ADLN PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA POLINOMIAL MINIMUM PADA SUATU MATRIKS SKRIPSI LUQMAN HAKIM

Transkripsi

1 ~... '.' POLINOMIAL MINIMUM PADA SUATU MATRIKS SKRIPSI LUQMAN HAKIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN AlAM UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2003

2 POLINOMIAL MINIMUM PADA SUATU MATRlKS SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syant ljntukmemperoleb Gelar Sarjana Sa ins Bidang Matematika pada Fakultas Matematika dan limn Pengetahuan Alalll U.ivenitas Airla.aa Oleb: l.ltqman HAKIM NTM Tangga1 Ujian 1 Alustus 2003 Disetajai Ole.. : Pembimbing I, PembhnbiDIII, Dra. Y~8.i, - M.Si FatRIawati, S.8i, M.Si NIP NIP

3 LEl\tBAR PENGESAHAN SKRIPSI.ludul : POLINOMIAL MIN1M.UM PABA SUATU MATRIKS Penyusun : LUQMAN HAKIM NIM : Taaggal Ujian : 1 Agastas 2803 PembimbiBg I, Disetuj.i Ole.. :... ~ Dr Y_ynk Wally i. M.Si,...w.ti, S.Si, M.Si NIP NIP Meaptahai : Kef J..._ M...tib FMIP Ullivenitu AiI'Ia..., MeclL I'-III Utoyo, M.Si NIP

4 Luqman Hakim, Polinomial Minimum Pada Suatu Matriks. Skripsi ini dibawah bimbingan Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si. dan Fatmawati, S.Si., M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Airlangga. ABSTRAK Dari matriks A E M,,(I') dapat diperoleh matriks karakteristiknya yaitu matriks (xl" - A). Selanjutnya, dari matriks karakteristik tersebut dapat diperoleh polinomial karakteristik CAx) = det(xl ll - A) yang merupakan polinomial monik berderajat n. Teorema Cayley-Hamilton menjamin bahwa nilai CAx) pada matriks A adalah matriks nol, yaitu CA(A) = O. Adapun polinomial monik yang nijainya pada matriks A berupa matriks nol, dimungkinkan berderajat lebih kecil dari n. Polinomial seperti ini dengan derajat terkecil disebut polinomial minimum pada matriksa. Tujuan dari skripsi ini adalah membuktikan keberadaan polinomial minimum pada matriks A E U,(F). Dengan membawa matriks karakteristik (xl" - A) kedalam matriks Bentuk Kanonik Smith S(x) =Diag (fi(x)ji(x),...,f,,(x» diperoleh bahwa polinomial minimum dari matriks A adalah f,~(x). Selain itu diperoleh pula bahwa keberadaan polinomial minimumnya tunggal, dan jika sebarang dua matriks di MII(F) adalah similar, maka dua matriks tersebut mempunyai polinomial minimum yang sarna. Kata kunci : matriks polinomial, polinomial minimum, Bentuk Kanonik Smith, 111

5 Luqman Hakim, Minimum Polynomial of the Matrix. This script was written under the tutorship of Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si. and Fatmawati, S.Si., M.Si. Department of Mathematics and Natural Science Faculty. Airlangga University. ABSTRACT From matrix A E MII(J') can be taken its characteristic matrix that is matrix (xl n - A). Furthermore, from the characteristic matrix can be taken a characteristic polynomial CA(x) =de/ex/ii - A) which is monic polynomial degree ofn. Theorem of Cayley Hamilton guarantee that value of C..I(X) of the matrix A is matrix zero, that is CA(A) = O. As for monic polynomial which its value of matrix A is matrix zero, enabled degree smaller than n. Polynomial like this with the smallest degree called as minimum polynomial of matrix A The purpose of this script is to prove the existence of minimum polynomial of matrix A E 1v",(I'). By transforming characteristic matrix (xiii - A) into Smith Canonical Form matrix Sex) =Diag (fi(x)/i(x),..., f,,(x», can be taken the minimum polynomial of matrix A is f,(x). Besides, the existence of that minimum polynomial is unique, and if there any two matrices in Mn(F) arc similar, then they have the same minimum polynomial. Key word: polynomial matrix, minimum polynomial, Smith Canonical Form. IV