Problems Involving Delay System Analysis (2)

Transkripsi

1 Sistem Tunggu (Delay System) Problems Involving Delay System Analysis 2

2 Problems Involving Delay System Analysis (2) 3 Problems Involving Delay System Analysis (3) 4 Proses trafik selama pembangunan hubungan 2

3 Permintaan panggilan yang datang pada saat peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian diduduki Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara sistem tunggu dan sistem rugi Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi batas akan dihilangkan Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan 5 Rumus J.D.Little L=λW L=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem λ=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistem W=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem 6 3

4 Rumus J.D.Little (2) Penurunan Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistem Jumlah kedatangan γ(to) α(to) δ(to) t 7 Rumus J.D.Little(3) α(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu) δ(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang berakhir terhadap waktu) γ(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t (merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan pelanggandetik) λ(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang waktu (0,t) 8 4

5 Rumus J.D.Little(4) λ t =α(t)/t Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam selang waktu (0,t), maka T t =γ(t)/α(t) [pelanggan-detik/pelanggan] Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian selama waktu (0,t) adalah : N t =γ(t)/t = [α(t)/α(t)]xt t /(/λ t ) = λ t T t 9 Rumus J.D.Little (5) Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t, maka λ t λ, T t T dan N t N, sehingga N= λt Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem antrian=harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem 0 5

6 Rumus J.D.Little (6) Catatan untuk rumus J.D Little Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarang Jumlah pelayan adalah sembarang Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya Lq=λ.Wq Lq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian Wq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian Lp=λ.Wp Lp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan Wp=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan Contoh Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon, diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit. Hitung : Jumlah telepon rata-rata yang digunakan Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata,2 pelanggan yang menunggu Jawab Arrival rate = λ =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit Service rate = µ = /3 Traffic load = λ/µ = (5/6)x3 = 2,5 Erlang Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5 Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little Diketahui L=,2 maka W=L/λ =,2/(5/6)=,44 menit 2 6

7 Sistem M/M/S/0 (Markovian Loss System) Arrival Rate λ s Jumlah server s Service rate µ Ini model untuk jaringan telepon Menghasilkan Distribusi Erlang 3 Sistem Antrian M/M/ Kedatangan panggilan : Poisson arrival Service time : exponentially distributed Jumlah server : Panjang antrian : tak terhingga Diagram transisi kondisi λ λ λ λ λ λ 0 2 N N+ µ µ 2 µ 3 µ Ν µ N+ perhatikan 4 7

8 Sistem Antrian M/M/ (2) Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi dinyatakan oleh hukum konservasi dari aliran peluang : λ 0 P 0 = µ P untuk k=0 (λ k + µ k )P k = λ k- P k- + µ k+ P k+ untuk k Aliran meninggalkan kondisi k bila sistem dalam kondisi k dengan peluang P k Aliran menuju kondisi k, baik yang berasal dari kondisi k- maupun dari kondisi k+ 5 Sistem Antrian M/M/ (3) Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang berdekatan dapat ditulis sbb : λ k- P k- = µ k P k λ k P k = µ k+ P k+ Persamaan di atas disebut local balance equations Kita akan memanfaatkan local balance equations untuk memperoleh peluang kondisi k (P k ) 6 8

9 Sistem Antrian M/M/ (4) Dari local balance equations kita peroleh : λ 0 P 0 = µ P, λ P = µ 2 P 2,,λ k P k = µ k+ P k+, dan k λi P k = P0 i= 0 µ i+ k λi Karena Σ k P k =, maka Pk = P0 + P0 = k = 0 k= i= 0 µ i+ P0 = + k λi µ k = i= 0 i+ k λi µ i= 0 i+ 7 Sistem Antrian M/M/ (5) Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak tergantung kondisi k (ini berarti λ k =λ dan µ k =µ), maka Pk dapat dinyatakan sbb : Pk = + Dimana k = k ρ λ ρ = < µ k k ρ = ( ρ) ρ untuk k = 0,,

10 Sistem Antrian M/M/ (6) Beberapa paramater hasil analisa sistem M/M/ : Jumlah rata-rata panggilan di dalam sistem, E(k): ρ λ E(k) = = ρ µ λ Waktu tunggu rata-rata, E[w]: ρ E ( w) = = E( k) ρ µ µ Delay rata-rata yang dialami oleh panggilan=waktu tunggu rata-rata ditambah waktu pelayanan rata-rata = E[d] : ρ E[ k] E[ d] = = = λ( ρ) λ µ ( ρ) Jadi jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem, E[k], dapat juga dihitung sbb : E[k]=λE[d]=ρ/( ρ) (Ingat hukum Little) Utilisasi server,η,didefinisikan sebagai peluang server sibuk (k 0), yaitu : λ η Pk = P0 = ρ = µ = k = 9 Sistem Antrian M/M/ (7) Contoh : suatu web server yang digunakan sebagai search engine menerima jumlah permintaan (request) per jam sebanyak Server memerlukan waktu 0,02 detik untuk mengolah setiap request. Pertanyaan : Berapa utilisasi server? Berapa jumlah request rata-rata di dalam server? Berapa bagian dari waktu bahwa ditemukan k search request di server? Jawab Average service rate = µ = /0,02=50 request/detik Average arrival rate = λ = request/jam = 40 request/detik Utilisasi server = λ/µ =0,8 = 80 % Jumlah rata-rata request di dalam server = 0,8/(-0,8) = 4 Bagian dari waktu dimana terdapat k searh request di server = P k =(-ρ)ρ k =(-0,8)0,8 k =0,2.0,8 k dimana k=0,, 20 0

11 Sistem Antrian M/M/ (8) Pertanyaan lain : Berapa waktu respons rata-rata dari server? Hitung rata-rata respons time bila server search engine diganti dengan server yang memiliki kecepatan dua kali lebih cepat? Hitung rata-rata respons time bila arrival rate menjadi dua kali dan server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat? Jawaban : Respons time rata-rata = delay rata-rata yang dialami request = /[µ(-ρ)] = /[50(-0,8)]=0, detik Bila server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat, maka service time rata-rata menjadi = 0,02/2 = 0,0 Maka service rate menjadi = µ = /0,0 = 00 dan utilisasi (ρ) menjadi =40/00 = 0,4 Maka response time menjadi = /[00(-0,4)] = 0,07 detik Jika arrival rate dan kecepatan server menjadi dua kali, maka : Service rate = µ = 00 dan λ menjadi 80, maka ρ =80/00 = 0,8 Maka response time menjadi = /[00(-0,8)] = 0,05 detik 2