlu ditinjau ulang berkenaan dengan tripel pythagoras yang dapat tanda sehingga,, dikonstruksinya. belum mencakup a. Mengkaji lebih lanjut sifat-sifat semua tripel pythagoras meskipun x y prima relatif atau berbeda paritas tidak dipenuhi. Hal struktural lain yang berguna bagi pengembangan generalisasi untuk konstruksi yang lebih baik. ini mudah dilihat dari nilai yang b. Merancang konstruksi yang selalu merupakan bilangan kuadrat nantinya bisa menutupi kekurangan sempurna. Sebagai contoh, tripel konstruksi. pythagoras bukan tripel Pada tahap pengembangan hal pythagoras dari konstruksi untuk sebarang yang akan dilakukan a. Menyusun hasil temuan di atas bilangan bulat x y. untuk mendapatkan konstruksi baru yang lebih baik. Metodelogi Penelitian Penelitian ini direncanakan dalam tiga tahapan yaitu tahap inisisasi, investigasi, pengembangan. Hal b. Menyusun langkah-langkah dalam pengonstruksian yang baru tersebut sehingga dapat dilihat secara jelas hasil konstruksinya. yang akan dilakukan pada tahap inisiasi c. Menggunakan konstruksi yang baru ini pengkajian literatur terutama untuk memproduksi ataupun menemukan tentang bukti konstruksi sebagai tripel pythagoras yang tak 45

3 Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm dapat dihasilkan atau ditemukan oleh konstruksi. Pada bagian ini, akan dibahas tentang pembentukan konstruksi yang nantinya bisa dijadikan pemrbandingan dengan konstruksi baru yang akan dibentuk pada Hasil Pembahasan. Untuk mengawali bagian ini, akan perkenalkan tentang definisi Tripel Pythagoras. Diberikan bilangan asli,,. Maka dikatakan primitif tripel pythagoras jika hanya jika memenuhi dua kondisi berikut : Jika hanya memenuhi kondisi satu saja, kita sebut sebagai tripel pythgaoras. Contoh 3.1 primitif tripel pythagoras karena 1., 2.. Namun, bukan primitif tripel pythagoras, karena meskipun memenuhi kondisi pertama, namun tidak memenuhi kondisi kedua. Lebih jelasnya,. Selain itu, bukan primitif tripel pytha goras, karena meskipun memenuhi kondisi kedua, namun tidak memenuhi kondisi pertama. Lebih jelasnya, karena diketahui. Dari Definisi 3.1, untuk mengetahui tripel pythagoras primitif tripel pythagoras atau bukan, harus diperiksa apakah FPB dari ketiga bilangan tersebut 1 atau bukan. Dari sini, Lemma sebagai berikut memberikan informasi tentang dua bilangan dari primitif tripel pythagoras. Lemma 3.1 Jika primitif tripel pythagoras, maka Andaikan tetapi primitif tripel pythagoras. Misalkan adallah bilangan prim ynga membagi. Karena primitif tripel pythagoras, maka berlaku 46

4 Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf Karena habis membagi habis membagi, maka akan habis membagi semua kombinasi linear dari. Karena salah satu kombinasi linear dari, maka habis membagi, yaitu habis membagi. Oleh karena itu habis membagi. Karena habis membagi, habis membagi, habis membagi, maka haruslah. Dilain pihak selalulebih besar daripada 1. Maka kontradiksi dengan primitif tripel pythagoras. Jadi haruslah. Lemma berikut menunnjukan bahwa dari primitif tripel pythagoras tepat satu diantaranya bilangan genap. Dalam hal dua bilangan asli tepat satu diantaranya genap, maka dua bilangan tersebut dikatakan berbeda paritas. Lemma 3.2 Jika primitif tripel pythagoras, maka berbeda paritas. Misalkan primitif tripel pythagoras. Jika a b semuanya genap, tentu saja hal ini tidak mungkin, karena kuadrat dari bilangan genap adslsh bilangan genap jumlah dari dua bilangan genap bilangan genap. Jadi akan dijumpai Sekarang. Andaikan a b keduanya ganjil. Karena kuadrat dari suatu bilangan asli hanya ada dua kemungkinan di modulo 4, yaitu, Oleh karena itu, jika x ganjil jika x genap, maka. Hal ini kontradiksi dengan teorema suatu bilangan asli hanya ada dua kemungkinan di modulo 4, yaitu, jika x ganjil jika x genap. Jadi haruslah salah satu dari a atau b genap. Dengan kata lain, a b harusla berbeda paritas. Berdasarkan Lemma 3.2 di atas, karena salah satu dari a b bilangan genap dengan primitif tripel pythagotras, mka untuk penulisan selanjutnya, bilangan yang genap diletakkan pada entri yang kedua. Sebagai contoh, untuk primitif 47

5 Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm tripel pythagoras dituliskan sebagai. Penulisan ini semakin didukung oleh Akibat 3.1 berikut yang merupakan akibat dari Lemma 3.2, karena juga akan bernilai ganjil. Akibat 3.1 Misalkan tripel primitif pythagoras, maka pasti ganjil. Karena genap tripel primitif pythagoras, maka ganjil menurut Lemma 3.2. Selanjutnya, karena kuadrat dari bilangan ganjil bilangan ganjil kuadrat dari bilangan genap bilangan genap, maka bilangan ganjil bilangan genap, Selanjutnya, karena jumlah dari bilangan ganjil bilnagan genap bilangan ganjil, maka bilangan ganjil. Karena bilangan ganjil, mkaa haruslah merupakan bilangan ganjil. Sebelum menuju pada formula untuk primitif tripel pythagoras, masih diperlukan satu lemma lagi. Lemma berikut dibuktikan dengan menggunakan teorema fundamental aritmatika. Lemma 3.3 Diberikan bilangan asli dengan. Jika bilangan kuadrat sempurna, maka keduanya bilangan kuadrat sempurna. Misalkan faktorisasi prima dari faktorisasi prima dari, dimana untuk setiap, prima berbeda untuk setiap untuk setiap prima dari, prima berbeda. Karena, maka semua faktor berbeda dengan semua faktor prima dari. Dilain pihak, bilangan kuadrat sempurna. Karena faktor prima dari semuanya berbeda serta berbeda berturut-turut untuk setiap, maka haruslah bernilai genap untuk setiap nilai, berturutan. Oleh karena itu 48

6 Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf keduanya bilangan kuadrat sempurna. Setelah menetapkan Lemma 3.3 di atas, selanjutnya teorema berikut akan menetapkan hasil utama dari bab 3 ini, yaitu konstruksi untuk primitif tripel pythagoras. Konstruksi ini dimulai dengan Teorema 3.1 berikut. Teorema 3.1 Jika primitif tripel pythagoras, maka terdapat bilangan asli yang relatif prima yanag sekaligus bebrbeda paritas dengan sehingga,, telah ditetapkan sebelumnya, entri kedua dari dalah bilangan genap, ini artinya genap. Berdasarkan Akibat 3.1, maka bilangan ganjil. Oleh karena itu, keduanya genap. Sekarang, misalkan, untuk suatu bilangan asli. Karena tripel pythagoras, maka yaitu yang artinya Karena genap, maka bilangan asli. Oleh karena itu bilangan kuadrat sempurna. Berdasarkan Lemma 3.3, maka keduanya bilangan kuadrat sempurna. Misalkan untuk suatu bilangan asli. Dari persamaan disimpulkan bahwa, mkaa mudah. Selanjutnya, dari persamaan, maka mudah diketahui pula bahwa. Tentu saja m lebih besar daripada karena bilangan asli. Selanjutnya, Misalkan. Karena membagi, mka membagi, yang artinya membagi serta karena membagi, mka membagi, yang artinya membagi. Selanjutnya, karena membagi, maka membagi. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa. Jadi relatif prima. Terakhir, akan ditunjukkan bahwa 49

7 Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm berbeda paritas. Jika genap, jelas hal ini tidak mungkin karena akan kontradiksi dengan ganjil. Begitu pula, Jika ganjil, hal ini juga tidak mungkin karena juga akan kontradiksi dengan ganjil. Jadi haruslah berbeda paritas. Pernyataan Teorema 3.1 tidak cukup baik untuk mengkarakterisasi atau mengkonstruksi primitif tripel pythagoras jika konvers dari pernyataan tersebut tidak berlaku. Teorema 3.2 berikut menyatakan bahwa konvers dari pernyataan Teorema 3.1 juga berlaku. Teorema 3.2 Jika bilangan relatif prima yang berbeda paritas, maka primitif tripel pythagoras, dimana,, Misalkan,,, maka Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa tripel pythagoras. Selanjutnya, tinggal menunjukkan. Dengan kata lain, tinggal menunjukkan bahwa primitif, yaitu ketiga bilangan ini saling relatif prima. Untuk menunjukkan, akan digunakan bukti kontadiksi. Andaikan. Misalakn faktor prima dari d. Karena membagi membagi, maka membagi membagi. Di-lain pihak, karena berbeda paritas, tentu saja keduanya bilangan ganjil. Hal ini bera-kibat. Selanjutnya, karena membagi membagi, maka membagi membagi. Karena, mka hariuslah membagi membagi. Lebih khusus, membagi membagi. Hal ini berakibat, FPB dari setidaknya. Hal ini kontradiksi dengan relatif 50

8 Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf prima. Jadi, haruslah. Dengan kata lain, haruslah, yaitu primitive tripel Pythagoras. Selanjutnya, dari Teorema 3.1 Teorema 3.2, diperoleh sebuah teorema fundamental dalam studi primitif tripel pythagoras yang merupakan akibat dari Untuk bilangan asli, 3- tupel merupakan primitif tripel Pythagoras jika hanya jika terdapat bilanagn asli yang relative prima sekaligus berbeda paritas sehingga,,. Jika lebih diperhatikan lagi, konstruksi primitif tripel pythagoras pada Teorema 3.3 yang menyatakan primitif tripel pythagoras jika hanya jika terdapat bilangan bulat x y yang prima relatif berlainan tanda sehingga,, belum mencakup semua tripel pythagoras meskipun x y prima relatif atau x y berbeda paritas tidak dipenuhi. Hal ini mudah dilihat dari nilai yang selalu merupakan bilangan kuadrat sempurna. Sebagai contoh, tripel pythagoras bukan merupakan tripel pythagoras dari konstruksi untuk sebarang bilangan bulat x y. Oleh karena itu, sangat memungkinkan untuk menemukan suatu konstruksi yang mencakup semua tripel pythagoras tanpa terkecuali. Untuk bab selanjutnya, akan dibahas tentang konstruksi triprl pythagoras yang mencakup semua tripel pythagoras tanpa terkecuali. Hasil Pembahasan Hal yang akan diteliti dalam penelitian ini mencari konstruksi tripel pythagoras yang mencakup semua tripel pythagoras tanpa terkecuali. Adapun langkah analisisnya sebagai berikut. a. Misalkan x y bilangan bulat positif dengan lebih dari, maka dapat dipastikan bahwa tripel pythagoras. b. Jika x y prima relatif berbeda paritas, maka 51

9 Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm primitif tripel pythagoras. c. Jika x y prima relatif atau x y berbeda paritas tidak terpenuhi, maka maka akan kembali pada poin pertama, yaitu tripel pythagoras. d. Meskipun poin ketiga menyebabkan tri-pel pythagoras, tidak semua tripel pythagoras dapat dinyatakan dalam bentuk. Salah satu contohnya. Tidak ada bilangan bulat positif x y dengan lebih dari sehingga berlaku. e. Poin keempat terjadi karena jika tripel pythagoras yang terbentuk dari, maka, yaitu. Dengan kata lain, bilangan kuadrat sempurna. Padahal,, bukan bilangan kuadrat sempurna. Oleh karena itu, mudah disimpulkan bahwa bukan tripel pythagoras hasil konstruksi. f. Selanjutnya, misalkan tripel pythagoras, maka Dari disini diperoleh. Dengan kata lain,. Oleh karena itu,. Jadi tripel pythagoras dapat dituliskan menjadi jika habis membagi. Jadi, perlu diidentifikasi kapan membagi agar tripel merupakan tripel pythagoras. g. Misalkan dituliskan sebagai dimana hasil kali semua faktor prima ganjil tunggal dari, hasil kali faktor-faktor dengan pangkat genap dari, sisanya. Sebagai contoh, 52

10 Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf Jika Selanjutnya, dengan menuliskan maka. Jadi yang sebagai, maka diperoleh tersisa dari setelah terbentuk hasil yang diinginkan, yaitu. Selanjutnya, dari sisa tersebut diperoleh Habis dibagi.. Sekarnag Jadi, merupakan yang tersisa dari setelah tripel pythagoras jika terdapat bilangan terbentuknya. bulat postif sehingga. Maka diperoleh. Dengan kata lain, semua tripel h. S pythagoras hasil Setelah membentuk, konstruksi, yaitu definisikan. Jadi, dari pada poin 7, diperoleh. i. Proses mencari sebagai Perhatikan bahwa berikut. Dari tripel pythagoras, diperoleh.. Selanjutnya, karena Setelah mendapatkan,, dari sisa-sisa dari, maka, maka diperoleh, yaitu dengan memperhatikan definisi. Dari,, tripel dapat disimpulkan bahwa diperoleh. Sebagai habis dibagi. Dengan kata contoh, untuk tripel pythagoras, lain, ada bilangan bulat sehingga diperoleh.. Selanjutnya, dapat Dari sini diperoleh. dituliskan menjadi Sehingga diperoleh. Jadi. Dari sini dapat disimpulkan bahwa habis membagi. j. tripel pythagoras hasil produksi tripel. 53

11 Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm Simpulan Penelitian ini telah berhasil menemukan konstruksi baru, yaitu konstruksi, konstruksi yang lebih baik dari konstruksi. konstruksi ini memiliki dua keunggulan dibangdingkan dengan konstruksi dapat memproduksi semua tripel pythagoras yang diinginkan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya. Adapun saran penelitian ke depannya, diharapkan konstruksi ini dapat dikembangkan sehingga langkah-langkah konstruksinya dapat lebih sederhana. Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., Pellian Sequences Derived from Pythagorean Triples, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, , Vol. 26, Issue 6, pg , 1995 McCullough, D., Height and Excess of Pythagorean Triples, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 1, pg 26 44, February 2005 Weisbrod, J., Exploring a Pythagorean Ternary Tree, annual meeting of the Mathematical Association of America MathFest, August 6, 2009 Daftar Pustaka Khosy, Thomas Elementary number theory with applications. Amsterdam. Elsivier Wegener, D. P Primitive Pythagorean Triples With Sum Or Difference of Legs Equal To a Prime*. Ohio university Dominic and Vella When is n a member of a Pythagorean Triple. Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., The Generation and Analysis of Pythagorean Triples within a Two- Parameter Grid, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 26, Issue 6, pg ,