Bab 3. Aritmetika Komputer

Transkripsi

1 Bab 3. Aritmetika Komputer Dasar: Mengapa desimal? Mengapa biner? Konversi: (167) 10 = (? ) 2 ; ( ) 2 = (? ) 10 Heksadesimal: ( ) 2 = (28d) 16 Bagaimana dengan bilangan negatif? 2 s complement -3 = 1101 dalam bentuk 4-bit 2 s complement; Verifikasi: -3+3 = = (1) 0000 = 0 MMD 2405 Andi WRE 1

2 Representasi Bilangan Negatif Besar tanda One's Complement Two's Complement 000 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -1 Isu - isu: kemudahan operasi, jumlah angka nol, keseimbangan, Mana yang terbaik? Mengapa? MMD 2405 Andi WRE 2

3 Bilangan MIPS (word) 32 bit signed numbers (two s complement) two = 0 ten two = + 1 ten two = + 2 ten two = + 2,147,483,646 ten two = + 2,147,483,647 ten two = 2,147,483,648 ten two = 2,147,483,647 ten two = 2,147,483,646 ten two = 3 ten two = 2 ten two = 1 ten Kisaran representasi: [ 2,147,483,648 ten, + 2,147,483,647 ten ] MMD 2405 Andi WRE 3

4 Operasi 2 s complement Untuk bilangan positif, 2's comp: bit tanda (0) + unsigned biner Menegasi sebuah bilangan 2's comp: membalikkan semua bit dan tambah 1-5 = -(0101) = 1011 Perpanjangan tanda: Contoh: Representasi sebuah bilangan 4-bit 2's comp dalam 8 bit : kopi bit terdepan (bit tanda) ke bit yang depannya > > bit MIPS dikonversikan ke 32 bit untuk operasi aritmetika MMD 2405 Andi WRE 4

5 Tambah/kurang dalam bentuk 2 s complement Operasi 2's comp cukup mudah 0101 (5) 0111 (7) 0110 (6) (2) (-4) (5) 0111 (7) (1)0011 (3) 1011 (-5) Pengurangan menggunakan penjumlahan dengan bilangan negatif Overflow: penambahan dua buah bilangan n-bit tidak menghasilkan nilai yang benar Alasan: hasilnya diluar kisaran representasi. Untuk representasi n-bit 2's complement, kisarannya adalah... Terminologi overflow seringkali menjerumuskan, ini tidak berarti ada tumpahan nilai Selama hasilnya dalam kisaran, tidak ada overflow Pertimbangkan operasi A + B dan A - B Dapatkah overflow terjadi jika B adalah 0? Dapatkah overflow terjadi jika A adalah 0? n 1 n 1 [ 2, + 2 1] MMD 2405 Andi WRE 5

6 Perkalian Lebih rumit daripada penjumlahan Dilakukan dengan pergeseran dan penambahan Lebih memakan waktu dan tempat dibandingkan penjumlahan Lihatlah sebuah versi perkalian berdasarkan algoritma sekolah dasar 0010 (yang dikali) x 1011 (pengali) (munculnya produk parsial) (akumulasi dari produk parsial) MMD 2405 Andi WRE 6

7 Implementasi dari Perkalian Start Multiplier0 = 1 1. Test Multiplier0 Multiplier0 = 0 1a. Add multiplicand to product and place the result in Product register 2. Shift the Multiplicand register left 1 bit Multiplicand 64 bits Shift left 3. Shift the Multiplier register right 1 bit 64-bit ALU Multiplier Shift right 32 bits 32nd repetition? No: < 32 repetitions Product Write Control test Yes: 32 repetitions 64 bits Done Where Multiplier0 is the LSB of the multiplier. MMD 2405 Andi WRE 7

8 Bilangan Floating Point (FP) Kita membutuhkan sebuah cara untuk representasi Bilangan dengan pecahan, seperti: Bilangan yang sangat kecil, seperti: Bilangan yang sangat besar, seperti x 10 9 Representasi: Tanda, eksponen, pecahan: ( 1) sign x fraction x 2 exponent Lebih banyak bit untuk pecahan memberikan akurasi lebih Lebih banyak bit untuk eksponen meningkatkan kisaran Standar floating point IEEE 754: Yang paling populer dan juga diadopsi oleh komputer MIPS Presisi tunggal: 1 bit tanda, 8 bit eksponen, 23 bit pecahan Presisi ganda: 1 bit tanda, 11 bit eksponen, 52 bit pecahan MMD 2405 Andi WRE 8

9 Presisi tunggal (32 bits) IEEE standards untuk Floating Point Presisi ganda (64 bits) MMD 2405 Andi WRE 9

10 Bit 1 terdepan secara implisit IEEE FP standard Pecahan 23 atau 32-bit dengan bit terdepan dengan bobot ½ Eksponen di- bias untuk memudahkan pengurutan Bias dari 127 untuk presisi tunggal dan 1023 untuk presisi ganda Ringkasan: nilai = ( 1) sign exponent bias x (1+fraction) x 2 Contoh: konversi ke standar IEEE FP presisi tunggal Desimal biner: = - ( ½ + ¼ ) Mendapatkan pecahan: -.11 = -1.1 x 2-1 = (-1) x (1+0.1) x 2-1 pecahan = 0.1 Mendapatkan eksponen Eksponen = nilai asli + bias = = 126 = Mendapatkan bit tanda: tanda = 1 IEEE presisi tunggal: MMD 2405 Andi WRE 10

11 Definisi IEEE 754 untuk pola - pola biner khusus MMD 2405 Andi WRE 11

12 Penjumlahan FP Start 1. Compare the exponents of the two numbers. Shift the smaller number to the right until its exponent would match the larger exponent 2. Add the significands 3. Normalize the sum, either shifting right and incrementing the exponent or shifting left and decrementing the exponent Overflow or underflow? Yes No Exception 4. Round the significand to the appropriate number of bits No Still normalized? Yes Done MMD 2405 Andi WRE 12

13 Topik Lanjut dari Operasi FP Perkalian / pembagian menjadi rumit Sebagai tambahan untuk overflow, dapat juga terjadi underflow Hasil terlalu kecil untuk direpresntasikan Akurasi dapat menjadi masalah besar IEEE 754 menambahkan 2 buah bit ekstra, penjaga (guard) dan pembulatan (round) Empat mode round Positif dibagi nol menghasilkan tidak terhingga Nol dibagi nol menghasilkan bukan bilangan Kerumitan - kerumitan lainnya Implementasi standar dapat sangat tricky MMD 2405 Andi WRE 13