PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO
|
|
- Bambang Setiabudi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO oleh ANNA ZAMMADUITA M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit 2013 to user i
2 perpustakaan.uns.ac.id ii
3 ABSTRAK Anna Zammaduita, PERBANDINGAN UJI KENORMALAN PADA KATEGORI FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIS MENGGUNAKAN METODE SIMULASI MONTE CARLO. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Uji kenormalan berdasarkan pada fungsi distribusi empiris ada empat yaitu uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Keempat uji tersebut memiliki statistik uji yang berbeda. Hal ini menyebabkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut sehingga perlu untuk dibandingkan. Perbandingan uji-uji tersebut didasarkan pada kekuatan uji masing-masing. Kekuatan uji merupakan besarnya probabilitas menolak H 0 ketika H 0 salah. Dengan melakukan simulasi Monte Carlo terhadap distribusi yang tidak normal, dapat diperoleh banyaknya H 0 yang ditolak. Tujuan penelitian ini adalah memperoleh perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris. Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, urutan kepekaan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dari yang tertinggi adalah uji Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, dan Kolmogorov-Smirnov. Ini berarti uji Anderson-Darling paling peka dalam mendeteksi ketidaknormalan. Kata kunci : uji Kolmogorov-Smirnov, uji Kuiper, uji Cramer-von Mises, uji Anderson-Darling, fungsi distribusi empiris. iii
4 ABSTRACT Anna Zammaduita, A COMPARISON OF NORMALITY TEST ON EMPIRICAL DISTRIBUTION FUNCTION CATEGORIES USING MONTE CARLO SIMULATION METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. There are four normality tests based on empirical distribution function. These are Kolmogorov Smirnov test, Kuiper test, Cramer-von Mises test, and Anderson-Darling test which have different test statistics. Thus, some tests have different conclusions. Therefore, in this research, the four tests are compared. The comparison of the tests is based on the power of each test. The power of the test is the probability for rejecting H 0 when H 0 is false. Using Monte Carlo simulation to the non-normal distribution, it can be acquired the number of H 0 which is rejected. The objective of this research is to obtain the comparison of normality test on the empirical distribution function categories. Based on the results of Monte Carlo simulations, the order of the sensitivity tests of normality on the empirical distribution function categories from the most sensitive is Anderson-Darling, Cramer-von Mises, Kuiper, and the Kolmogorov-Smirnov. It can be concluded that Anderson-Darling test is the most sensitive normality test in detecting the non-normality. Key words : Kolmogorov-Smirnov test, Kuiper test, Cramer-von Mises test, Anderson-Darling test, empirical distribution function. iv
5 MOTO Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah : 6) Selalu ada jalan keluar dari setiap masalah selama ada usaha dan doa v
6 PERSEMBAHAN Sebuah karya sederhana ini saya persembahkan untuk Ibu, Bapak, dan Kakak sebagai wujud atas doa, semangat, keringat, dan pengorbanan yang diberikan. vi
7 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingannya dalam penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Maret 2013 Penulis vii
8 Daftar Isi ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI ix DAFTAR TABEL xi DAFTAR GAMBAR xii I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Teori-Teori Penunjang Konsep Dasar Statistika Distribusi Probabilitas Kontinu Khusus Fungsi Distribusi Empiris Uji Hipotesis.. commit.... to. user Uji Kenormalan viii
9 2.2.6 Uji Kolmogorov-Smirnov Uji Kuiper Uji Cramer-von Mises Uji Anderson-Darling Simulasi Monte Carlo Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 19 IV PEMBAHASAN Prosedur Pengujian Perbedaan Kesimpulan Simulasi Monte Carlo Sampel Berdistribusi Eksponensial Sampel Berdistribusi Chi-Kuadrat Sampel Berdistribusi Gamma Sampel Berdistribusi Beta Sampel Berdistribusi Uniform V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 49 LAMPIRAN 52 ix
10 Daftar Tabel 2.1 Persentase dari sampel yang dapat ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda Nilai kritis D Nilai kritis V Nilai kritis W Nilai kritis A Data bangkitan pertama Data terurut Perhitungan D Perhitungan W Perhitungan A Data bangkitan kedua Banyaknya menolak H 0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi eksponensial Banyaknya menolak H 0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi chi-kuadrat Banyaknya menolak H 0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi gamma x
11 4.10 Banyaknya menolak H 0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi beta Banyaknya menolak H 0 untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda beserta persentasenya dari sampel berdistribusi uniform xi
12 Daftar Gambar 2.1 Kurva normal Fungsi distribusi empiris dan fungsi distribusi kumulatif normal Diagram alir simulasi Persentase menolak H 0 dari sampel berdistribusi eksponensial dengan parameter θ = 7 untuk n = 10, 20,..., Persentase menolak H 0 dari sampel berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν = 3 untuk n = 10, 20,..., Persentase menolak H 0 dari sampel berdistribusi gamma dengan parameter θ = 3 dan κ = 5 untuk n = 10, 20,..., Persentase menolak H 0 dari sampel berdistribusi beta dengan parameter a = 3 dan b = 1 untuk n = 10, 20,..., Persentase menolak H 0 dari sampel berdistribusi uniform dengan parameter interval a = 3 dan b = 3 untuk n = 10, 20,..., xii
13 Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Menurut Supranto [22], statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan analisis data agar menghasilkan suatu informasi yang berguna dan mudah dipahami. McClave [14] mengemukakan ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensi. Statistika deskriptif membahas metode pengumpulan, penyajian, dan pengukuran pemusatan serta penyebaran suatu data. Sementara itu, statistika inferensi membahas mengenai cara menganalisis data serta mengambil kesimpulan yang berkaitan dengan estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Statistika inferensi dibagi dalam dua kelompok yaitu statistika parametrik dan statistika nonparametrik. Statistika parametrik bergantung pada asumsiasumsi tertentu. Dalam berbagai permasalahan, terdapat satu asumsi yang tetap yaitu sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal (kenormalan data). Misal pada uji t dan analisis variansi yang menggunakan asumsi kenormalan data. Sebaliknya, statistika nonparametrik tidak bergantung pada asumsi-asumsi tertentu (Daniel [8]). Razali dan Wah [15] menunjukkan ada dua cara untuk melihat kenormalan data yaitu secara visual dan uji statistik. Kenormalan data secara visual dapat ditampilkan dengan histogram dan plot probabilitas normal tetapi hasilnya bersifat subjektif sehingga diberikan cara dengan uji statistik yang bersifat objektif dalam memberikan kesimpulan. Uji statistik ini disebut uji kenormalan. Uji kenormalan menurut Arshad dkk. [4] ada empat kategori yaitu uji chi-kuadrat, teknik momen rasio, uji berdasarkan korelasi, dan uji berdasarkan fungsi distribusi empiris. Dalam software statistika seperti Minitab, SPSS, dan R, 1
14 beberapa uji kenormalan termasuk dalam kategori fungsi distribusi empiris. Uji berdasarkan fungsi distribusi empiris melibatkan data empiris (data yang berasal dari pengamatan). Uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris menurut Stephens [18] merupakan uji yang didasarkan pada perbandingan antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan. Thode [24] menyatakan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris ada empat macam yaitu uji Kolmogorov- Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Statistik uji dari uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper menggunakan jarak maksimum antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan. Sementara itu, statistik uji Cramervon Mises dan Anderson-Darling menggunakan kuadrat selisih antara fungsi distribusi empiris dan yang dihipotesiskan dengan pembobotan uji masing-masing. Dengan demikian, keempat uji tersebut memiliki perumusan statistik uji yang berbeda. Perumusan statistik uji yang berbeda ini memungkinkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut sehingga perlu untuk dibandingkan. Pernyataan tersebut dikuatkan oleh Razali dan Wah [15] yang mengatakan bahwa antara uji kenormalan yang satu dengan yang lain menghasilkan kesimpulan yang berbeda. Beberapa uji menolak hipotesis nol (H 0 ) sedangkan uji yang lain gagal menolak H 0 dengan H 0 adalah sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal. Conover [7] menyatakan bahwa uji-uji statistik dapat dibandingkan berdasarkan kekuatan uji masing-masing. Kekuatan uji merupakan besarnya probabilitas menolak H 0 ketika H 0 salah. Selain berdasarkan kekuatan uji, beberapa uji statistik juga dapat dibandingkan dengan melihat kepekaan dari masing-masing uji dalam menolak H 0 ketika H 0 salah. Untuk mengetahui kepekaan uji masingmasing dalam menolak H 0 ketika H 0 salah, dilakukan metode simulasi. Apabila simulasi melibatkan bilangan acak yang berasal dari distribusi tertentu, maka dapat digunakan simulasi Monte Carlo. Stephens [18] pada tahun 1974 melakukan penelitian mengenai perbandingan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris menggunakan metode 2
15 simulasi Monte Carlo sebanyak kali pengulangan dengan ukuran sampel yaitu 10, 20, dan 30. Hasil perbandingan uji-uji tersebut disajikan dalam bentuk tabel persentase menolak H 0. Penelitian Stephens menyimpulkan bahwa uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling sama kuat dalam menguji kenormalan data. Selanjutnya, dalam penelitian ini dilakukan pengembangan terhadap hasil penelitian Stephens yaitu perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris menggunakan metode simulasi Monte Carlo dengan kali pengulangan dan ukuran sampel 10, 20,...,100. Hasil perbandingan keempat uji tersebut disajikan dalam bentuk grafik persentase menolak H Perumusan Masalah yaitu Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dibuat perumusan masalah 1. bagaimana perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris untuk uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling menggunakan metode simulasi Monte Carlo? 2. dari keempat uji tersebut, uji manakah yang paling peka menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol salah? 1.3 Batasan Masalah Untuk mempermudah dalam pembahasan mengenai uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris, penulis membatasi permasalahan yaitu tidak ada nilai pengamatan yang sama dan dikhususkan untuk satu variabel (univariat). 1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah 3
16 1. memperoleh perbandingan uji kenormalan pada ketegori fungsi distribusi empiris untuk uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling menggunakan metode simulasi Monte Carlo, 2. mendapatkan uji yang paling peka menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol salah dari keempat uji tersebut. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini yaitu apabila para statistikawan ingin mengetahui data berasal dari populasi yang berdistribusi normal, maka dapat digunakan uji yang paling kuat dari keempat uji tersebut. 4
17 Bab II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi kajiankajian yang pernah dilakukan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian. Pada bagian kedua bab ini diberikan teori penunjang yang berisi definisidefinisi dan teorema sebagai dasar untuk memperoleh pembahasan selanjutnya. Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulisan skripsi. 2.1 Tinjauan Pustaka Stephens [18] pada tahun 1974 melakukan perbandingan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris. Hasil penelitian Stephens disajikan dalam Tabel 2.1. Dalam Tabel 2.1, notasi KS merupakan uji kenormalan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, Ku menggunakan uji Kuiper, CV menggunakan uji Cramer-von Mises, dan AD adalah menggunakan uji Anderson-Darling. Dari tabel tersebut tampak bahwa uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling merupakan pasangan terbaik dari uji kenormalan kategori fungsi distribusi empiris yang berarti sama-sama peka dalam mendeteksi ketidaknormalan sedangkan uji Kolmogorov-Smirnov adalah uji yang paling tidak peka. Razali dan Wah [15] pada tahun 2011 melakukan perbandingan antara uji Kolmogorov-Smirnov, Liliefors, Shapiro-Wilk, dan Anderson-Darling untuk mendapatkan uji yang paling peka menolak H 0 ketika H 0 salah. Perbandingan dari uji tersebut menggunakan metode simulasi Monte Carlo terhadap sampel yang dibangkitkan dari distribusi yang tidak normal. Hasil perbandingan menunjukkan uji Shapiro-Wilk adalah uji yang paling peka menolak H 0 ketika H 0 salah, kemudian diikuti oleh uji Anderson-Darling, Lilliefors, dan Kolmogorov-Smirnov. 5
18 Tabel 2.1. Persentase dari sampel yang dapat ditolak untuk masing-masing uji kenormalan dengan ukuran sampel berbeda Distribusi n KS V CV AD Distribusi n KS V CV AD Probabilitas Probabilitas Chi-kuadrat Lognormal Eksponensial Laplace Uniform t Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Ahad dkk. [1] pada tahun 2011, kepekaan uji kenormalan seperti uji Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Cramer-von Mises, dan Shapiro-Wilk dapat dievaluasi dalam berbagai distribusi tidak normal dan ukuran sampel yang berbeda. Hasil yang diperlihatkan dalam penelitian Ahad dkk. dari uji yang paling peka menolak H 0 ketika H 0 salah secara berturut-turut adalah uji Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Cramer-von Mises, dan Kolmogorov-Smirnov. 2.2 Teori-Teori Penunjang Pada bagian ini dijelaskan definisi, teorema, dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penelitian Konsep Dasar Statistika Berikut konsep dasar statistika yang berguna dalam menunjang materi dalam pembahasan. Definisi 2.2.1, commit 2.2.2, 2.2.4, to user dan mengacu dari Bain dan Engelhardt [5] sedangkan definisi dari Conover [7]. 6
19 Definisi Variabel acak X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil e yang mungkin pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X(e)=x. Definisi Sampel acak berukuran n dari variabel acak X adalah himpunan variabel acak X 1, X 2,..., X n yang mempunyai fungsi densitas probabilitas f(x). Definisi Fungsi densitas probabilitas dari variabel acak X merupakan fungsi yang memberikan probabilitas X pada suatu nilai x (x suatu bilangan real), yang dinyatakan sebagai f(x) = P (X = x), x = x 1, x 2,... Fungsi densitas probabilitas untuk variabel acak kontinu lebih sering disebut fungsi kepadatan. Definisi Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari variabel acak X untuk setiap bilangan real x didefinisikan sebagai F (x) = P (X x). Definisi Variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat fungsi f(x) yang merupakan fungsi kepadatan dari X maka fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan F (x) = x f(u)du Distribusi Probabilitas Kontinu Khusus Menurut Supranto [23], distribusi probabilitas merupakan suatu gambaran bagaimana nilai-nilai probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai variabel acaknya. Apabila variabel acak X adalah kontinu, maka distribusi probabilitasnya disebut distribusi probabilitas kontinu. Berikut ini diberikan lima distribusi probabilitas kontinu yang dipakai dalam simulasi. Teori-teori distribusi probabilitas berikut mengacu dari Bain dan commit Engelhardt to user [5]. 1. Distribusi Uniform 7
20 Apabila variabel acak X kontinu yang mengasumsikan nilai hanya pada suatu interval terbatas, yaitu interval (a, b), dengan fungsi kepadatan konstan, maka distribusinya disebut distribusi uniform. Variabel acak X yang berdistribusi uniform memiliki fungsi kepadatan f(x; a, b) = 1 b a, a < x < b 0, x yang lain dan dapat dinotasikan dengan X UNIF (a, b). 2. Distribusi Gamma Variabel acak X kontinu dikatakan mempunyai distribusi gamma dengan parameter θ > 0 dan κ > 0 jika mempunyai bentuk fungsi kepadatan f(x; θ, κ) = 1 θ κ Γ(κ) xκ 1 e x/θ, x > 0 dan dinotasikan sebagai X GAM(θ, κ). 3. Distribusi Eksponensial 0, x yang lain Distribusi eksponensial diperoleh dari distribusi gamma dengan θ dan κ = 1 sehingga mempunyai bentuk fungsi kepadatan f(x; θ) = 1 θ e x/θ, x > 0 0, x yang lain Variabel acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ dapat dinotasikan sebagai X EXP (θ). 4. Distribusi Chi-Kuadrat Distribusi chi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan θ = 2 dan κ = ν sehingga mempunyai bentuk fungsi kepadatan 2 8
21 f(x; ν) = 1 2 ν 2 Γ( ν 2 1 e x 2, x > 0 2 )xν 0, x yang lain. Variabel acak X yang berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas ν dapat dinotasikan sebagai X χ 2 (ν). 5. Distribusi Beta Variabel acak X kontinu dikatakan berdistribusi beta dengan parameter a > 0 dan b > 0 jika mempunyai fungsi kepadatan f(x; a, b) = Γ(a+b) Γ(a)Γ(b) x(a 1) (1 x) (b 1), 0 < x < 1 0, x yang lain dan dapat dinotasikan sebagai X BET A(a, b). Selain kelima distribusi tersebut, terdapat distribusi probabilitas kontinu yang lain yaitu distribusi normal. Variabel acak X yang berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2 dapat dinotasikan sebagai X N(µ, σ 2 ). Menurut Supranto [23], ciri-ciri dari distribusi normal adalah 1. bentuk kurva normal seperti lonceng dan simetris 2. parameter σ menunjukkan lebar dari kurva 3. titik tertinggi dari kurva normal terletak pada nilai rata-rata, median dan modus yang sama 4. kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tidak pernah memotong sumbu horizontal 5. luas total area di bawah kurva normal sama dengan satu. Fungsi kepadatan dari distribusi normal diberikan dalam rumus matematik sebagai f(x) = 1 1 2πσ 2 e 2 ( x µ σ )2, < x < 9
22 dengan µ dan σ menunjukkan mean dan deviasi standar (Bain dan Engelhardt [5]). Kurva dari fungsi kepadatan tersebut biasanya disebut kurva normal. Kurva normal ditunjukkan pada Gambar 2.1. Gambar tersebut mengindikasikan bahwa luas area di bawah kurva normal diantara nilai µ ± σ, µ ± 2σ, dan µ ± 3σ secara berturut-turut sebesar 68, 26%, 95, 44%, dan 99,74%. Gambar 2.1. Kurva normal adalah Menurut Soejoeti [16], fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal F (x) = P (X x) = 1 x 2πσ 2 Z n = X µ σ/ n mendekati distribusi normal standar untuk n. e 1 2 ( u µ σ )2 du. Apabila variabel acak X berdistribusi normal dengan mean µ dan deviasi standar σ, maka X dapat ditransformasikan menjadi variabel terstandarisasi Z = X µ σ yang mempunyai distribusi normal standar (Johnson dan Bhattacharyya [11]). Berikut ini diberikan teorema yang mengacu dari Strait [21]. Teorema (Teorema Limit Pusat) Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah variabel acak yang independen dan berdistribusi identik dengan mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variabel acak didefinisikan dengan X = (X 1 +X X n )/n. Distribusi dari 10
23 2.2.3 Fungsi Distribusi Empiris Menurut Thode [24], fungsi distribusi empiris diperoleh dari sampel dan disimbolkan dengan F n (x). Definisi berikut mengacu dari Gibbons [10]. Definisi Misalkan X 1, X 2,..., X n merupakan sampel acak berukuran n yang diambil dari sebuah populasi dengan fungsi distribusi kumulatif F (x) bertipe kontinu dan X (1) < X (2) <... < X (n) disusun dalam urutan naik dari X i, maka susunan inilah yang disebut statistik terurut dari sampel acak X 1, X 2,..., X n. Misalkan X (1), X (2),..., X (n) adalah statistik terurut, fungsi distribusi empiris didefinisikan sebagai F n (x) = dengan i = 1, 2,..., n 1. 0, x < X (1) i n X (i) x < X (i+1) 1, X (n) x Uji Hipotesis Menurut Bain dan Engelhardt [5], uji hipotesis dilakukan untuk menentukan kebenaran atau kesalahan dari suatu hipotesis berdasarkan bukti pengamatan. Hipotesis ada dua macam yaitu hipotesis nol (H 0 ) dan hipotesis alternatif (H 1 ). Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan uji hipotesis, yaitu daerah kritis, statistik uji, tingkat signifikansi dan kekuatan uji. Definisi daerah kritis, tingkat signifikansi, dan kekuatan uji mengacu dari Bain dan Engelhardt [5] sedangkan definisi statistik uji dari Conover [7]. Definisi Daerah kritis suatu uji merupakan himpunan nilai-nilai statistik uji yang membawa ke penolakan hipotesis nol. Definisi Statistik uji adalah statistik yang digunakan untuk membantu membuat kesimpulan dalam suatu uji hipotesis. Keputusan yang dibuat dalam menolak atau menerima hipotesis mengandung ketidakpastian. Ini artinya keputusan yang diperoleh bisa salah dan juga 11
24 bisa benar. Adanya unsur ketidakpastian ini menyebabkan risiko bagi pembuat keputusan. Besar kecilnya risiko dinyatakan dalam nilai probabilitas. Tipe kesalahan yang mungkin terjadi dalam uji hipotesis ada dua macam. 1. Kesalahan tipe I Kesalahan tipe I merupakan kesalahan menolak H 0 padahal H 0 benar. Probabilitas kesalahan tipe I dinotasikan sebagai α sehingga dapat dituliskan P (Kesalahan tipe I)=α. 2. Kesalahan tipe II Kesalahan tipe II adalah kesalahan gagal menolak H 0 padahal H 0 salah. Probabilitas kesalahan tipe II dinotasikan β sehingga dapat dituliskan P (Kesalahan tipe II)=β. Definisi Tingkat signifikansi dari uji hipotesis yang dinotasikan dengan α adalah probabilitas maksimum menolak H 0 padahal H 0 benar. Definisi Kekuatan suatu uji merupakan besarnya probabilitas menolak H 0 ketika H 0 salah dan dinotasikan sebagai Kekuatan uji = 1-P (Kesalahan tipe II)=1-β Uji Kenormalan Berikut hipotesis dari pengujian kenormalan suatu variabel acak X. H 0 : H 1 : Sampel acak berasal dari populasi dengan fungsi distribusi F (x), dimana untuk kasus kenormalan F (x) berdistribusi normal. Sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal. Distribusi F (x) adalah normal dengan commit µ to dan user σ 2 yang tidak diketahui. Oleh karena itu, µ dan σ 2 n i diestimasi oleh x = x i dan s 2 n i = (x i x) 2. Variabel X n n 1 12
25 ditransformasikan menjadi variabel terstandarisasi Z. Karena µ dan σ 2 diestimasi oleh x dan s 2, maka variabel terstandarisasi Z dapat dihitung dengan rumus z i = (x i x)/s dan F (z i ) diperoleh dari tabel normal standar. Menurut Thode [24], uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris didasarkan pada perbandingan antara fungsi distribusi empiris F n (x) dan yang dihipotesiskan F (x). Razali dan Wah [15] menyatakan uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dibagi menjadi 2 kelas. 1. Uji yang didasarkan pada jarak maksimum antara F n (x) dan F (x), yang termasuk dalam kelas ini adalah uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper. 2. Uji Kuadratik. Pada kelas ini didasarkan pada kuadrat selisih antara F n (x) dan F (x). Uji Anderson-Darling dan Cramer-von Mises termasuk dalam uji kuadratik. Gambar 2.2 memberikan ilustrasi umum mengenai grafik fungsi distribusi empiris F n (x) dengan fungsi distribusi kumulatif normal F (x). Apabila F n (x) sangat berbeda dengan F (x), maka hipotesis nol akan ditolak. Ini berarti sampel acak tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Gambar 2.2. Fungsi distribusi empiris dan fungsi distribusi kumulatif normal 13
26 2.2.6 Uji Kolmogorov-Smirnov Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk mengetahui apakah suatu sampel acak dari populasi kontinu yang tidak diketahui mengikuti suatu distribusi tertentu. Statistik Kolmogorov-Smirnov D didefinisikan sebagai D = max(d +, D ) dimana D + = max i=1,2,...,n [ i n F (z i)] D = max i=1,2,...,n [F (z i ) i 1 n ]. Selanjutnya, Stephens [18] mendefinisikan modifikasi statistik Kolmogorov- Smirnov D sebagai D = ( n 0, , 85 n )D. Pengambilan keputusan dari uji Kolmogorov-Smirnov dapat dilihat dari daerah kritisnya. Daerah kritis untuk uji ini yaitu jika nilai modifikasi Kolmogorov- Smirnov D lebih besar dari nilai kritisnya, maka H 0 akan ditolak. Beberapa nilai kritis untuk modifikasi Kolmogorov-Smirnov D dengan masing-masing tingkat signifikansi α (Thode [24]) dapat dilihat pada Tabel 2.2. Tabel 2.2. Nilai kritis D α Nilai Kritis 10% 0,819 5% 0,895 2,5% 0,955 1% 1, Uji Kuiper Kuiper [13] pada tahun 1960 mengusulkan suatu uji kenormalan pada kategori fungsi distribusi empiris dengan mengkombinasikan statistik Kolmogorovcommit Smirnov, yaitu D + dan D. Uji kenormalan ini dikenal sebagai uji Kuiper. 14
27 Statistik Kuiper V didefinisikan sebagai V = D + + D dan modifikasi statistik Kuiper V untuk semua ukuran sampel (Stephens [18]) dinyatakan dengan V = ( n + 0, , 82 n )V. Selanjutnya, dalam mengambil keputusan pada pengujian hipotesis kenormalan data dengan uji ini diberikan suatu daerah kritis yaitu jika nilai modifikasi statistik Kuiper V lebih besar dari nilai kritisnya, maka H 0 akan ditolak. Besarnya nilai kritis untuk modifikasi statistik Kuiper V tampak dalam Tabel 2.3 dengan masing-masing tingkat signifikansi α (Thode [24]). Tabel 2.3. Nilai kritis V α Nilai Kritis 10% 1,386 5% 1,489 2,5% 1,585 1% 1, Uji Cramer-von Mises Conover [7] menyatakan bahwa uji Cramer-von Mises dikembangkan oleh Cramer dan von Mises. Uji Cramer-von Mises termasuk dalam uji kuadratik. Uji kudratik didefinisikan oleh Anderson dan Darling [2] sebagai n [F n (x) F (x)] 2 ψ(f (x))df (x). (2.1) dengan ψ(f (x)) fungsi pembobot. Uji cramer-von mises mempunyai fungsi pembobot ψ(f (x)) = 1 sehingga menjadi n [F n (x) F (x)] 2 df (x). 15
28 Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Anderson dan Darling [3], diberikan statistik Cramer-von Mises W 2 sebagai W 2 = 1 n 12n + [F (z i ) 2i 1 2n ]2. i=1 Modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2 yang diusulkan oleh Stephens [18] didefinisikan dengan W 2 = (1 + 0, 5 n )W 2. Uji Cramer-von Mises memberikan daerah kritis dalam pengujian hipotesis yaitu dengan membandingkan nilai modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2 dan nilai kritisnya. Jika nilai modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2 lebih besar daripada nilai kritis, maka hipotesis nol ditolak. Tabel 2.4 memberikan nilai kritis untuk modifikasi statistik Cramer-von Mises W 2 pada masing-masing tingkat signifikansi α (Stephens [18]). Tabel 2.4. Nilai kritis W 2 (α Nilai Kritis 10% 0,104 5% 0,126 2,5% 0,148 1% 0, Uji Anderson-Darling Uji Anderson-Darling merupakan suatu uji kenormalan yang termasuk dalam kategori fungsi distribusi empiris. Menurut Razali dan Wah [15], uji Anderson-Darling adalah modifikasi dari uji Cramer-von Mises sehingga juga termasuk dalam kelas kuadratik. Anderson dan Darling [3] menyatakan bahwa pembobot untuk uji ini adalah 1 ψ(f (x)) = F (x)[1 F (x)]. (2.2) 16
29 Oleh karena itu, dengan mensubstitusikan persamaan (2.2) ke (2.1) diperoleh n [F n (x) F (x)] 2 df (x). F (x)[1 F (x)] Dalam rangka mempermudah perhitungan, diberikan formula untuk statistik Anderson-Darling A 2 (Stephens [19]) dengan A 2 = n 1 n n [ (2i 1) ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )]. i=1 Selanjutnya Stephens [20] mendefinisikan modifikasi statistik Anderson-Darling A 2 sebagai A 2 = (1 + 0, 75 n + 2, 25 n 2 )A2. Daerah kritis untuk uji Anderson-Darling dalam menentukan H 0 ditolak atau diterima dengan membandingkan nilai modifikasi statistik Anderson-Darling A 2 dan nilai kritisnya. Apabila nilai modifikasi statistik Anderson-Darling A 2 lebih besar dari nilai kritisnya, maka H 0 akan ditolak. Tabel 2.5 menyajikan nilai kritis untuk modifikasi statistik Anderson-Darling A 2 tingkat signifikansi α (Thode [24]). dengan masing-masing Tabel 2.5. Nilai kritis A 2 α Nilai Kritis 10% 0,656 5% 0,787 2,5% 0,918 1% 1, Simulasi Monte Carlo Simulasi menurut Banks [6] adalah tiruan dari proses dunia nyata atau sistem. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari commit sistem to user yang diwakili. Menurut Efron [9], simulasi dilakukan sebanyak kali agar meyakinkan bahwa simulasi mampu 17
30 menjelaskan gambaran yang sebenarnya. Steelee dan Chaseling [17] mengatakan bahwa probabilitas penolakan hipotesis nol apabila hipotesis nol salah untuk masing-masing uji statistik dapat diestimasi dengan sampel acak yang disimulasi. Salah satu metode yang berperan dalam simulasi adalah metode Monte Carlo. Menurut Kakiay [12], prinsip kerja dari metode Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, apabila menghendaki model simulasi yang mengikutsertakan bilangan acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dan ditentukan, maka menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan untuk mengestimasi nilai kritis atau membandingkan kepekaan uji (Steelee dan Chaseling [17]). 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran yang mungkin dalam pembahasan penelitian ini. Dalam menguji kenormalan data, uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling memiliki perbedaan dalam perhitungan statistik uji. Hal ini menyebabkan adanya perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut. Mengingat pentingnya menguji kenormalan guna menentukan metode yang akan digunakan oleh statistikawan, maka diperlukan suatu uji yang kuat dalam mendeteksi kenormalan data. Penelitian ini membandingkan keempat uji tersebut berdasarkan kepekaannya untuk menolak H 0 ketika H 0 salah. Untuk memperoleh kepekaan uji masingmasing dalam menolak H 0 ketika H 0 salah, dilakukan simulasi sampel acak dari distribusi yang tidak normal sebanyak kali pengulangan. Karena penelitian ini menghendaki model simulasi yang melibatkan bilangan acak dari distribusi tertentu, maka menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Hasil simulasi tersebut dapat menghasilkan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data. 18
31 Bab III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan cara mempelajari materi karya-karya ilmiah pada jurnal maupun buku referensi. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut. 1. Mengidentifikasi pengujian kenormalan dengan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 2. Memberikan contoh adanya perbedaan kesimpulan diantara uji Kolmogorov- Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 3. Mengkonstruksi metode simulasi Monte Carlo dengan software Matlab 7.1. (a) Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi eksponensial dengan ukuran sampel sebesar 10 sebanyak kali. (b) Setiap data bangkitan pada langkah (a) dihitung statistik ujinya dari keempat uji tersebut. (c) Jika statistik uji masing-masing lebih besar daripada nilai kritisnya, maka H 0 ditolak. (d) Menghitung jumlah H 0 yang ditolak dari pengulangan untuk masing-masing uji. (e) Menghitung persentase menolak H 0 untuk masing-masing uji. Persentase menolak H 0 = jumlah H 0 yang ditolak x100% (f) Mengulangi langkah (a) commit sampai to (e) user untuk ukuran sampel yang bervariasi yaitu 20, 30,...,
32 (g) Membuat grafik antara ukuran sampel yang bervariasi dan persentase menolak H 0 dari keempat uji tersebut. (h) Mengulangi langkah (a) sampai (g) untuk distribusi gamma, chi-kuadrat, beta, dan uniform. 4. Membandingkan uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling berdasarkan hasil simulasi. Uji yang memiliki kepekaan tertinggi dalam menolak H 0 ketika H 0 salah merupakan uji yang paling kuat dalam menguji kenormalan data. Diagram alir dalam mengkonstruksi program simulasi disajikan selengkapnya dalam Gambar
33 Gambar 3.1. Diagram alir simulasi 21
34 Bab IV PEMBAHASAN Dalam bagian ini yang dilakukan pertama kali adalah mengidentifikasi pengujian kenormalan menggunakan uji kenormalan berdasarkan kategori fungsi distribusi empiris yaitu uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Selanjutnya diberikan contoh ketika hasil kesimpulan berbeda antara uji yang satu dengan yang lainnya. Untuk mengatasinya, dilakukan simulasi Monte Carlo guna memperoleh kepekaan uji masing-masing dalam menolak H 0 ketika H 0 salah sehingga diperoleh uji yang kuat dalam menguji kenormalan data. 4.1 Prosedur Pengujian Pada bagian ini, diberikan langkah-langkah pengujian hipotesis untuk mengetahui sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak. 1. Uji Kolmogorov Smirnov Berikut langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. (a) Hipotesis H 0 : H 1 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika D Tabel 2.2 > commit nilai kritis, to user dimana nilai kritis diperoleh dari 22
35 (d) Statistik uji Statistik uji dari uji Kolmogorov-Smirnov menggunakan jarak maksimum antara F n (x) dan F (x), yaitu [F n (x)-f (x)] dan [F (x)- F n (x)]. Untuk F n (x)>f (x), perumusan statistik uji Kolomogorov- Smirnov adalah [F n (x)-f (x)] dan dinotasikan dengan D. Sebaliknya untuk F n (x)<f (x), statistik uji Kolomogorov-Smirnov dinotasikan dengan D dan dirumuskan dengan [F (x)-f n (x)]. Dari dua hal tersebut diambil nilai yang maksimum. Nilai ini merupakan statistik uji dari uji Kolomogorov-Smirnov yang dinotasikan dengan D. Statistik uji Kolomogorov-Smirnov D tersebut kemudian dimodifikasi oleh Stephens [18] dengan metode simulasi Monte Carlo. Berikut perumusan statistik uji Kolomogorov-Smirnov yang dimodifikasi. dengan D = ( n 0, , 85 n )D (4.1) D + = max i=1,2,...,n [ i n F (z i)] D = max i=1,2,...,n [F (z i ) i 1 n ] D = max(d +, D ) dimana D adalah modifikasi statistik Kolmogorov-Smirnov, D adalah statistik Kolmogorov-Smirnov, n adalah banyaknya sampel acak dan F (z i ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk z i = (x i x)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan x i merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan 2. Uji Kuiper Uji Kuiper mengkombinasikan statistik Kolmogorov-Smirnov, yaitu D + dan D. Berikut ini adalah uji hipotesis untuk kenormalan data menggunakan uji Kuiper. 23
36 (a) Hipotesis H 0 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal H 1 : sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika V Tabel 2.3 > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari (d) Statistik uji Statistik uji Kuiper merupakan kombinasi statistik Kolmogorov- Smirnov, yaitu D + dan D sehingga uji ini juga menggunakan jarak maksimum antara F n (x) dan F (x). Sama halnya uji Kolmogorov- Smirnov, statistik uji Kuiper juga dimodifikasi dan dinotasikan dengan V. Berikut ini perumusan dari modifikasi statistik Kuiper V. V = ( n + 0, , 82 n )V (4.2) dengan V = D + + D. Notasi V menunjukkan statistik Kuiper, V adalah modifikasi statistik Kuiper dan n adalah banyaknya sampel acak (e) Kesimpulan 3. Uji Cramer-von Mises Langkah-langkah pengujian hipotesis untuk kenormalan data dengan uji Cramer-von Mises sebagai berikut. (a) hipotesis H 0 : H 1 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) tingkat signifikansi (α) (c) daerah kritis H 0 ditolak jika W 2 Tabel 2.4 > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari 24
37 (d) statistik uji Statistik uji Cramer-von Mises menggunakan kuadrat selisih antara F n (x) dan F (x) dengan fungsi pembobot ψ(f (x)) = 1, yaitu n [F n(x) F (x)] 2 df (x). Sebagaimana yang telah dinyatakan oleh Anderson dan Darling [?], didefinisikan statistik Cramer-von Mises agar mempermudah dalam perhitungan, yaitu 1 12n + n i=1 [F (z i) 2i 1 2n ]2. Rumus 2i 1 2n merupakan rata-rata dari i n i 1 dan. Seperti uji- n uji yang sebelumnya, statistik Cramer-von Mises juga dimodifikasi. Perumusan modifikasi statistik Cramer-von Mises adalah dengan W 2 = 1 12n + n i=1 [F (z i) 2i 1 2n ]2 dimana W 2 W 2 = (1 + 0, 5 n )W 2 (4.3) adalah modifikasi statistik Cramer-von Mises, W 2 adalah statistik Cramer-von Mises, n adalah banyaknya sampel acak dan F (z i ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk z i = (x i x)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan x i merupakan statistik terurut. (e) kesimpulan 4. Uji Anderson-Darling Berikut ini adalah pengujian hipotesis untuk kenormalan data yang menggunakan uji Anderson-Darling. (a) Hipotesis H 0 : H 1 : sampel acak berasal dari populasi berdistribusi normal sampel acak tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika A 2 Tabel 2.5 > nilai kritis, dimana nilai kritis diperoleh dari 25
38 (d) Statistik uji Statistik uji Anderson-Darling didefinisikan dengan n [F n (x) F (x)] 2 df (x) F (x)[1 F (x)] dimana 1 F (x)[1 F (x)] merupakan fungsi pembobot. Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diketahui bahwa statistik uji Anderson-Darling juga menggunakan kuadrat selisih antara F n (x) dan F (x). Menurut Stephens [19], dalam rangka mempermudah perhitungan diberikan formula untuk statistik Anderson-Darling, yaitu n 1 n [ n i=1 ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )]. Formula 2i 1 n dalam perumusan tersebut merupakan penambahan antara i n i 1 dan. n Stephens juga memodifikasi statistik Anderson-Darling melalui simulasi Monte Carlo. Berikut modifikasi statistik Anderson-Darling. dengan A 2 = (1 + 0, 75 n + 2, 25 n 2 )A2 (4.4) A 2 = n 1 n n i=1 (2i 1) [ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )] dimana A 2 adalah modifikasi statistik Anderson-Darling, A 2 adalah statistik Anderson-Darling, n adalah banyaknya sampel acak dan F (z i ) adalah distribusi probabilitas kumulatif normal standar untuk z i = (x i x)/s yang diperoleh dari tabel normal standar dengan x i merupakan statistik terurut. (e) Kesimpulan 4.2 Perbedaan Kesimpulan Di sini diberikan dua contoh adanya perbedaan kesimpulan diantara uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Contoh Perbedaan kesimpulan antara uji Kolmogorov-Smirnov dengan uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. 26
39 Diberikan data X yang memuat sampel acak yang dibangkitkan dengan n = 10. Data ditampilkan pada Tabel 4.1 dan diperoleh x = 0, dan s = 1, Tabel 4.1. Data bangkitan pertama -0, , , , , , , , , ,86610 Langkah awal dalam pengujian kenormalan untuk keempat uji tersebut adalah mengurutkan data dari kecil ke besar. Data terurut tersebut selengkapnya tampak dalam Tabel 4.2. Tabel 4.2. Data terurut -1, , , , , , , , , ,46901 Berikut ini dilakukan pengujian kenormalan terhadap data Tabel 4.2 untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises dan Anderson- Darling dengan tingkat signifikansi 5%. 1. Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika D > 0,895 (d) Statistik uji Statistik uji ini, yaitu D, ditentukan dengan (4.1). Agar lebih mudah, ditentukan dahulu nilai D + dan D. Perhitungan kedua nilai tersebut terlihat dalam Tabel 4.3. Dari Tabel 4.3, khususnya kolom 7 dan 8 diperoleh D + = max[ i n F (z i)] = 0, dan D = max[f (z i ) i 1 n ] = 27
40 0, Berdasarkan nilai D + dan D, diperoleh nilai yang maksimum dari keduanya sebesar 0,27241 sehingga D = 0, Dengan demikian, D = 0, i x i i n Tabel 4.3. Perhitungan D i 1 n z i = (x i x)/s F (z i ) i n F (z i) F (z i ) i 1 n 1-1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,06587 (e) Kesimpulan Karena D = 0, >0,895 maka H 0 ditolak. Ini berarti data yang dibangkitkan dan yang disajikan dalam Tabel 4.2 tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 2. Menggunakan Uji Kuiper (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika V > 1,489 28
41 (d) Statistik uji Dari perhitungan sebelumnya, D + = 0, dan D = 0, sehingga nilai V = 0, Dengan (4.2), diperoleh V = 1, (e) Kesimpulan Karena V = 1, <1,489 maka H 0 diterima. Artinya data hasil bangkitan yang ditampilkan dalam Tabel 4.2 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 3. Menggunakan Uji Cramer-von Mises (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika W 2 > 0,126 (d) Statistik uji Statistik uji ini, yaitu W 2, dirumuskan dalam persamaan (4.3). Dari (4.3), terlihat bahwa terlebih dahulu ditentukan nilai W 2. W 2 bergantung pada nilai [F (z i ) 2i 1 2n ]2. berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Nilai Oleh karena itu, nilai [F (z i ) 2i 1 2n ]2 harus dihitung terlebih dahulu. Perhitungan nilai tersebut tampak dalam Tabel 4.4. Dari Tabel 4.4, khususnya kolom 7 baris 12 dapat diperoleh 10 i=1 [F (z i) 2i 1 2n ]2 = 0, sehingga nilai W 2 = 0, Dengan demikian, W 2 = 0, (e) Kesimpulan Karena W 2 = 0, < 0,126 maka H 0 diterima. Ini artinya data yang disajikan dalam Tabel 4.2 dan merupakan data hasil bangkitan 4. Menggunakan Uji Anderson Darling 29
42 Tabel 4.4. Perhitungan W 2 i x i z i = (x i x)/s F (z i ) 2i 1 2n F (z i ) 2i 1 2n [F (z i ) 2i 1 2n ]2 1-1, , , ,05 0, , , , , ,15 0, , , , , ,25-0, , , , , ,35-0, , , , , ,45-0, , , , , ,55-0, , , , , ,65-0, , , , , ,75 0, , , , , ,85 0, , , , , ,95 0, , i=1 [F (z i) 2i 1 2n ]2 = 0,0837 (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika A 2 > 0,787 (d) Statistik uji Statistik uji Anderson-Darling, yaitu A 2, dihitung dengan persamaan (4.4). Untuk memperoleh A 2, terlebih dahulu dihitung nilai A 2. Nilai [ A 2 bergantung pada nilai (2i 1) ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )]. Perhitungan nilai tersebut disajikan dalam Tabel 4.5. Dari tabel ini, 10 i=1 (2i 1) [ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )] = 105, sehingga A 2 = 0, Berdasarkan nilai tersebut, dapat diperoleh A 2 = 0, (e) Kesimpulan 30
43 Tabel 4.5. Perhitungan A 2 i x i z i = F (z i ) ln ( F (z i ) ) ln ( 1 F (z n+1 i ) ) (2i 1) [ ln ( F (z i ) ) + (x i x)/s ln ( 1 F (z n+1 i ) )] 1-1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , i=1 (2i 1)[ ln ( F (z i ) ) + ln ( 1 F (z n+1 i ) )] = -105,04973 Karena A 2 = 0, < 0,787 maka H 0 diterima. Artinya data hasil bangkitan yang terdapat dalam Tabel 4.2 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Sampai di sini, dengan uji Kolmogorov-Smirnov data yang dibangkitkan ketika n = 10 merupakan data yang tidak berasal dari populasi berdistribusi normal. Sebaliknya, jika dengan uji Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson- Darling maka data tersebut berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Contoh Perbedaan kesimpulan antara uji Kolmogorov-Smirnov dan Kuiper dengan uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling. Disini dibangkitkan lagi (kedua), data juga dengan n = 10. Data tersebut selengkapnya tampak dalam Tabel 4.6. Tabel 4.6. Data bangkitan kedua -0, , , , , , , , , ,2037 Berikut ini dilakukan pengujian kenormalan terhadap data yang disajikan dalam Tabel 4.6 untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper s, 31
44 Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling dengan tingkat signifikansi 5%. 1. Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika D > 0,895 (d) Statistik uji Berdasarkan perhitungan diperoleh D = 0, (e) Kesimpulan Karena D = 0, <0,895 maka H 0 diterima. Artinya data yang dibangkitkan dan yang disajikan dalam Tabel 4.6 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 2. Menggunakan Uji Kuiper (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika V > 1,489 (d) Statistik uji Dari perhitungan diperoleh nilai V =1,38841 (e) Kesimpulan Karena V = 1, <1,489 maka H 0 diterima. Ini berarti data hasil bangkitan yang ditampilkan dalam Tabel 4.6 berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 32
45 3. Menggunakan Uji Cramer-von Mises (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika W 2 > 0,126 (d) Statistik uji Berdasarkan perhitungan diperoleh nilai W 2 =0, (e) Kesimpulan Karena W 2 = 0, > 0,126 maka H 0 ditolak. Hal ini berarti data yang disajikan dalam Tabel 4.6 yang merupakan hasil bangkitan tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 4. Menggunakan Uji Anderson Darling (a) Hipotesis H 0 : H 1 : data berasal dari populasi berdistribusi normal data tidak berasal dari populasi berdistribusi normal (b) Tingkat signifikansi (α) = 5% (c) Daerah kritis H 0 ditolak jika A 2 > 0,787 (d) Statistik uji Dari perhitungan diperoleh A 2 =0, (e) Kesimpulan Karena A 2 = 0, > 0,787 maka H 0 ditolak. Ini berarti data yang dibangkitkan dan yang commit ditampilkan to user dalam Tabel 4.6 tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. 33
46 Data yang dibangkitkan kedua ketika n = 10 menggunakan uji Kolmogorov- Smirnov dan Kuiper merupakan data yang berasal dari populasi berdistribusi normal. Sedangkan, jika digunakan uji Cramer-von Mises dan Anderson-Darling maka data tersebut tidak berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Dari dua contoh tersebut, yaitu pembangkitan data dengan n = 10 sebanyak dua kali, tampak bahwa terdapat perbedaan kesimpulan diantara keempat uji tersebut. Untuk mengatasinya, dilakukan simulasi sampel acak dari distribusi yang tidak normal sebanyak kali pengulangan guna memperoleh kepekaan uji masing-masing untuk menolak H 0 ketika H 0 salah. Karena menghendaki model simulasi yang melibatkan bilangan acak dari distribusi tertentu, maka menggunakan metode simulasi Mote Carlo. 4.3 Simulasi Monte Carlo Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan acak dari distribusi tertentu. Bilangan acak yang dibangkitkan tersebut dipandang sebagai sampel acak. Dalam kasus ini, sampel acak dibangkitkan dari berbagai distribusi yang tidak normal antara lain distribusi eksponensial, chi-kuadrat, gamma, beta, dan uniform. Pembangkitan sampel acak dari masing-masing distribusi tersebut menggunakan ukuran sampel yang bervariasi yaitu 10, 20,...,100. Setiap ukuran sampel dari distribusi tersebut diulang sebanyak kali. Selanjutnya, diambil tingkat signifikansi juga sebesar 5% dan dilakukan pengujian kenormalan terhadap sampel acak tersebut untuk masing-masing uji Kolmogorov-Smirnov, Kuiper, Cramer-von Mises, dan Anderson-Darling. Dengan demikian, dapat diperoleh banyaknya H 0 yang ditolak dari pengulangan untuk keempat uji tersebut. Simulasi ini dilakukan dengan bantuan software Matlab
PERBANDINGAN KEPEKAAN UJI KENORMALAN UNIVARIAT PADA KATEGORI MOMEN MELALUI SIMULASI MONTE CARLO
PERBANDINGAN KEPEKAAN UJI KENORMALAN UNIVARIAT PADA KATEGORI MOMEN MELALUI SIMULASI MONTE CARLO oleh SITI NURJANAH M0109061 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciS - 19 UJI NORMALITAS BERDASARKAN METODE ANDERSON- DARLING, CRAMER-VON MISES DAN LILLIEFORS MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP
S - 19 UJI NORMALITAS BERDASARKAN METODE ANDERSON- DARLING, CRAMER-VON MISES DAN LILLIEFORS MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP Janse Oktaviana Fallo 1, Adi Setiawan 2, Bambang Susanto 3 1,2,3 Program Studi Matematika
Lebih terperinciPower Dari Uji Kenormalan Data
Power Dari Uji Kenormalan Data Dosen Jurusan Teknik Mesin-Fakultas Teknologi Industri, Universitas Kristen Petra Center for Quality Improvement Jl. Siwalankerto 121-131, Surabaya 60293 dwahjudi@peter.petra.ac.id
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
Lebih terperinciPENENTUAN UKURAN CONTOH DAN REPLIKASI BOOTSTRAP UNTUK MENDUGA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 53 61 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN UKURAN CONTOH DAN REPLIKASI BOOTSTRAP UNTUK MENDUGA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA OLIVIA ATINRI,
Lebih terperinciPENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA BERDASARKAN INDIKATOR PERTUMBUHAN KREDIT DOMESTIK
PENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA BERDASARKAN INDIKATOR PERTUMBUHAN KREDIT DOMESTIK oleh PITANINGSIH NIM. M0110064 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL
PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW, 3 Dosen
Lebih terperinciPENERAPANALMOST STOCHASTIC DOMINANCE DAN NEW ALMOST STOCHASTIC DOMINANCE PADA PRODUKSI PERIKANAN TANGKAP DI INDONESIA
PENERAPANALMOST STOCHASTIC DOMINANCE DAN NEW ALMOST STOCHASTIC DOMINANCE PADA PRODUKSI PERIKANAN TANGKAP DI INDONESIA oleh MUTIA HANNY PRATIWI M0110057 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian
Lebih terperinciDISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS
DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK
Lebih terperinciMODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) oleh SILVIA KRISTANTI M0109060 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperincioleh ANADIORA EKA PUTRI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
MODEL PERSEDIAAN TERINTEGRASI PRODUSEN DAN DISTRIBUTOR DENGAN INVESTASI UNTUK MENGURANGI BIAYA PERSIAPAN, PENINGKATAN KUALITAS PROSES PRODUKSI, DAN POTONGAN HARGA UNTUK BACKORDER oleh ANADIORA EKA PUTRI
Lebih terperinciDEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciMODEL PERSEDIAAN FUZZY DENGAN PENGURANGAN BIAYA PEMESANAN DAN KENDALA TINGKAT LAYANAN
MODEL PERSEDIAAN FUZZY DENGAN PENGURANGAN BIAYA PEMESANAN DAN KENDALA TINGKAT LAYANAN oleh MARIA VEANY ALVITARIA PRASETYAWATI NIM. M0109046 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciKajian Beberapa Uji Kenormalan dan Kaitannya dengan Asumsi Kenormalan pada Beberapa Uji Statistika
Kajian Beberapa Uji Kenormalan dan Kaitannya dengan Asumsi Kenormalan pada Beberapa Uji Statistika Agus Santoso e-mail : aguss@mail.ut.ac.id (Jurusan Statistika FMIPA Universitas Terbuka) Abstract T-test
Lebih terperinciPERBANDINGAN TINGKAT AKURASI REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE DAN REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL PADA PERTUMBUHAN BALITA DI KOTA SURAKARTA
PERBANDINGAN TINGKAT AKURASI REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE DAN REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL PADA PERTUMBUHAN BALITA DI KOTA SURAKARTA oleh FEBRIANI ASTUTI M0111036 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciPERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 139 146 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PERBANDINGAN KUASA WILCOXON RANK SUM TEST DAN PERMUTATION TEST DALAM BERBAGAI DISTRIBUSI TIDAK NORMAL
Lebih terperinciInterval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Menggunakan Bootstrap pada Data Kekuatan Gempa Bumi
Interval Kepercayaan Skewness dan Kurtosis Menggunakan ootstrap pada Data Kekuatan Gempa umi Hardianti Hafid, Anisa, Anna Islamiyati Program Studi Statistia, FMIPA, Universitas Hasanuddin Gempa bumi yang
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI M-KUANTIL MENGGUNAKAN METODE ITERATIVE REWEIGHTED LEAST SQUARE (IRLS)
ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI M-KUANTIL MENGGUNAKAN METODE ITERATIVE REWEIGHTED LEAST SQUARE (IRLS) oleh Lisa Apriana Dewi M0108055 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratanmemperoleh
Lebih terperincioleh DYAH WARDIYANI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PROBABILITAS WAKTU DELAY MODEL EPIDEMI ROUTING oleh DYAH WARDIYANI M0109021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciSTATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI
STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran
Lebih terperinciDistribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi
Lebih terperinciPENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA BERDASARKAN INDIKATOR RASIO CADANGAN INTERNASIONAL TERHADAP M2 (UANG BEREDAR)
PENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA BERDASARKAN INDIKATOR RASIO CADANGAN INTERNASIONAL TERHADAP M2 (UANG BEREDAR) oleh DIAH PUTRI UTAMI NIM. M0110018 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Data Data adalah bentuk jamak dari datum, yang dapat diartikan sebagai informasi yang diterima yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau dalam bentuk lisan dan tulisan
Lebih terperinciRATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA
RATA-RATA KUADRAT SESATAN PENDUGA REGRESI DENGAN KOMBINASI LINIER DUA VARIABEL BANTU PADA SAMPEL ACAK SEDERHANA oleh INTAN LISDIANA NUR PRATIWI NIM. M0110040 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciKULIAH ANALISIS STATISTIK DATA SIMULASI Tipe-tipe simulasi berdasarkan analisis output:
KULIAH ANALISIS STATISTIK DATA SIMULASI Tipe-tipe simulasi berdasarkan analisis output: 1. Terminating simulation 2. Nonterminating simulation: a. Steady-state parameters b. Steady-state cycle parameters
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan
Lebih terperinciStatistik Dasar. 1. Pendahuluan Persamaan Statistika Dalam Penelitian. 2. Penyusunan Data Dan Penyajian Data
Statistik Dasar 1. Pendahuluan Persamaan Statistika Dalam Penelitian 2. Penyusunan Data Dan Penyajian Data 3. Ukuran Tendensi Sentral, Ukuran Penyimpangan 4. Momen Kemiringan 5. Distribusi Normal t Dan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari 3 bagian. Pada bagian pertama diberikan tinjauan pustaka dari penelitian sebelumnya. Pada bagian kedua diberikan teori penunjang untuk mencapai tujuan penelitian
Lebih terperinciPERAMALAN JUMLAH WISATAWAN GROJOGAN SEWU MENGGUNAKAN MODEL REGRESI RUNTUN WAKTU DENGAN EFEK VARIASI KALENDER
PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN GROJOGAN SEWU MENGGUNAKAN MODEL REGRESI RUNTUN WAKTU DENGAN EFEK VARIASI KALENDER oleh APRILLIA COSASI M0109014 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciterhadap kesehatan persalinan. Sehingga tak heran jika negara-negara maju di
Nama: Ummi Fadilah NIM: 12/339683/PPA/3995 Teori Resiko Aktuaria PROSES PEMODELAN PENDAHULUAN Salah satu ciri dari negara maju adalah pemerintah dan masyarakat yang peduli terhadap kesehatan persalinan.
Lebih terperinciPROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN Tbk
PROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN Tbk oleh RIRIN DWI UTAMI M0113041 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA
PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA oleh FIQIH SOFIANA M0109030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciPERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA
Saintia Matematika Vol. 1, No. 3 (2013), pp. 299 312. PERBANDINGAN DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI POISSON DENGAN PARAMETER YANG BERBEDA Raini Manurung, Suwarno Ariswoyo, Pasukat Sembiring Abstrak.
Lebih terperinciABSTRACT. Keywords : rainfall, forecasting, fuzzy time series seasonal method
ABSTRAK Risqa Fitrianti Khoiriyah. 2016. PERAMALAN CURAH HUJAN DI STASIUN PABELAN SUKOHARJO DENGAN METODE RUNTUN WAKTU FUZZY MUSIMAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas
Lebih terperinciPERBANDINGAN RAMALAN MODEL TARCH DAN EGARCH PADA NILAI TUKAR KURS EURO TERHADAP RUPIAH
PERBANDINGAN RAMALAN MODEL TARCH DAN EGARCH PADA NILAI TUKAR KURS EURO TERHADAP RUPIAH Oleh RETNO HESTININGTYAS M0106061 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciPENDUGA RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, VARIASI VARIABEL BANTU, DAN KORELASI PADA PRODUKSI KEDELAI DI PULAU JAWA TAHUN 2013
PENDUGA RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, VARIASI VARIABEL BANTU, DAN KORELASI PADA PRODUKSI KEDELAI DI PULAU JAWA TAHUN 2013 oleh TONI IRAWAN M0110078 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian
Lebih terperinciSTATISTICS. Hanung N. Prasetyo WEEK 10 TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS Hanung N. Prasetyo WEEK 10 A. BEBERAPA CARA UJI NORMALITAS 1. RASIO SKEWNESS DAN RASIO KURTOSIS Rasio Skewnwss = Nilai Skewnwss/ S.E. Skewness Rasio Kurtosis = Nilai Kurtosis / S.E. Kurtosis
Lebih terperinciMODEL REGRESI ROBUST MENGGUNAKAN ESTIMASI S DAN ESTIMASI GS
MODEL REGRESI ROBUST MENGGUNAKAN ESTIMASI S DAN ESTIMASI GS (Studi Kasus Produksi Jagung di Indonesia) Oleh VICTOR SATRIA SAPUTERA M0112089 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciESTIMASI RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI DAN KORELASI PADA PRODUKSI KACANG TANAH DI PROVINSI JAWA TENGAH
ESTIMASI RASIO MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI DAN KORELASI PADA PRODUKSI KACANG TANAH DI PROVINSI JAWA TENGAH oleh RAMADHANI KUSUMA PUTRA M0110069 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciMODEL EPIDEMI ROUTING
MODEL EPIDEMI ROUTING oleh MAFTUHAH QURROTUL AINI M0109044 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
4 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. mengestimasi parameter regresi. Distribusi generalized. digunakan dalam bidang ekonomi dan keuangan.
II. TINJAUAN PUSTAKA Distribusi generalized,,, adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald dan Newey 988 untuk mengestimasi parameter regresi.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan diuraikan mengenai beberapa teori dan metode yang mendukung serta mempermudah dalam melakukan perhitungan dan dapat membantu di dalam pembahasan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN TEORITIS. Menurut Darnius, O (2006, Hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu
BAB II TINJAUAN TEORITIS 2.1 Pendahulauan Menurut Darnius, O (2006, Hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu rekayasa suatu model logika ilmiah untuk melihat kebenaran/kenyataan model tersebut.
Lebih terperinciOPTIMALISASI PORTOFOLIO SAHAM MENGGUNAKAN MODEL MIXTURE OF MIXTURE
OPTIMALISASI PORTOFOLIO SAHAM MENGGUNAKAN MODEL MIXTURE OF MIXTURE oleh FITRI YANA SARI NIM. M0110027 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciANALISA KEANDALAN PADA PERALATAN UNIT PENGGILINGAN AKHIR SEMEN UNTUK MENENTUKAN JADWAL PERAWATAN MESIN (STUDI KASUS PT. SEMEN INDONESIA PERSERO TBK.
ANALISA KEANDALAN PADA PERALATAN UNIT PENGGILINGAN AKHIR SEMEN UNTUK MENENTUKAN JADWAL PERAWATAN MESIN (STUDI KASUS PT. SEMEN INDONESIA PERSERO TBK.) I Gusti Ngr. Rai Usadha 1), Valeriana Lukitosari 2),
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciMODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan
Lebih terperinciUKURAN SAMPEL DAN DISTRIBUSI SAMPLING DARI BEBERAPA VARIABEL RANDOM KONTINU
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 3, o.1 (14), hal 1-6. UKURA SAMPEL DA DISTRIBUSI SAMPLIG DARI BEBERAPA VARIABEL RADOM KOTIU Muhammad urudin, Muhlasah ovitasari Mara, Dadan Kusnandar
Lebih terperinciSKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
PERBANDINGAN GRAFIK PENGENDALI GRAND MEDIAN DAN CUMULATIVE SUM PADA VARIABEL BERAT SHUTTLECOCK DI CV MARJOKO KOMPAS DAN DOMAS oleh NURUL MUSDALIFAH M0112064 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi Normal Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang
Lebih terperinciPENDUGA RASIO PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KURTOSIS, DAN KORELASI
PENDUGA RASIO PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KURTOSIS, DAN KORELASI oleh EKO BUDI SUSILO M0110022 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
17 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Fenomena menunggu untuk kemudian mendapatkan pelayanan, seperti halnya nasabah yang menunggu pada loket bank, kendaraan yang menunggu pada lampu merah, produk yang
Lebih terperinciINFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Industri dan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl
Lebih terperinciSTATISTICS. Oleh: Hanung N. Prasetyo DISTRIBUSI NORMAL WEEK 6 TELKOM POLTECH/HANUNG NP
STATISTICS WEEK 6 Oleh: Hanung N. Prasetyo DISTRIBUSI NORMAL Pengantar: Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi kontinyu yang sangat penting di bidang statistika. diantaranya distribusi normal.
Lebih terperinciBAB IV KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 64
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii KATA PENGANTAR... v ABSTRAK... vii ABSTACT... viii DAFTAR ISI... ix DAFTAR SIMBOL... xii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR
Lebih terperinciDISTRIBUSI NORMAL. Pertemuan 3. Distribusi Normal_M. Jainuri, M.Pd 1
DISTRIBUSI NORMAL Pertemuan 3 1 Distribusi Normal Pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre (1733). De Moivre menemukan persamaan matematika untuk kurva normal yang menjadi dasar dalam banyak teori
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan
4 II. LANDASAN TEORI Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Lambda Tukey. Keluarga distribusi
Lebih terperinciPenentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma
Jurnal Penelitian Sains Volume 6 Nomor (A) April 0 Penentuan Momen ke-5 dari Distribusi Gamma Robinson Sitepu, Putra B.J. Bangun, dan Heriyanto Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya, Indonesia
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Eponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil
Lebih terperinciPERAMALAN JUMLAH WISATAWAN GROJOGAN SEWU MENGGUNAKAN MODEL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE EXOGENOUS (ARIMAX) DENGAN VARIASI KALENDER
PERAMALAN JUMLAH WISATAWAN GROJOGAN SEWU MENGGUNAKAN MODEL AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE EXOGENOUS (ARIMAX) DENGAN VARIASI KALENDER Oleh SAHETI ULLY FATWA M0109058 SKRIPSI ditulis dan diajukan
Lebih terperinciANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA DENGAN METODE THEIL
ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA DENGAN METODE THEIL SKRIPSI Oleh : Prayitno Amigoro NIM. J2E 004 242 PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciMA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean
MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER A. Musdalifa, Raupong, Anna Islamiyati Abstrak Estimasi parameter adalah merupakan hal
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan
Lebih terperinciREGRESI LOG-LOGISTIK UNTUK DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE I. oleh NANDA HIDAYATI M
REGRESI LOG-LOGISTIK UNTUK DATA TAHAN HIDUP TERSENSOR TIPE I oleh NANDA HIDAYATI M0108098 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER 1 ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN TRANSFORMASI MODEL REGRESI MENGGUNAKAN
Lebih terperinciSTATISTIKA. Statistika pengkuantifikasian (pengkuantitatifan) hasil-hasil pengamatan terhadap kejadian, keberadaan, sifat/karakterisitik, tempat, dll.
STATISTIKA Statistika pengkuantifikasian (pengkuantitatifan) hasil-hasil pengamatan terhadap kejadian, keberadaan, sifat/karakterisitik, tempat, dll. Statistika deskriptif: pencatatan dan peringkasan hasil
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika merupakan salah satu ilmu matematika yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Di dalamnya mencakup berbagai sub pokok-sub pokok materi yang sangat bermanfaat
Lebih terperinciPENAKSIRAN PARAMETER REGRESI LINIER DENGAN METODE BOOTSTRAP MENGGUNAKAN DATA BERDISTRIBUSI NORMAL DAN UNIFORM
BIAStatistics (2015) Vol. 9, 2, hal. 28-32 PENAKSIRAN PARAMETER REGRESI LINIER DENGAN METODE BOOTSTRAP MENGGUNAKAN DATA BERDISTRIBUSI NORMAL DAN UNIFORM Munawar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Syiah
Lebih terperinciANALISIS ANOMALI KALENDER DI PASAR SAHAM INDONESIA DENGAN STOCHASTIC DOMINANCE
ANALISIS ANOMALI KALENDER DI PASAR SAHAM INDONESIA DENGAN STOCHASTIC DOMINANCE oleh NUR LAELA M0110062 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciUJI STATISTIK NON PARAMETRIK. Widha Kusumaningdyah,, ST., MT
UJI STATISTIK NON PARAMETRIK Widha Kusumaningdyah,, ST., MT UJI KERANDOMAN (RANDOMNESS TEST / RUN TEST) Uji KERANDOMAN Untuk menguji apakah data sampel yang diambil merupakan data yang acak / random Prosedur
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Analisis regresi adalah suatu metode analisis data yang menggambarkan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Analisis Regresi Analisis regresi adalah suatu metode analisis data yang menggambarkan hubungan fungsional antara variabel respon dengan satu atau beberapa variabel prediktor.
Lebih terperinciBAB IV KAJIAN SIMULASI: PENDEKATAN BAYES PADA DATA n<<p DAN TERDAPAT KEKOLINEARAN-GANDA
BAB IV KAJIAN SIMULASI: PENDEKATAN BAYES PADA DATA n
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN
Lebih terperinciDISTRIBUSI PELUANG KONTINYU DISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI PROBABILITAS Berbeda dengan variabel random diskrit, sebuah variabel random kontinyu adalah variabel yang dapat mencakup nilai pecahan maupun mencakup range/ rentang nilai tertentu. Karena terdapat
Lebih terperinciDistribusi Normal Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai
Distribusi Normal Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial
Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial 11 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Distribusi Gamma Distribusi Eksponensial 3 Distribusi Gamma Tidak selamanya
Lebih terperincioleh ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika SURAKARTA
PEMILIHAN JENIS KARTU TELEPON SELULER DI SURAKARTA MENGGUNAKAN ANALISIS FAKTOR oleh ASTIKA RATNAWATI M 0105025 S K R I P S I ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciSIMULASI ANTRIAN PELAYANAN BONGKAR MUAT KAPAL
SEMINAR TUGAS AKHIR SIMULASI ANTRIAN PELAYANAN BONGKAR MUAT KAPAL (STUDI KASUS TERMINAL MIRAH PELABUHAN TANJUNG PERAK SURABAYA) Oleh : Risky Abadi 1203.109.004 Latar Belakang Pelabuhan Tanjung Perak sebagai
Lebih terperinciPENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA BERDASARKAN FAKTOR SOSIODEMOGRAFI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 58 65 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN REGRESI POISSON DAN BINOMIAL NEGATIF DALAM MEMODELKAN JUMLAH KASUS PENDERITA AIDS DI INDONESIA
Lebih terperinciKOMPUTASI METODE EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE UNTUK PENGENDALIAN KUALITAS PROSES PRODUKSI MENGGUNAKAN GUI MATLAB
KOMPUTASI METODE EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE UNTUK PENGENDALIAN KUALITAS PROSES PRODUKSI MENGGUNAKAN GUI MATLAB (STUDI KASUS : PT Djarum Kudus SKT Brak Megawon III) SKRIPSI Disusun Oleh : IYAN
Lebih terperinciMODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN
MODEL BLACK-SCHOLES HARGA OPSI BELI TIPE EROPA DENGAN PEMBAGIAN DIVIDEN oleh RETNO TRI VULANDARI M0106062 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciESTIMASI-MM PADA REGRESI ROBUST (Studi Kasus Produksi Kedelai di Indonesia Tahun 2010)
ESTIMASI-MM PADA REGRESI ROBUST (Studi Kasus Produksi Kedelai di Indonesia Tahun 2010) oleh ENDAH KRISNA MURTI M0106039 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciHaryoso Wicaksono, S.Si., M.M., M.Kom. 26
Distribusi probabilita kontinu, yaitu apabila random variabel yang digunakan kontinu. Probabilita dihitung untuk nilai dalam suatu interval tertentu. Probabilita di suatu titik = 0. Probabilita untuk random
Lebih terperinciPELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN
PELABELAN SELIMUT (a, d) CY CLE TOTAL ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN oleh KHUNTI QONAAH M0111048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan diperlukan pada bab 3. Yang akan dibahas dalam bab ini adalah metode bootstrap
Lebih terperinciDasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
Lebih terperinciINFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT. Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E SKRIPSI
INFERENSI STATISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN METODE BAYES MENGGUNAKAN PRIOR KONJUGAT Oleh : ADE CANDRA SISKA NIM: J2E 006 002 SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciDistribution. Contoh Kasus. Widya Rahmawati
Distribution Widya Rahmawati Contoh Kasus Mahasiswa A sudah mendapatkan data hasil penelitian Mahasiswa A sedang mempertimbangkan angka statistik mana yang sebaiknya ditampilkan (mean atau median) analisis
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh MARYATUN M0112053 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciDistribusi Weibull Power Series
Distribusi Weibull Power Series Maulida Yanti 1, Sarini S.Si.,M.Stats 2 1 Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 2 Staff Pengajar Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok,
Lebih terperinciINFERENSI PARAMETER SIMPANGAN BAKU POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF
INFERENSI PARAMETER SIMPANGAN BAKU S - POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl Diponegoro
Lebih terperinciPENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA MENGGUNAKAN GABUNGAN MODEL VOLATILITAS DAN MARKOV SWITCHING BERDASARKAN INDIKATOR HARGA MINYAK
PENDETEKSIAN KRISIS KEUANGAN DI INDONESIA MENGGUNAKAN GABUNGAN MODEL VOLATILITAS DAN MARKOV SWITCHING BERDASARKAN INDIKATOR HARGA MINYAK oleh APRILIA AYU WIDHIARTI M0111010 SKRIPSI ditulis dan diajukan
Lebih terperinci