SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES.

Transkripsi

1 SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES Skripsi) Oleh ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2018

2 ABSTRACT SIMULATION OF VEHICLE INSURANCE PREMIUM BASED ON THE QUANTITY OF POLICY HOLDER S CLAIMS IN THE PREVIOUS PERIOD USING BAYES ANALYSIS By ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA Premium is an amount of money that paid by the insured to the insurer. Premium with bonus malus system is a premium affected by the amount of claim in the previous period. One of the methods that can be used to obtain optimal bonus malus system is bayes analysis. In bayes analysis, there will be prior distribution which will be used to find posterior distribution to calculate bonus malus premium. Bonus malus premium can be obtained by multiplying the initial premium with the expectation of posterior distribution and dividing it with the expectation of prior distribution. The result of this research is that if in the previous period the claim was not made then the premium of the next period will decrease and if in the previous period the claim was made then the premium of the next period will increase. The greater the claim in the previous period, then the greater the addition of premium price in the next period. Keywords : Premium, Bonus Malus System, Amount of Claim, Bayes Analysis.

3 ABSTRAK SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES Oleh ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA Premi merupakan sejumlah uang yang dibayarkan pihak tertanggung kepada pihak penanggung. Premi dengan sistem bonus malus adalah premi yang dipengaruhi banyaknya klaim pada periode sebelumnya. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mendapatkan sistem bonus malus yang optimal adalah dengan menggunakan analisis bayes. Pada analisis bayes akan terdapat sebaran prior yang selanjutnya akan dicari sebaran posterior untuk menghitung premi bonus malus. Premi bonus malus dapat diperoleh dengan mengalikan premi awal terhadap ekspektasi dari sebaran posterior dan dibagi dengan ekspektasi dari sebaran prior. Hasil dari penelitian ini adalah jika pada periode sebelumnya klaim tidak dilakukan maka premi pada periode berikutnya akan berkurang dan jika pada periode sebelumnya klaim dilakukan maka premi pada periode berikutnya akan bertambah. Semakin banyak klaim yang dilakukan pada periode sebelumnya maka akan semakin besar penambahan harga premi pada periode berikutnya. Kata Kunci :Premi, Sistem Bonus Malus, BanyaknyaKlaim, Analisis Bayes.

4 SIMULASI PREMI ASURANSI KENDARAAN BERDASARKAN BANYAKNYA KLAIM PEMEGANG POLIS PADA PERIODE SEBELUMNYA MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES Oleh ARISCA SEPTA JAYA PRATAMA Skripsi Sebagai Salah SatuSyarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2018

5

6

7

8 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Arisca Septa Jaya Pratama, dilahirkan di Bukit Kemuning pada tanggal 23 September 1996 dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Jareli daniburuminah. Penulis menempuh pendidikan di TK Muslimin pada tahun 2001 lalu Sekolah Dasar Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun , pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun dan pendidikan menengah atas di SMA Negeri 1 Bukit Kemuning pada tahun Pada tahun 2014 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Bandar Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada bulan Januari Februari2017 penulis melaksanakan KerjaPraktik KP) di Badan Pusat Statistik BPS) Tulang Bawang Barat dan Kuliah Kerja Nyata KKN) di Desa Wonoharjo Kecamatan Sumberejo Kabupaten Tanggamus pada Bulan Juli Agustus 2017.

9 KATA INSPIRASI Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan? QS. Ar-Rahman : 13) Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya. QS. Al Baqarah : 286) Tuhan tidak hanya memberikan kasih-nya melalui sesuatu yang indah. Adi Palguna) Jangan biarkan kesulitan membuatmu gelisah, karena bagaimanapun juga hanya di malam yang paling gelaplah bintang-bintang tampak bersinar lebih terang. Ali bin Abi Thalib) Membuat hidup lebih mudah bukan tindakan buruk Arisca Septa Jaya Pratama)

10 PERSEMBAHAN Puji dan syukur kepada Allah SWT atas segala hidayah dan karunia-nya. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW. Dengan kerendahan hati dan rasa syukur, kupersembahkan sebuah karya kecil ini sebagai tanda cinta dan sayangku kepada : Ayah dan Ibu tercinta yang telah membesarkanku dengan penuh kasih sayang, pengorbanan, dan kesabaran. Terimakasih atas setiap tetes keringat dan doa dari ayah dan ibu untuk kebahagiaan dan keberhasilan putra kalian ini. Adik-adikku Nanda dan Aldo atas doa, semangat dan dukungan yang selalu diberikan. Bapak/Ibudosen, Bapak/Ibu guru, Sahabat, Teman-temanku yang telah banyak membantu dalam perjalananku sampai disini dan insan pilihan Allah SWT yang kelak akan menjadi pendamping hidupku serta almamater yang aku banggakan Universitas Lampung.

11 SANWACANA Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat, hidayah, serta kasih sayang-nya Penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Simulasi Premi Asuransi Kendaraan Berdasarkan Banyaknya Klaim Pada Periode Sebelumnya Menggunakan Analisis Bayes ini. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Dalam penyusunan skripsi ini tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Sehingga dengan segala kerendahan dan ketulusan hati Penulis mengucapkan terimakasih kepada : 1. Bapak Drs.Rudi Ruswandi, M.Si. selaku DosenPembimbing I dan Pembimbing Akademik yang telah memberikan bimbingan, arahan serta saran dan kesediaan waktu selama penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si. selaku DosenPembimbing II yang telah memberikan bimbingan serta saran selama penyusunan skripsi ini. 3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku Dosen Penguji yang telah banyak membantu dalam mengevaluasi serta mengarahkan penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.

12 4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D selaku Ketua Jurusan Matematika FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Lampung. 5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. 7. Ayah, Ibu, Nanda, Aldo, Aman dan keluarga besar penulis yang senantiasa selalu mendukung, mendo akan serta memberi semangat kepada penulis. 8. Sahabat canda tawa Fadhil, Raka, Ardi, Fathur, Kodir, Zhofar, Alvin, Kiki, Aldo, Zulfikar, Adit, Agus, Arif, Drajat, Ncek, Redi, Fajar, Ayub yang telah melakukan banyak hal dari awal perkuliahan hingga skripsi ini berhasil terbuat. 9. Teman teman satu pembimbing Arum, Ira, Rafika, Septi, Arif dan Ardi. 10. Teman-teman seperjuangan seluruh Keluarga Matematika 2014, terimakasih atas kebersamaannya selama ini. 11. Kak Rofi I, Kak Suprayitno dan Kak Luthfi yang telah membimbing dan mengarahkan penulis menjadi pribadi yang lebih baik. 12. Alamamater Universitas Lampung dan semua pihak yang terlibat dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu-persatu namanya.

13 Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Bandar Lampung, 23 April 2018 Penulis Arisca Septa Jaya Pratama

14 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI.. i DAFTAR TABEL. iii DAFTAR GAMBAR iv I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Diskrit Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu Ekspektasi dan Variansi Ekspektasi Variansi Distribusi Peluang Distribusi Poisson Distribusi Gamma i

15 2.5.3 Distribusi Binomial Negatif Analisis Bayes Sebaran Prior Sebaran Posterior Fungsi Kerugian Solusi Bayes Metode Momen Chi-Square Goodness of Fit Test III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Data Penelitian Diagram Alir Metode Penelitian IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN ii

16 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 4.1 Data Banyaknya Klaim Asuransi Kendaraan Pemegang Polis Pada Tahun Hasil Penghitungan Premi Dari Data Banyaknya Klaim Pada Tahun Data Bangkitan Banyaknya Klaim Pemegang Polis Pada 1 Periode Hasil Penghitungan Premi Dari Data Bangkitan. 45 iii

17 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Hasil Output Chi-Square Goodness of Fit Test Pada Minitab. 39 Gambar 2. Hasil Output Descriptive Statistics Untuk Nilai Rata-Rata dan Varian Pada Minitab. 40 iv

18 1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Asuransi merupakan transaksi pertanggungan yang melibatkan dua pihak yaitu tertanggung nasabah asuransi/pemegang polis) dan penanggung perusahaan asuransi). Pertanggungan yang dimaksud adalah dalam bentuk pengalihan risiko dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung. Dalam hal ini pihak penanggung menjamin pihak tertanggung dan pihak tertanggung diwajibkan membayar sejumlah uang kepada penanggung yang biasa disebut dengan premi. Jika dalam masa periode asuransi tersebut pihak tertanggung mengalami suatu kerugian yang sesuai dengan yang telah disepakati di awal perjanjian maka ia berhak untuk melakukan permintaan untuk mendapatkan santunan atau sebuah penggantian dari kerugian yang dialami. Permintaan ini disebut dengan istilah klaim dan klaim hanya bisa dilakukan jika masa periode asuransinya masih berlangsung atau berlaku. Secara garis besar asuransi terbagi menjadi dua jenis yaitu asuransi jiwa dan asuransi non jiwa atau asuransi kerugian. Asuransi jiwa menutup pertanggungan untuk membayarkan sejumlah santunan karena meninggalnya seseorang sedangkan asuransi non jiwa menutup pertanggungan untuk kerugian karena

19 2 kerusakan atas harta benda yang dipertanggungkan. Pada penelitian ini jenis asuransi yang akan digunakan adalah asuransi non jiwa yaitu asuransi kendaraan. Sama seperti halnya asuransi pada umumnya, pihak tertanggung harus membayar premi untuk satu periode asuransinya dan pada periode tersebut jika kendaraan yang dipertanggungkan mengalami kerusakan maka pihak tertanggung dapat melakukan klaim. Pada asuransi kendaraan premi yang ditanggung oleh nasabah asuransi atau pemegang polis didasari oleh jenis kendaraan dan tahun pembuatan kendaraan tersebut. Semakin mahal jenis kendaraan maka semakin besar premi yang harus dibayar. Begitu juga dengan usia kendaraan, semakin lama usia kendaraan yang diasuransikan maka semakin tinggi premi yang harus dibayarkan. Terdapat berbagai sistem yang dapat digunakan untuk menetapkan premi yang harus dibayar oleh seorang pemegang polis dan setiap perusahaan asuransi menerapkan sistem yang berbeda-beda. Salah satu sistem yang ditawarkan oleh perusahaan asuransi adalah sistem Bonus Malus. Sistem ini merupakan sistem yang digunakan dalam asuransi kendaraan. Sistem ini memperkenalkan pembagian kelas premi yang dipengaruhi oleh banyaknya klaim yang diajukan oleh pemegang polis tiap tahunnya. Pada sistem ini, pemegang polis yang tidak mengajukan klaim pada periode sebelumnya akan diberikan penurunan premi pada periode berikutnya yang disebut sebagai Bonus sedangkan bagi pemegang polis yang telah mengajukan satu atau lebih klaim pada periode sebelumnya akan dikenakan kenaikan premi pada periode berikutnya yang disebut sebagai Malus.

20 3 Dalam penelitian ini akan dilakukan penghitungan premi dengan sistem bonus malus pada asuransi kendaraan menggunakan analisis bayes. Pada analisis bayes terdapat sebuah sebaran prior dan sebaran posterior dimana sebaran prior tersebut mempengaruhi sebaran posterior. Sehingga sebaran priornya adalah karakteristik mengemudi pemegang polis dan sebaran posteriornya adalah banyaknya klaim pada periode sebelumnya. Dari sebaran prior dan posterior tersebut akan dicari ekspektasi atau nilai harapan yang akan digunakan untuk menghitung premi dengan mengaitkannya dengan premi awal atau premi pada priode sebelumnya. Dilihat dari sudut pandang pemegang polis, sistem bonus malus yang dibangun menggunakan analisis bayes sangat adil karena premi yang harus dibayarkan oleh setiap pemegang polis pada saat perpanjangan polis merupakan premi yang proporsional dengan taksiran banyaknya klaim. Sementara itu, dilihat dari sudut pandang perusahaan asuransi sistem bonus malus yang dibangun dengan menggunakan analisis bayes seimbang secara finansial. Oleh karena itu, pada penelitian ini peneliti ingin melakukan penghitungan premi pada asuransi kendaraan dengan menggunakan analisis bayes berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada periode sebelumnya. Penghitungan premi ini akan diterapkan pada sebuah data dari banyaknya klaim pemegang polis tahun 2006 pada salah satu perusahaan asuransi kendaraan yang berdomisili di Bandung dan sebuah data bangkitan yang akan dibangkitkan dengan menggunakan software minitab 17.

21 4 1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini adalah 1. Untuk menentukan premi berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada periode sebelumnya dengan menggunakan analisis bayes. 2..Untuk melihat apakah banyaknya klaim pada periode sebelumnya mempengaruhi premi yang harus dibayarkan pada periode berikutnya. 1.3 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini adalah dapat mengetahui bagaimana menentukan premi asuransi kendaraan berdasarkan banyaknya klaim periode sebelumnya dan mengetahui bagaimana pengaruh banyaknya klaim periode sebelumnya terhadap premi yang akan dibayarkan pada periode berikutnya.

22 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada penelitian ini terdapat beberapa teori dasar atau definisi - definisi yang akan digunakan dalam penelitian ini, yaitu sebagai berikut : 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Misalkan akan dilakukan sebuah percobaan yang hasil akhirnya tidak dapat diprediksi. Semua kemungkinan yang ada di dalam sebuah percobaan ini disebut ruang sampel yang dinyatakan dengan S dan elemen yang berada di dalam ruang lingkup S disebut dengan kejadian yang dinotasikan dengan E Hogg, Mckean, Craig, 2012). 2.2 Peluang Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dan A1, A2,. adalah kejadiankejadian yang mungkin terjadi dalam S, dan misalkan P adalah suatu fungsi yang menghasilkan nilai real PA) untuk setiap kejadian A, maka PA) disebut peluang dari A jika memenuhi : a) PA) 0, untuk setiap kejadian A

23 6 b) PS) 1 c) Jika A1, A2,. adalah barisan kejadian saling bebas Ai Aj dengan i j dan Ai S ) maka: ) Bain & Engelhardt, 1992). 2.3 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Misalkan sebuah percobaan acak dengan ruang sampel C. Suatu fungsi X yang memetakan tiap elemen c C dengan satu dan hanya satu bilangan real Xc) x, maka ini disebut dengan peubah acak Hogg & Craig, 1995) Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Diskrit Pandang peubah acak X, dengan ruang sampel berdimensi satu C, C merupakan himpunan titik-titik, sehingga setiap selang hingga mengandung berhingga banyaknya titik C. Misalkan ada fungsi ) yang memenuhi : 1. fx) > 0, C 2. )1 maka X disebut Peubah Acak diskrit dan ) disebut fungsi kepekatan peluang dari X Hogg & Craig, 1986).

24 Peubah Acak dan Fungsi Kepekatan Peluang Kontinu Pandang peubah acak X, dengan sampel berdimensi satu C yang kontinu, misalkan ada fungsi ) yang memenuhi : 1. fx) 0, C 2. ) 1 maka X disebut Peubah Acak Kontinu dan ) disebut fungsi peluang dari X Hogg & Craig, 1986). 2.4 Ekspektasi dan Variansi Ekspektasi Jika peubah acak diskrit X mempunyai fungsi kepekatan peluang fx) maka nilai ekspektasi peubah acak diskrit X adalah EX) ) 2.4.1) Dan nilai ekspektasi peubah acak kontinu X adalah EX) ) 2.4.2) Sifat-sifat ekspektasi : 1. Jika k adalah konstanta, maka Ek) k 2. Jika k adalah konstanta dan v adalah suatu fungsi, maka Ekv) k Ev) 3. Jika k1, k2,..., km adalah konstanta dan v1, v2,..., vm adalah fungsi, maka Ek1v1+k2v2+...+kmvm) k1ev1) + k2ev2) kmevm)

25 8 EX) disebut juga sebagai nilai mean/rata-rata µ dari variabel acak X Hogg & Craig, 1995) Variansi Variansi peubah acak X atau Var X) dapat didefinisikan sebagai berikut : Var X) E[X-µ)]2 EX2-2µEX) - µ 2) EX2) - 2EX)EX) - [EX)]2 EX2) - 2[EX)]2 - [EX)]2 [EX)]2 - [EX)] ) Hogg & Craig, 1995). 2.5 Distribusi Peluang Distribusi Poisson Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah λλ! px ; λ) 0 ; x 0, 1, 2,... ; x lainnya 2.5.1)

26 9 keterangan : x banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu λ rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah tertentu e 2, Ekspektasi dan Varian dari distribusi Poisson : EX) )! λ λ λ λ 0+ 1 λ λ 1 λ λ 1 1 λλ misal : y x-1 x 1 y 0 dan x y λ 0 λ EX2) λλ! )

27 10! 0+ λ λ misal : y x-1 x 1 y 0 dan x y λ + 1) λ λλ!! + λ [EY) +1] λ λ+1) λ +λ Var X) EX2) - [EX)]2 λ +λ-λ λ Ronald E Walpole, 1995). λλ!

28 Distribusi Gamma Fungsi Gamma dinotasikan dengan α) untuk semua α > 0, α) t e dt 2.5.2) Suatu peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter > 0 dan > 0 jika fungsi kepekatan peluangnya berbentuk fx;, ) dengan ; x>0 ) ) ; x lainnya adalah parameter bentuk dan adalah parameter skala pada distribusi gamma. Ekspektasi dan Varian dari distribusi Gamma : EX) ) ) ) ) misal : y batas : x 0 y 0 dy ) dy x

29 12 ) dy α + 1) ) ) ) ) EX2) ) ) ) misal : y batas : x 0 y 0 dy ) ) dy α + 2) ) dy ) ) ) ) x

30 13 Var X) EX2) - [EX)]2 Bain & M Engelhardt, 1991) Distribusi Binomial Negatif Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial negatif jika memiliki fungsi kepekatan peluang : pxx) +α 1 0 α ; x 0, 1, 2,... ; x lainnya keterangan : x jumlah percobaan sampai dengan sukses ke-α α jumlah sukses yang diinginkan p peluang terjadinya sukses q peluang tidak terjadinya sukses 2.5.4)

31 14 Jika terdapat distribusi dengan fungsi peluang campuran poisson-gamma maka fungsi marginal dari peluang campuran tersebut akan menghasilkan fungsi peluang binomial negatif. Bukti : pxx) p x) f λ λ!! ) ) λ) λ λ λ λ λ ) λ batas 0< λ< 0<y< misal : y λ1 + τ) λ λ! ) α α+x! α)1+τ)! ) ) )! )! ) ) 1 1+τ) dy 0 yα+ 1 α + x) ) ) ) ) y y

32 15 )! ) ) )! α+ 1 α ; Ekspektasi dan Varian dari distribusi Binomial Negatif : EX) ) α+x 1 0+!! misal : y x-1 x y+1 r α + 1 α r-1!! r+y 1 batas : x 1 y 0 x y

33 16 EX2) ) α+x 1 0+!! misal : y x-1 x y+1 r α + 1 α r-1 + 1) [ ) + 1] )!! batas : x 1 y 0 dan x y! +!

34 17 ) ) Var X) EX2) - [EX)]

35 Analisis Bayes Sebaran Prior Suatu peubah acak X dengan parameter θ memiliki fungsi kepekatan peluang bersyarat yang dinotasikan dengan fx1,x2,..., xn θ) dan f θ ) adalah fungsi kepekatan peluang dari θ yang dinamakan sebaran prior Arnold, 1990) Sebaran Posterior Misalkan peubah acak memiliki sebaran prior dengan fungsi kepekatan peluang bersama yang dilambangkan dengan fx1,x2,..., xn θ) dan θ memiliki fungsi kepekatan peluang fθ). Fungsi kepekatan peluang gabungan dari X, θ) dilambangkan dengan fθ x1,x2,..., xn) dinamakan fungsi kepekatan peluang dari sebaran posterior, dan dinyatakan dengan fθ,, ) Arnold, 1990).,, θ) θ),, ) ;,, ),, λ) θ) d λ Fungsi Kerugian Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan parameter θ dan penduga parameternya θ. Fungsi kerugian dari parameter tersebut adalah LX;θ) 0, X dan 2.6.1)

36 19 LX;θ) 0 jika X θ ) Fungsi kerugian kuadratik merupakan fungsi kerugian dengan kesalahan kuadrat dari parameter tersebut dinyatakan dengan LX;θ) X - θ) ) Bain & Engelhardt, 1992) Solusi Bayes Misalkan Y adalah suatu peubah acak dan θ adalah suatu parameter dengan penduga parameternya θ, dengan fungsi kerugian Lθ,θ) dan nilai harapan fungsi tersebut yaitu : E[Lθ,θ) Yy] L θ, θ fθ ) dy 2.6.4) E[Lθ,θ)] merupakan solusi bayes. Hogg, McKean, Craig, 2012). 2.7 Metode Momen Misalkan 1, peluang 1 2,, 1, merupakan populasi yang memiliki fungsi kepekatan, ). Metode pendugaan dengan momen dilakukan dengan cara menyamakan momen sampel dan momen populasi dengan menyelesaikan sistem tersebut secara bersama.

37 20 Momen populasi 1,, 1, 1 1 μ EX), μ EX), μ EX) sering ditulis sebagai fungsi dari 1,, ). Metode momen penduga 1,, menyelesaikan sistem persamaan untuk 1,, berikut: Casella dan Berger, 1990). 1 1, 2 1, 3 1, ) dari 1,, ) didapat dengan ) dalam notasi, ),, ), ), yaitu 1,, ) sebagai ), 2.8 Chi-Square Goodness of Fit Test Uji Kecocokan model antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan didasarkan pada besaran : 2 ) )

38 21 sedangkan 2 merupakan statistika yang menyebar chi-square. Lambang dan menyatakan frekuensi teramati dan frekuensi harapan bagi sel ke-i Walpole, 1995). Uji hipotesis adalah salah satu uji statistika yang dilakukan untuk pengujian kesesuaian parametrik βi yang dibuat. Dengan hipotesis sebagai berikut : H0 : βi 0 H1 : βi 0 Maka dengan menggunakan nilai dari chi-square hitung dan chi-square tabel akan berlaku pengambilan kaidah keputusan sebagai berikut. χ2hit > χ2tabel maka hipotesis nol di atas ditolak dan jika χ2hit < χ2tabel maka hipotesis nol diterima Hosmer & Lemeshow, 1989).

39 22 III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2017/2018 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung. 3.2 Data Penelitian Pada penelitian ini akan digunakan data dari banyaknya klaim pemegang polis asuransi kendaraan roda empat pada tahun 2006 yang berasal dari salah satu perusahaan asuransi kendaraan yang berdomisili di Bandung dan juga akan digunakan data bangkitan yang berdistribusi binomial negatif dengan jumlah 1500 menggunakan software minitab 17.

40 Diagram Alir Adapun diagram alir dari metode penelitian ini adalah sebagai berikut : Menentukan Distribusi Peluang Banyaknya Klaim Menentukan Sebaran atau Distribusi Prior Mencari Ekpektasi Distribusi Prior Mencari Distribusi Posterior dengan Analisis Bayes Mencari Ekpektasi Distribusi Posterior Merumuskan Rumus Penghitungan Premi Melakukan pendugaan parameter α dan τ Melakukan Uji Kecocokan Data Melakukan Penghitungan Premi

41 Metode Penelitian Dalam penelitian ini akan dilakukan penghitungan premi pada periode berikutnya berdasarkan banyaknya klaim pada periode sebelumnya dengan menggunakan analisis bayes. Adapun langkah - langkah yang akan dilakukan yaitu sebagai berikut : 1. Menentukan distribusi peluang dari banyaknya klaim Berdasarkan fenomena dari terjadinya klaim, banyaknya klaim dapat dipandang sebagai peubah acak yang mengikuti distribusi poisson Meyers dan Schenker, 1984).Hal itu karena distribusi poisson biasanya digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya peristiwa pada selang periode waktu tertentu dan juga salah satu sifat distribusi poisson adalah banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi di selang waktu yang lain bebas). Pada asuransi, klaim pada periode berikutnya tidak terpengaruh dari banyaknya klaim pada periode - periode sebelumnya. Misal kan X adalah banyaknya klaim maka X merupakan suatu peubah acak. X ~ Poisson λ) pxx, λ) λ λ! ; x 0, 1, 2,... dan λ > ) 0 ; x lainnya

42 25 dengan parameter λ menyatakan rata-rata banyaknya klaim pemegang polis dan x adalah banyaknya klaim. 2. Menentukan distribusi atau sebaran prior Distribusi poisson dengan peubah acak X yang menyatakan banyaknya klaim dari pemegang polis memiliki parameter λ yang menyatakan rata-rata banyaknya klaim pemegang polis dimana artinya nilai λ sama atau konstan. Tetapi pada kenyataannya setiap pemegang polis memiliki karakteristik mengemudi yang berbeda. Ini biasanya dipengaruhi oleh jenis kelamin pemegang polis, usia, jenis kendaraan dan tempat domisili dari pemegang polis yang berbeda-beda. Oleh karena itu, karakteristik mengemudi menjadi suatu informasi tambahan dalam mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga λ menjadi suatu peubah acak yang memiliki distribusi peluang. Distribusi dari λ merupakan distribusi prior pada penelitian ini. Nilai rata-rata merupakan suatu nilai yang bersifat kontinu sehingga peubah acak λ yang merupakan rata-rata banyaknya klaim akan memiliki distribusi peluang yang kontinu. Pada penelitian ini, distribusi kontinu yang akan digunakan oleh peneliti adalah distribusi gamma sebagai distribusi priornya.

43 26 λ adalah rata-rata banyaknya klaim dan λ adalah peubah acak kontinu, λ~ Gamma α, ) α α) λα ; λ > 0 dan α, > ) f λ) 0 ; selainnya ket: α parameter bentuk yang menyatakan bentuk sebaran dari banyaknya klaim parameter skala yang menyatakan besar keragaman dari banyaknya klaim Fungsi campuran dari kedua peubah acak X dan λ yang menyatakan banyaknya klaim dan rata-rata banyaknya klaim adalah sebagai berikut : f x, λ) p x) f λ) λ λ! α α) λα 1 λ ) Sehingga banyaknya klaim memiliki fungsi marginal yang berdistribusi Binomial Negatif dari fungsi campuran pada persamaan ) yang telah dibuktikan pada tinjauan pustaka. 3. Mencari Ekspektasi dari Distribusi Prior Pada penghitungan premi akan dibutuhkan nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis sehingga akan dicari ekspektasi dari distribusi priornya.

44 27 Eλ) λ fλ) dλ λ ) dλ α α) 0 λ λ α dλ misal : y λ λ y τ batas : λ > 0 y > 0 dλ α α) 0 α ) y ) α + 1) ) ) α ) Diperoleh Eλ) yang artinya nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis adalah sebesar 4. Mencari Distribusi Posterior dengan Analisis Bayes Selanjutnya akan dicari distribusi posterior pada penelitian ini dengan prior yang telah ditentukan pada langkah sebelumnya dan akan diperoleh dengan menggunakan analisis bayes.

45 28 Jika sampai periode t seorang pemegang polis mempunyai sejarah frekuensi klaim x 1, x 2,..., x t, maka fungsi densitas bersamanya adalah : px 1, x 2,..., x t λ) px 1 λ) px 2 λ)... px t λ) λ λ! λ λ! λ λ! λ λ!) Dengan menggunakan teorema bayes, distribusi posterior untuk peubah acak λ adalah : fλ,, ),, ) ),, ),, ),, λ) λ) d λ Arnold, 1990).,, λ) λ) λ λ!) ) λ ) λ!) ),, ),, λ) λ) d λ λ λ!) ) λ

46 29 λ ) λ!) ) λ misal :λt + τ) y batas :λ > 0 y > 0 λ dλ dy!) ) y!) ) ) y!) ) ) α + x ) sehingga, fλ,, ),, ) ),, ) λ ) λ!) )!) ) ) λ ) λ!) )!) ) ) λ ) λ )

47 30 λ ) λ ) ) fλ,, ) t+τ) + α+k) λ + 1 λt+τ) ) dengan x K Persamaan ) merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi gamma dengan parameter α+k, + ). Jadi, distribusi posterior pada penelitian ini adalah distribusi gamma dengan parameter α+k, + ) dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut : Fλ,, ) ) ) λ λ ) ; λ > 0 dan α, > ) 0 ; selainnya dengan K yaitu total jumlah klaim sampai tahun t dan t adalah periode/waktu. 5. Mencari ekspektasi dari sebaran posterior Untuk menghitung premi bonus malus dibutuhkan nilai ekspektasi dari sebaran posterior pada penelitian ini. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran prior pada persamaan ) akan dicari ekspektasinya yaitu sebagai berikut :

48 31 Eλ,, ) λ fλ,, ) dλ λ t+τ) + α+k) λt+τ) λ + 1 dλ ) ) λ ) λ dλ 0 misal : y λt + τ) λ batas : λ > 0 y > 0 dλ ) ) 0 y ) ) α + K + 1) ) ) ) ) Eλ,, ) ) Diperoleh Eλ) yang artinya nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim pada periode sebelumnya dapat dirumuskan sebagai 6. Merumuskan Rumus Penghitungan Premi Untuk menghitung premi pada periode berikutnya yang berdasarkan banyaknya klaim pada periode sebelumnyayaitu adalah premi awal saat t 0) dikalikan dengan rata-rata banyaknya klaim pada periode sebelumnya yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya ) yang dirumuskan sebagai berikut:

49 32 P t P 0 α + K ) Dalam kasus asuransi kendaraan banyaknya klaim pemegang polis dapat dipengaruhi dari karakteristik mengemudi pemegang polis tersebut. Karakteristik mengemudi ini seperti halnya jenis kelamin, usia, jenis kendaraan, domisili dan sebagainya. Pemegang polis laki-laki dan perempuan tentunya memiliki keahlian mengemudi berbeda dan begitu juga jika pemegang polis tersebut tua atau muda. Hal ini membuat karakteristik mengemudi menjadi suatu faktor yang dapat mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga nilai rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya ) menjadi suatu pembobot untuk menghitung premi. Sehingga diperoleh : P t P 0. P 0. ) ) ) ket : P 0 premi awal K jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya t periode α parameter pada distribusi binomial negatif, dimana p parameter dari distribusi binomial negatif

50 33 7. Melakukan pendugaan parameter α dan Pada rumus penghitungan premi terdapat parameter α dan dimana : α parameter pada distribusi binomial negatif, dengan p parameter dari distribusi binomial negatif Sehingga untuk dapat melakukan penghitungan premi maka kedua parameter tersebut akan diduga dan pendugaan akan dilakukan dengan metode momen. 8. Melakukan Uji Kecocokan Data dengan Chi-Square Goodness of Fit Test Untuk melakukan penghitungan premi dengan rumus yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya maka data yang akan digunakan harus berdistribusi binomial negatif. Oleh karena itu, akan dilakukan uji kecocokan data pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006 apakah data tersebut berdistribusi binomial negatif atau tidak dengan Chi-Square Goodness of Fit Test dan menggunakan software minitab Melakukan Penghitungan Premi Jika penduga parameter α dan telah diperoleh dan data yang akan digunakan berdistribusi binomial negatif maka penghitungan premi dapat dilakukan dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya, P t P 0. ) ) )

51 34 ket : P 0 premi awal K jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya t periode penduga parameter α penduga parameter Selain menghitung premi pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006, penghitungan premi juga akan dilakukan pada sebuah data bangkitan yang berjumlah 1500 dengan nilai parameter yang sama pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006.

52 V. KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Menentukan premi berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada periode sebelumnya dapat dilakukan dengan menggunakan analisis bayes. 2. Penghitungan premi dengan menggunakan analisis bayes dapat diperoleh dengan premi awal yang dikalikan dengan ekspektasi dari distribusi posterior lalu dibagi dengan ekspektasi dari distribusi priornya. 3. Premi akan berkurang jika pemegang polis tidak melakukan klaim pada periode sebelumnya dan premi akan bertambah jika pemegang polis melakukan klaim sebanyak satu atau lebih pada periode sebelumnya. 4. Semakin banyak klaim yang dilakukan pada periode sebelumnya maka akan semakin besar premi yang harus dibayar pada periode berikutnya.

53 DAFTAR PUSTAKA Aceng dan Komarudin Penghitungan Premi Untuk Asuransi Kendaraan Bermotor Berdasarkan Sejarah Frekuensi Klaim Pemegang Polis Menggunakan Analisis Bayes. Pythagoras. 1 4) : Arnold SF Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Bain LJ dan Engelhardt M Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press. Belmont, California. Bain LJ dan Engelhardt M Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Ed. ke-2. PWS-KENT publishing Company. Boston. Casella dan Berger Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole. California. Hogg and Craig Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-Hall International Inc. New Jersey. Hogg dan Craig Introduction to Mathematical Statistics. Academic Press. New York. Hogg RV, McKean J, Craig AT Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Hosmer dan Lemeshow Applied Logistic Regression. John Wiley and Sons. New York. Meyers, G dan Schenker, N Parameter Urcentainty in the Collective Risk Model. Walpole, RE Pengantar Statistika. PT. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. Wikipedia Contributors Negative Binomial Distribution. n&oldid Diakses pada 28 Desember 2017 pukul 12:35 WIB.