Telah diuji pada Tanggal : 19 Desember 2016

Transkripsi

1 Telah diuji pada Tanggal : 19 Desember 2016 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Esther Nababan, M.Sc 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Dr. Open Darnius, M.Sc

2 PERNYATAAN OPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, 19 Desember 2016 Penulis, Muhammad Huda Firdaus i

3 ABSTRAK Penelitian ini bertujuan menangani jumlah data yang banyak didalam permasalahan identifikasi keanggotaan. Sistem identifikasi digunakan dalam statistik untuk membentuk model matematika sistem dinamis dari suatu data. Didefinisikan istilah big data secara khusus yaitu big data akan ditunjukkan melalui banyaknya jumlah dari input-output data, kemudian data input-output dimodelkan, dari model ini kemudian diselesaikan untuk memperoleh estimasi parameter yang optimal. Model diselesaikan dengan teori semidefinite programming (sdp). Contoh perhitungan disajikan. Kata kunci : Optimisasi, Big data, Set-membership identification, Semidefinite programming. ii

4 ABSTRACT This study is aimed at solving problem in big data membership identification. The identification system is used for statistics to form the mathematic model of a data dynamic system. The big data in this study is the big data that is represented through the quantity of input-output data, then the input-output data is modelled and from this model the solution is given by estimating the optimal parameter. The model is done by semidefinite programming (sdp) theory. The example of the model is given. Keyword: Optimization, Big data, Set-membership identification, Semidefinite programming. iii

5 KATA PENGANTAR Puji Syukur kehadirat Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul OPTI- MISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada: Prof. Dr. Runtung Sitepu, M. Hum selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara. Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Esther Nababan, M.Sc selaku Pembimbing II yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembanding I yang telah banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Open Darnius, M.Sc selaku Pembanding II yang telah banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. iv

6 Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Ibunda Alm. Chalisaturrahmy dan Ayahanda Alm. Firdaus, sosok orang tua yang mencurahkan seluruh kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Orang tua yang dikagumi dan dicintai, yang telah memberi tauladan, membimbing, mengajarkan kesabaran, kerendahan hati dan selalu bersyukur dalam menghadapi kehidupan ini, serta senantiasa memanjatkan doa yang tulus dan ikhlas bagi keberhasilan anak-anaknya. Saudara terkasih Kakanda Nasfi Firdaus, S.H, M.H,Kakanda Fatnita Sari Firdaus, S.P dan Abangda Afadlis Firdaus, S.E terima kasih telah menjadi saudara yang penuh cinta, perhatian dan kasih sayang. Sahabat-sahabat teristimewa Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2014 genap (Bang Rizky, Bang Hasrul, Kak Dewi, Herlin, Mimmy, Nissa, Putri, Ismi, Lolita) yang telah sama berjuang dari awal hingga akhir, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu. Semua pihak yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Allah SWT yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Semoga Allah SWT senantiasa memberi rahmat dan hidayah- NYA kepada kita semua. Aamiin. v

7 Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih. Medan, 19 Desember 2016 Penulis, Muhammad Huda Firdaus vi

8 RIWAYAT HIDUP Muhammad Huda Firdaus dilahirkan di Sidikalang pada tanggal 25 Februari 1986 dari pasangan Ibu Chalisaturrahmy dan Bapak Firdaus. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar di SD Negeri No Medan pada tahun 1998, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 12 Medan pada tahun 2001, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 6 Medan tahun 2004, Fakultas MIPA Jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus pada Februari Kemudian, pada tahun 2014, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika. vii

9 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vii viii x xi BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian 2 BAB 2 BIG DATA DAN TEORI KONTROL Big Data Sejarah big data Defenisi big data Teori Kontrol Sistem kontrol loop terbuka dan loop tertutup Kontrol analog dan diskrit Kontrol konvensional/klasik dan modern 12 viii

10 2.3 Peramalan Teori Time Series Sistem identifikasi Penaksiran parameter Transfer fungsi/fungsi alih/fungsi rasional 23 BAB 3 SEMIDEFINITE PROGRAMMING (SDP) Definisi SDP 26 BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL Set-membership Identifiation/Estimation dan Big Data Penanganan Big Data di Set-membership Identification dengan Taksiran Optimisasi Polinomial Penanganan Big Data di Set-membership Identification dengan Reducing Ukuran Persoalan Contoh Penanganan Big Data 35 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 38 DAFTAR PUSTAKA 39 ix

11 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 2.1 Transformasi Z merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit Perkiraan parameter utama (θ cs j,θ c,δ j ) dan batasan tak tentu ( θ s j, θ δ j) terhadap banyak data N. Nilai dari θ c,δ j dan θ δ j di hitung untuk relaxation tingkat δ = 2 untuk N = 30, N = 200 dan N = Perkiraan parameter utama (θ cs j,θ c,δ j ) dan batasan tak tentu ( θ s j, θ δ j) terhadap banyak data N. Nilai dari θ c,δ j dan θ δ j di hitung untuk relaxation tingkat δ = 2 untuk N= x

12 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Diagram blok sistem kontrol loop terbuka Diagram blok sistem kontrol loop tertutup Sinyal kontinyu dan sinyal sampling Sinyal waktu diskrit dan sinyal waktu kontinyu Contoh diagram blok loop tertutup Pengaturan dasar error in variable (EIV ) untuk sistem dinamis linier 29 xi

13 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sistem identifikasi/estimasi digunakan dalam Teknik kontrol dengan permasalahan membuat pemodelan matematika dari sistem dinamis, sekumpulan data dan beberapa informasi tersebut yang akan diidentifikasi untuk selanjutnya dimodelkan. Suatu data berisi rata-rata prosedur pengukuran dari data yang tidak ditentukan. Karena data tidak ditentukan maka yang menjadi persoalan adalah menaksir data tersebut agar diperoleh model matematika, cara yang dapat dilakukan untuk data yang tidak ditentukan adalah menentukan data tersebut dan membuatnya menjadi data yang jumlahnya besar. Walaupun diketahui bahwa mengumpulkan data/informasi merupakan persoalan dasar untuk memodelkan. Dengan estimasi/perkiraan, suatu kumpulan data yang banyak masih tidak dapat diselesaikan melalui cara komputer. Kata kunci big data muncul menjadi suatu permasalahn terbaru, yang terdiri dari sekumpulan data yang besar dan komplek dan sulit untuk diproses dan diidentifikasi. Hasil yang ada pada teori estimasi/taksiran yang didasarkan pada teori statistik dari data yang tidak ditentukan dapat mempengaruhi suatu data. Suatu cara yang bermanfaaat dari teori estimasi dengan menggunaka dasar stokastik yang dapat digunakan pada persoalan big data diberi nama karakteristik bounded-error atau set-membership dimana ukuran errors dianggap tidak diketahui tetapi dibatasi, yaitu ukuran yang tidak tertentu diasumsikan milik set yang dibatasi. Seperti gambaran yang di ceritakan diatas dimana informasi statistik sebelumya belum tersedia atau errors adalah karakteristik di dalam deterministik (sebagai contoh sistematik dan kelas errors didalam ukuran suatu perlengkapan, rentetan dan memotong errors pada peralatan digital). Berdasarkan tidak diketahui tetapi dibatasi dari suatu data yang tidak ditentukan, adalah suatu paradigma baru yang dapat disebut bounded-error atau set- 1

14 2 membership estimasi telah di mulai menjadi suatu pekerjaan untuk di bahas pada seminar oleh (Schweppe, 1968). Setelah menangani big data peroblem melalui setmembership estimation dibutuhkan sutu metode atau cara untuk menoptimisasikan model matematika tersebut nantinya. Disini diambil metode SDP (semidefinite programming), sdp merupakan bagian dari teori konvek optimisasi. Oleh karena big data maka menjadi suatu persoalan bagaimana mengolahnya terlebih dahulu, maka (Cerone dan Regruto, 2015) telah membahas bagaimana menangani big data problem dengan set-membership estimation melalui optimisasi dengan metode Semidefinite Programming (SDP). 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah penelitian ini adalah untuk membentuk model matematika sistem dinamis dari suatu data (big data) dan bagaimana menaksir parameter dari model yang telah dibentuk agar diperoleh hasil yang optimal. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah mendeskripsikan set-membership identification untuk big data problem selanjutnya memaparkan metode Semidefinite Programming (SDP) sebagai suatu cara untuk melakukan optimisasi. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan menambah wawasan pengetahuan dalam dibidang matematika, khususnya yang berkaitan dengan penanganan big data problem melalui set-membership identification dan melakukan optimisasi dengan metode Semidefinite Programming (SDP). 1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini bersifat studi literature ataupun studi kepustakaan dengan mengacu pada jurnal-jurnal internasional yang berhubungan dengan sistem identifikasi/estimasi

15 3 serta metode Semidefinite Programming (SDP), sedangkan prosedur yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Big data secara khusus merupakan banyaknya input-output data; 2. Penanganan Masalah big data didalam identifikasi/estimasi keanggotaan, yang selanjutnya akan membentuk suatu model matematika; 3. Model kemudian dibuat ke model transfer fungsi; 4. Model transfer fungsi akan menjadi model polinomial optimisasi; 5. Model polinomial optimisasi selanjutnya diselesaikan dengan teori Semidefinite Programming (SDP).

16 BAB 2 BIG DATA DAN TEORI KONTROL Pada bab ini penulis akan memaparkan materi-materi yang berhubungan dengan big data dan teori kontrol. Materi tersebut akan dijadikan sebagai landasan berpikir dalam penelitian ini, sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya. 2.1 Big Data Sejarah big data Istilah big data sudah dibesarkan oleh Fremont Rider, seorang Amerika Pustakawan dari Westleyan University, pada tahun Dia memperkirakan bahwa volume koleksi universitas di Amerika akan mencapai 200 juta kopi di tahun Arus data dan informasi tumbuh signifikan dalam ukuran jumlah dan media yang bervariasi, yang kemudian disebut sebagai big data. Pengguna big data misalnya, jaringan sosial media Facebook pada tahun 2012 memiliki jumlah pengguna mencapai 1 miliar pengguna, dan menangani 350 juta unggahan foto, 4,5 miliar like dan 10 miliar pesan setiap hari. Artinya bahwa jejaring sosial media ini menyimpan data lebih dari 100 pertabytes untuk kebutuhan analitiknya. Menurut Sugiarsono pada tahun 2015 penyedia jaringan sosial media yang lain yaitu Twitter pada tahun 2014 penggunanya mencapai 500 juta dengan 284 juta pengguna aktif dan setiap hari menangani 1.6 miliar search query. Youtube pada tahun 2013 digunakan oleh 1 milyar pengguna, Mesin pencari (search engine) Google mempublikasikan data bahwa pada bulan April 2014 Google Inc mencatat sekitar 100 miliar query/pencarian per bulan. Angka tersebut menampakkan bahwa pergerakan data sungguh sangat besar sekarang ini dan akan terus tumbuh. Bertolak dari kenyataan itu, maka big data perlu mendapatkan pengelolaan secara lebih khusus dan spesifik. Sebagai 4

17 5 contoh pustakawan sebagai pekerja di bidang informasi perlu menangkap peluang melimpahnya data untuk dikelola, dan juga pustakawan perlu untuk melakukan transformasi dan meningkatkan daya saing untuk menjawab tantangan yang dihadapi tentang pertumbuhan data yang terus meningkat (big data). Big data pertama kali disebut dalam sebuah artikel ilmiah berjudul Application controlled demand paging for out-of-core visualization, yang ditulis oleh Michael Cox dan David Ellsworth tahun Persoalan yang muncul mengenai big data dinyatakan dalam rumusan berikut, hal yang utama adalah terdapat pertumbuhan data dan informasi yang sangat eksponensial, kecepatan dalam pertambahannya dan semakin bervariasinya data tersebut yang dikemudian hari menciptakan tantangan baru bagi yang tidak hanya tantangan dalam pengelolaan sejumlah besar data yang heterogen, tetapi juga bagaimana untuk memahami semua data tersebut. Didalam lingkungan organisasi juga mulai tumbuh sejumlah pegawai/staf yang secara spesifik mendapat sebutan sebagai analis bisnis/data analis/ilmuwan data yang dalam aktifitas bekerjanya memanfaatkan peralatan yang modern, melakukan praktek dan mencari solusi dari suatu data Defenisi big data Istilah big data telah digunakan sejak tahun 1990-an, dengan memberikan kredit kepada Jhon Mashey. Big data biasaya mencakup set data dengan ukuran diluar kemampuan perangkat lunak yang biasa digunakan untuk menangkap, mengelola, dan memproses data dalam waktu yang telah berlalu toleransi. Big data (ukuran) adalah target terus bergerak, seperti 2012 mulai dari beberapa lusin terabyte banyak petabyte data. Data besar membutuhkan seperangkat teknik dan teknologi dengan bentuk-bentuk baru dari integrasi untuk mengungkapkan wawasan dari data set yang beragam, kompleks, dan skala besar. Dalam laporan penelitian di tahun 2001 oleh META Group/Gartner analis Doug Laney mendefenisikan big data sebagai 3V yaitu volume (jumlah data), velocity (kecepatan data) dan variety (keberagaman data). Sekarang banyak industri menggunakan 3V model untuk menggambarkan data besar. Istilah 3V telah diper-

18 6 luas untuk karakter pelengkap lainnya dari data besar. karakter-karakter big data antara lain: 1. Volume adalah data besar bukan sampel yang hanya melacak dan mengamati apa yang terjadi; 2. Velocy adalah data besar sering tersedia secara real time; 3. Variety adalah data besar menarik dari teks, gambar, audio dan video ditambah bahagian yg hilang melalui fungsi data. Pertumbuhan big data menggambarkan konsep lebih sebenarnya dengan melukiskan perbedaan antara big data pada business intelligence. Business intelligence menggunakan big data menggunakan statistik deskriptif dengan data yang kepadatan tinggi informasi untuk mengukur hal, mendeteksi trend sampel sedangkan big data menggunakan statistik induktif dan konsep sistem non-linier identifikasi untuk menyimpulkan hukum (regresi, hubungan non-linier dan efek kausal) dari set data yang besar dengan kepadatan informasi rendah, untuk mengungkapkan hubungan dan ketergantungan atau untuk melakukan pediksi hasil dan perilaku. Jadi big data yang dibicarakan pada penelitian ini adalah pada business intelligence dengan menggunakan statistik induktif. 2.2 Teori Kontrol Teori kontrol adalah sebuah cabang dari disiplin ilmu teknik dan ilmu matematika dengan menggunakan masukan dari sistem dinamis, dan bagaimana proses dimodifikasi oleh umpan balik (feedback) atau proses pengaturan ataupun pengendalian terhadap satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga berada pada suatu harga atau dalam suatu rangkuman harga/range tertentu. Tujuan teori kontrol adalah untuk mengontrol sistem keadaan/plant sehingga dihasilkan sinyal kontrol (output) yang diinginkan (optimal) yang disebut referensi, nilainya bisa

19 7 tetap atau nilainya berubah. Untuk melakukan proses tersebut dapat dirancang pengendali/controller yang memonitor output dan membandingkan dengan referensi. Perbedaan antara output actual dan yang diinginkan, disebut kesalahan sinyal, diterapkan sebagai umpan balik ke input dari sistem, untuk membawa output actual lebih dekat dengan referensi. Topik yang dibahas pada teori kontrol antara lain stabilitas, pengendalian dan pengamatan Sistem kontrol loop terbuka dan loop tertutup Pada dasarnya, sistem kontrol dikategorikan menjadi 2, yakni sistem kontrol loop terbuka dan sistem kontrol loop tertutup. Masing-masing sistem kontrol tersebut dijelaskan berikut ini: 1. Sistem Kontrol Loop Terbuka Suatu sistem kontrol yang keluarannya tidak berpengaruh terhadap aksi pengontrolan. Dengan demikian pada sistem kontrol ini, nilai keluaran tidak diumpan balik (feedback) ke parameter pengendalian. Gambar 2.1 Diagram blok sistem kontrol loop terbuka 2. Sistem kontrol loop terbuka tertutup Suatu sistem kontrol yang sinyal keluarannya memiliki pengaruh langsung terhadap aksi pengendalian yang dilakukan. Sinyal error yang merupakan selisih dari sinyal masukan dan sinyal umpan balik (feedback), lalu diumpankan pada komponen pengendalian (controller) untuk memperkecil kesalahan sehingga nilai keluaran sistem semakin mendekati harga yang diinginkan.

20 8 Keuntungan sistem loop tertutup adalah adanya pemanfaatan nilai umpan balik yang dapat membuat respon sistem kurang peka terhadap gangguan eksternal dan perubahan internal pada parameter sistem. Kerugiannya adalah tidak dapat mengambil aksi perbaikan terhadap suatu gangguan sebelum gangguan tersebut mempengaruhi nilai prosesnya. Gambar 2.2 Diagram blok sistem kontrol loop tertutup Kontrol analog dan diskrit Pemanfaatan teknologi digital pada banyak aplikasi dan rekayasa teknik ikut berpengaruh pada perkembangan teknik kontrol. Kemajuan teknologi komputer dan prosesor saat ini sangat menguntungkan bagi desain sistem kontrol. Dari sini, trend desain kontrol digital perlahan menggantikan desain kontrol analog. Dapat dipahami bahwa umumnya plant maupun proses yang ingin dikendalikan merupakan besaran analog yang kontinyu, sedangkan pengendali (controller) yang digunakan dengan adanya teknologi prosesor. Untuk proses konversi analog-digital digunakan proses penyuplikan (sampling). Gambar 2.3 Sinyal kontinyu dan sinyal sampling

21 9 Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi Digital Analog (DA) adalah dengan Zero Order Hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi deretan pulsa dengan lebar. Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut: Gambar 2.4 Sinyal waktu diskrit dan sinyal waktu kontinyu Tabel 2.1 Transformasi Z merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit f(t)atauf(kt) F (s) F (z) 1 δ(t) δ(t kt) e kts z k 1 z 3 1(t) s z 1 1 Tz 4 t s 2 5 e at 1 s+a 6 1-e at a s(s+a) 1 7 a (at 1+e at a ) s 2 (s+a) ω 8 sin ωt s 2 +ω 2 (z 1) 2 z z e at z z e at {z(at 1+e at )z+(1 e at at e at )} a(z 1) 2 (z e at zsinωt z 2 2zcosωT +1 s z(z cosωt ) 9 cos ωt s 2 +ω 2 10 e at ω sin ωt (s+a) 2 +ω 2 11 e at cos ωt s+a (s+a) 2 +ω 2 z 2 2zcosωT +1 ze at sinωt z 2 2ze at cosωt +e 2at z 2 ze at cosωt z 2 2ze at cosωt +e 2at Sebuah sistem LTI bisa dinyatakan melalui persamaan beda n a k y[n k] = k=0 M b k x[ k] (2.1) k=0 dengan x[n] adalah sinyal masukan, y[n] adalah sinyal keluaran, dan a k adalah konstanta. dan b k

22 10 Contoh Suatu sistem LTI, hubungan sinyal masukan dan keluaran dideskripkan dengan persamaan beda sebagai berikut: y[n] 3y[n 1] 4y[n 2] = x[n]+2x[n 1] (2.2) dengan x[n] =4 n u[n]. Tentukan solusi dari persamaan beda tersebut untuk n = 1,...,10,n= 100, serta n = 200. Untuk menyelesaikan persamaan (2.2) dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu: a. Metode rekursif; b. Metode langsung (mendapatkan solusi homogen dan partikulirnya); c. Metode tidak langsung (menggunakan transformasi-z). Pada penelitian ini hanya membahas contoh soal persamaan (2.2) dengan metode rekursif dan menggunakan program Matlab. Metode rekursif adalah metode yang menggunakan nilai pada waktu yang lalu untuk mendapatkan nilai yang sekarang, sehingga dibutuhkan nilai awal dalam proses pengerjaannya. Metode rekursif dijalankan mulai dari n = 0. Kelemahan dari metode ini, untuk mendapat sinyal keluaran saat n, dibutuhkan informasi dari sinyal keluaran yang lalu, pada saat n k. Pada contoh persamaan (2.2), untuk mendapatkan solusi persamaan beda menggunakan metode reekursif, persamaan tersebut dibentuk sebagai berikut: y[n]=3y[n 1] + 4y[n 2] + 4 n u[n] + 2(4 n 1 u[n 1]) Untuk n =0 y[0] = 3y[ 1] + 4y[ 2] u[0] + 2(4 1 u[ 1]

23 11 Untuk nilai y[ 1] dan y[ 2] diberi nilai 0. Ini yang disebut dengan nilai awal. Jika dalam sistem LTI, keadaan demikian sistem dalam keadaan berelaksasi. Jadi dieperoleh Untuk n =0: y[0] = 1 Untuk n =1: y [1] = 3y [0] + 4y [ 1] u [1] + 2 (4 0 u [0]) = 3 (1) =9 Untuk n =2: y[2] = 3y[1] + 4y[0] u[2] + 2(4 1 u[1]) = 3(9) + 4(0) =55 Untuk n =10: y[10] = 3y[9] + 4y[8] u[10] + 2(4 9 u[9]) = 3( ) + 4(697303) = Jadi untuk n = 0 sampai n = 10, untuk sinyal masukan x[n] =4 n u[n] pada sistem yang digambarkan dengan persamaan beda diatas, nilai keluarannya adalah: y[n]={1, 9, 55, 297, 1495, 7209, 33751, , , , } Matlab menyediakan fasilitas (tool) untuk menyelesaikan persamaan beda pada sistem LTI, yaitu menggunakan fungsi filter. Penyelesaian disini adalah nilai sinyal keluaran untuk nilai n tertentu. Misal persamaan beda pada contoh persamaan (2.2) dengan x[n] =4 n u[n] diselesaikan menggunan tool matlab.

24 12 coding program m-file berikut nama pers beda.m : Hasil running adalah: nilai sinyal masukan untuk persamaan beda adalah: [1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, , ] nilai sinyal keluaran dari persamaan beda adalah: [1, 9, 55, 297, 1495, 7209, 33751, , 97303, , ] Kontrol konvensional/klasik dan modern Teori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori control klasik atau disebut teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust. 1. Klasik Metode respons frekuensi dan metode root locus adalah inti dari teori kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan memenuhi beberapa kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak sistem). Sistem tersebut dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk suatu kriteria tertentu dari desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus masalah desain kontrol bergeser dari konsep mendesain satu/banyak sistem kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu sistem kontrol yang optimal sesuai performa tertentu yang diinginkan (kualitas).

25 13 Sistem kontrol klasik yang berkaitan dengan sistem SISO (single-input singleoutput) menjadi kurang cocok untuk diterapkan pada sistem MIMO (multipleinput multiple-output). Pada tahun 1960, dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan analisis sistem kompleks dalam domain waktu dan sintesis menggunakan variabel state. Hal tersebut mendorong kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi yang tinggi, bobot, dan cost yang diimplementasikan di bidang militer, antariksa, dan aplikasi industri. Analisis respons domain waktu, analisis ini dapat dilakukan jika diketahui a. Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu; b. Model matematis dari sistem. 2. Kontrol modern Pada kurun waktu dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal, baik sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan kontrol learning dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990 perkembangan teori kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan aplikasinya. Teori kontrol modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis pada analisis domain waktu. Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem kontrol menjadi lebih simpel karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan model. Akan tetapi, kestabilan sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan error antara sistem aktual dan model, sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama menentukan setting awal dari range error tertentu yang diperbolehkan dan lalu mendesain kontroler sedemikian sehingga jika error dari sistem berada pada range error yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang didesain akan tetap stabil. Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol robust/kokoh. Teori tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan pendekatan domain waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/complex. Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan di-

26 14 namika atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh persamaan diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi Lagrangian. Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari kestabilan sistem, adapun teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan Lyapunov. Terakhir, jika kinerja sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang diinginkan, maka dilakukan perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi Lyapunov sudah lama diperkenalkan, namun konsep tersebut baru digunakan pada kontrol modern. Istilah modern sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa yang dianggap modern saat ini, dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno. Jadi yang lebih cocok digunakan dalam memberi label teori kontrol yaitu sesuai klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya), misalkan kontrol optimal, kontrol nonlinier, kontrol adaptif dan kontrol robust. 2.3 Peramalan Peramalan pada dasarnya merupakan proses menyusun informasi tentang kejadian masa lampau yang berurutan untuk menduga kejadian di masa depan. Peramalan bertujuan mendapatkan ramalan yang dapat meminimumkan kesalahan meramal yang dapat diukur dengan Mean Absolute Percent Error (MAPE). Peramalan pada umumnya digunakan untuk memprediksi sesuatu yang kemungkinan besar akan terjadi, misalnya kondisi permintaan, banyaknya curah hujan, kondisi ekonomi, dan lain-lain. Atas dasar logika, langkah dalam metode peramalan secara umum adalah mengumpulkan data, menyeleksi dan memilih data, memilih model peramalan, menggunakan model terpilih untuk melakukan peramalan, evaluasi hasil akhir.

27 15 Berdasarkan sifatnya, peramalan dibedakan menjadi: 1. Peramalan kualitatif Peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan kualitatif didasarkan pada pengamatan kejadiankejadian di masa sebelumnya digabung dengan pemikiran dari penyusunnya. 2. Peramalan kuantitatif Peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif masa lalu yang diperoleh dari pengamatan nilainilai sebelumnya. Hasil peramalan yang dibuat tergantung pada metode yang digunakan, menggunakan metode yang berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda. 2.4 Teori Time Series Time series adalah suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel atau hasil observasi, yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan (Bisgaard dan Kulahci, 2011). Metode time series adalah metode peramalan dengan menggunakan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu atau analisis time series, antara lain: 1. Metode smoothing; 2. Metode box jenkins (ARIMA); 3. Metode proyeksi trend dengan regresi. Hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan peramalan adalah pada galat (error), yang tidak dapat dipisahkan dalam metode peramalan. Untuk mendapatkan hasil yang mendekati data asli, maka seorang peramal berusaha membuat error nya sekecil mungkin.

28 16 Dengan adanya data time series, maka pola gerakan data dapat diketahui. Dengan demikian, data time series dapat dijadikan sebagai dasar untuk: 1. Pembuatan keputusan pada saat ini; 2. Peramalan keadaan perdagangan dan ekonomi pada masa yang akan datang; 3. Perencanaan kegiatan untuk masa depan. Analisa data time series adalah analisa yang menerangkan dan mengukur berbagai perubahan atau perkembangan data selama satu periode. Analisis time series dilakukan untuk memperoleh pola data time series dengan menggunakan data masa lalu yang akan digunakan untuk meramalkan suatu nilai pada masa yang akan datang. Dalam time series terdapat empat macam tipe pola data, yaitu: 1. Horizontal; Tipe data horizontal ialah ketika data observasi berubah-ubah di sekitar tingkatan atau rata-rata yang konstan. Sebagai contoh penjualan tiap bulan suatu produk tidak meningkat atau menurun secara konsisten pada suatu waktu. 2. Musiman (seasonal); Tipe data seasonal ialah ketika observasi dipengaruhi oleh musiman, yang ditandai dengan tahun ke tahun. Sebagai contoh adalah pola data pembelian buku baru pada tahun ajaran baru. 3. Trend; Tipe data trend ialah ketika observasi naik atau menurun pada perluasan periode suatu waktu. Sebagai contoh adalah data populasi 4. Putaran Cyclical. Tipe data cyclical ditandai dengan adanya fluktuasi bergelombang data yang terjadi di sekitar garis trend. Sebagai contoh adalah data-data pada kegiatan ekonomi dan bisnis.

29 Sistem identifikasi Sistem Secara umum sistem merupakan semua proses yang mentransformasi suatu isyarat masukan menjadi isyarat keluaran. Sistem adalah rangkaian dari berbagai komponen, piranti atau subsistem yang akan memberikan tanggapan terhadap sinyal masukan untuk menghasilkan sinyal keluaran yang diinginkan. Secara umum sistem merupakan semua proses yang mentransformasi suatu isyarat masukan menjadi isyarat keluaran dimana x(t) adalah input dan y(t) adalah output. Sistem adalah rangkaian dari berbagai komponen, piranti atau subsistem yang akan memberikan tanggapan terhadap sinyal masukan untuk menghasilkan sinyal keluaran yang diinginkan. Ada banyak cara orang membuat katagori sistem, hal ini tergantung pada fokus atau titik perhatian orang pada suatu sistem. Contohnya dengan menjadikan cara representasi sistem (apakah dengan persamaan differensial atau persamaan difference) sebagai titik perhatian, maka sistem dapat dikategorikan sebagai: 1. Sistem waktu kontinu (malar) Jika dapat direpresentasikan dengan persamaan differensial berbasis waktu kontinu (malar); 2. Sistem waktu diskrit (tak malar) Jika dapat direpresentasikan secara rekursif dengan persamaan difference. Sistem dikatagorikan menjadi bermacam macam berdasarkan sifat-sifatnya antara lain : 1. Sistem dengan dan tanpa ingatan (with and without memory); Suatu sistem dikatakan mempunyai ingatan, jika keluaran dan keadaannya pada saat sekarang, bergantung pada masukan, keadaan dan/atau keluarannya pada saat yang telah lalu. Sebaliknya disebut sistem tanpa memo-

30 18 ri/ingatan, atau dengan kata lain sistem disebut memiliki memori/ingatan jika sistem bisa menyimpan sinyal atau menyimpan energi yang masuk. (a) Sistem dengan memori/ ingatan, indikatornya terdapat blok penundaan atau delay dan keluarannya masukan saat ini dan masa lalu; (b) Sistem tanpa memori/ ingatan, indikatornya tidak terdapat blok penundaan atau delay dan keluarannya masukan saat ini. 2. Sistem kausal dan non-kausal; Kausalitas sistem disebut kausal jika keluarannya berasal dari masukan pada saat-saat sebelumnya. Lebih jelas lagi, keluaran di saat t=1 muncul akibat masukan di saat-saat t<1. Sistem riel di alam adalah sistem kausal. Mobil berjalan di saat t = 1 karena di saat-saat t<1 pedal gas pernah diinjak. Sistem yang tidak kausal adalah sistem yang memproses data rekaman. Dalam statistik dikenal istilah data smoothing atau penghalusan data, agar trend data lebih tampak secara grafis. Proses penghalusan data untuk n = 5, misalnya, melibatkan data pada n = 4 dan data pada n = 6. Sistem seperti ini adalah sistem yang tidak kausal. Suatu sistem dikatakan kausal, jika keluaran dan keadaannya pada saat sekarang, tidak bergantung pada masukan, keadaan dan/atau keluarannya pada masa yang akan datang atau sebuah sistem yang keluarannya ditentukan oleh masukan sekarang dan masa lalu. Sistem non kausal atau non causal sistem adalah sebuah sistem yang keluarnya saat ini juga ditentukan oleh kondisi masukan yang akan datang. 3. Sistem yang invertible dan non-invertible; invertibilitas suatu sistem sangat penting khususnya dalam berbagai sistem pengolahan isyarat. Sistem disebut invertible jika sinyal keluarannya dapat diproses lagi sedemikian sehingga terbentuk kembali sinyal masukannya atau dengan kata lain

31 19 suatu sistem dikatakan invertible jika memiliki inverse. Inverse dari suatu sistem akan mengembalikan keluaran menjadi isyarat masukan. Sistem pemancar radio memproses sinyal suara (dari musik atau penyiar) menjadi gelombang elektromagnetik. Sistem ini invertible karena sinyal gelombang elektro magnetik itu dapat diproses lagi sehingga terbentuk sinyal suara yang sama dengan masukannya. Sistem yang memproses secara invertible disebut sistem invers. Sistem pemancar radio mempunyai sistem invers, yaitu pesawat penerima radio.jika keluaran diketahui, dapat menentukan masukannya. Hasilnya dikatakan sebagai sistem invers. Suatu sistem dapat diuji invertibilitasnya dengan melihat apakah sistem tersebut melakukan pemetaan satu-ke-satu (one-to-one mapping) dari masukan ke keluaran. Konsep invertibilitas penting dalam berbagai konteks. Contohnya pada sistem penyandian yang digunakan dalam beraneka ragam aplikasi komunikasi yang luas. Dimana sinyal yang dikirimkan masuk kesistem yang namanya enkoder dengan maksud untuk memproteksi pesan asli untuk keamanan komunikasi atau penambahan bit-bit paritas sehingga setiap kesalahan yang terjadi dalam transmisi dapat dideteksi dan memungkinkan untuk dikoreksi, yang nantinya dikeluaran dikembalikan ke sinyal aslinya. 4. Sistem stabil dan tidak stabil; Sistem disebut stabil jika sistem itu tahan gangguan. Jika sistem diberi gangguan dan sistem mampu mengembalikan kondisinya seperti semula setelah gangguan hilang adalah sistem yang stabil. Sistem yang mengalami gangguan kecil lalu tidak dapat mengembalikan kondisinya seperti semula adalah sistem yang tidak stabil. Stabilitas adalah bagian terpenting dari spesifikasi sistem. Jika sebuah sistem tidak stabil, maka respon transien dan steady state errors dapat diperdebatkan. Sebuah sistem yang tidak stabil tidak dapat memenuhi persyaratan desain respon transien dan steady state errors. Ada banyak definisi tentang stabilitas, namun pada bagian ini akan dibatasi pada sistem linear dantime

32 20 invariant. Keluaran dari sistem dapat dikendalikan jika respon steady state terdiri dari respon kekuatan. Respon total dari sistem adalah jumlah dari respon kekuatan dan natural. Sistem stabil jika respon natural mendekati nol sebagai fungsi waktu infinit ketidakterbatasan atau sitem dikatakan stabil bila sistem tersebut diberi masukan/input tertentu dan menghasilkan tanggapan yang tidak menyimpang atau sesuai dengan yang diharapkan. Sistem tidak stabil jika respon natural tumbuh tak terkendali sebagai fungsi waktu mendekati ketidakterbatasan. Sistem marjinal stabil jika respon natural tidak berkurang atau bertumbuh melainkan tetap sebagai waktu mendekati ketidakterbatasan. 5. Sistem time-varying dan time invariant; Sistem time invariant jika perilaku dan karakteristik sistem tersebut tetap terhadap waktu. Contoh rangkaian listrik RC adalah time invariant jika harga resistansi dan kapasitansi konstan terhadap waktu, artinya hasil dari sebuah eksperimen saat ini dari suatu rangkaian akan sama pada waktu yang akan datang. Selain itu suatu sistem dikatan time invariant terjadi pada pergeseran waktu dalam isyarat masukan mengakibatkan pergeseran waktu yang serupa dalam isyarat keluaran. Suatu sistem dikatakan time invariant jika pergeseran waktu pada isyarat masukan hanya akan mengakibatkan pergeseran waktu pada isyarat keluaran. Jadi penundaan/pemajuan isyarat masukan hanya akan mengakibatkan penundaan/pemajuan isyarat keluaran. Sistem time-varying bila perilaku dan karakteristik sistem tersebut berubah terhadap waktu. 6. Sistem linier dan tak linier; Suatu sistem dikatakan linier jika kombinasi linier isyarat masukan menghasilkan kombinasi linier isyarat keluaran.

33 21 Jadi untuk menunjukkan ketidaklinieran suatu sistem cukup dengan satu contoh saja yang memperlihatkan bahwa suatu kombinasi linier isyarat masukan ternyata tidak menghasilkan kombinasi linier isyarat keluaran. 7. Sistem stasioner atau non stasioner. Tahap awal untuk melakukan identifikasi model sementara adalah menentukan apakah data runtun waktu yang akan digunakan untuk peramalan sudah stasioner atau tidak, baik dalam rata-rata maupun dalam variansi. Hal ini penting, sebab model-model ini hanya berlaku untuk data yang stasioner. Secara sederhana, konsep stasioner dapat diartikan suatu kondisi dimana nilai suatu data tidak jauh berbeda atau mungkin sama dengan data yang lain. Bentuk visual yang disediakan oleh paket computer seperti Minitab dan SPSS dari suatu diagram runtun waktu akan dapat dengan mudah memperlihatkan kestasioneran suatu data. Karena model runtun waktu umumnya menggunakan asumsi stasioner, diperlukan cara atau metode untuk menghilangkan ketidakstasioneran data sebelum melangkah lebih lanjut pada pembentukan model. Hal ini dapat dicapai melalui penggunaan metode differencing. Perumusannya adalah sebagai berikut: z t = Y t Y t 1 t =2, 3, 4 Setelah dilakukan proses differencing, maka data yang sudah ditransformasi diplot kembali. Jika hasil plot menunjukkan data masih belum stasioner maka dilakukan kembali proses differencing hingga hasil plot menunjukkan stasioner. Secara umum operasi differencing yang menghasilkan suatu proses baru yang stasioner, yaitu w t adalah w t =(1 B) d z t Apabila kondisi stasioner baik dalam rata-rata mapun dalam variansi sudah dipenuhi, langkah selanjutnya adalah membuat diagram autokorelasi dan parsial autokorelasi.

34 22 Sistem identifikasi Sistem identifikasi adalah sitem untuk membentuk model matematika sistem dinamis berdasarkan ukuran suatu data Penaksiran parameter 1. Autoregressive Models (AR) Notasi AR(p), Model autoregressive dengan orde p dapat dimodelkan sebagai berikut: X t = c + p i=1 ϕ ix t i + ε t dimana ϕ 1,...ϕ p adalah parameter, c adalah konstanta dan variabel acak ε t adalah noise. 2. Moving Average Models (MA) Notasi MA(q) Model Moving average dengan orde q dapat dimodelkan sebagai berikut: X t = µ + ε t + p i=1 θ iε t 1 dimana θ 1,...θ q adalah parameter,µ adalah harapan dari X t (biasanya dianggap = 0) dan ε t,ε t 1 adalah noise. 3. Autoregressive-Moving Average Models(ARMA) Notasi ARMA (p, q), model dengan p Autoregressive dan q Moving Average. Model Autoregressive Moving Average ARMA (p, q) sebagai berikut: X t = c + ε t + p i=1 ϕ ix t i + q i=1 θ iε t i 4. Autoregressive - Moving Average Exogenous Models (ARMAX) Bentuk umum model ARMAX (p, q, b) dengan p adalah Autoregressive, q adalah Moving Average dan b adalah Exogenous. Model ini berisikan AR (p) dan MA (q) dan model terakhir kombinasi linier yaitu b yang diketahui dan deret waktu d t yaitu: X t = ε t + p i=1 ϕ ix t i + q i=1 θ iε t i + b i=1 η id t i

35 23 5. Autoregressive Integrated Moving Average Models (ARIMA) Secara umum model ARIMA (p, d, q) untuk suatu data runtun waktu z t adalah sebagai berikut: (1 ϕ 1 B ϕ 2 B... ϕ p B P )(1 B) d z t =(1 θ 1 B... θ q B q )a t ekuvalen dengan Z t = p+d i=1 ϕ iz t i + a t q i=1 θ ia t i dengan: p, d, q : orde AR, orde differencing, dan orde MA (non-musiman) ϕ p (B) : (1 ϕ 1 B ϕ 2 B 2... ϕ p B P ) d : (1 B) d (orde differencing non-musiman) θ q (B) : (1 θ 1 B θ 2 B 2... θ q B q ) O Q (B s ) : (1 O 1 B S O 2 B 2S... O Q B QS ) a t : residual pada periode t Setelah diperoleh dugaan model awal ARIMA, selanjutnya parameter dari model tersebut ditaksir, sehingga didapatkan besaran koefisien model. Secara umum penaksiran parameter model ARIMA Box-Jenkins dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode seperti metode moment, metode least square, metode maximum likelihood, dan sebagainya Transfer fungsi/fungsi alih/fungsi rasional Dalam rekayasa, sebuah fungsi transfer (juga dikenal sebagai fungsi sistem atau fungsi jaringan, dan pada grafik disebut kurva transfer) adalah representasi matematika fit atau untuk menggambarkan input dan output dari model kotak hitam. Biasanya adalah representasi dari segi frekuensi spasial atau temporal, dari hubungan antara input dan output dari sitem Linier Time Invariant (LTI)

36 24 dengan kondisi awal nol dan keseimbangan titik nol. Dengan perangkat pencitraan optic, misalnya transformasi Fourier dari fungsi penyebaran titik (maka fungsi dari frekuensi spasial) yaitu distribusi intensitas yang disebabkan oleh benda titik dalam bidang pandang. Dalam teori kontrol, fungsi transfer (fungsi alih) biasanya digunakan untuk mengkarakteristikkan hubungan antara komponen input output yang dapat diberikan oleh persamaan diferensial linear invarian waktu. Fungsi transfer dari suatu sistem persamaan diferensial linier invarian waktu didefinisikan sebagai rasio antara transformasi Laplace dari output (fungsi respon) dengan transformasi Laplace dari input dengan asumsi bahwa syarat awal adalah nol. Fungsi transfer = G(s) = {output} {input} = Y (s) X(s) = b 0s m + b 1 s m b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n Fungsi respon impulse G(s) =Y (s) karena transformasi Laplace dari fungsi impulse satuan adalah 1 invers transformasi Laplace dari output adalah 1 {G(s)} = 1 {Y (s)} = g(t) disebut fungsi respon impulse dan Fungsi g(t) sering disebut fungsi pembobot. Suatu sistem kontrol terdiri atas sejumlah komponen. Untuk menunjukkan peran dari masing-masing komponen, biasanya digunakan suatu diagram yang disebut sebagai diagram blok. Suatu diagram blok dari suatu sistem adalah suatu representasi diagram yang menggambarkan fungsi dari masing-masing komponen dan

37 25 aliran dari sinyal, serta meramalkan hubugan antara bermacam-macam komponen. Dalam diagram blok, semua variabel sistem dihubungkan melalui blok fungsional. Blok fungsional adalah suatu simbol operasi matematika pada sinyal input kepada blok yang menghasilkan output. Fungsi transfer dari komponen biasanya dimasukkan ke dalam blok yang terkait yang dihubungkan oleh panah yang menunjukkan arah dari aliran sinyal. Gambar 2.5 Contoh diagram blok loop tertutup C(s) =G(s).E(s) E(s) =R(s) C(s) C(s) =G(s).[R(s) C(s)] [1 + G(s)].C(s) =G(s).R(s) Fungsi transfer untuk diagram blok diatas adalah: C(s) R(s) = G(s) 1+G(s) sehingga, respon (output) adalah: C(s) = G(s) 1+G(s).R(s)