GALAT DALAM KOMPUTASI NUMERIK

Transkripsi

1 GALAT DALAM KOMPUTASI NUMERIK

2

3 G ALAT DALAM K OMPUTASI N UMERIK D i dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah matematika. Hal ini utamanya bukan disebabkan oleh cara mencari penyelesaian yang tidak diketahui, namun karena adanya kenyataan bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak dapat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsifungsi lain yang sudah diketahui. Oleh karena itu komputasi numerik menjadi sangat penting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan metodemetode matematika dalam berbagai bidang sains dan teknologi serta hadirnya teknologi pendukung berupa komputer berkemampuan tinggi. Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian masalah matematika dengan menggunakan beberapa metode numerik. Metode numerik adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalahmasalah matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritmetika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Tergantung pada kekomplekan masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang dipakai, dan seterusnya, proses penyelesaian mungkin memerlukan beberapa puluh sampai jutaan operasi. Apabila banyaknya operasi hitung yang diperlukan hanya beberapa puluh, maka seseorang dapat menyelesaikan masalahnya secara manual atau menggunakan kalkulator. Akan tetapi jika penyelesaian suatu masalah memerlukan jutaan operasi hitung, maka pemakaian komputer berkecepatan tinggi merupakan kebutuhan yang tidak dapat dihindari. Di sinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam komputasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien (memerlukan sesedikit mungkin operasi hitung) merupakan aspek lain yang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan se Pengertian komputasi numerik dan metode numerik Bab. Galat dalam Komputasi Numerik makin terasa di dalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar, yang melibatkan ribuan variabel misalnya. C ONTOH p.. Hitunglah sampai empat angka desimal. Penyelesaian p Suatu algoritma untuk menghitung dengan hanya menggunakan operasi perkalian, pembagian dan penjumlahan Terdapat lebih daripada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasi aritmetika dasar (penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian). Salah satunya, yang cukup populer, adalah x

4 ; xn xn + xn ; untuk n ; 3; 4; Dengan menggunakan algoritma di atas kita peroleh, untuk n ; 3; 4; 5, x 3 ; x 3 x 5

5 7 ; x ; atau, dalam bentuk pecahan desimal x

6 ; x x Jadi, hampiran sampai empat angka desimal untuk Program MATLAB untuk menghitung hampiran p p x adalah.44. Berikut adalah contoh pemakaian komputer (dalam hal ini dengan menggunakan program MATLAB) untuk menyelesaikan masalah di atas. Anda dapat mengubah batas nilai e untuk mendapatkan tingkat keakuratan yang diinginkan. >>x;e; >>while e>0.0000, yx;x(y+/y)/ eabs(x-y); end x.5 x Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0)

7 Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 4 rapa parameter masukan. Efek galat data awal dapat diestimasikan dengan menggunakan cara-cara sederhana, misalnya dengan menggunakan variasi data awal dalam batas-batas galatnya dan dengan menetapkan penyelesaiannya. Apabila terdapat beberapa data awal yang memiliki galat yang sifatnya alami, maka pemakaian metode statistika akan bermanfaat. Dalam beberapa kasus, galat bawaan dapat dianggap sebagai galat suatu fungsi yang diakibatkan oleh galat argumen (masukannya). Dalam kebanyakan kasus, metode-metode numerik merupakan hampiran, sehingga sekalipun data awalnya tidak mengandung galat dan semua operasi aritmetika dilakukan secara ideal, metode-metode tersebut menghasilkan penyelesaian masalah semula yang memuat beberapa galat yang disebut galat metode (yang dipakai). Hal ini disebabkan karena suatu metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah lain, yang lebih sederhana, sebagai hampiran masalah asli. Dalam sejumlah kasus, metode numerik yang dipilih disusun berdasarkan pada proses tak berhingga, yang limitnya menuju penyelesaian yang diinginkan. Akan tetapi, dalam kenyataannya tidak mungkin melakukan semua proses tersebut, sehingga prosesnya harus dihentikan pada langkah tertentu dan hasilnya adalah suatu hampiran penyelesaian. Suatu metode numerik biasanya tergantung pada beberapa parameter yang dapat dikendalikan. Beberapa contoh parameter demikian adalah banyaknya iterasi di dalam menyelesaikan sistem persamaan dan banyaknya suku yang harus dihitung di dalam menjumlahkan suatu deret, dan lebar interval yang digunakan untuk menghitung hampiran suatu integral tentu. Galat suatu metode numerik atau estimasinya biasanya tergantung pada parameter yang sesuai. Estimasi galat yang diperoleh mungkin dinyatakan dalam kuantintas-kuantitas yang diketahui. Dengan estimasi galat ini, nilai-nilai parameter yang menentukan galat metode tersebut berada dalam batas-batas yang diinginkan dapat ditentukan. Akan tetapi, dalam kebanyakan kasus estimasi galat memuat pengali-pengali konstanta yang tidak diketahui nilainya, dan parameter metode berbentuk suatu fungsi pangkat atau fungsi eksponensial. Dengan estimasi galat demikian laju penurunan galat dapat diatur dengan mengubah parameter metode. Laju penurunan galat merupakan karak Sebagai contoh adalah perhitungan nilai suatu fungsi dengan menggunakan beberapa x x4 x6 suku pertama deret tak berhingga, seperti x, hanya dihitung! 4! 6! n suku pertama, sisanya diabaikan. os Pengantar Komputasi Numerik + + c Sahid (004 0). Sumber-sumber Galat 5 teristik penting suatu metode numerik. Galat yang paling rumit di dalam komputasi numerik adalah

8 galat pembulatan (round-off errors), yang diperoleh selama pemakaian operasioperasi aritmetika. Apabila banyaknya operasi yang dilakukan tidak besar, maka galat-galat pembulatan dalam kalkulasi manual dapat dihitung dengan rumus-rumus perambatan galat yang akan dibahas di belakang. Terdapat dua situasi yang mungkin terjadi dalam penyelesaian suatu masalah numerik dengan komputer. Pertama, jika banyaknya operasi aritmetika yang dilakukan sedikit, maka galat-galat pembulatan mungkin dapat diabaikan, karena komputer menggunakan sepuluh atau lebih angka desimal signifikan, sementara hasil akhir biasanya diambil sampai lima angka signifikan. Kedua, jika masalah yang harus diselesaikan cukup rumit (misalnya masalah persamaan diferensial parsial), dan proses perhitungan hampiran penyelesaian yang diinginkan memerlukan, katakan 00 operasi aritmetika, maka tidaklah realistik dalam hal ini untuk menghitung efek galat pembulatan pada setiap operasi. Dalam kasus seperti ini galat pembulatan dapat dikatakan bersifat acak. Namun, bagaimanapun juga galat pembulatan tidak dapat diabaikan dalam menyelesaikan masalah-masalah numerik yang rumit. Suatu masalah numerik mungkin dapat diselesaikan dengan beberapa metode hampiran yang berbeda. Sensitivitas galat pembulatan pada dasarnya tergantung pada metode numerik yang dipilih. Suatu metode numerik dianggap berhasil jika galat yang diberikan merupakan pecahan dari galat bawaan, dan galat karena pembulatan, disebut galat komputasi, lebih kecil daripada galat metode. Apabila tidak ada galat bawaan, maka galat metode haruslah kurang daripada tingkat keakuratan yang diberikan. Selain persyaratan tingkat keakuratan, metode numerik yang dipilih juga harus memenuhi sejumlah persyaratan lain. Utamanya, metode tersebut menggunakan seminimum mungkin operasi, memerlukan lebih sedikit unit penyimpanan (memori) pada komputer, dan akhirnya, secara logika lebih sederhana, sehingga lebih cepat dijalankan oleh komputer. Sejumlah syarat yang diberikan mungkin saling menjadi kendala, sehingga pemilihan metode numerik boleh jadi memerlukan suatu kompromi. Suatu algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang terbatas, sehingga hampiran yang diperoleh memenuhi tingkat keakuratan tertentu, disebut algoritma stabil. Algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang merusak hampiran penyelesaian yang diperoleh, sehingga Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 7 Dalam sistem biner, basis perpangkatan adalah, sebagai pengganti basis 0 dalam sistem desimal. Jadi, bilangan 454 dalam sistem biner dinyatakan sebagai dua

9 Catatan

10 Indeks dua atau digunakan untuk membedakan dengan penulisan sistem desimal, sehingga 0 berarti seratus sepuluh, sedangkan 0dua dan 0 berarti enam. Fungsi MATLAB decbin dapat digunakan untuk mendapatkan representasi dalam sistem biner suatu bilangan bulat positif N. >>decbin(454) ans 0000 >>decbin(563) ans Secara umum, jika N bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan dalam ekspansi berbasis pangkat dua sebagai N dengan bk bn n + bn f 0 ; n + + b

11 + b + b 0 0 ; Nilai tempat dalam sistem biner g, maka dalam sistem biner N dapat dinyatakan sebagai N bnbn b b b 0 dua Jika diketahui bilangan bulat positif N (dalam bentuk desimal), maka bentuk binernya dapat dicari dengan menggunakan algoritma sebagai Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0)

12 Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 8 berikut Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner N q q dengan bk sebagai f ; 0 g. qn qn q q q 0... b b + b

13 q q n n + (.) bn bn ; + (qn 0); Selanjutnya, dalam sistem biner N dapat dinyatakan N bn bn b b b 0 dua C ONTOH.. Dengan menggunakan algoritma., diterapkan pada N 454

14

15 , didapatkan ; sehingga dua, seperti contoh sebelumnya... Sistem Heksadesimal Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 6 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 6 digit yang berbeda, yang biasanya dinyatakan sebagai ; ; ; ; 9; A; B; C; D; E; F; 0 dengan A6 0, B6 Sebagai contoh,

16 CA 4 6, C , D6 + (), E (0) 4, dan F6 0

17 Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan heksadesimal analog dengan algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner. Dalam hal ini digunakan pembagi 6. Sistem heksadesimal memiliki hubungan erat dengan sistem biner. Konversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dan sebaliknya dapat Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 9 dilakukan secara mudah. Untuk mengkonversi bilangan heksadesimal ke bilangan biner, ganti setiap digit dengan representasi binernya. Sebagai contoh, AC dua ; karena 6 0dua ; A dua ; C 6 00dua

18 Sebaliknya, untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesimal, kelompokkan setiap empat bit dari kanan ke kiri, dan ganti setiap empat bit tersebut dengan nilai heksadesimalnya. Sebagai contoh, 0000dua 34 D ; 6 karena 0dua 3 D ; 6 000dua 4 46 ; dua Bilangan Pecahan dan Deret Dalam komputasi numerik, nilai-nilai pecahan dinyatakan dalam bentuk desimal. Setiap bilangan pecahan rasional pq, q 6 0, dinyatakan sebagai pecahan desimal yang terdiri atas berhingga digit atau tak berhingga digit berulang. Berikut adalah beberapa contoh Ekspansi desimal pecahan 3 memuat tak berhingga digit 3 secara berulang, sedangkan ekspansi desimal pecahan 7 memuat beberapa digit yang diulang tak berhingga kali, yakni Apabila ekspansi desimal ditulis hanya sampai beberapa digit berhingga, maka digit-digit terakhir yang berulang diberi garis atas. Dalam contoh ekspansi 3 di atas 3 artinya digit 3 berulang tak berhingga kali, sedangkan pada 7, 4857 artinya 4857 berulang tak berhingga kali. Notasi tersebut berlaku juga untuk ekspansi pecahan biner (akan dijelaskan nanti). Dalam praktek kita hanya mengambil beberapa digit untuk mengpengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 53. Perhatikan bahwa 64

19 Oleh karena itu, dalam sistem biner dua.. Perhatikan deret geometri yang konvergen ke nilai Jadi, dalam sistem biner 05 dinyatakan sebagai dua 0 dua 0dua Dari contoh di atas, ternyata pecahan biner juga dapat memuat tak berhingga digit berulang. Cara menyingkat digit-digit yang berulang sama dengan cara penulisan pada sistem desimal, yakni dengan memberi garis di atas digit-digit yang berulang. Algoritma berikut dapat digunakan untuk mencari penyajian biner suatu pecahan 0 < R <. R F F F F Fn

20 b b b b b F + F + F + F + F bn + Fn b b b b b int(r) int(f ) int(f ) int(f ) int(f ) F F F F F

21 bn int(fn ) 5 fra (R) fra (F ) fra (F ) fra (F ) fra (F ) 3 (.) 4 Fn fra (Fn... Algoritma untuk mengubah pecahan desimal ke pecahan biner ) dengan int(x) adalah bagian bulat x dan fra (x) adalah bagian pecahan x. Proses tersebut mungkin berhenti setelah langkah ke-n (jika didapatkan Fn 0), mungkin berlanjut terus. Selanjutnya, representasi biner R adalah R 0b b b bn dua C ONTOH.4. Nyatakan pecahan

22 dalam bentuk pecahan biner! Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 3 biner dengan perpangkatan akan menggeser titik (koma) pemisah bagian bulat dan bagian pecahan. Misalnya, dua 00dua Aturan pergeseran titik tersebut benar, karena memang (Silakan diperiksa!) 53 00dua...5 Notasi Ilmiah (Scientific Notation) Cara baku untuk menyajikan bilangan riil, disebut notasi ilmiah (scientific notation), dapat dinyatakan dalam bentuk q 0 n ; Notasi Ilmiah (Scientific Notation) dengan q < 0. Bilangan q disebut mantis dan n disebut eksponen. Berikut adalah contoh-contoh

23 penyajian bilangan dengan notasi ilmiah A K

24 (bilangan Avogadro dalam kimia) 0 3 (pengertian kilo dalam ilmu komputer) (konstanta dielektrik) 6 (permiabilitas)...6 Titik-Mengambang Normal (Normalized Floating-Point) Misalkan x adalah suatu bilangan desimal bukan nol. Kita dapat menyatakan x dalam bentuk x m0p ; (.3) dengan + atau, dan 0 m <. Besaran, m, dan p berturut-turut disebut tanda, mantis, dan eksponen atau pangkat. Sebagai contoh, Pengantar Komputasi Numerik 0

25 c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 5 bit pangkat, bernilai 975 p 07, dan sebuah bit tanda. Skema penyajian titik-mengambang ini dijelaskan pada Gambar.. pangkat (p) {z} {z Bit Bit } mantis (m) {z Bit 3 } 60 Gambar. Alokasi bit tanda ( ), mantis (m) dan pangkat (p) pada komputer CDC dengan 60-bit titik-mengambang. Komputer DEC VAX menggunakan penyajian titik-mengambang 3-bit, seperti skema pada Gambar.. Mantis terdiri atas 4 bit (bernilai m < ), pangkat terdiri atas 8 bit (bernilai 7 p 7), dan satu bit tanda. Oleh karena m <, maka m 0b b b 3 4 dua Bit pertama tidak disimpan secara eksplisit di dalam memori, hanya bit b, b3,..., dan b4 yang disimpan di dalam memori. Bit pertama selalu disisipkan ke dalam penyajian tersebut setiap kali dilakukan operasi hitung yang melibatkan m. pangkat (p) {z} {z Bit Bit

26 } mantis (m) {z 9 Bit 0 } 3 Gambar. Alokasi bit tanda ( ), mantis (m) dan pangkat (p) pada komputer DEC VAX dengan 3- bit titik-mengambang 3. Pada koprosesor aritmetika yang digunakan pada komputer-komputer mikro, misalnya keluarga Intel 80X87 dan Motorola 6888X, digunakan Aritmetika Titik-Mengambang IEEE Baku. Dalam standard ini, yang merupakan notasi IEEE baku presisi tunggal, mantis m dinormalkan sehingga memenuhi m <, menggunakan 4 bit, sebuah bit disembunyikan seperti pada DEC VAX. Pangkat p memiliki nilai-nilai 6 p 7 8. Dalam sistem ini terdapat penyajian untuk, misalnya untuk menyatakan /0, dan nan, yang berarti bukan bilangan (not a number), misalnya untuk menyatakan 0/0. Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 7 but adalah 00dua, yakni bilangan yang memiliki mantis terbesar ( 0dua ) dan eksponen terbesar (+7). Jadi bilangan tersebut adalah dua dua 0dua Bilanganbilangan yang lebih besar daripada nilai tersebut tidak dapat disajikan dengan notasi di atas, dan disebut nilai overflow. C ONTOH.8. Misalkan digunakan mantis m pada (.4) yang memuat 3 bit. Dalam hal ini, m dapat dituliskan sebagai m 0b b3 b4 b3 b3 dua. Nilai pecahan dua ; oleh komputer tersebut disimpan sebagai hampiran 0 {z } dua memuat bit signif ikan

27 3 3 Galat hampiran tersebut sebesar dua 35 P Jika komputer harus menghitung hasilnya bukan 0000, melainkan k hampirannya yang memiliki galat lebih besar daripada Silakan Anda coba sendiri dengan kalkulator 0 digit untuk mendapatkan berapa besar galat yang sesungguhnya! C ONTOH.9. Perhatikan rumus untuk menghitung nilai z z p x

28 + y Jika x dan y cukup besar, maka x + y mungkin menyebabkan overflow, sekalipun nilai z berada dalam jangkauan titik-mengambang. Untuk menghindari hal ini dapat digunakan rumus alternatif ( z p jxj p jyj yx) ; 0 xy) ; 0 + ( + ( Di sini, nilai di dalam tanda akar berbentuk + Pengantar Komputasi Numerik jyj jxj jxj jyj! dengan j!j. Perhitungan c Sahid (004 0). Penyajian Bilangan 9 bilangan-bilangan biner a b

29 ( ) 5 ( ) 67 d ( ) 435 ( ) 37 Gunakan fungsi MATLAB decbin untuk mengecek hasil perhitungan Anda! 6. Konversikan pecahanpecahan desimal di bawah ini ke dalam pecahan-pecahan biner berbentuk 0b b bndua a ( ) b 7 ( ) 6 3 d 3 ( ) 6 ( ) Cobalah Anda gunakan fungsi MATLAB decbin untuk mengubah pecahan-pecahan desimal tersebut ke dalam pecahan-pecahan biner! 7. Gunakan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (.) untuk menunjukkan bahwa a ( ) ( ) 0 7

30 b dua ( ) dua dua Tuliskan fungsi MATLAB decbinp, yang mengimplementasikan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (.), untuk mengubah pecahan desimal ke pecahan biner. Gunakan fungsi tersebut untuk mengerjakan soal-soal di atas! 8. Dengan mengubah pecahan biner ke dalam pecahan desimal, hitunglah galat hampiran-hampiran di bawah ini. a ( ) ( ) 0 7 b 0 000dua ( ) dua dua 9. Misalkan x, 0 x, ditulis dalam bentuk biner,

31 x 0b b b dua 3 Jelaskan makna geometris koefisien-koefisien b, b, b3,...! 0. Samakah bilangan-bilangan biner 0000dua dan 0dua? Jelaskan! Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0).3 Galat Hampiran galat p Galat relatif pada nilai hampiran.44 untuk nilai e sekitar ; sedangkan hampiran yang lebih kasar.4 mempunyai galat relatif Hampiran lain yang cukup terkenal adalah Nilai , sehingga e 7

32 7 ; r C ONTOH.. Tentukan galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini jika nilai eksaknya diketahui. Hampiran x 34 untuk nilai eksak x Hampiran y ; ; ;. 3. Hampiran z untuk nilai eksak z untuk nilai eksak y Jawab. ex. ey ; 000; ez 3 459

33 ; dan rx dan ry ;000;000 dan rz

34 0 5 Pada nomor, selisih ex dan rx tidak terlalu besar, sehingga masing-masing dapat digunakan untuk menentukan tingkat keakuratan x. Pada nomor, nilai y cukup besar. Sekalipun ey relatif besar tetapi ry kecil, sehingga y dapat dikatakan sebagai hampiran yang cukup baik untuk y. Pada nomor 3, nilai z terkecil dibanding dengan x dan y, meskipun galat ez kecil, tetapi galat relatif rz cukup besar, yakni 5%. Jadi z merupakan hampiran yang jelek untuk z. Perhatikan, dari ketiga contoh terakhir, jika jxj nilainya semakin jauh dari, baik semakin besar atau semakin kecil, galat relatif rx merupakan indikator keakuratan hampiran x daripada galat ex. Galat relatif lebih banyak dipakai pada penyajian bilangan riil dengan titik-mengambang (floating-point representation), karena galat relatif berkaitan langsung dengan nilai mantis. Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0) Bab. Galat dalam Komputasi Numerik D EFINISI. (A NGKA Pengertian angka signifikan SIGNIFIKAN ).. Misalkan suatu hampiran bilangan x dinyatakan sebagai x dn dn d d d d d 0 m n X dk 0k k m Jika dk > 0 dan dj 0 untuk j > k, maka digit-digit dk ; dk dikatakan angka signifikan.. Suatu digit dk dikatakan benar jika ex k 0

35 ; ; d m,. 3. Misalkan x adalah nilai eksak. Hampiran x untuk x dikatakan menghampiri x sampai k angka signifikan jika k adalah bilangan bulat positif terbesar yang memenuhi jex j jx xj < jxj jxj 0 k C ONTOH... Bilangan memiliki 5 angka siginitkan.. Bilangan memiliki 3 angka signifikan, yakni, 5, Bilangan memiliki angka signifikan, yakni 6 dan Bilangan memiliki 6 angka signifikan. 5. Jika x 3459 dan x 34, maka jx xjjxj Jadi x menghampiri x sampai 3 angka signifikan dihampiri oleh y , maka jy yjjyj < 0. Jadi, y menghampiri y sampai lima angka signifikan. 7. Jika z dihampiri oleh z , maka jz z jjz j 05 < 0. Jadi hampiran z tidak memiliki angka signifikan. 6. Jika y

36 Jika suatu nilai hampiran ditulis tanpa menyebutkan galat mutlaknya, maka hanya digit-digit yang benar yang ditulis. Dalam hal ini, digit nol di sebelah kanan tidak dihilangkan. Sebagai contoh, bilangan dan adalah dua hampiran yang berbeda. Bilangan memiliki galat mutlak tidak melebihi 0.000, sedangkan bilangan memiliki galat mutlak tidak lebih daripada 0 6. Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0).3 Galat Hampiran 3 Jika bagian bulat suatu bilangan hampiran memiliki lebih banyak angka signifikan daripada cacah digit benar, maka seyogyanya digunakan notasi normal, misalnya x Dari notasi ini jelas bahwa x memiliki tiga angka signifikan. Dalam hal ini, notasi x tidak disarankan. Bilangan-bilangan hampiran sebelumnya ditulis sebagai dan Notasi yang sering digunakan untuk menuliskan suatu hampiran adalah x x ex ; yang berarti nilai x memenuhi ketidaksamaan x ex x x + ex Di sini besaran ex ditulis dengan cacah digit signifikan yang kurang daripada cacah digit signifikan pada x. Sebagai contoh, x Perlu dibedakan antara cacah digit signifikan benar dan cacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan pada suatu nilai hampiran. Misalkan, hampiran x 5030 memiliki lima digit signifikan dan tiga digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan hampiran y memiliki tiga digit signifikan benar dan lima digit benar di sebelah kanan titik pecahan. Jadi, galat mutlak suatu nilai hampiran seutuhnya ditentukan oleh cacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan galat relatifnya ditentukan oleh cacah digit signifikan..3. Galat Pembulatan (Rounding Off Error) Pembulatan bilangan sering dilakukan di dalam proses komputasi. Pembulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut. Aturan Pembulatan Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit di depannya tidak berubah. Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, maka digit di depannya ditambah nilainya. Pengantar Komputasi Numerik

37 c Sahid (004 0).3 Galat Hampiran 5 dibulatkan sampai enam angka desimal ( 5)! + 4 ( 5) ( 5) 4! 6 6! Galat hampiran tersebut sebesar dan galat relatifnya senilai < Jadi nilai hampiraan tersebut benar sampai angka signifikan..3.3 Pemangkasan dan Pembulatan Perhatikan bahwa setiap bilangan riil x dapat dinyatakan dalam bentuk desimal normal

38 x 0d d d dk dk 0n ; dengan d 9; 0 dj 9; untuk j > 3 + (.9) Misalkan k adalah maksimum banyaknya digit desimal yang dipergunakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik-mengambang. Dalam hal ini, bilangan x disajikan sebagai fl hop(x), yang didefinisikan sebagai fl hop(x) 0d d d dk 0n ; dengan d 9; 0 dj 9; untuk 3 > format long g >> barisan00;ssum(round(00*sqrt(barisan)))/00, ssum(sqrt(barisan)) s s C ONTOH.. p p 540 dengan menggunakan tiga angka signifikan pada Hitunglah 543 masing-masing akar. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan menggunakan rumus kesamaan p p p p

39 540 Jawab Dengan perhitungan langsung, p 543 p Dengan menggunakan rumus ekivalennya, p 543 p 540 p p

40 Hasil kedua memberikan galat yang lebih kecil, karena nilai yang sesungguhnya (dengan menggunakan lebih banyak angka signifikan), adalah Bagaimanakah batas galat penjumlahan dua buah bilangan titikmengambang biner normal? Misalkan x m p dan y m q dengan y < x. Untuk menjumlahkan x dan y, bit-bit mantis m harus digeser (p q ) tempat ke kanan (untuk meratakan titik pecahan biner). Kedua mantis kemudian dijumlahkan dan dibulatkan. Terdapat dua kemungkinan hasil penjumlahan tersebut. Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0).4 Perambatan Galat 39 latan pengurangan dua buah bilangan titik-mengambang biner normal..4. Galat Perkalian dan Pembagian Perambatan galat pada perkalian dan pembagian lebih rumit daripada yang terjadi pada penjumlahan dan pengurangan. Hasil kali x dan y adalah xy (x + ex )(y + ey ) xy + xey + ex y + ex ey Jadi, galat hasil kali x dan y adalah exy xy xy xey + ex y + ex ey (.) Apabila harga mutlak x dan y lebih besar daripada satu, maka sukusuku xey dan ex y menunjukkan adanya kemungkinan peningkatan galat aslinya, ex dan ey. Galat relatif hasil kali tersebut dapat dihitung sebagai berikut. Jika x 6 0 dan y 6 0, maka rxy exy xy xey + ex y + ex ey xy (.3) Selanjutnya, jika galat hampiran x dan y cukup kecil dibandingkan nilainilai hampiran tersebut, maka xx, yy dan (ex x)(ey y ) 0. Akibatnya, galat relatif (.3) menjadi rxy

41 rx + ry (.4) Jadi, galat relatif hasil kali dua buah hampiran mendekati jumlah galat relatif masing-masing hampiran. Seringkali suatu galat awal akan merambat selama suatu proses yang terdiri atas serangkaian kalkulasi dalam sebuah algoritma. Dalam hal ini diinginkan agar algoritma yang dipakai memberikan hasil akhir dengan galat kumulatif kecil apabila galat awalnya kecil. Algoritma demikian disebut algoritma stabil dan algoritma sebaliknya disebut algoritma tidak stabil. Apabila mungkin, komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan algoritma stabil. D EFINISI.3. Misalkan adalah galat awal dan e(n) menyatakan galat yang terjadi setelah Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0) Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 40 n langkah. Jika je(n)j n, maka algoritma tersebut dikatakan memiliki perambatan galat linier. Jika je(n)j K n, maka algoritma tersebut dikatakan memiliki perambatan galat eksponensial. Jika K >, galat eksponensial tumbuh semakin besar tak terbatas jika n semakin besar, dan jika 0 < K <, galat eksponensial akan semakin mengecil jika n semakin besar. Untuk menghitung batas galat perkalian dua buah bilangan titikmengambang biner normal, misalkan x m p dan y m q. Selanjutnya, x y m m p+q dengan 4 jm m j, karena m; m. Dengan tetap memperhatikan normalisasi, maka ( flround(x y) flround(x y mm ( mm

42 ( mm ) p +q + + p+q ) p+q ( + + xy( + E ); dengan je j jj n jika m m

43 m m jika jika jika jm m j jm m j < 4 jm m j jm m j < 4. C ONTOH.3. Tunjukkan bahwa ketiga algoritma di bawah ini dapat digunakan untuk meng ; 8 ; g secara eksak. hasilkan barisan f; 3 ; 9 ; 7 a 0 b

44 0 0 ; an an 3 ; b ; 3 ; 3 ; untuk n ; ; (.5a) 4 bn bn 3 n 0 3 n

45 3 bn untuk n ; 3; (.5b) n untuk n ; 3; (.5c) Penyelesaian Barisan yang dimaksud adalah f 3n n 0; ; ; g. Rumus (.5a) jelas menghasilkan barisan tersebut. Pada rumus (.5b) persamaan selisih bn 43 bn 3 bn memiliki penyelesaian umum bn p(3n ) + q. Hal Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0) Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 4 Galat awal a0 pada (.6a) adalah , dan galat awal b dan pada (.6b) dan (.6c) adalah Kode MATLAB berikut menghasilkan ketiga hampiran barisan tersebut sampai suku ke-6 (n 5). >>a[]; >>a ;aa0/3;b0;b0.3333;c0;c0.3333; >>a[a0 b0 c0; a b c]; idx[0;]; >>for n5, ana/3;aan;bn4/3*b-b0/3;b0b;bbn; cn0/3*c- c0;c0c;ccn; a[a;an bn cn]; idx[idx;n]; end >>[idx a] ans E E E E E E Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0).4 Perambatan Galat

46 Seperti terlihat pada hasil keluaran MATLAB di atas, matriks a merupakan ketiga hampiran 6 suku pertama barisan f3n g. Kolom pertama matriks di atas adalah indeks (nilai-nilai n). Kolom kedua, ketiga, dan keempat berturutturut adalah an, bn, dan n. Terlihat bahwa barisan fan g bersifat menurun secara eksponensial. Barisan fbn g bersifat menurun secara eksponensial sampai suku ke-0 dan setelah suku ke-6 suku-sukunya hampir konstan dan kehilangan angka signifikan. Barisan f n g tidak stabil dan mulai suku ke-5 naik secara eksponensial, sehingga jauh dari barisan yang hendak dihampiri. Galat ketiga hampiran tersebut dapat dihasilkan dengan kode MATLAB sebagai berikut. Tampak bahwa galat hampiran fan g semakin mengecil secara eksponen, galat hampiran fbn g semakin konstan, sedangkan galat hampiran f n g cukup besar dibandingkan nilainilai yang dihampiri. Jadi dapat disimpulkan bahwa barisan fan g memberikan hampiran terbaik. >>x[]; >>for k5, x[x;/3^k];end >>e_a[x x x]-a; >>[idx e_a] ans E E E E E E Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0) Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 46 Nilai tempat dalam sistem biner Sistem Biner Jika N bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan dalam ekspansi berbasis pangkat dua sebagai N bn n + bn dengan bk sebagai Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan biner f n

47 + + b + b + b 0 0 ; g, maka dalam sistem biner N dapat dinyatakan ; 0 N

48 bn bn b b b 0 dua Konversi Desimal ke Biner Jika diketahui bilangan bulat positif N (dalam bentuk desimal), maka bentuk binernya dapat dicari dengan menggunakan algoritma sebagai berikut. dengan bk f0; takan sebagai N q q 0 n n + qn qn q q q 0...

49 q q b b + b bn bn ; + (qn 0); g. Selanjutnya, dalam sistem biner N dapat dinya- N bn bn b b b 0 dua Sistem Heksadesimal Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 6 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 6 digit, yang biasanya dinyatakan sebagai ; ; ; ; 9; A; B; C; D; E; F; 0 dengan A6 F6 5., B6 0

50 , C6, D6 3, E6 4, dan Pecahan Biner Jika 0 < R < adalah bilangan riil dan b ; b ; b3 ; ; bn f0; g sedemikian hingga Rb + b + b 3 3

51 + + bn n ; maka dalam sistem biner pecahan tersebut dinyatakan sebagai R 0b b b bn Pengantar Komputasi Numerik 3 dua c Sahid (004 0) Bab. Galat dalam Komputasi Numerik 48 Titik-Mengambang Normal (Normalized Floating-Point) komputer akan disimpan sebagai hampirannya, yakni x m p dengan disebut tanda, m disebut mantis bernilai m <, yang dinyatakan sebagai pecahan biner, dan p disebut eksponen atau pangkat. Galat Hampiran Misalkan x adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak x, yang tidak diketahui. Nilai ex x x disebut galat, jex j disebut galat mutlak, dan nilai rx jx x xj asalkan x 6 0, disebut galat relatif. Nilai-nilai ex dan rx, yang sudah diketahui, dan memenuhi jexj ex jrxj rx ; dan

52 disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif, dan jika x 6 0, hubungan keduanya didefinisikan sebagai rx ex jxj Angka Signifikan Pengertian angka signifikan dapat dijelaskan sebagai berikut.. Misalkan suatu hampiran bilangan x dinyatakan sebagai x dn dn d d d d d 0 m n X dk 0k k m Jika dk > dk ; dk dan dj 0 untuk j > k, maka digit-digit ; ; d m, dikatakan angka signifikan. 0. Suatu digit dk dikatakan benar jika ex 0 k. 3. Misalkan x adalah nilai eksak. Hampiran x untuk x dikatakan Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (004 0).5 Rangkuman

53 49 menghampiri x sampai k angka signifikan jika k adalah bilangan bulat positif terbesar yang memenuhi jexj jx xj < jxj jxj 0 k Aturan Pembulatan Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut. Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit di depannya tidak berubah. Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, maka digit di depannya ditambah nilainya. Pembulatan dan Pemotongan Mantis Misalkan bilangan riil x dapat dinyatakan dalam bentuk desimal normal x 0d d d dk dk 0n ; dengan d 9; 0 dj 9; untuk j > 3 + Misalkan k adalah maksimum banyaknya digit desimal yang dipergunakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titikmengambang. Penyajian x dalam bentuk titik-mengambang terpangkas (chopped floating-point representation), ditulis fl hop (x), didefinisikan sebagai fl hop(x) 0d d d dk 0n ; dengan d 9; 0 dj 9; untuk 3

54