BAB V KESIMPULAN DAN MASALAH TERBUKA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB V KESIMPULAN DAN MASALAH TERBUKA"

Sukarno Tedjo
6 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB V KESIMPULAN DAN MASALAH TERBUKA 5.1 Kesimpulan Pada bab ini diberikan kesimpulan dari hasil-hasil yang sudah diperoleh, meliputi pelabelan total tak reguler sisi, pelabelan total tak reguler titik dan pelabelan total tak reguler total Kekuatan Tak Reguler Sisi Total Dari penelitian ini telah diperoleh kekuatan tak reguler sisi total (tes(g)) beberapa graf cyclic dan bersisi daun yang dapat dilihat di Tabel 5.1. Pada tabel tersebut juga dicantumkan nilai-nilai untuk E + 3 (batas bawah tes(g) pada Teorema.3.1), +1 (batas bawah tes(g) pada Teorema.3.) dan nilai maks { +1 E +, (Konjektur 1.1.1). 3 Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4, ke-5 dan ke-6 pada tabel dimaksudkan untuk melihat keterkaitan hasil yang diperoleh dengan teorema maupun konjektur yang sudah dihasilkan oleh peneliti-peneliti terdahulu. 1. Dari Tabel 5.1 terlihat bahwa nilai tes(g) pada beberapa graf cyclic yang diteliti mempunyai hasil yang sama dengan nilai tes(g) pada graf pohon (Teorema.3.3) yang ditemukan oleh Ivančo dan Jendrol (006), yaitu { + 1 E + tes(g) = maks,. 3. Selain itu, hasil-hasil untuk tes(g) beberapa graf cyclic yang diteliti juga mendukung berlakunya Konjektur oleh Ivančo dan Jendrol (006), yaitu untuk graf G yang bukan K 5 berlaku { + 1 E + tes(g) = maks,

2 13 Tabel 5.1 Tabel hasil kekuatan tak reguler sisi total (tes(g)) No Graf tes(g) E + +1 maks 3 { +1 E +, 3 1. Helm H n, n 3 n + 1 n + 1 n+1 n + 1. Web berdaun 5n+ 5n+ n+1 5n W(n, ), n 3 3. Gir G n, n 3 n + 1 n+1 n+1 n Gir berdaun 5n+ 5n+ n+1 5n G(n), n 3 5. Jahangir diperumum 4n+ 4n+ n+1 4n J n,3, 3 n 6 6. Helm diperumum (m+3)n+ (m+3)n+ n+1 (m+3)n Hn m, m 0 (mod 3) n 3 7. Web diperumum mn+ mn+ n+1 mn W n,m, n 3, m 8. Prisma diperumum (t+1)n+ (t+1)n+ 3 (t+1)n C n P t, n 3, t 1 9. Web diperumum (m+1)n+ (m+1)n+ n+1 (m+1)n bersisi daun W(n, m) n 3, m 10. Prisma diperumum (t+)n+ (t+)n+ 3 (t+)n bersisi daun Cn Pt, n 3, t Kekuatan Tak Reguler Titik Total Telah diperoleh kekuatan tak reguler titik total (tvs(g)) pada beberapa graf cyclic dan bersisi daun yang dapat dilihat di Tabel 5.. Pada tabel tersebut juga dicantumkan nilai-nilai untuk n+δ (batas bawah tvs(g) pada Teorema.3.4) dan +1 maks{ δ+n δ δ+1, δ+nδ +n δ+1 δ+ i=δ,..., n i (Konjektur 1.1.). δ+ Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4 dan ke-5 pada tabel dimaksudkan untuk melihat keterkaitan hasil-hasil yang diperoleh pada penelitian ini dengan hasil-hasil yang telah diperoleh para peneliti terdahulu. 1. Dari Tabel 5. no. 1 dan, terlihat bahwa hasil-hasil untuk tvs(g) graf cyclic dan bersisi daun mendukung berlakunya Konjektur 1.1. dari Nurdin (010),

3 133 Tabel 5. Tabel hasil kekuatan tak reguler titik total (tvs(g)) No Graf tvs(g) n+δ maks{ δ+n δ +1 δ+1, δ+nδ +n δ+1,..., δ+ δ+ i=δ n i 1. Helm diperumum (m+1)n+1 (m+)n+ (m+1)n+1 3 n+1 3 Hn m, n, m 3. Prisma bersisi daun 3n+1 3n+1 3n P n, n 3 3. Korona G berorde pn+1 pn+p+1 maks{ 1+n 1 +n+1, p dengan K n, 1+n1 +n 3,..., 1+ i=1 G K n, n n i 4. Korona G berorde p+1 p+1 maks{ 1+n 1 + p 3 dengan K 1, 1+n1 +n 3,..., 1+ i=1 G K n i 1 5. Korona diperumum G, r- reguler berorde p 3,r, dengan komplemen graf lengkap K ni, 1 i p, G {K n1,..., K np p i=1 n i+1 p+ p i=1 n i+1 r+max 1 i p {n i +1 yaitu untuk graf terhubung G dengan n i titik berderajat i, berlaku { δ + nδ tvs(g) = maks δ + 1, δ + nδ + n δ+1,..., δ + δ + i=δ n i i=1 n i. Dari hasil pada Tabel 5. no. 3 dan 4 diperoleh suatu sifat (karakteristik) yang dituliskan pada Teorema , bahwa pada sebarang graf terhubung G berorde p yang setiap titiknya bertetangga dengan sejumlah sama n titik daun, n 1, sehingga graf yang terbentuk tidak mempunyai titik berderajat dua dan graf tersebut mempunyai sejumlah pn titik daun, maka kekuatan tak reguler titik totalnya adalah tvs(g) = pn+1. Hasil ini sama dengan kekuatan tak reguler titik total graf pohon pada Teorema.3.5 (Nurdin dkk., 010) yang mengatakan bahwa untuk graf pohon T yang tidak mempunyai titik berderajat dua dan mempunyai sejumlah n 1 titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalah tvs(t ) = n , maks{ 1+n 1, 1+n1 +n,..., 3. Graf yang dikonstruksi menggunakan Teorema dapat berupa graf cyclic

4 134 maupun graf acyclic (graf pohon). Graf pohon yang merupakan graf bagian dari graf cyclic yang terbentuk mempunyai kekuatan tak reguler titik total seperti pada Teorema.3.5. Jadi dapat dikatakan bahwa Teorema merupakan bentuk lebih umum dari Teorema.3.5 (Nurdin dkk., 010). 4. Dari hasil pada Tabel 5. no. 5 diperoleh suatu sifat (karakteristik) yang ditulis pada Teorema bahwa pada graf r-reguler, r (jadi grafnya cyclic), yang tiap titiknya bertetangga dengan sejumlah sebarang titik daun sehingga graf G yang terbentuk tidak mempunyai titik berderajat dua dan n1 +1 mempunyai n 1 titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalah tvs(g) =, yang sama dengan hasil untuk graf pohon pada Teorema.3.5 (Nurdin dkk., 010) Kekuatan Tak Reguler Total Telah dihasilkan kekuatan tak reguler total (ts(g)) beberapa graf pohon, dapat dilihat di Tabel 5.3. Pada tabel tersebut juga dicantumkan banyak titik daun, nilai tvs(g) menggunakan Teorema.3.5 (yaitu n 1 +1 ), nilai tes(g) menggunakan Teorema.3.3 (yaitu maks{ +1 E +, ) serta nilai maks{tes(g), tvs(g) 3 (batas bawah pada Observasi (4.8)). Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4, ke-5 dan ke-6 dimaksudkan untuk melihat keterkaitan hasil-hasil penelitian yang dilakukan dengan hasil-hasil penelitian para peneliti terdahulu. 1. Dari Tabel 5.3, terlihat bahwa hasil-hasil ts(g) untuk graf pohon (dalam hal ini graf bintang, dobel-bintang dan caterpillar) sama dengan nilai maks{tes(g), tvs(g). Hasil ini sama dengan batas bawah ts(g) pada Observasi (4.8).. Dari hasil-hasil yang diperoleh, terlihat ada hubungan antara jumlah titik daun dengan nilai ts(g), yaitu untuk graf pohon T (dalam hal ini graf bintang, dobel-bintang dan caterpillar) yang mempunyai sebanyak n 1 titik daun, diperoleh kekuatan tak reguler totalnya, ts(g) = n 1 +1.

5 135 Tabel 5.3 Tabel hasil kekuatan tak reguler total (ts(g)) Graf Jumlah ts(g) tvs(g) tes(g) maks titik {tes(g), tvs(g) daun Bintang n n+1 K 1,n, n 3 Dobel-bintang n + m n+m 1 n+m 1 n+m+1, n+m 1 3 S n,m, n, m 3 untuk n m < min{n, m +. maks{n,m+1, untuk n m min{n, m + Dobel-bintang n + m n+m 1 n+m 1 n+m+ n+m 1 3 dengan 1 cut vertex, S n,,m, n, m 3 Hasil ini sama dengan nilai tvs(g) untuk graf pohon yang tidak memuat titik berderajat, pada Teorema.3.5 (Nurdin, 010). 5. Masalah Terbuka Pada graf cyclic yang titik lingkaran terluarnya berinsiden dengan 1 sisi daun, diperoleh kekuatan tak reguler sisi{ totalnya (tes(g)) mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1, yaitu tes(g) = maks +1 E +, 3. Selain itu, penambahan 1 sisi daun pada tiap titik lingkaran terluar (jadi ada penambahan n sisi daun sesuai dengan banyak titik pada lingkaran terluar) menyebabkan batas bawah bobot terbesar sisi akan bertambah sebesar n pula. Selain itu, pada Teorema 3..7 baru dibahas kekuatan tak reguler sisi total graf Jahangir diperumum J n,3 untuk n 6. Karena itu, disampaikan Masalah I sebagai masalah terbuka berikut ini. Masalah I. 1. Apakah hasil tes(g) { yang mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1, yaitu tes(g) = maks +1 E +, 3 dari 1 sisi daun pada tiap titik lingkaran terluar graf? juga berlaku untuk penambahan lebih

6 136. Apakah hasil tes(g) yang mendukung berlakunya Konjektur juga berlaku untuk penambahan sejumlah tertentu n 1 sisi daun pada tiap titik graf (pada hasil korona G K n, n 1)? 3. Apakah hasil tes(g) yang mendukung berlakunya Konjektur juga berlaku untuk penambahan sebarang sisi daun pada tiap titik graf? 4. Berapa kekuatan tak reguler sisi total graf Jahangir diperumum J n,3 untuk n > 6? Pada Teorema.3.5, Nurdin dkk telah memberikan hasil bahwa pada graf pohon T yang tidak mempunyai titik berderajat dan mempunyai n 1 titik daun, mempunyai kekuatan tak reguler titik total tvs(g) = n 1+1. Pada Teorema dan Teorema dikemukakan bahwa untuk graf sebarang G dengan tiap titiknya bertetangga dengan n 1 titik daun sehingga G mempunyai pn titik daun dan tidak mempunyai titik berderajat, kekuatan tak reguler titik total graf G adalah tvs(g) = pn+1. Pada Teorema 4.1.0, untuk graf G yang r-reguler dengan tiap titiknya bertetangga dengan sebarang jumlah titik daun sehingga graf G tidak mempunyai titik berderajat dan mempunyai n 1 titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalah tvs(g) = n 1+1. Dari hasil-hasil tersebut muncul masalah terbuka yang disajikan pada Masalah II sebagai berikut. Masalah II. Apakah untuk sebarang graf G (ada kemungkinan mempunyai titik yang tidak bertetangga dengan titik daun) yang tidak memuat titik berderajat dan mempunyai n 1 titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya tvs(g) = n 1+1? Jika Masalah II ini berlaku, maka nilai tvs akan sama dengan nilai tvs graf pohon yang memperhatikan jumlah titik daun yang ada di Teorema.3.5. Artinya nilai tvs tersebut akan berlaku untuk sebarang graf dengan memperhatikan banyak titik daun pada graf tersebut.

7 137 Pada beberapa graf pohon (dalam hal ini graf bintang K 1,n, n 3, graf dobel-bintang S n,m, n, m 3 dan graf caterpillar S n,,m, n, m 3, diperoleh hubungan antara banyak titik daun dengan nilai kekuatan tak reguler total (ts), yaitu untuk graf pohon T dengan banyak titik daun n 1, diperoleh kekuatan tak reguler totalnya, ts(t ) = tvs(t ) = n 1+1. Hasil ini sama dengan nilai tvs(t ) untuk graf pohon yang tidak memuat titik berderajat, pada Teorema Nurdin (010). Karena itu muncul masalah terbuka yang disampaikan pada Masalah III sebagai berikut. Masalah III. Apakah pada sebarang graf pohon T yang mempunyai n 1 titik daun berlaku kekuatan tak reguler totalnya, ts(t ) = tvs(t ) = n 1+1?

dokumen-dokumen yang mirip

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam pengembangan matematika dari sisi teori maupun terapannya. Beberapa masalah dalam