STEI Institut Teknologi Bandung

Transkripsi

1 Floating Point STEI Institut Teknologi Bandung

2 Pembahasan Bilangan pecahan biner Representasi floating point standar IEEE 754 Pengkodean floating point Normalized Denormalized Nilai khusus Rounding Operasi floating point Floating point pada C Floating Point 4-2

3 Bilangan Pecahan Biner 2 i 2 i 1 4 binary point 2 1 b i b i 1 b 2 b 1 b 0. b 1 b 2 b 3 b j Representasi bilangan : b = i k = j b k 2 k Bit sebelah kiri binary point merepresentasikan bobot 2 k Bit sebelah kanan binary 1/2 point merepresentasikan 1/4 bobot 2 -k 1/8 2 j Contoh : merepresentasikan bilangan 1 x x x x x 2-2 = ½ + ¼ = 5¾ Floating Point 4-3

4 Bilangan Pecahan Biner Menggeser binary point ke kiri membagi dengan 2 sama dengan shift kanan contoh : = 5 ¾ = ½ + ¼ + 1/8 = 2 7/8 Menggeser binary point ke kanan mengalikan dengan 2 sama dengan shift kiri contoh : = ½ = 11½ Bilangan mendekati 1 memiliki bentuk Contoh : 63/64 = 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 = Direpresentasikan dengan notasi 1.0 ε Floating Point 4-4

5 Keterbatasan Pecahan Biner Memiliki panjang kode terbatas Tidak dapat merepresentasikan bilangan 1/3 secara eksak Dapat mereprentasikan secara eksak bila berbentuk x x 2 y Bilangan lain harus mengulangi representasi bit berkali-kali k Nilai Representasi 1/ [01] 2 1/ [0011] 2 1/ [0011] 2 Akurasi dapat dinaikkan dengan menambah bit, tetapi tetap saja tidak dapat merepresentasikan secara eksak Floating Point 4-5

6 Bilangan Floating Point Merupakan aproksimasi dari bilangan real Merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = x x 2 y Tidak selalu memberikan hasil eksak, dapat terjadi pembulatan Digunakan dalam melakukan komputasi : bilangan sangat besar ( V» 0), dan bilangan sangat dekat dengan nol ( V «1) Pecahan biner tidak efisien dalam mengkodekan bilangan bernilai besar Contoh : 5 x tersusun atas pola bit 101 diikuti 100 buah nol Floating Point 4-6

7 Floating Point Standar IEEE Ide Bentuk V = x x 2 y ingin direpresentasikan dengan hanya memberikan nilai x dan y-nya saja Representasi floating point standar IEEE 754 V = ( 1) s x M x 2 E Bit tanda s menentukan apakah bilangan negatif (s=1) atau positif (s=0) Signifikan M adalah bilangan pecahan, berkisar antara 1 dan 2 ε atau antara 0 dan 1 ε Eksponen E adalah bobot nilai bilangan Standar IEEE 754 Ditentukan tahun 1985 Bentuk standar aritmetika floating point Sebelumnya, terdapat berbagai macam format Didukung oleh seluruh CPU Floating Point 4-7

8 Pengkodean Floating Point Representasi floating point IEEE V = ( 1) s x M x 2 E Kode biner floating point s exp frac 1 bit k bit n bit s (sign)( ) sepanjang satu bit mengkodekan bit tanda s exp (exponent) sepanjang k bit mengkodekan eksponen E frac (fraction) sepanjang n bit mengkodekan signifikan M Ukuran (tipe data float pada C) Single precision : s=1 bit, exp=8 bit, frac=23 bit total 32 bit Double precision : s=1 bit, exp=11 bit, frac=52 bit total 64 bit Floating Point 4-8

9 3 Kasus Kode Floating Point Berdasarkan pola bit exp, pengkodean floating point dibagi menjadi tiga kasus : Nilai normalized Kasus paling umum Bila bit-bit exp tidak semua nol (exp 000 0) atau tidak semua satu (exp 111 1) Nilai denormalized Bila bit-bit exp semuanya nol (exp = 000 0) Nilai khusus Bila bit-bit exp semuanya satu (exp = 111 1) Floating Point 4-9

10 Nilai Normalized Berlaku untuk kondisi exp dan exp Eksponen E diinterpretasikan dalam bentuk bias E = e bias e : nilai unsigned yang dikonversikan langsung dari exp bias : nilai bias = 2 k-1 1, dimana k adalah banyaknya bit exp single precision : bias = 127, e = 1 s/d 254, E = -126 s/d 127 double precision : bias = 1023, e = 1 s/d 2046, E = s/d 1023) Signifikan M adalah bilangan pecahan M = 1 + f pecahan f = 0.xxx xx 2, dimana x adalah bit-bit pada frac M berkisar antara 1.0 (frac= 000 0) s/d 2.0 ε (frac = ) s exp frac 1 bit k bit n bit Floating Point 4-10

11 Nilai Denormalized Berlaku untuk kondisi exp = Nilai kode eksponen E = 1 bias bias = 2 k-1 1, dimana k adalah banyaknya bit exp signifikan M = f pecahan f = 0.xxx x 2, dimana x adalah bit-bit pada frac Kasus denormalized exp = 000 0, 0 frac = Merepresentasikan nilai 0 Terdapat perbedaan antara nilai +0 and 0, berdasarkan nilai bit s exp = 000 0, frac Bilangan yang sangat dekat dengan Sifat gradual underflow, semakin kecil semakin presisi s exp frac 1 bit k bit n bit Floating Point 4-11

12 Nilai Khusus Berlaku untuk kondisi exp = Kasus : exp = 111 1, frac = Merepresentasikan nilai (tak hingga/infinity) positif + bl bila s=0 0dan negatif bl bila s=1 Hasil operasi yang mengalami overflow Hasil kali dua bilangan sangat besar Pembagian dengan nol (1.0/0.0 0 = 1.0/ / 00=+ +, 10/ 1.0/ = ) exp = 111 1, frac Disebut Not-a-Number (NaN) Merepresentasikan situasi dimana tidak ada nilai numeriknya Contoh : sqrt( 1), s exp frac 1 bit k bit n bit Floating Point 4-12

13 3 Kasus Kode Floating Point Ringkasan pengkodean bilangan real floating point : 1. Normalized 2. Denormalized 3. Nilai khusus Tak hingga (infinity) Not a Number -Normalized -Denorm +Denorm +Normalized + NaN 0 +0 NaN Floating Point 4-13

14 Distribusi Nilai Misalkan : floating point 6 bit, format menyerupai IEEE sign s = 1bit,eksponenexp= exp 3 bit, pecahan frac = 2bit Seluruh range nilai : Nilai antara -1.0 hingga +1.0 : -1-0,5 0 0, Denormalized Normalized Infinity Perhatikan : distribusi semakin padat ketika mendekati nol Floating Point 4-14

15 Contoh Kode Floating Point Diberikan representasi floating point 8-bit (tiny) Satu bit tanda s terletak di most significant bit Empat bit berikutnya adalah eksponen exp Tiga bit terakhir adalah frac 1/ s exp frac 0 Bentuk menyerupai format IEEE Terdapat kasus normalized, denormalized Terdapat representasi untuk nol, tak hingga dan NaN N Representasi nilai dihitung : V = ( 1) s x M x 2 E dimana M diturunkankan dari frac dan E diturunkan dari exp Floating Point 4-15

16 Contoh Kode Floating Point exp e E 2 E kasus 2/ /64 denormalized /64 normalized / / / /4 Perhitungan nilai E /2 denormalized : E = 1 - bias normalized : E = e -bias normalized inf, NaN bias = 2 k-1 1 = = 7 Floating Point 4-16

17 Contoh Kode Floating Point exp frac f M kasus 3/ /8 1/ /8 2/ /8 6/ /8 7/ / /8 9/ /8 15/ / /8 9/ /8 14/ /8 15/8 denormalized normalized tak hingga Perhitungan nilai M denormalized : M = f normalized : M = 1 + f f = 0.xxx 2, x adalah bit-bit frac Floating Point 4-17

18 Contoh Kode Floating Point s exp frac Perhitungan nilai V = ( 1) s x M x 2 E 4/ /8*1/64 = 1/ /8*1/64 = 2/ /8*1/64 = 6/ /8*1/64 = 7/ /8*1/64 = 8/ /8*1/64 = 9/ /8*1/2 = 15/ /8*1 = /8*1 = 9/ /8*128 = /8*128 = tak hingga bilangan terdekat ke nol bilangan denormalized terbesar Bilangan normalized terkecil terdekat ke 1 (dr bawah) terdekat ke 1 (dari atas) bilangan normalized terbesar Floating Point 4-18

19 Nilai Single Precision (float) Single precision : s=1 bit, exp=8 bit, frac=23 bit total 32 bit Deskripsi i exp frac Nilai i Numerik Zero Denorm pos terkecil X X Denorm terbesar (1.0 ε) X X Norm pos terkecil X Satu X Normalized terbesar (2.0 ε) )X X Floating Point 4-19

20 Integer ke Floating Point Konversi integer ke format floating point single precision = 0x3039 = = X 2 13 normalisasi bilangan dengan shift 13 posisi ke kanan binary point Konstruksi bagian frac (23 bit) ambil signifikan M = frac = frac diperoleh dengan membuang bit 1 di depan dan menambah 10 buah nol Konstruksi bagian exp (8 bit) bias = 127; E = 13; e = E + bias = 140; diperoleh exp = Reprensentasi floating point : = 0x4640E400 Heksa E Biner bit tanda 8 bit exp 23 bit frac Floating Point 4-20

21 Operasi Floating Point Konsep operasi floating point 1. Hitung hasil eksak 2. Cocokan hasil dengan tingkat kepresisian yang diinginkan Dapat terjadi overflow jika eksponen terlalu besar Dapat terjadi pembulatan agar cocok dengan nilai frac Metoda pembulatan (rounding) Zero Round down (- ) Round up (+ ) Nearest Even (default) Catatan : zero = pembulatan ke arah nol; round down = pembulatan ke bawah; round up = pembulatan ke atas; nearest even = pembulatan terdekat Floating Point 4-21

22 Pembulatan Nearest Even Mode pembulatan standar (default)( ) Pembulatan ke nilai terdekat Jika bilangan berada tepat ditengah-tengah antara dua nilai i yang mungkin bulatkan sehingga nilai i digit it terkecil menjadi genap Contoh : pembulatan ke per seratus terdekat (kurang dari setengah) (lebih besar dari setengah) (nilai tengah, bulatkan ke atas) (nilai tengah, bulatkan ke bawah) Floating Point 4-22

23 Pembulatan Bilangan Biner Bilangan pecahan biner Bernilai i genap jika least significant nt bit = 0 Contoh : Pembulatan ke 1/4 terdekat (2 bit di kanan binary point) Nilai Biner Pembulatan Hasil Nilai akhir 2 3/ < nilai tengah, bulat terdekat / > nilai tengah, bulat terdekat /4 2 7/ nilai tengah, bulat ke genap / nilai tengah, bulat ke genap /2 Floating Point 4-23

24 Floating Point pada C Bahasa C memiliki dua format floating point : float single precision (32 bit) double double precision (64 bit) Casting antara format int, float, dan double mengubah nilai numerik dan representasi bit-nya : Dari int ke float Bilangan tidak akan overflow, tetapi dapat mengalami pembulatan Dari int atau float ke double Konversi secara eksak, double memiliki range dan presisi lebih besar Dari double ke float Dapat mengalami overflow (+ atau ) Dapat juga terjadi pembulatan, karena presisi lebih rendah Dari double atau float ke int Memotong bagian pecahan, mendekati nol, beda dengan rounding Floating Point 4-24

25 Ariane 5 Meledak 37 detik setelah peluncuran Membawa muatan, satelit seharga 500 juta dollar Mengapa terjadi kegagalan? Perhitungan kecepatan horisontal dilakukan dalam bilangan floating point Dikonversi ke integer 16-bit Bekerja baik pada Ariane 4 Pada Ariane 5 terjadi overflow Ariane 5 menggunakan perangkat lunak yang sama dengan Ariane 4, padahal kecepatan geraknya lima kali lebih tinggi dari Ariane 4 Floating Point 4-25

26 Ringkasan Floating point standar IEEE digunakan untuk merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = ( 1) s x M x 2 E Floating point digunakan untuk melakukan komputasi bilangan sangat besar ( V» 0), dan bilangan sangat dekat dengan nol ( V «1) Floating point dikodekan dalam tiga kasus : untuk nilai denormalized, normalized dan nilai khusus (tak hingga dan NaN) Hasil operasi floating point dapat mengalami pembulatan (rounding) Floating Point 4-26