ADLN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA. DIGRAPHCAY(X:G) BERORDO p. SEBAGAI SUATU DIGRAPH YANG BERSIFAT HAMILTONIAN SKRIPSI.

Transkripsi

1 DIGRAPHCAY(X:G) BERORDO p. SEBAGAI SUATU DIGRAPH YANG BERSIFAT HAMILTONIAN SKRIPSI AlIDA CHOIRINIYAH JURUSANMATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILM1J PENGETARtJAN ALAM UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 1003

2 DIGRAPH CAY(X:G) BERORDO p. SEBAGAI SUATU DIGRAPH YANG BERSIFAT HAMILTONIAN SKRIPSI Sebagai Sala" Sat. Syarat Untuk Memperoltll Gelar Sarjalta Sains Bidalll Mate.atib pada Fakultas Matematika dan limo Pengetalluan Alam Olell : AFIDA CHOIRlNIYAH Tanggal Lolus: 29 Juli 2003 Disetujui Ole" : Pembimbiug I P.lliagll Drs. oil. Imam Utoyo, M. Si Llliek s..-...ti, S. Si, M. Si NIP NIP 13119S tio

3 LEMBARPENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Jud.l Penyusun NIM Tanggal Ujia. : DIGRAPH CAY(X:G) BERORDO SUATU DIGRAPH YANG HAMILTONIAN : AFlDA CHOIRINIYAH : 089" : 29.RJLI loo3 p" SEBAGAI BERSIFAT Disetujui Oleb : Pembimbing I Pembimbmlll ob. Imam Utoyo,M. Si NIP LUiek Sosilowati, S. Si, M. Si NIP 132 los 900 Meagetahai : Debll Fakuitas MIPA Ketas Juralsn Matematika FMIP U.ivenitu AirIaD n. MoIL I... Utoyo, M. Si NIP. tjt lot m

4 Afida Choiriniyah, Digraph Cay(X:G) Berordo pn Sebagai Suatu Digraph yang Bersifat Hamiltonian. Skripsi ini dibawah bimbingan Drs. Moh. Imam Utoyo, M.Si. dan Liliek Susilowati, S.Si., M.Si. Jurusan Matematika. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Airlangga. 'j ABSTRAK Suatu grup G disebut p-grup jika G berordo pfl. Misalkan X himpunan pembangkit minimal dari p-grup G dan H = (X-IX). Misalkan W adalah klosure normal dari H di G. Jika G p-grup, maka dengan menggunakan Teorema Lagrange diperoleh bahwa W juga p-grup. Karena W p-grup, maka berdasarkan Teorema Sylow I diperoleh bahwa terdapat barisan subnormal {e}= Ho <I HI<I.. <I Hn = W dari W, sehingga setiap grup faktor fik/i--4;-1 ( 1~ k ~n ) dibangkitkan sebuah G-conjugate dari H. Tujuan skripsi ini adalah membuktikan bahwa digraph Cayley Cay(X:G) atas p-grup memuat sirkuit Hamiltonian. Grup faktor GfIf1 adalah siklik, sehingga Cay(X:G/W) memuat sirkuit Hamiltonian. Digraph faktor H~Cay(X:G) isomorfis dengan Cay(X:GIH G ), sehingga H~Cay(X:G) memuat sirkuit Hamiltonian. Misalkan Hk\Cay(X:G) ( 1 ~ k ~ n ) memuat sirkuit Hamiltonian. Karena fiklhk-1 ( 1~ k ~n ) siklik, dengan menggunakan Skewed Generator Argument diperoleh bahwa terdapat sirkuit Hamiltonian dalam Hk_l\Cay(X:G), sehingga Ho\Cay(X:G) memuat sirkuit Hamiltonian. Karena Ho\Cay(X:G) isomorfis dengan Cay(X:G), maka Cay(X:G) memuat sirkuit Hamiltonian. Kata kunci : p-grup, pembangkit minimal, klosure normal, barisan subnormal, digraph Cayley, isomorfis, digraph faktor, sirkuit Hamiltonian. III

5 Afida Choiriniyah, Cay(X:G) Digraph of Prime Power Order are Hamiltonian. This Script is under supervise of Drs. Moh. Imam Utoyo, M.Si and Liliek Susilowati, S.Si, M.Si. Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Science, Airlangga University. ABSTRACT A group G is called p-group if the order of G is pn. Assume X is minimal generating set for G and H = <X-IX). Let HG is normal closure of H in G. If G is p-group, by using Lagrange Theorem then IfI is p-group. Because IfI is p-group, by using The First Sylow Theorem then there is subnormal series {e}= Ho <l HI <l. <l Hn = W of IfI, such that each successive factor group HklHk-1 ( 1:::; k :::;n ) generated by a G-conjugate ofh. The objective of this script is to proove that Cayley digraph Cay(X:G) of p-group contains Hamiltonian circuit. The factor group GfItJ is cyclic, then Cay(X:GIH G ) contains Hamiltonian circuits. The quotient digraph W\Cay(X:G) is isomorphic with Cay(X:GIH G ), then H~Cay(X:G) contains Hamiltonian circuits. Let Hk\Cay(X:G) ( 1 :::; k :::; n ) contains Hamiltonian circuit. Because HklHk-1 ( 1:::; k :::;n ) is cyclic, by using Skewed Generator Argument then there is Hamiltonian circuit in Hk_I\Cay(X:G), and hence also Ho\Cay(X:G). Because Ho\Cay(X:G) is isomorphic with Cay(X:G), then Cay(X:G) contains Hamiltonian circuit. Keywords : p-group, minimal generating set, normal closure, subnormal series, Cayley digraph, isomorphic, quotient digraph, Hamiltonian circuit. IV