PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH PUTIH (T CD4 + ) DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI WAHFUANAH

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH PUTIH (T CD4 + ) DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI WAHFUANAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4 + ) dengan Menggunakan Metode Homotopi adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau kutipan dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2011 Wahfuanah NIM G

3 ABSTRACT WAHFUANAH. Homotopy Perturbation Method to Solve a Model of HIV Infection of Cells (T CD4 + ). Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. Acquired immunodefficiency syndrome (AIDS) is defined as symptoms of human immune system deterioration caused by human immunodefficiency virus (HIV). The virus damages the leucocytes; therefore, once a person is infected by the HIV, his/her immune system will be paralyzed and eventually he/she will not be able to survive from any disease. HIV is transmitted in many ways, such as having unsafe sex, using unsterilized syringe and blood transfusion. Homotopy perturbation method is implemented to give approximate and analytical solutions of nonlinear ordinary differential equation systems as a model for HIV infection of CD4 + T cells. A modification of the homotopy perturbation method (HPM), based on the use of numerical solution, is proposed. Some plots are presented to show the reliability and simplycity of the homotopy perturbation method. The results obtained in this study indicate that the homotopy perturbation method is highly efficient to solve models of HIV infection of cells (T CD4 + ). Errors resulting from this method is so small that the solution obtained by is very close to the exact solution. Keywords: Homotopy perturbation method, leucocytes, HIV.

4 RINGKASAN WAHFUANAH. Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4 + ) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. HIV (Human Immunodeficiency Virus) merupakan sejenis retrovirus, yaitu virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya. HIV merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. Virus HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat juga terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi. Selain itu virus ini dapat menular antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih), sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4 + adalah antibodi terhadap virus HIV yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya fungsi sel tersebut. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh. Dalam penelitian ini akan diturunkan suatu model matematika yang menyatakan hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih. kemudian model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) yang telah diperoleh akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Dalam tulisan ini dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model, yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) berupa suatu persamaan matematika yang berbentuk taklinear. Model ini diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi Dalam metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol. Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Penyelesaian dengan metode ini digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan. Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini menunjukan bahwa metode perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada

5 sel darah putih. Galat yang dihasilkan dari metode ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang sesungguhnya. Selain itu, dalam penelitian ini kajian hasil dibagi dalam tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa sebagai acuan. Kasus kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. Dan kasus ketiga kasus pada anak-anak dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya. Berdasarkan ketiga kasus tersebut diperoleh bahwa jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan lebih lambat dan populasi virus HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam setelah faktor penambah sel darah putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih besar dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi dan virus akan stabil dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem). Namun jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu berpengaruh karena lama kelamaan jumlah virus akan berkurang oleh faktor kematian alaminya.

6 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 PENYELESAIAN MODEL INFEKSI HIV PADA SEL DARAH PUTIH (T CD4 + ) DENGAN MENGGUNAKAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI WAHFUANAH Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Drs. Paian Sianturi

9 Judul Tesis : Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4 + ) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi Nama : Wahfuanah NIM : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian : Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-nya sehingga tesis yang berjudul Penyelesaian Model Infeksi HIV pada Sel Darah Putih (T CD4 + ) dengan Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah banyak memberikan arahan dan bimbingan sehingga selesainya tesis ini. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Drs. Paian Sianturi selaku penguji luar komisi, dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS yang mewakili ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran dalam ujian tesis. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, bapak, adik-adik, sahabat serta seluruh keluarga, atas segala do a, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya tulis ini bermanfaat. Bogor, Juni 2011 Wahfuanah

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Indramayu pada tanggal 15 Pebruari 1983 dari bapak Supyan dan ibu Jaronah. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2001 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Sindang, Indramayu dan pada tahun yang sama menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Wiralodra Indramayu, lulus pada tahun Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Sekolah Pascasarjana IPB. Penulis bekerja sebagai pengajar di Madrasah Aliyah Darun sejak tahun Selain itu, penulis juga aktif di organisasi Pramuka sebagai Wakil Ketua Dewan Kerja Daerah Jawa Barat masa bakti

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan penelitian Metodologi Penelitian Sistematika Penulisan LANDASAN TEORI Metode Homotopi Model Matematika PEMBAHASAN DAN HASIL Analisis Metode Aplikasi Metode SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 27

13 DAFTAR TABEL Halaman 1 Galat antara penyelesaian numerik dengan solusi pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi Galat penyelesaian, dan hingga orde keenam dan orde ketiga dengan penyelesaian numeriknya Galat Penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada orang dewasa Galat penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada Orang Tua (Manula) Galat penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada Anak-anak

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Proses infeksi virus 10 2 Diagram penyebaran virus Grafik penyelesaian untuk, dan untuk orang dewasa Grafik penyelesaian untuk, dan untuk orang tua (manula) ketika s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = , T max = 1500, r = 1.5, N = 10, r 1 = 0.1, r 2 = 0 dan r 3 = Grafik penyelesaian untuk, dan untuk kasus pada anak-anak ketika s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = , T max = 1500, r = 6, N = 10, r 1 = 0.1, r 2 = 0 dan r 3 =

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman A 1. Penurunan persamaan (2.4) A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8) A 3. Penurunan Persamaan untuk, dan B 1. Menentukan, dan B 2. Menggambar Grafik, dan pada kasus orang dewasa B 3. Menggambar Grafik, dan pada kasus orang tua (manula) B 4. Menggambar Grafik, dan pada kasus anak-anak B 5. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus dewasa B 6. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus orang tua (manula) B 7. Galat antara penyelesaian metode perturbasi homotopi dengan penyelesaian numerik pada kasus anak-anak... 50

16

17 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS) adalah sindrom (kumpulan gejala) yang timbul akibat rusaknya sistem kekebalan tubuh manusia akibat terinfeksi virus HIV (Human Immunodeficiency Virus). AIDS bukan merupakan penyakit, melainkan kumpulan gejala penyakit yang disebabkan oleh berbagai macam mikro organisma yang menyerang tubuh akibat menurunnya sistem kekebalan tubuh penderita. HIV merupakan sejenis retrovirus (virus yang dapat menggandakan dirinya sendiri pada sel yang ditumpanginya) yang merusak sistem kekebalan tubuh terutama sel darah putih. Sel darah putih ini berfungsi untuk membantu tubuh melawan berbagai macam penyakit, kuman, bakteri atau virus yang masuk ke dalam tubuh. HIV hidup di semua cairan tubuh tetapi hanya bisa menular melalui cairan tubuh tertentu yaitu darah, sperma, cairan vagina dan ASI. Penularan dapat terjadi melalui hubungan seksual, tranfusi darah, jarum suntik yang terkontaminasi, antara ibu dan bayi selama kehamilan, kelahiran dan masa menyusui. Sejak pertama kali ditemukan tanggal 5 Juni 1981 (Weiss 1993), AIDS diperkirakan menginfeksi 38.6 juta orang di seluruh dunia dan menyebabkan kematian lebih dari 25 juta orang pada tahun 2006 dan meningkat tajam pada tahun 2009 yang menginfeksi lebih dari 90 juta orang dan menyebabkan kematian lebih dari 26 juta orang (Wikipedia.org/wiki/HIV). Target utama dari infeksi HIV adalah limposit T Helper (sel darah putih), sedangkan yang dikenal sebagai sel T CD4 + adalah antibodi terhadap virus HIV yang dihasilkan oleh limposit T Helper. Sel darah putih merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh. Jika jumlah sel darah putih menyusut, maka sistem tersebut menjadi terlalu lemah untuk melawan infeksi. Infeksi HIV menyebabkan deplesi imunitas sel terutama sel darah putih dan juga menyebabkan turunnya fungsi sel tersebut. Seseorang yang positif mengidap HIV, belum tentu mengidap AIDS. Banyak kasus dimana orang positif mengidap HIV, tapi tidak menjadi sakit dalam waktu yang lama. Namun, HIV yang ada pada tubuh seseorang akan terus

18 merusak sistem kekebalan tubuh. Akibatnya, virus dan bakteri yang biasanya tidak berbahaya menjadi sangat berbahaya karena rusaknya sistem kekebalan tubuh. Sejumlah model telah dikembangkan untuk mendeskripsikan tentang sistem kekebalan tubuh pasien penderita AIDS. Pada tulisan ini akan dibahas tiga komponen dasar dari pembentukan model yaitu sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV, sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV, dan virus HIV yang menyerang sel darah putih yang dapat melumpuhkan sistem kekebalan tubuh. Model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) berupa suatu persamaan matematika yang umumnya berbentuk taklinear. Masalah taklinear ini biasanya sulit diselesaikan baik secara analitik maupun numerik, karena faktor taklinear yang sangat kuat. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah taklinear. Salah satu pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear adalah metode perturbasi homotopi (He 1998, 2000). 1.2 Tujuan penelitian Berdasarkan dari uraian di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menurunkan suatu hubungan antara jumlah sel darah putih sehat, jumlah sel darah putih yang terinfeksi virus HIV, dan jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih. 2. Menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) yang telah diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. 3. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh menggunakan bantuan software Matematica dan membandingkannya dengan hasil numeriknya. 1.3 Metodologi Penelitian Pada penelitian ini, dibahas penurunan model matematika untuk menjelaskan infeksi virus HIV pada sel darah putih. Masuknya virus HIV ke sel darah putih menyebabkan terbentuknya dua tipe sel darah putih, yaitu sel darah putih sehat dan sel darah putih terinfeksi virus HIV. Untuk menentukan penyelesaian bagi model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4 + ), digunakan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, terlebih dahulu dikonstruksi suatu persamaan homotopi berdasarkan bentuk dari model

19 3 infeksi virus HIV tersebut. Kemudian dirumuskan bentuk dari deformasi orde tinggi berdasarkan penyelesaian pendekatan awal yang diberikan pada deformasi orde nol. Penyelesaian model infeksi virus HIV tersebut diperoleh dalam bentuk deret yang suku-sukunya diperoleh dari deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pendekatan penyelesaiannya digambarkan dengan bantuan software Matematica. Interpretasi hasil yang diperoleh dilakukan berdasarkan orde deformasi deret yang digunakan. Kemudian memanfaatkan data dari penyelesaian numeriknya untuk membandingkan hasil-hasil yang diperoleh. 1.4 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri atas empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berupa definisi dan teori yang mendukung karya ilmiah ini, ilustrasi penggunaan metode perturbasi homotopi dan model matematika yang dikaji dalam penelitian ini. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi, hasil numerik, serta interpretasi numerik. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan, dan beberapa saran untuk kelanjutan untuk penelitian ini.

20 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Metode Homotopi Dalam penelitian ini, diperlukan suatu metode matematika yang disebut metode perturbasi homotopi. Uraian mengenai metode ini disarikan dari (Liao, 2004). Metode homotopi merupakan bentuk umum dari metode perturbasi dan metode dekomposisi Adomain (Jaharuddin 2008). Dalam metode perturbasi, faktor taklinear diperlemah dengan memperkenalkan suatu parameter kecil. Kemudian dalam metode dekomposisi adomain, penyelesaian masalah taklinear dinyatakan dalam suatu deret pangkat (polinomial) yang hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya. Pada metode homotopi, faktor taklinear tidak perlu diperlemah seperti yang dilakukan pada metode perturbasi. Penyelesaian masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi berupa deret, tapi tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada metode dekomposisi Adomain. Untuk mengilustrasikan metode perturbasi homotopi (HPM), tinjau masalah nilai awal berikut : (He 1998, 2000) =, ϵ Ω 2.1 dengan syarat awal 0 =, dengan =,,,, dan =,,,, dengan A : Operator turunan yang bentuknya taklinear u : Fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas r : Fungsi kontinu yang diketahui pada domain Ω

21 5 Misalkan u 0 pendekatan awal dari penyelesaian masalah nilai awal (2.1) dan p ϵ[0,1] suatu parameter. Definisikan fungsi real v(r, p) : Ω x [0, 1] R dan suatu fungsi H sebagai berikut:,= Berdasarkan persamaan (2.2), maka untuk p = 0 dan p = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:,0 =,,1 =. 2.3 Dengan demikian,0 = dan,1 = masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan,0 =0 dan,1 =0. Jadi, peningkatan nilai p dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H(v, p) dari ke. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan dan disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal, sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian,,,...,. Untuk menentukan =1,2,3,... dilakukan sebagai berikut. Misalkan fungsi, penyelesaian dari persamaan berikut atau,= Jika kedua ruas pada persamaan (2.4) diturunkan terhadap hingga kali dan mengevaluasi pada p=0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh persamaan berikut: ᵡ =h dengan = 1, 1!.

22 6 = 1! dan 0, m 1 ᵡ = 1, m lainnya Penurunan diberikan pada lampiran (A.1). Deret Taylor dari fungsi, terhadap adalah, = Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi, yang dinyatakan dalam bentuk 2.5 merupakan penyelesaian persamaan,=0 atau 1 + = Jadi untuk =1 diperoleh,1 = +. Karena =,1, maka diperoleh = +. Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal 2.1 dengan penyelesaian pendekatan awal dan, =1,2,3, yang ditentukan berdasarkan persamaan (2.5) dan (2.6). (bukti pada lampiran A.1) Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem berikut :

23 7 = 3 = 3 dengan syarat awal =2 dan 0 = Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.7) dan (2.8) adalah: = + = +2. Selanjutnya akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal 2.7 dan 2.8 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Berdasarkan persamaan 2.6 diperoleh = = Dipilih dan suatu konstanta, masing-masing dan. Misalkan penyelesaian persamaan 2.9 dinyatakan dalam bentuk: =, +, +, +, + =, +, +, +, Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9, dan menyusun berdasarkan perpangkatan dari, maka koefisien dari memberikan persamaan berikut:, + 3 =0

24 8, + 3 dengan, = dan, =. = Penyelesaian 2.11 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan 2.11 terhadap t, sehingga diperoleh, = + 3 3, = Bentuk yang lain dari, dan, dapat dilihat pada lampiran (A.2). Dengan demikian penyelesaian dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi berbentuk: =, +, +, +, + =, +, +, +, +. Jika syarat awal 0 =2 dan 0 =3 digunakan, maka penyelesaian untuk dan hingga orde kelima adalah: = = Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi diberikan dalam Tabel 1. Tabel 1 Galat antara penyelesaian numerik dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. t x y x x x x x x x x x x x x10-6

25 x x10-5 Dari Tabel 1 terlihat bahwa galat antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi sangatlah kecil, sehingga metode perturbasi homotopi bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan masalah nilai batas. 2.2 Model Matematika Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan proses infeksi virus HIV pada sel T CD4 + yang dihasilkan Limposit T Helper sel darah putih. Proses infeksi virus HIV pada sel darah putih sampai menghasilkan virus-virus baru terdiri dari beberapa fase, yaitu: 1. Fase adsorpsi, yaitu pelekatan virus pada membran plasma sel darah putih. 2. Fase penetrasi, yaitu pemasukan Ribonucleic Acid (RNA) virus pada sel darah putih. 3. Fase penggabungan, yaitu RNA virus bergabung dengan RNA sel darah putih. 4. Fase replikasi, yaitu pembentukan kapsoid / selubung protein virus. Enzim virus Reverse Transcriptase (RT) pada genom RNA virus membuat salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA). 5. Fase perakitan, yaitu terjadi perakitan fage-fage baru (komponen virus baru) yang sudah sempurna. Salinan DNA bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease yang membuat virus menjadi matang. 6. Fase lisis (pembebasan), pecahnya membran plasma sel darah putih dan keluar virus-virus baru yang siap menyerang sel darah putih lainnya (

26 10 Gambar 1 Proses infeksi virus Proses infeksi diawali masuknya virus ke dalam sel darah putih sehat. Di dalam sel, enzim virus yakni Reverse Transcriptase (RT) pada genom Ribonucleic Acid (RNA) virus, membuat suatu salinan Deoxyribonucleic Acid (DNA). DNA virus akan bergabung dengan DNA inang membentuk RNA virus dalam jumlah banyak, lalu RNA virus akan membentuk protein virus. Dari protein virus dihasilkan protease virus untuk menghasilkan virus baru yang siap menyerang sel darah putih sehat lainnya. Dalam pustaka (Perelson dan Nelson, 2002) diperlihatkan diagram penyebaran virus tersebut seperti pada Gambar 2. Laju Infeksi (k) I Produksi virus(n) T Sel darah putih Virus (V) Sel darah terinfeksi putih sehat r β γ α mati mati mati s

27 11 Gambar 2 Diagram penyebaran virus Pada Gambar 2, T menyatakan sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV dan I menyatakan sel darah putih yang terinfeksi oleh virus HIV. Sel T CD4 + baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih diasumsikan diproduksi dengan laju s dan mati pada laju α, sedangkan sel darah putih yang terinfeksi akan mati secara alami dengan laju β. Virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya dengan laju N dan virus akan mati secara alami dengan laju γ. Laju poliferasi maksimum yang mengacu pada keberadaan batas maksimum dari populasi dinyatakan dengan r dan laju infeksi virus terhadap sel darah putih dinyatakan dengan k. Laju kematian T dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu laju sel T CD4 + baru yang dihasilkan oleh limposit T helper sel darah putih dalam tubuh, sel T yang mempunyai laju kematian alami sebesar α sehingga tingkat kematian sel T pada suatu waktu adalah αt, proliferasi (perkembangbiakan) sel darah putih yang ada sehingga jumlah total sel darah putih dibatasi oleh kepadatan populasi sel T pada proliferasi yaitu T max.. Pada kehadiran HIV, sel darah putih menjadi terinfeksi. Virus ini yaitu V menginveksi sel T dengan laju k menyebabkan berkurangnya jumlah sel darah putih sehat dalam darah sebesar kvt. Selanjutnya jumlah populasi sel darah putih terinfeksi pada waktu t dipengaruhi oleh tingkat infeksi virus dan kematian alami sel tersebut. Tingkat infeksi virus adalah kvt, dengan laju kematian sel darah putih terinfeksi adalah β, maka kematian sel darah putih terinfeksi pada suatu waktu adalah βi. Sementara itu, penambahan jumlah virus di dalam tubuh ditandai dengan jumlah total virus yang diproduksi oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya, yaitu sebanyak N. Jadi tingkat produksi virus baru adalah NβI. Virus mempunyai laju kematian alami sebesar γ, menyebabkan jumlah virus pada waktu t berkurang sebesar γv. Konstruksi model matematika untuk model infeksi virus HIV pada sel T CD4 + yang dihasilkan Limposit T helper sel darah putih menggunakan asumsi sel darah putih terinfeksi menghasilkan N virus selama waktu hidupnya dan semua parameter dan variabel yang digunakan taknegatif.

28 12 Dengan demikian, uraian di atas dapat diekspresikan secara matematika sebagai suatu sistem persamaan diferensial sebagai berikut: = = = 2.12 dengan: T I V s r k N α β γ : Jumlah sel darah putih sehat yang belum terinfeksi virus HIV : Jumlah sel darah putih yang sudah terinfeksi virus HIV : Jumlah virus yang menginfeksi sel darah putih : Laju sel T CD4 + baru yang di produksi oleh Limposit T helper sel darah putih : Laju proliferasi : Laju infeksi : Jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya : Laju kematian alami sel darah putih sehat : Laju kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi : Laju kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih persamaan (2.12) merupakan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4 + ) yang bentuknya tak linear, persamaan (2.12) akan diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.

29 BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori. Kemudian metode perturbasi homotopi tersebut digunakan untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4 + ). Alur penelitian yang dilakukan ini mengikuti alur penelitian pada (Liao, 2004) dan (He, 2007) 3.1 Analisis Metode Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi,,h, yang tidak hanya bergantung pada t dan p, tetapi juga bergantung pada parameter bantu h 0 dan fungsi bantu 0. Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut,,h,= 1 ;,h, + h ;,h, (3.1) Selanjutnya, misalkan fungsi,,h, merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:,,h, = 0 atau 1 ;,h, = h ;,h, 3.2 Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk =0 dan =1 masing-masing memberikan persamaan berikut:,0,h,=;0,h, (3.3) dan,1,h,=h ;1,h,. (3.4)

30 14 Menurut persamaan (2.1), maka penyelesaian dari persamaan,0,h,=0 dan,1,h,=0 masing-masing adalah: = ;0,h, dan = ;1,h, Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu h dan fungsi bantu, pemilihan parameter bantu h, fungsi bantu T, pendekatan awal, dan operator linear M perlu memperhatikan validitas dari metode perturbasi homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi ;,h, dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap ϵ 0,1. Turunan ke m dari fungsi ;,h, terhadap yang dihitung di =0 adalah: sehingga dinotasikan ;,h, = = 1! =! 1 ;, h, Deret Taylor dari fungsi, terhadap adalah,,h,=,0,h,+ 1 ;,h,! atau,,h,= Selanjutnya h, T, dan M dipilih sedemikian sehingga digunakan untuk menyesuaikan kekonvergenan deret (3.5) di =1 terjamin. Jadi untuk =1 dari persamaan (3.5) diperoleh,1,h,= +

31 15 Karena =,1,h,, maka diperoleh = + Hasil ini menunjukan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.1 dengan pendekatan awal dan, =1,2,3, yang akan ditentukan. Persamaan untuk menentukan, =1,2,3, dilakukan dengan metode perturbasi, dimana persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2) untuk mendapatkan suatu persamaan untuk. Persamaan umum dari diperoleh berdasarkan koefisien perpangkatan dari. 3.2 Aplikasi Metode Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih (T CD4 + ). Model matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan (2.12) yang dinyatakan berikut: = = = 3.6 dengan =, = dan =. Syarat awal dimisalkan sebagai berikut: 0 =, 0 = dan 0 =. Misalkan didefinisikan operator berikut =, maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh =0

32 = = Sebagai pendekatan awal dimisalkan =, = dan =. Dalam metode homotopi yang dibahas disini, penyelesaian persamaan (3.7) dimisalkan berbentuk: =, +, +, +, + =, +, +, +, + =, +, +, +, Jika persamaan (3.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), maka diperoleh koefisien berikut:, =0 dengan penyelesaian dalam bentuk, =. Dengan cara yang sama didapat, = dan, =. (3.9) (bukti pada lampiran A.3). Koefisien memberikan persamaan:,, =0 + =0, + = Penyelesaian persamaan 3.10 diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (3.10) terhadap t, sehingga diperoleh:

33 17, =, = +, = N Penurunan bentuk yang lain dari,,, dan, dapat dilihat pada lampiran (B.2). Dengan demikian penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi berbentuk: =, +, +, +, + =, +, +, +, + =, +, +, +, Untuk menggambarkan hubungan, dan yang dinyatakan oleh persamaan (3.12), maka berikut ini diberikan data-data sebagai berikut: s, yaitu laju sel T CD4 + baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah putih, dipilih sebesar 0.1 mm per hari r, yaitu laju proliferasi, dipilih sebesar 3 per hari α, yaitu kematian alami sel darah putih sehat, sebesar 0.02 per hari β, yaitu kematian alami sel darah putih yang sudah terinfeksi, dipilih sebesar 0,3 per hari γ, yaitu kematian alami virus yang menginfeksi sel darah putih, dipilih sebesar 2.4 per hari k, yaitu laju infeksi, dipilih sebesar mm 3 per hari T max, yaitu populasi maksimum sel T pada poliferasi, dipilih sebesar 1500 mm 3, dan N, yaitu jumlah total virus yang diproduksi oleh sel I selama waktu hidupnya, dipilih sebesar 10 per hari. Berdasarkan data tersebut di atas, maka penyelesaian untuk, dan hingga orde keenam adalah:

34 18 T= t t t t t I= t t t t t t V= t t t t t t Penurunan persamaan untuk, dan dengan bantuan software Mathematica diberikan pada lampiran (A.3) Galat antara penyelesaian untuk, dan orde keenam dan penyelesaian untuk, dan orde ketiga terhadap penyelesaian numeriknya diberikan pada Tabel 2 berikut: Tabel 2 Galat penyelesaian, dan orde keenam dan orde ketiga dengan penyelesaian numeriknya. t I Orde 3 Orde 6 Orde 3 Orde 6 Orde 3 Orde x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x10-3 Dari Tabel 2 terlihat bahwa galat yang muncul untuk, dan dengan menggunakan orde enam lebih kecil dari galat untuk orde tiga. Dengan demikian penyelesaian dengan menggunakan orde enam lebih baik dari orde tiga, sehingga pembahasan selanjutnya akan menggunakan penyelesaian hingga orde keenam.

35 19 Nilai ini semakin membesar seiring dengan bertambahnya waktu. Ini menunjukan bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin dekat dengan penyelesaian eksaknya. Selain itu dengan menggunakan orde keenam penyelesaian pendekatan dengan metode perturbasi homotopi dapat dianggap mendekati penyelesaian sesungguhnya. Grafik penyelesaian untuk, dan untuk orang dewasa diberikan dalam Gambar 3 THtL ihtl t t VHtL t Gambar 3 Grafik penyelesaian untuk, dan untuk orang dewasa. Dari Gambar 3 terlihat bahwa jumlah populasi sel T orde 6 meningkat sebesar 2.4 pada hari pertama. Hal ini disebabkan karena sel T CD4 + terus diproduksi oleh limposit T helper dan proses poliferasi sel darah putih, sedangkan sel I menurun dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 14 jam 24 menit. Penurunan ini terjadi karena kondisi sel darah putih terinveksi virus HIV tidak

36 20 dapat bertahan di dalam populasi. Pada gambar 3, Jumlah virus juga menurun dan mengalami kepunahan setelah kira-kira 16 jam 12 menit. Penurunan ini terjadi karena pada kondisi ini virus tidak dapat bertahan di dalam populasi dan akhirnya virus akan punah. Perbandingan galat, dan antara penyelesaian numerik dengan nilai pendekatan menggunakan metode perturbasi homotopi hingga orde ke enam untuk kasus orang dewasa diberikan dalam Tabel 3. Tabel 3 Galat Penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada orang dewasa. t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x10-3 Pada Tabel 3 terlihat bahwa galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-4 dan galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-3.

37 21 Gambar 4 menyatakan grafik penyelesaian, dan pada orang tua (manula), dengan dan dibuat seperdua dari kasus orang dewasa, sedangkan,, dibuat dua kali dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena pada lanjut usia sel darah putih yang di produksi orang tua lebih sedikit dari orang dewasa. 0.5 THtL ihtl t t VHtL t Gambar 4 Grafik penyelesaian untuk, dan untuk orang tua (manula) ketika s = 0.05, α = 0.04, β = 0.6, γ = 4.8, k = , T max = 1500, r = 1.5, N = 10, r 1 = 0.1, r 2 = 0 dan r 3 = 0.1. Pada Gambar 4, poliferasi dan laju sel T CD4 + baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah putih menurun menjadi setengahnya, sedangkan laju kematian alami, baik kematian alami sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel T naik dua kali lipatnya. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka jumlah sel darah putih sehat meningkat sebesar 0.55 pada hari pertama. Nilai ini lebih kecil bila dibandingkan dengan nilai pada kasus orang dewasa. Sel darah putih yang sudah terinveksi akan naik setelah kira-kira 10 jam, dan akan menurun setelah kira-

38 22 kira 12 jam dan akan mengalami kepunahan setelah kira-kira 18 jam. Jumlah virus yang menginfeksi mula-mula akan menurun dan akan mengalami peningkatan populasi setelah kira-kira 13 jam dan akan terus meningkat lebih cepat bila dibandingkan dengan penurunan pada waktu mula-mula. Namun perbandingan jumlah virus yang menginfeksi dengan sel darah putih sehat masih lebih banyak sel darah putih sehat. Tabel 4 Galat penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada Orang Tua (Manula). t T I V x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x10-1 Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-5, galat untuk yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-4 dan galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-1. Galat yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada setelah waktu tersebut jumlah sel T CD4 + yang dihasilkan limposit T helper semakin berkurang.

39 23 Gambar 5 menyatakan grafik penyelesaian, dan pada anak-anak, dengan dan dibuat dua kali dari kasus orang dewasa, sedangkan,, dibuat seperdua dari kasus orang dewasa. Asumsi ini diambil karena anak-anak yang masih dalam masa pertumbuhan masih memproduksi sel darah putih yang relatif banyak bila dibandingkan dengan orang dewasa dan manula, dan memiliki faktor kematian yang masih sedikit. Jadi perbandingan pertambahan sel darah putihnya menjadi dua kali dari kasus orang dewasa dan faktor kematiannya menjadi setengahnya kasus orang dewasa. THtL ihtl t t VHtL t Gambar 5 Grafik penyelesaian untuk, dan untuk kasus pada anak-anak ketika s = 0.2, α = 0.01, β = 0.15, γ = 1.2, k = , T max = 1500, r = 6, N = 10, r 1 = 0.1, r 2 = 0 dan r 3 = 0.1. Pada Gambar 5, saat laju sel T CD4 + baru yang diproduksi oleh limposit T helper sel darah putih dan laju poliferasi meningkat dua kali lipat dibandingkan dengan kasus orang dewasa, sedangkan laju kematian alami, baik kematian alami sel T, sel I maupun virus yang menginfeksi sel T menurun setengahnya dari kasus orang dewasa. Selain itu, karena laju infeksi dan jumlah total virus yang diproduksi sel I selama waktu hidupnya masih dianggap tetap, maka peningkatan

40 24 jumlah sel T pada anak-anak jauh lebih besar per satuan waktu dibandingkan dengan kasus pada orang dewasa dan kasus pada orang tua sebesar 31.9 pada hari pertama. Sel I lebih cepat menuju 0 per satuan waktu bila dibandingkan kasus pada orang dewasa setelah kira-kira 11 jam. Jumlah virus yang menginfeksi sel T akan terus menurun dan akan punah setelah sehari, dan virus akan cepat punah sehingga proses penyembuhan berjalan lebih cepat dari kedua kasus sebelumnya. Tabel 5 Galat penyelesaian, dan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan solusi numerik, dan pada Anak-anak. t T I V x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x10-2 Pada Tabel 4 terlihat bahwa galat untuk fungsi yang muncul antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan dengan metode numerik terbesar sekitar x10-2, galat untuk yang muncul terbesar sekitar x10-3 dan galat untuk fungsi yang muncul terbesar sekitar x10-2. Galat yang semakin besar ini terjadi setelah 13 jam yang disebabkan pada setelah waktu tersebut jumlah sel T CD4 + yang dihasilkan limposit T helper semakin berkurang. Oleh karena galat yang diperoleh relatif besar yang berarti penyelesaian pendekatannya jauh dari penyelesaian eksaknya, maka kasus pada orang tua (manula) dan anak-anak perlu dikaji lagi untuk mendapatkan penyelesaian yang mendekati penyelesaian eksaknya dengan cara menambah orde pendekatannya.

41 BAB 4 SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Metode perturbasi homotopi sangat efisien untuk menyelesaikan model infeksi HIV pada sel darah putih yang bentuknya taklinear khususnya pada kasus orang dewasa. Galat yang dihasilkan dari metode perturbasi homotopi pada kasus ini sangat kecil sehingga penyelesaian yang diperoleh dengan metode ini mendekati penyelesaian yang sesungguhnya. Analisis penyelesaian pada model infeksi virus HIV pada sel darah putih dibagi menjadi tiga kasus, pertama yaitu kasus pada orang dewasa. Sebagai acuan, kedua adalah kasus pada orang tua (manula) dengan asumsi laju pertambahan sel darah putih lebih kecil dari laju kematiannya. dan ketiga kasus pada anak-anak dimana laju pertambahan sel darah putih lebih besar dari laju kematian alaminya. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi akan mengalami kepunahan lebih lambat dan populasi virus HIV akan menurunn tapi akan meningkat tajam setelah faktor penambah sel darah putih berkurang. Jika laju sel darah putih yang dihasilkan lebih besar dari pada laju kematiannya, maka populasi sel darah putih terinfeksi dan virus akan stabil dan mengalami kepunahan (hilang dari sistem). Namun banyak sedikitnya jumlah virus baru yang dihasilkan oleh sel darah putih terinfeksi selama waktu hidupnya tidak begitu berpengaruh karena lama kelamaan jumlah virus akan berkurang oleh faktor kematian alaminya. 4.2 Saran Dalam penelitian ini metode perturbasi homotopi yang digunakan untuk menyelesaikan model infeksi virus HIV pada sel darah putih hanya hingga orde keenam. Penyelesaian akan menjadi akurat bila mana dikaji hingga orde yang lebih tinggi. Aplikasi real pada masalah infeksi virus pada sel darah putih belum dilakukan pada penelitian ini, sehingga penelitian ini masih terbuka untuk dikembangkan.

42 DAFTAR PUSTAKA He, J. H., (1998), Approximate Analytical Solution for Seepage Flow with Fractional Derivatives in Proud Media, Computer Method in Applied Mathematics and Engginering, 167, 1-2, He, J. H., (2000), A Coupling Method of A Homotopy Technique and A Perturbation Technique For Non Linear Problem, International Journal of Non Linear Mechanics, 35,1, He, J. H., (2007), Homotopy Perturbation Method For Solving A Model For HIV Infection of CD4 + T Cells, Istanbul Ticaret Universitesi Fen Bilimleri Dergisi, 6, 12, Institut teknologi telkom, (2010), Klasifikasi Virus, Jaharuddin, (2008), Analisis Homotopi Untuk Menyelesaikan Suatu Masalah Taklinear, Jurnal Matematika dan Aplikasinya, 7, 1, Liao,S., (2004), Beyond Perturbation Method, Wiley, New York. Nelson PW, Perelson AS, (2002), Mathematical Analysis of Delay Differential Equation Models of HIV-I Invection, Mathematical Bioscience 179: Weiss RA, (1993), How Does HIV cause AIDS? Science, 260 (5112) : Wiki, (2009). HIV.

43 LAMPIRAN

44 28 Lampiran A. Penurunan Persamaan A 1. Penurunan persamaan (2.4) Misalkan =0, maka: 1 ; = ; (2.4) Jika persamaan (2.3) diturunkan terhadap hingga kali, maka diperoleh hasil berikut: Turunan pertama Turunan ke dua ; ; 0 ; 0 2 ; 0, 0 ; =, + ; 0 Turunan ke tiga = 2 ; + ; ; 0 3 ; 0 ; = 3 ; 0 + ; Dengan langkah yang sama, turunan ke m yang dievaluasi di p = 0 diperoleh ; ; Persamaan (L.1) dibagi dengan m!, maka diperoleh 1! ; 1 1! = ;.1 ;

45 29 atau 1 = 1! ; dengan ᵡ =R R = 1 1! ; = 1! = 1! ; ᵡ = 0, m 1 1, m lainnya A 2. Penyelesaian MNA (2.7) dan (2.8) Tinjau MNA berikut: dengan syarat awal = 3 = 3 0 =2 dan 0 = Berdasarkan persamaan 2.6 dan persamaan 2.7 diperoleh: = = Dipilih dan suatu konstanta, masing-masing dan. Misalkanpenyelesaian persamaan (2.9) dinyatakan dalam bentuk

46 30 =, +, +, +, + =, +, +, +, Jika persamaan 2.10 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.9, maka diperoleh, + 3 +,, + 3 +,, + 3 +,, , + 3 +,, + 3 +,, + 3 +,, = dengan nilai awal, 0 =0,, =1,2,3, dan, = dan, =. Koefisien perpangkatan pada persamaan (2.9.a) memberikan persamaan berikut:,,,, + 3 =0, + 3 =0, + 3 =0, + 3 =0 atau,, + 3 =0,,,,, = 3 =, 3 =, 3 =, 3 =,

47 31 Koefisien perpangkatan pada persamaan (2.9.b) memberikan persamaan berikut:,,,, + 3 =0, + 3 =0, + 3 =0, + 3 =0 atau,, + 3 =,,,,, = 3 =, 3 =, 3 =, 3 =, 3 0 Untuk mencari,,,,,, integralkan kedua persamaan 2.9. dan 2.9. didapat, = + 3 3, = , = , = , = , = +3 3, = 1 2 3, =

48 32, = , = Karena =2, =3 dan Maka diperoleh =, +, +, +, +, +, + =, +, +, +, +, +, + = = Penyelesaian dari MNA (2.7) = + = +2. Berikut program mathematica untuk melihat perbandingan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dan penyelesaian eksaknya. Needs "PlotLegends`" Plot {,},{,0,1},AxesLabel {,},PlotStyle Thick,PlotLegend {"HPMx","x"},LegendPosition {0.9, 0.8} Plot {, },{,0,1},AxesLabel {,},PlotStyle Thick,PlotLegend {"HPMy","y"},LegendPosition {1, 0.8} A 3. Penurunan Persamaan untuk, dan Jika persamaan (3.8) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), maka diperoleh koefisien diperoleh:, =0, =. =0

49 33 Berdasarkan syarat awal, =, maka = sehingga, =, =0 = =0 Berdasarkan syarat awal, =, maka = sehingga, =, =0 = =0 Berdasarkan syarat awal, =, maka = sehingga, =. Model matematika yang ditinjau diberikan oleh persamaan berikut: = = = dengan syarat awal 0 =, 0 = dan 0 = Misalkan didefinisikan operator berikut =, Maka dari persamaan (3.2) dan persamaan (3.6) diperoleh =0 1 + = =0 3.7 Sebagai pendekatan awal dimisalkan =, = dan =.

50 34 Substitusikan penyelesaian dalam persamaan (3.8) kedalam persamaan (3.7), dan disusun berdasarkan perpangkatan, diperoleh: Untuk persamaan pertama pada persamaan (3.8):,,,,, , + 2, +, +, +, +, +, + 2, +, +, + 2,, +, +, +2,, +, +, + 2 3,, +, +, + 3,, + 3,, +, +, +3,, + 3,, +, +, + 2 3, +4,, +, +, + 4,, + 6,, + 4,, +, +, +4,,, +6,, + 4,, +, +, ,, +5,, +, +, + 4,, + 10,, + 10,, + 5,, +, +, +5,, (3.7.a) + 10,, +10,, + 5,, +, +... = 0

51 35 Untuk persamaan kedua pada persamaan (3.8) :,,,,,,... = 0 (3.7.b) + +, +, +, +, + 2,, +, +, +, + 3,, + 3,, +, +, +, + 4,, + 6,, + 4,, +, +, +, + 5,, + 10,, + 10,, + 5,, +, +, + Untuk persamaan ketiga pada persamaan (3.8) :,,, = 0 + +,, +, +,, +, +,, +, +, +, +, +, + (3.7.c) Karena, =,, =,, =, maka diperoleh, 0 =0, i, j = 1, 2,... sehingga berdasarkan persamaan (3.7.a) diperoleh:,, =0, + 2, +, +, +, +, =0

52 36,,,,, + 2, +, +, + 2,, +, +, +2,, +, = 0, + 2 3,, +, +, + 3,, + 3,, +, +, +3,, + 3,, +, = 0, + 2 3, +4,, +, +, + 4,, + 6,, + 4,, +, +, +4,, +6,, + 4,, +, = 0, ,, +5,, +, +, + 4,, + 10,, + 10,, + 5,, +, +, +5,, + 10,, +10,, + 5,, +, = d. Berdasarkan persamaan (3.7.b) diperoleh:, + =0,, +, +, = 0,, + 2,, +, +, = 0,, + 3,, + 3,, +, +, = 0

53 37,,, + 4,, + 6,, + 4,, +, +, = 0, + 5,, + 10,, + 10,, + 5,, +, +, = Berdasarkan persamaan (3.7.c) diperoleh:,,,,, + =0, +, =0, +, =0, +, =0, +, =0,, +, =0 3.7.f Untuk mencari,,,,,,... dengan mengintegralkan persamaan (3.7.d), (3.7.e), (3.7.f) dengan bantuan software Matematica, =, =Integrate,,, = \ =, 2,, +,,,

54 38, = Integrate, 2,, +,, +,,, = N, =, 2, +,, + 2,, +,, 2,,,, = Integrate, 2, +,, +2,, +,, +2,, +,,

55 39, = N N N N N dan seterusnya dilakukan dengan cara yang sama hingga orde 6 (nilai, )

56 40 Berikut ini akan di tentukan,,,,... dengan mengintegralkan persamaan (3.7.e) dengan bantuan soft ware Mathematica, =, = Integrate,, = +, =, +,,, =Integrate, +,,,, = N , =, + 2,, +,,, = Integrate, + 2,, +,,,, = N N N + 4 N N N dan seterusnya dilakukan dengan cara yang sama hingga orde 6 (nilai, )

57 41 Berikut ini akan di tentukan,,,,... dengan mengintegralkan persamaan (3.7.f) dengan bantuan soft ware Mathematica, =, =Integrate,, = N, =,,, = Integrate,,,, = N 1 2 N N, =,,, =Integrate,,,, = 1 2 +N N + N + +N +N N dan seterusnya dilakukan dengan cara yang sama hingga orde 6 (nilai,. Dengan demikian,, diberikan sebagai berikut:, +, +, +...