APLIKASI MATRIKS POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF KOMPLIT K n SKRIPSI. Oleh: UMAR ROJANA NIM

Transkripsi

1 APLIKASI MATRIKS POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF KOMPLIT K SKRIPSI Oleh UMAR ROJANA NIM. 8 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

2 APLIKASI MATRIKS POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF KOMPLIT K SKRIPSI Dijuk Kepd Uiersits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Ibrhim Mlg Utuk Memeuhi Slh Stu Persyrt dlm Memperoleh Gelr Srj Sis (S.Si) Oleh UMAR ROJANA NIM. 8 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

3 SURAT PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Sy yg bertd tg dibwh ii Nm Umr Roj NIM 8 Jurus Mtemtik Fkults Sis d Tekologi Judul Apliksi Mtriks Poho utuk meetuk Byky Poho Retg pd Grf Komplit (K ) Meytk deg sebery bhw skripsi yg sy tulis ii ber-ber merupk hsil kry sy sediri, buk merupk pegmbillih dt, tulis tu pikir org li yg sy kui sebgi hsil tulis tu pikir sy sediri. Apbil di kemudi hri terbukti tu dpt dibuktik skripsi ii hsil jiplk, mk sy bersedi meerim sksi ts perbut tersebut. Mlg, Februri Yg membut peryt, Umr Roj NIM. 8

4 APLIKASI MATRIKS POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF KOMPLIT (K ) SKRIPSI Oleh UMAR ROJANA NIM. 8 Telh diperiks d disetujui utuk diuji Dose Pembimbig I, Dose Pembimbig II, Drs. H. Turmudi, M.Si Dr. Muirul Abidi, M.Ag NIP NIP. 97 Tggl, 9 Februri Megethui, Ketu Jurus Mtemtik Abdusskir, M.Pd NIP. 976

5 APLIKASI MATRIKS POHON UNTUK MENENTUKAN BANYAKNYA POHON RENTANGAN PADA GRAF KOMPLIT (K ) SKRIPSI Oleh Umr Roj NIM. 8 Telh diperthk di Dep Dew Peguji Skripsi d Diytk Diterim Sebgi Slh Stu Persyrt Utuk Memperoleh Gelr Srj Sis (S.Si) Tggl, April Susu Dew Peguji Td Tg. Peguji Utm Whyu H. Irw, M.Pd ( ) NIP Ketu Sri Hrii, M.Si ( ) NIP. 97. Sekretris Drs. Turmudi, M.Si ( ) NIP Aggot Dr. Muirul Abidi, M.Ag ( ) NIP. 97 Megethui d Megeshk Ketu Jurus Mtemtik

6 Abdusskir, M.Pd NIP. 976

7 MOTTO JANGAN BERHENTI, TITIK! PERSEMBAHAN

8 Kry sederh ii terutuk Y g tercit Ay h d, Ibu d d Kelu r g k u Bp k Ris d Ibu U mi y i, Aku bersy u k u r me m ili ki Or g Tu kli. Kli Ispir t o r Terb i k k u, Moti t o r Ter m p u h k u, Ay h d Ibu Terb i k di selur u h Du i. Teri m k s i h, kre kli d utu k kli ku berth. A g Ori d Istri, Mb k U mi d su m i, M s B di d Istri, seti p kli me m ili ki per d tem p t ters e d i ri dl m hti & hidu p k u. Adik- Adik u ters y g Id d Musiri, milikil h mi m p i, sek li g u s key ki bh w kli bis mer i h y. Kre tp mi m p i, or g- or g sep e rti kit k terlu p k. Tk lup prjurit- prjurit kecilk u, Jeri, Aziz, Am r, Ato d Zh w, Ayo! L g k h i p m m u de g mi m p i- mi m p i kli y g lebih heb t dim s y g k dt g! Jug clo kelu r g k u Rr R di d (Roj ) ^_^, Teri m k s i h! Stu mi m p i telh kuri h, sel j u t y bers m m u ku igi mer i h mi m p i- mi m p i li, mi m p i- mi m p i y g lebih bes r d me k j u b k! Se m o g ku tkk lelh me e m i k u.

9 KATA PENGANTAR Alhmdulillh segl puji d syukur hy ditujuk kepd Allh SWT yg telh melimphk ikmt terbik berup Im d Islm, jug yg sellu melimphk rhmt, tufik, hidyh sert iyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik peulis skripsi yg berjudul Apliksi Mtriks Poho Utuk Meetuk Byky Poho Retg Pd Grf Komplit (K ) sebgi slh stu syrt dlm meyelesik pedidik S d memperoleh gelr Srj Sis (S.Si). Sholwt sert slm semog tetp tercurhk kepd keksih hti bgid Rsulullh Muhmmd SAW, yg telh meujukk jl keber d keselmt, yki jr Islm yg mejdi rhmt bgi seluruh umt musi d sekli lm. Selm peulis skripsi ii peulis telh byk medpt bimbig, msuk, motisi d rh dri berbgi pihk. Oleh kre itu, peulis meympik ucp terim ksih d pghrg setiggi-tiggiy kepd. Bpk Prof. Dr. H. Imm Supryogo selku Rektor Uiersits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Ibrhim Mlg.. Bpk Prof. Drs. Sutim B. Sumitro, SU, DSc selku Dek Fkults Sis d Tekologi Uiersits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Ibrhim Mlg.

10 . Bpk Abdusskir, M.Pd selku ketu Jurus Mtemtik Fkults Sitek Uiersits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Ibrhim Mlg.. Bpk Drs. H. Turmudi M.Si sebgi dose pembimbig Mtemtik yg telh byk memberik tutu d rh sehigg peulis skripsi ii dpt terselesik.. Bpk Dr. Muirul Abidi, M.Ag selku Dose Pembimbig Itegrsi Sis Mtemtik d Islm yg telh byk memberi rh kepd peulis. 6. Ewti Alish, M.Pd sebgi dose wli mtemtik peulis yg byk memberik peglm d bimbig beljr selm peulis studi di jurus Mtemtik besert seluruh Dose Fkults Sis d Tekologi, khususy dose jurus Mtemtik yg telh medidik d memberik ilmu yg tk terili hrgy. 7. Kedu org tu peulis Ayhd Ris d Bud Umi Yi yg deg restuy, doy, hrp-hrp sert pegorby mejdik peulis utuk tidk meyerh pd ked dlm ked bgimpu, termsuk dlm peyelesi Skripsi ii. 8. Segep tem-tem, ms d mbk, dik-dik di jurus mtemtik, khususy mtemtik, khsusuy lgi Im, Ni, Hris, Asis, A d Dzwi ts segl btuy d tetp memotisi smpi detik-detik terkhir. D semu tem-tem Mtemtik, klilh ligkug terkhir yg turut membetuk kepribdiku. 9. Semu pihk yg terlibt bik secr lgsug mupu tidk lgsug pd proses terselesiky peulis skripsi ii. Semog Allh SWT membls kebik semuy. Ami.

11 Deg segl keredh hti peulis meydri bhw skripsi ii msih juh dri sempur, sehigg kritik d sr sgt diperluk demi tercpiy hsil yg lebih bik. Hrp peulis semog skripsi ii dpt bermft bgi peulis khsusuy d bgi pembc pd umumy. Ami. Mlg, Februri Peulis

12 DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTARi DAFTAR ISI.i DAFTAR TABEL.i DAFTAR GAMBAR.ii ABSTRAKiii BAB I PENDAHULUAN. Ltr Belkg Rumus Mslh. Bts Mslh. Mft Peeliti6 Metode Peeliti Sistemtik Peulis.7 BAB II KAJIAN PUSTAKA.9 Grf.9 Defiisi Grf9 Terhubug Lgsug D Terkit Lgsug Grf Komplit Derjt Titik Grf Terhubug.7 Poho. Defiisi Poho. Poho Retg (spig tree).

13 Mtriks Defiisi Mtriks. Opersi Mtriks Determi 7 Mtriks Grf.6. Teorem Mtriks-Poho. BAB III PEMBAHASAN.6 Byky Poho retg Pd Grf Komplit (K )7 Byky Poho retg Pd Grf Komplit (K )8 Byky Poho retg Pd Grf Komplit (K )9 Byky Poho retg Pd Grf Komplit (K ) Byky Poho retg Pd Grf Komplit (K 6 ).6. Kji Kegm66 BAB IV PENUTUP.7 Kesimpul.7 Sr.7 DAFTAR PUSTAKA7 LAMPIRAN-LAMPIRAN

14 DAFTAR TABEL Tbel. Poho Retg pd Grf Komplit (K ) deg d N.

15 DAFTAR GAMBAR Gmbr Hlm Gmbr. Grf G Gmbr. Poho Retg dri Grf G. Gmbr. Grf G Gmbr. Grf G d subgrf dri Grf G. Gmbr. Adjcet d Icidet Gmbr. Grf Deg Sisi Rgkp d Loop Gmbr. Grf Komplit Gmbr.6 Grf Derjt Titik6 Gmbr.7 Jl, Jl Terbuk d Jl Tertutup8 Gmbr.8 Tril, Lits d Sikel9 Gmbr.9 Grf Terhubug. Gmbr. Cotoh Poho Gmbr. Grf G Gmbr. Poho Retg dri Grf G. Gmbr. Grf Komplit (K )7 Gmbr. Grf Komplit (K )8 Gmbr. T.9 Gmbr. T.9 Gmbr. T. Gmbr.6 Grf Komplit (K ) Gmbr.7 T Gmbr.8 T Gmbr.9 T Gmbr. T. Gmbr. T. Gmbr. T6.6 Gmbr. T7.6 Gmbr. T8.7 Gmbr. T9.8

16 Gmbr.6 T.9 Gmbr.7 T.9 Gmbr.8 T.9 Gmbr.9 T. Gmbr. T. Gmbr. T. Gmbr. T6. Gmbr. Grf Komplit (K ) Gmbr. Grf Komplit (K 6 ) Gmbr. Grf Komplit66 Gmbr.6 Represetsi Grf Komplit K dri Q.S 9.68 Gmbr.7. Represetsi sift-sift Nbi dlm grf komplt K 7 Gmbr.8 Poho retg dri grf komplit K 7

17 ABSTRAK Roj, Umr.. Aplkiksi Mtriks Poho utuk meetuk byky poho retg pd grf komplit (K ). Skripsi, Jurus Mtemtik Fkults Sis d Tekologi Uiersits Islm Negeri (UIN) Mul Mlik Ibrhim Mlg. Pembimbig () Drs. H. Turmudi, M.Si. () Dr. Muirul Abidi, M.Ag. Kt kuci grf komplit, mtriks derjt, mtriks djcecy, mtriks poho, kofktor d poho retg Slh stu permslh dlm topik grf dlh meetuk byky poho retg dri sutu grf. Poho retg dlh subgrf dri grf G yg megdug semu titik dri G d merupk sutu poho. Utuk meetuk poho retg dri sutu grf terhubug, bisy dilkuk deg cr memotog/ memutus sisi-sisi sehigg grf tersebut tidk lgi megdug sikel. Tuju peeliti ii dlh utuk meetuk betuk umum byky poho retg pd grf komplit (K ) deg megguk pliksi mtriks poho Dlm peeliti ii, metode yg diguk dlh metode peeliti pustk (librry reserch) deg lgkh-lgkh peeliti sebgi berikut () meggmbr grf (K) dim d N; () Meetuk mtriks D(K ) A(K ) yitu mtriks derjt grf komplit dikurgi mtriks djcecy grf komplit; () Meetuk kofktor dri mtriks D(K ) A(K ); () Meliht pol byky poho retg grf komplit (K ). Kemudi merumusk teorem yg dilegkpi deg bukti-bukti. Berdsrk hsil pembhs dpt diperoleh bhw betuk umum byky poho retg pd grf komplit (K ) deg d N dlh Poho retg (K ) = - Peggu mtriks poho utuk meetuk byky poho retg pd grf komplit (K ) ii msih terbuk bgi peeliti li utuk diguk pd jeis-jeis grf yg li seperti grf lits, grf sikel d li sebgiy.

18 BAB I PENDAHULUAN. Ltr Belkg Al Qur sebgi whyu Allh yg dijdik pdu utm didlm mejlk jr Islm tidk hy memut tur-tur peribdt bgi umt-ny, tetpi jug memut pegethu bik dims yg llu mupu ms k dtg, termsuk didlmy dlh tetg Ilmu pegethu. Al Qur dlh kitb petujuk sekligus sumber ilmu. Segl ilmu yg d bik yg sudh dikel mupu yg k dikethui oleh musi telh diberik rujuky dlm Al Qur, mu semu ilmu itu hylh sebgi kecil dri ilmu Allh. Hl itu dikrek pegethu Allh meliputi segl sesutu (QS. Thh 98). Al Qur meggmbrk betp lusy Ilmu Allh dlm Surt Al-Khfi 9 9. Ktklh Sekiry lut mejdi tit utuk (meulis) klimt-klimt Tuhku, sugguh hbislh lut itu sebelum hbis (ditulis) klimtklimt Tuhku, meskipu Kmi dtgk tmbh sebyk itu (pul)". Kewjib meutut ilmu/ mempeljri ilmu pegethu dlm Islm telh jels diperithk dlm Al Qur mupu suh. Kre deg mempeljri ilmu pegethu dihrpk seorg muslim k lebih meykii kekus Allh sehigg bis mempertebl keim kepd-ny, dim ilmu pegethu itu tidk hy digli dri yt-yt qouliyh yg tertulis di dlm Al Qur, tetpi jug yt-yt kuiyh yg terhmpr di lm semest.

19 Mtemtik sebgi slh stu disipli Ilmu serig disebut sebgi Ibu sekligus pely ilmu pegethu, hl itu kre mtemtik merupk slh stu ilmu pegethu dsr yg merupk sumber dri ilmu pegethu terp. Sedgk diktk sebgi pely kre mtemtik jug serig dipki utuk membtu mempermudh peyelesi permslh yg d di dlm ilmu-ilmu liy. Teori grf merupk slh stu cbg mtemtik yg msih merik utuk dibhs kre teori-teoriy msih pliktif smpi st ii d dpt diterpk utuk memechk mslh dlm kehidup sehri-hri. Deg megkji d meglisis model tu rumus, teori grf dpt diperlihtk per d keguy dlm memechk berbgi permslh. Permslh yg dirumusk deg teori grf dibut sederh, yitu dimbil spek-spek yg diperluk d dibug spek-spek liy (Purwto, 998). Slh stu cbg dri teori grf dlh tetg poho. Kosep poho merupk kosep yg plig petig kre kosep ii mmpu medukug peerp grf dlm berbgi bidg ilmu. Kirchoff (8-887) megembgk teori poho utuk diterpk dlm jrig listrik. Seljuty Arthur Cyley (8-89) megembgk grf jeis ii sewktu mecch isomer hoidrokrbo jeuh C H. Sekrg poho diguk lus dlm liguistik d ilmu komputer (Heri Sutro, ). Poho dlh grf terhubug yg siklik (tidk memut sikel). Sebuh poho sellu terdiri dri titik d - sisi. Poho yg merupk subgrf dri

20 sutu grf terhubug G, yg memut seluruh titik dri G disebut poho retg (spig tree) (Rsyid, 68). Meetuk byky poho retg dri sutu grf merupk mslh tersediri dlm teori grf. Selm ii dikel du lgoritm tu lgoritm soli (metode memotog) d lgoritm kruskl (motode membgu). Nmu kedu lgoritm tersebut bis diguk utuk medptk poho retg miiml yitu poho retg dri sutu grf yg memiliki bobot, dim poho retg miiml dri grf tersebut dlh poho retg deg jumlh bobot terkecil. Utuk meetuk poho retg dri sutu grf terhubug, bisy dilkuk deg cr memotog/ memutus sisi-sisi sehigg grf tersebut tidk lgi megdug sikel. Misl grf G deg V ( G) = {, b, c, d} d E ( G) = { e, e, e, e} e b e e d e c Gmbr. Grf G Mk utuk membetuk spig tree dri grf G tersebut dlh deg cr meghpus slh stu tu lebih sisi sehigg grf G tidk lgi memut sikel,

21 b e b T e e T e d e c d e c e b e b T T e e e d c d e c Gmbr. byky Poho Retgdri Grf G Pd Gmbr. T dibetuk deg meghpus sisi e, T dibetuk deg meghpus sisi e, T dibetuk deg meghpus sisi e, T dibetuk deg meghpus sisi e Dri cotoh tersebut, dpt diliht bhw byky poho retg (spig tree) yg dibetuk dri grf terhubug G dlh sebyk poho retg. Meururt peulis, peghitug deg cr tersebut utuk meetuk byky poho retg dri sutu grf memerluk wktu yg lm, misly utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit deg K, K, tu bhk K, sehigg perlu diguk cr tu rumus bku utuk meetuk byky poho retg dri sutu grf.

22 Ad beberp mslh dlm teori grf yg bis lebih mudh diselesik pbil grf yg dihdpi direpresetsik dlm betuk mtriks. Betuk grf yg diytk dlm sutu mtriks kemudi diselesik deg metodemetode yg berlku pd mtriks. Mk berdsrk uri tersebut peulis bermksud megjuk peeliti utuk skripsi ii deg judul Apliksi Mtriks-Poho utuk meetuk byky Poho Retg pd Grf Komplit ( ). Rumus Mslh Berdsrk ltr belkg tersebut, mk rumus mslh dlm peulis skripsi ii dlh bgim meetuk byky poho retg pd grf komplit ( ) deg pliksi Mtriks-Poho.. Bts Mslh Agr pembhs dlm skripsi ii tidk melus, mk peulis membtsi peeliti ii hy pd mslh byky poho retg pd grf komplit ( ) deg d Ν.. Mft Peeliti Adpu mft dri peulis skripsi ii dlh. Bgi peeliti, sebgi tmbh iformsi d wws pegethu megei teori grf khusuy Apliksi Mtriks-Poho utuk meetuk byky poho retg pd Grf Komplit ( ).. Bgi pemerhti mtemtik, sebgi tmbh pegethu bidg mtemtik, khususy Teori Grf megei Apliksi Mtriks-Poho utuk meetuk byky poho retg pd grf komplit ( )

23 . Bgi lembg UIN Mlg, utuk bh kepustk yg dijdik sr pegembg wws keilmu khususy di jurus mtemtik utuk mt kulih Teori Grf.. Metode Peeliti Dlm peeliti ii peulis megguk jeis peeliti deskriptif kulittif deg metode peeliti kepustk (librry reserch) tu kji pustk, yki melkuk peeliti utuk memperoleh dt-dt d iformsiiformsi sert objek yg diguk dlm pembhs mslh tersebut. Adpu lgkh-lgkh yg k diguk oleh peeliti dlm membhs peeliti ii dlh sebgi berikut. Mecri litertur utm yg dijdik cu dlm pembhs ii.. Megumpulk berbgi litertur pedukug, bik yg bersumber dri buku, jurl, rtikel, diktt kulih, iteret, d liy yg berhubug deg permslh yg k dibhs dlm peeliti ii.. Memhmi d mempeljri kosep Mtriks Poho.. Meerpkk kosep tersebut, yitu Apliksi Mtriks Poho utuk meetuk byky poho retg pd Grf Komplit ( ).. Sistemtik Peulis Agr dlm pembhs peeliti ii sistemtis d mempermudh pembc memhmi tulis ii, peulis membgi tulis ii kedlm empt bb sebgi berikut BAB I PENDAHULUAN Dlm bb ii dijelsk ltr belkg mslh, permslh, tuju peeliti, mft

24 peeliti, kergk teori, metode peeliti d sistemtik pembhs. BAB II KAJIAN TEORI Dlm bb ii dikemukk hl-hl yg medsri dlm teori yg dikji, yitu memut defiisi grf, djce d icidet, grf komlpit, grf terhubug, poho, poho retg, defiisi mtriks, opersi mtriks, determi, d kofktor BAB III PEMBAHASAN Dlm bb ii dipprk Apliksi Mtriks Poho utuk meetuk byky poho retg pd Grf Komplit ( ). BAB IV PENUTUP Dlm bb ii dikemukk kesimpul khir peeliti d beberp sr.

25 BAB II. Grf KAJIAN PUSTAKA Defiisi Grf Teori grf pertm kli ditemuk dlm tulis Euler yg berisi tetg pemech mslh jembt Koisberg pd thu 76 (Sutro, 6). Pd periode seljuty, teori grf terus berkembg seirig deg byky permslh yg bis direpresetsik d diselesik deg kosep grf, terutm pd ms tig puluh thu terkhir diggp merupk periode yg sgt itesif dlm ktifits pegembg teori grf. Secr Mtemtis, Chrtrd d Lesik meytk teori grf sebgi berikut Defiisi Grf G dlh psg himpu (V, E) deg V dlh himpu tidk kosog d berhigg dri obyek-obyek yg disebut sebgi titik d E dlh himpu (mugki kosog) psg tk berurut dri titik-titik berbed di V yg disebut sebgi sisi (Chrtrd d Lesik, 986 ) Sedgk Purwto medefiisik grf sebgi berikut Defiisi Sutu grf terdiri dri sutu himpu tk kosog yg msig-msig usury disebut titik (ertex) d sutu himpu psg tk berurut dri titik-titik tersebut yg disebut sisi (edge) (Purwto, 997). Dlm peotsi, Chrtrd d Lesik mupu Purwto sm-sm meytk bhw himpu titik di G diotsik deg V(G) d himpu sisi diotsik deg E(G). Sedgk Chrtrd d Lesik membhk

26 byky usur di V disebut order dri G d dilmbgk deg p(g) d byky usur di E disebut ukur dri G d dilmbgk deg q(g). Jik grf yg dibicrk hy grf G, mk order d ukur dri G tersebut cukup ditulis deg p d q. Cotoh b d G c Gmbr. Cotoh Grf G Grf G pd Gmbr. dpt diytk sebgi G = V ( G), E( G) deg V ( G) {, b, c, d} = d E ( G ) { b, d, c, bc, cd } Dpt jug ditulis deg =. ( ) V ( G) = {, b, c, d} E ( G) = { e, e, e, e, e} utuk e = (, b), e = (, c), e = ( b, d), e = ( c, d), e = ( d, e) Pd cotoh di ts Grf G mempuyi titik sehigg order G dlh p = d mempuyi sisi sehigg ukur grf G dlh q =. Sebgim sift himpu, sebuh grf G jug memiliki grf bgi (subgrf) dim setip titik d tu sisiy merupk bgi dri grf G. Secr mtemtis, subgrf didefiisik sebgi berikut

27 Defiisi Grf H disebut subgrf dri G jik himpu titik di H dlh subset dri himpu titik-titik di G d himpu sisi di H dlh subset dri himpu sisi di G. Dpt ditulis V(H) V(G) d E(H) E(G). Jik H dlh subgrf G, mk dpt ditulis H G (Chrtrd d Lesik, 986 8). Jik H subgrf dri G d V(H) = V(G), mk H disebut subgrf retg (spig subgrph) dri G (Purwto, 9986) Jik ditelh lebih ljut dri defiisi subgrf tersebut, mk k ditemui beberp sift sebgi berikut. Setip grf merupk subgrf dri diriy sediri. Subgrf dri sutu subgrf G merupk subgrf dri G. Sebuh titik dlm grf G merupk subgrf dri G. Sebuh sisi dri G bersm deg kedu titik ujugy jug merupk subgrf dri G. Cotoh 6 G

28 Gmbr. Grf HG, H d J dim H Subgrf dri G d J Jbuk subgrf dri G Pd grf G, V(G) = {,,,,, 6 } d E(G) = {, 6,,,,,,, 6 } pd grf H, V(H) = {,,,, }d E(H) = {,,,,,, }dim V(H) V(G) d E(H) E(G) sehigg H dlh subgrf dri G. Sedgk pd grf J, V(J) = {,,,, }d E(J) = {,,,,,,, }dim V(H) V(G) tetpi E(J) E(J) sehigg J buk subgrf dri G

29 Terhubug Lgsug (Adjcet) d Terkit Lgsug (Icidet) Dri defiisi grf, sutu grf plig tidk memiliki sebuh titik. Jik sutu grf memiliki lebih dri stu titik d lebih dri stu sisi mk secr mtemtis hubug tr titik d sisi itu di defiisik sebgi berikut Defiisi Mislk d w dlh titik-titik dri sutu grf. Jik d w dihubugk oleh sutu sisi w, mk d w disebut terhubug lgsug (djcet). Lebih ljut, d w diktk terkit lgsug (icidet) deg w, w diktk terkit lgsug deg d w, d titik d w disebut titik ujug dri w (Wilso d Wtkis, 99). w G w Gmbr. Grf Adjcet d Icidet Dri Gmbr. titik d w sert w d w dlh icidet d titik d w dlh djcet. Du sisi tu lebih yg meghubugk stu psg titik disebut sisi rgkp (multiple edges). Sutu sisi yg titik ujugy sm disebut loop (Purwto, 997). Cotoh b G c

30 Gmbr. Grf deg Sisi rgkp d Loop Grf G pd gmbr. terdpt sisi rgkp b, d terdpt loop. Grf Komplit Dlm pembhs megei byky poho retg deg megguk pliksi mtriks-poho, grf yg k diguk dlh grf komplit. Secr mtemtis defiisi grf komplit dlh sebgi berikut Defiisi Grf komplit (Complete Grph) dlh grf deg du titik yg berbed Cotoh slig djcet. Grf komplit deg titik diytk deg K (Chrtrd d Lesik, 986 9). G G G G Gmbr. Grf Komplit Dri gmbr K, K, K, K dlh grf komplit kre tip titik dlm grf tersebut sellu djecet deg semu titik yg li. Derjt Titik Chrtrd d Purwto berturut-turut medefiisk derjt titik sebgi berikut Defiisi 6 Derjt titik pd grf G dlh jumlh sisi dri grf G yg terkit lgsug deg. Derjt titik pd grf G diotsik deg deg G

31 tu secr sederh dpt jug diotsik deg deg (Chrtrd d Lesik, 986 7). Defiisi 7 Derjt sutu titik di G, diytk deg deg (), dlh byk sisi di G yg terkit lgsug deg. Derjt miimum d derjt δ (G) mksimum titik-titik di G berturut-turut diytk deg d (G) (Purwto, 9977). Chrtr membhk titik yg berderjt gep serig disebut titik gep (ee ertices) d titik yg berderjt gjil disebut titik gjil (odd ertices). Titik yg berderjt ol disebut isolted ertices d titik yg berderjt stu disebut titik ujug (ed ertices) (Chrtrd d Leik, 9867). Cotoh b c d e f Gmbr.6 Grf Derjt Titik Utuk grf G pd Gmbr.6 deg() =, deg(b) =, deg(c) =, ) deg(d)=, deg(e)= d deg(f)=. Sedgk δ ( G = d ( G ) =. Lebih ljut titik d d dlh titik gjil, titik b d e dlh titik gep, titik c d f dlh titik ujug. Hubug tr jumlh derjt semu titik dlm sutu grf G deg byk sisi, yitu q(g), dlh G deg( ) = q.

32 Hl ii diytk dlm teorem berikut Teorem Jik grf G deg V(G) = {,,., } mk i = deg ( i ) = q (Chrtrd d Lesik, 986 7) G Bukti Setip sisi terkit lgsug deg titik. Bil derjt tip titik tersebut dijumlhk mk sisi tersebut dihitug kli. Akibt Pd sebrg grf, byky titik yg berderjt gjil dlh gep (Chrtrd d Lesik, 986 7). Bukti Mislk grf G deg titik sebyk q, mk mbil W yg memut himpu titik gjil di G sert U yg memut himpu titik gep di G. Dri teorem mk diperoleh V (G) deg G = deg G deg G = W U q deg demiki kre U deg G gep, mk W deg G jug gep. Grf Terhubug Utuk smpi pd pembhs megei poho, mk sebelumy perlu pemhm tetg cycle d grf terhubug. Defiisi 8 Sebuh jl (wlk) u- di grf G dlh bris berhigg (tk kosog) W u = u, e, u, e,..., u -, e, u = yg berselg selig tr titik

33 d sisi, yg dimuli dri titik u d dikhiri deg titik, deg ei ui = u utuk i =,,..., dlh sisi di G. u disebut titik wl, u i Defiisi 9 disebut titik khir, u, u,., u - disebut titik iterl, d meytk pjg dri W (Chrtrd d Lesik, 986 6). Jl u- disebut tertutup jik u = d terbuk jik u (Chrtrd Cotoh d Lesik, 986 6). e 8 6 G e e 9 e e e e 6 e 7 e e Gmbr.7 Jl, Jl Terbuk d Jl Tertutup Dri gmbr.7 bris dri, e,, e,, e,, e,, e 7,, e, 6 disebut jl,, e,, e,, e,, e 6, 6 dlh jl terbuk, sedgk, e,, e,, e,, e, 6, e 8, disebut jl tertutup. Defiisi Jl u- yg semu sisiy berbed disebut tril u- (Chrtrd d Lesik, 986 6). Defiisi

34 Defiisi Jl u- yg semu sisi d titiky berbed disebut pth (lits) u-. Deg demiki, semu lits dlh tril (Chrtrd d Lesik, 986 6). Sutu titik u yg membetuk lits (pth) u-u disebut jl triil (Chrtrd d Lesik, 986 6). Dri defiisi dpt dimbil pegerti bhw setip jl yg memiliki titik dlh jl tk triil. Defiisi Defiisi Cotoh Sutu jl tertutup (closed tril) yg tk-triil pd Grf G disebut Sirkuit G. (Chrtrd d Lesik, 986 8). Sirkuit, e,, e,,..., -, e -, e,, deg d i berbed utuk setip i disebut Sikel (cycle) (Chrtrd d Lesik, 986 8). 6 e e G e 7 e 6 e e e Gmbr.8 Tril, Lits, Sirkuit d Sikel Dri gmbr.8 jl, e,, e,, e6, 6, e,, e, disebut tril, jl, e,, e,, e7, 6, e,, e, disebut lits,, e, 6, e7,, e,, e,, e, disebut sirkuit sedgk jl, e, 6, e6,, e,, e, disebut sikel.

35 Defiisi Mislk u d titik berbed pd grf G. Mk titik u d dpt diktk terhubug (coected), jik terdpt lits u di G. Sedgk sutu grf G dpt diktk terhubug (coected), jik utuk setip titik u d di G terhubug (Chrtrd d Lesik, 986 8). Cotoh G. Poho Gmbr.9 Grf Terhubug Teori poho pertm kli dikembgk dlm teori grf oleh G.R Kirchof (8-887) pd thu87 yg diguk dlm persol jrig listrik. Seli itu teori poho byk diguk utuk mslh-mslh yg li. Secr mtemtis defiisi poho dlh sebgi berikut Defiisi Poho Defiisi 6 Poho dlh grf terhubug yg tidk megdug sikel (cyclic). (Chrtrd d Lesik, ) Mislk G dlh sutu grf deg titik. Mk peryt berikut ii dlh ekile. G terhubug d tidk memut sikel;

36 . G terhubug d memiliki - sisi;. G memiliki - sisi d tidk memut sikel;. setip du titik di G terhubug deg tept stu lits (pth);. G tidk memut sikel, tetpi pembh sembrg sisi bru membetuk tept stu sikel. Cotoh 6 6 Gmbr. Cotoh Poho Poho Retg (spig tree) Sutu poho dpt dibetuk dri sebuh grf terhubug. Poho-poho yg dibetuk dri grf tersebut disebut poho retg. Secr mtemtis poho retg didefiisik sebgi berikut Defiisi 7 Misl G dlh Grf, sutu poho retg tu spig tree dlh subgrf dri grf G yg megdug semu titik dri G d merupk sutu poho (Yui Dwi Astuti, 6) Cotoh

37 Gmbr. Grf G Mk poho retg dri grf G dlh Gmbr. Poho Retg dri Grf G Utuk setip grf terhubug, dpt ditemuk poho retg deg cr meghpus sisi-sisi yg membetuk sikel sehigg grf terhubug tidk lgi memut sikel. Nmu cr ii tidk sistemtis sehigg meglmi kesulit jik diguk utuk grf terhubug yg memiliki byk titik d sisi.. Mtriks Dlm pliksi mtriks-poho utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit, grf komplit K hrus direpresetsik terlebih dhulu dlm betuk mtriks. Oleh kre itu perlu dijelsk tetg mtriks d opersi mtriks.

38 Defiisi mtriks Defiisi 8 Sebuh mtriks dlh susu segi empt siku-siku dri bilgbilg. Bilg-bilg dlm susu tersebut dimk etri dlm mtriks. (Howrd Ato,997) Ukur mtriks dijelsk deg meytk byky bris (gris horisotl) d byky kolom (gris ertikl) yg terdpt dlm mtriks tersebut. Cotoh, [ ],,, [ ] Mtriks pertm pd cotoh di ts mempuyi bris d kolom sehigg ukury dlh kli (yg ditulis x ). Agk pertm sellu meujukk byky bris d gk kedu meujukk byky kolom. Jdi, mtriks selebihy dlm cotoh di ts berturut-turut mempuyi ukur x, x, x, x. Defiisi 9 Sebuh mtriks deg bris d kolom dimk mtriks ludrt berorde, d etri-etri,,., diktk berd pd digol utm dri A (Ato,997)

39 Du mtriks diktk sm jik kedu mtriks tersebut mempuyi ukur yg sm d etri-etri yg bersesui sm. (Ato,997) Seljuty, mtriks kudrt dimk segitig ts (upper trigulr) jik semu etri di bwh digol utm dlh ol. Begitu jug mtriks kudrt dimk segitig bwh (lower trigulr), jik semu etri dits digol utm dlh ol. (Ato,9976) Cotoh mtriks segitig ts x Mtriks segitig bwh x Opersi Mtriks Defiisi Jik A d B dlh sebrg du mtriks yg ukury sm, mk jumlh AB dlh mtriks yg diperoleh deg membhk bersm-sm etri yg bersesui dlm kedu mtriks tersebut.

40 Mtriks-mtriks yg ukury berbed tidk bis ditmbhk. (Ato, 997) Cotoh A = B = Mk A B dlh A B = = ) ( ) ( A B = = ) ( ) ( Defiisi Jik A dlh sutu mtriks d c dlh sutu sclr, mk hsil kli (product) ca dlh mtriks yg diperoleh deg meglik msigmsig etri dri A oleh c. (Ato,997) Cotoh A = Mk A dlh = = = 6 8 x x x x x x A

41 Defiisi Jik A dlh mtriks m x r d B dlh mtriks, r x mk hsilkli AB dlh mtriks m x yg etri-etriy ditetuk sebgi berikut. Utuk mecri etri dlm bris i d kolom j dri AB, pilih bris i dri mtriks A d kolom j dri mtriks B. klik etri-etri yg bersesui dri bris d kolom tersebut bersm-sm d kemudi tmbhklh hsil kli yg dihsilk. (Ato,997) Sift-Sift Opersi Mtriks A B = B A A ( B C) = ( A B) C k ( A B) = ka kb A ( B C) = AB ( A B) C = AC AC BC A ( BC) = ( AB) C Pd umumy AB BA tidk berkibt tu tidk berkibt (Gzli dlm Kuriw, 9). Determi Mtriks Defiisi Jik A dlh sutu mtriks x, determi dri A diytk deg det(a) tu diotsik A didefiisik sebgi

42 j j j ) j det = ( ) det( M (.) d det( A) = = (.) Jik A dlh sutu mtriks x, mk mior etri ij diytk oleh M ij d didefiisik mejdi determi submtriks yg tetp setelh bris ke i d kolom ke j dicoret dri A. Bilg (-) i j M ij diytk oleh C ij d dimk kofktor etri ij (Ato,99777) Jik b b b B = b b b mk b b b b b b b b M = B = b b b = = bb bb b b b b b Deg megguk defiisi mk C = (-) det(m ) C = (-) b b b ) ( b C = b b b ) ( b Jik persm. d. diterpk pd mtriks A yg berukur x, dri persm. k diperoleh det( A ) = det = = ) det( M ) ( ) det( M ) ( ) det( ) ( M

43 = det det det seljuty deg megguk persm. diperoleh rumus ) ( ) ( ) ( ) det( A = = (.) yg terdiri dri em suku. (Chrles G. Culle dlm Kuriw, 9) Cotoh Hituglh = 6 det B = det 6 det 6 det det(b) 6 det = 6det det det 6det det

44 det det det det det 6det [ 6( ) ( ) ] [ (8 ) 6(6 ) ( 8 ] = ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) 6( ) ] = 8 = Slh stu cr li dlm meetuk determi sutu mtriks x dlh deg mereduksi betuk mtriks tersebut mejdi mtriks bru yg mempuyi peghitug determi lebih mudh, mislk dlm betuk mtriks segitig, dim determi dri mtriks segitig dlh hsil kli etrietri pd digol utmy (Ato, ) Utuk mereduksi sebuh mtriks, dpt dilkuk deg opersi bris elemeter (OBE). Opersi bris elemeter merupk opersi ritmtik (pejumlh d perkli) yg dikek pd setip usur dlm sutu bris pd sebuh mtriks. Opersi bris elemeter meliputi. Pertukr bris. Perkli sutu bris deg kostt tk ol. Pejumlh sutu bris pd bris yg li Secr sederh, determi sutu mtriks merupk hsil kli setip usur digol pd sutu mtriks segitig ts / bwh. Sehigg opersi bris elemeter pd sebuh mtriks k mempegruhi ili determiy. Pegruh opersi bris elemeter pd sutu mtriks tr li

45 ) Jik A dlh mtriks yg dihsilk bil bris tuggl A diklik oleh kostt k, mk det(a ) = k det(a) ) Jik A dlh mtriks yg dihsilk bil du bris A dipertukrk, mk det(a)= - det(a) ) Jik A dlh mtriks yg dihsilk bil kelipt sutu bris A ditmbhk pd bris li, mk det(a ) = det(a) (Ato, ) Cotoh Hituglh det(a) dim A = Mk deg meruduksi det (A) = 6 9 = Bris pertm d bris kedu A dipertukrk = 6 Fktor bersm sebesr dri bris pertm mtriks terdhulu dimbil mellui td det tersebut = - kli bris pertm dri mtriks terdhulu ditmbhk pd bris ketig = ( )( ) Fktor bersm sebesr - dri bris terkhir mtriks terdhulu dimbil mellui td det = ( )( )() = 6

46

47 . Mtriks Grf Utuk meytk sutu grf, seli deg gmbr dpt jug diguk mtriks. Mtriks yg dibetuk dri byky sisi yg djcet disebut mtriks djcecy, sedgk mtriks grf yg dibetuk dri derjt titik disebut mtriks derjt. Secr mtemtis mtriks djcecy d mtriks grf didefiisik sebgi berikut Defiisi Mislk G sutu grf tp loop deg V(G) =,,., } d { E(G) = e, e,., e }. Mtriks Adjcecy grf G dlh mtriks x, { A(G) = [ ij ], deg ij merupk byk sisi yg meghubugk i d j. Mtriks Derjt grf G dlh mtriks x. D(G) = [ ij ] deg ij = d( i ), jik. i =, jik i j j Cotoh (Purwto, 998) Diberik sebuh grf G Gmbr. Grf G

48 Berdsrk defiisi di ts betuk mtrix Adjcecy dri grf G dlh Dim ij merupk byk sisi yg meghubugk lgsug i d j, mk =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =, =. Sehigg A(G) = Sedgk mtriks Derjt dri grf G dlh d( ) d( ) d( ) d( ) Dim d( ) =, d( ) =, d( ) =, d( ) =, sehigg

49 D(G) =.6 Teorem Mtriks-Poho Utuk meetuk byky poho retg pd sutu grf terhubug, dpt dilkuk deg pliksi mtriks-poho, yitu deg meghitug ili kofktor dri mtriks D(G) A(G), dim ili kofktor dri mtriks D(G) A(G) tersebut dlh sm deg byky poho retg yg bis didptk dri sutu grf G. Secr legkp hl tersebut dijelsk dlm teorem berikut ii Teorem Byky poho retg τ(g) dri sutu grf G dlh sm deg ili setip kofktor dri mtriks D(G) A(G) (Skie, 99) Dlm teorem yg disebutk Skie ii, tidk disebutk lebih jels megei kofktor yg dihitug utuk meetuk byky poho retg dri sutu grf G. Semetr kit thu tr kofktor C deg C dri sutu mtriks kemugki bis sj berbed. Lebih terperici teorem Mtriks-Poho dismpik oleh Viek Dhd sebgi berikut Teorem Mislk L(G) dlh mtriks Lplce dim L(G) = D(G) A(G). D Ĺ(G) didefiisik sebgi mtriks yg diperoleh deg meghpus bris d kolom pertm dri L(G). Mk, byky poho retg τ(g) = det Ĺ(G).

50 Dlm teorem Viek Dhd determi Ĺ(G) dlh sm deg ili Mior Usur M dri mtriks L(G) d sm jug deg ili dri kofktor C. Sehigg dri pejels teorem mtriks-poho oleh Viek Dhd d Skie dpt ditrik kesimpul bhw byky poho retg τ(g) dri sutu grf G dlh sm deg ili kofktor C dri mtriks D(G) A(G).

51 BAB III PEMBAHASAN Pd bb ii dibhs tetg pliksi mtriks poho utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit K deg d N. Adpu lgkh-lgkh meetuk byky poho retg dri grf komplit K deg d N dlh sebgi berikut. Meggmbr grf komplit K deg d N.. Meetuk mtriks djcecy A(G) pd grf komplit K.. Meetuk mtriks derjt dri D(G) pd grf komplit K.. Meetuk mtriks hsil dri D(G) A(G) dri grf komplit K.. Meghitug kofktor dri mtriks D(G) A(G), dim ili kofktor dri mtriks D(G) A(G) dlh jumlh byky poho retg dri grf komplit K.. Meliht pol byky poho retg dri grf komplit K. 6. Merumusk pol ke dlm teorem. 7. Membuktik teorem. Sebelum meetuk byky poho retg pd grf komplit K deg d N deg megguk pliksi mtrix poho, berdsrk defiisi bhw byky poho retg sm deg ili setip kofktor dri mtriks D(K ) A(K ), mk peulis disii memilih ili C utuk meetuk byky poho retg pd grf komplit K.

52 . Poho retg dri Grf Komplit (K ) berikut Utuk grf komplit K dpt digmbrk grfy seperti pd gmbr. Gmbr. Grf Komlpit K Pd grf komplit K meghsilk mtriks djcecy sebgi berikut A(K ) = Sedgk utuk mtriks derjty dlh sebgi berikut D(K ) = Setelh medptk mtrix A(K ) d D(K ) mk k dicri ili kofktor dri mtriks D(K ) (AK ) utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit K. D(K ) A(K ) = = Mk C dri D(K ) A(K ) = (-) det [ ] = Jdi byky poho retg pd grf komplit K dlh =

53 Gmbr. Grf Komlpit K. Poho Retg dri Grf Komplit (K ) Utuk grf komplit K dpt digmbrk grfy seperti gmbr. berikut K Pd grf komplit K meghsilk mtriks djcecy sebgi berikut A(K ) = Sedgk utuk grf derjty dlh sebgi berikut D(K ) = Setelh medptk mtrix A(K ) d D(K ) mk k dicri ili kofktor dri mtriks D(K ) A(K ) utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit K. D(K ) A(K ) = = Mk C dri D(K ) A(K ) = (-) det

54 = ( ) = Jdi byky poho retg pd grf komplit K dlh = Secr terperici poho retg dri grf komplit K dpt digmbrk sebgi berikut T Gmbr. T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)- A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T Gmbr. T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh

55 Gmbr. T D(T)- A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)- A(T) = = Sehigg didptk C dri T = (-) det M = Hsil perhitug dits meujukk bhw ili C dri setip poho retg K dlh, d ili kofktor C dri K dlh sm deg jumlh ili kofktor C dri setip poho retgy.

56 . Poho Retg dri Grf Komplit (K ) Utuk grf komplit K dpt digmbrk grfy seperti gmbr. berikut K Gmbr.6 Grf Komlpit K Pd grf komplit K meghsilk mtriks djcecy sebgi berikut A(K ) = Sedgk utuk mtriks derjty dlh sebgi berikut D(K ) = Setelh medptk mtrix A(K ) d D(K ) mk k dicri ili kofktor dri mtriks D(K ) (AK ) utuk meetuk byky poho retg dri grf komplit K. D(K ) (AK ) = =

57 Mk C dri D(K ) A(K ) = (-) det = det det det = ) ( ) ( ) (9 = 6 = Jdi byky poho retg pd grf komplit K dlh = 6 Secr terperici poho retg dri grf komplit K dpt digmbrk sebgi berikut T Gmbr.7 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T) - A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M =

58 T Gmbr.8 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T Gmbr.9 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)- A(T) =

59 = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T Gmbr T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T) A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T Gmbr. T

60 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)- A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)- A(T) = (-) det M = T 6 Gmbr. T6 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T6 dlh D(T6)- A(T6) = = Sehigg didptk C dri D(T6) A(T6) = (-) det M = T 7

61 Gmbr. T7 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T7 dlh D(T7) - A(T7) = = Sehigg didptk C dri D(T7) - A(T7) = (-) det M = T 8 Gmbr. T 8 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T8 dlh D(T8)-A(T8) = = Sehigg didptk C dri D(T8)-A(T8) = (-) det M =

62 T 9 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T9 dlh D(T9) A(T9) = = Sehigg didptk C dri D(T9) A(T9) = (-) det M = T Gmbr.6 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M = Gmbr. T9

63 T Gmbr. 7 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M = T Gmbr.8 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) =

64 = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M = T Gmbr.9 T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M = T Gmbr. T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh

65 D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M = T Gmbr. T Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T dlh D(T)-A(T) = = Sehigg didptk C dri D(T)-A(T) = (-) det M =

66 T 6 Gmbr. T6 Mtriks derjt dikurgi mtriks djcecy dri T6 dlh D(T6)-A(T6) = = Sehigg didptk C dri D(T6)-A(T6) = (-) det M = Hsil perhitug dits meujukk bhw ili C dri setip poho retg K dlh, d ili kofktor C dri K dlh sm deg jumlh ili kofktor C dri setip poho retgy.. Poho Retg dri Grf Komplit (K ) Utuk grf komplit K dpt digmbrk grfy seperti gmbr. berikut K

67 Gmbr. Grf Komplit K Pd grf komplit K meghsilk mtriks djcecy sebgi berikut A(K ) = Sedgk utuk mtriks derjty dlh sebgi berikut D(K ) = D(K ) - A(K ) = = Mk C dri D(K ) A(K )

68 = (-) det = det det det det = det det det det det det det det det det det det = [ ] [ ] ) ( ) ( ) (6 ) ( ) ( ) (6 [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = Jdi byky poho retg pd grf komplit K dlh =. Poho Retg dri Grf Komplit (K 6 ) Utuk grf komplit K 6 dpt digmbrk grfy seperti gmbr. berikut

69 6 Gmbr. Grf Komplit (K 6 ) 6 6 Pd grf komplit K meghsilk mtriks djcecy sebgi berikut A(K 6 ) = 6 Sedgk utuk mtriks derjty dlh sebgi berikut D(K 6 ) = 6

70 D(K 6 ) - A(K 6 ) = = Mk C dri D(K 6 ) A(K 6 ) = (-) det = det det det det det

71 = det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det

72 = det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det

73 det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det det = )] ( ) ( ) ( [ )] ( ) ( ) [( { -(-)]} ) - ( ) [-( -(-)] - (- -) [-(--) - ) ( ) ( ) ( [ )] ( ) ( ) [( { -[-(--)-(--)-(-)][-()-()-(-)]} -{-[-(-)(--)-()]-[-(-)(--)-()] [-(--)(--)-(--)][-()()-(-)]} {-[-(--)-(--)-(-)]-[-(--)-(--)-(-)]- [-(--)(--)-(-)][-(--)-(--)-(-)]} -{-[()-()-(-)]-[-(--)-(--)-(-) -[-()()-(-)][-(-)(-)(-)]} =

74 = 96 Jdi byky poho retg pd grf komplit K 6 dlh = 96 Berdsk dt dits yitu byky poho retg dri grf komplit (K ) dim d N, mk diperoleh tbel berikut Tbel. Byky Poho Retg grf Komplit (K ) No Grf Komplit (K ) Byky Poho Retg (K ) K tu K tu K 6 tu K tu K 6 96 tu 6 Dri tbel dits terliht bhw pol byky poho retg dri grf komplit (K ) dlh = - Teorem Mislk K dlh grf komplit berorder, mk byky poho retg K dlh - Bukti komplit (K ) Misl K dlh grf komplit order, mk mtriks djcecy dri grf -

75 - A(K ) = Sedgk utuk mtrix derjty dlh D(K ) = Sehigg

76 D(K ) A((K ) = - = Mk, C = (-) det(m )

77 = (-) det deg byky kolom dlh - d byky bris - tu mtriks deg orde -. Mellui opersi bris elemeter, M direduksi mejdi mtriks segitig ts diperoleh, ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Dim det M tidk li dlh hsil perkli digol mtriks segitig ts tersebut. Jdi, Det M = -. ) (. ) (. ) (. ) (... ) ( )) ( (. ) ( )) ( ( = -. (-(-))

78 = -. = - Jdi terbukti bhw byky poho retg (K ) = -

79 . Kji Kegm Slh stu cbg ilmu mtemtik yg memiliki byk pliksi dlm kehidup sehri-hri dlh teori grf. Byk sekli mslh yg bis direpresetsik dlm betuk grf. Setelh permslh direpresetsik dlm betuk grf, kemudi deg teori grf mslh tersebut dikji d diilisis sehigg ditemuk pemechy. Permslh yg dirumusk deg teori grf bisy dibut sederh, yitu dimbil spek-spek yg diperluk d dibug spek-spek liy. Grf komplit dlh slh stu betuk grf yg bis diguk utuk meggmbrk beberp permslh di dui yt. Secr mtemtis, grf komplit (Complete Grph) didefiisik sebgi grf deg du titik yg berbed slig terhubug lgsug. Grf komplit deg titik diytk deg K (Chrtrd d Lesik, 986 9). Cotoh G G G G Gmbr Grf Komplit Jik diperhtik lebih seksm, dri grf komplit tersebut dpt diliht beberp sift tr li () Setip titik di grf komplit sellu terhubug lgsug deg titik-titik yg liy

80 () Setip titik dlm grf komplit memiliki derjt yg sm. Derjt dlh byky sisi yg terkit lgsug deg titik tersebut. Dlm Islm byk jr tu ml dlm kehidup sehri-hri yg bis digmbrk deg grf komplit. Slh stuy dlh tetg tuju Allh yg meciptk musi bersuku-suku d berbgs-bgs utuk slig megl. Sebgim disebutk dlm Q.S Al Hujurt Allh berfirm. Hi musi, Sesugguhy Kmi meciptk kmu dri seorg lkilki d seorg perempu d mejdik kmu berbgs-bgs d bersuku-suku supy kmu slig kel-megel. Sesugguhy org yg plig muli ditr kmu disisi Allh ilh org yg plig tqw ditr kmu. Sesugguhy Allh Mh megethui lgi Mh Megel. Dlm yt tersebut Allh mejelsk bhw Di meciptk musi dri seorg lki-lki d perempu, kemudi deg kekus d kehedk- Ny terlhir musi yg berbed rs d wr kulit, d sudh mejdi suh- Ny bhw segl yg diciptky tidk si-si. Perbed itu dlh gr semu musi stu sm li melkuk t ruf (slig megel). Kre pd dsry musi tidk bis hidup tp bermsyrkt d btu org li. Seli itu jug, wr kulit, rs, bhs, egr, d liy tidk d dlm pertimbg Allh. Di s hy d stu timbg utuk memguji seluruh ili d megethui keutm musi yitu, Sesugguhy org yg plig muli ditr kmu disisi Allh ilh org yg plig tqw ditr kmu (Syyid Qutb, 8 )

81 Dlm Islm, grf komplit dpt direpresetsik utuk meggmbrk tuju Allh meciptk musi berbgs-bgs d bersuku-suku sebgim disebutk dlm Al Qur Q.S Al Hujurt tersebut. Misl setip suku/ bgs pd yt tersebut di lmbgk sebgi titik di dlm grf komplit, mk sesui deg sift grf komplit setip bgs/ suku itu hruslh slig berhubug (megel) deg bgs/suku yg li. Sedgk ukur kemuli disisi Allh yg tidk memdg suku, rs d golog melik berdsrk ketqwy direpresetsik dlm grf komplit deg byky derjt setip titik yg iliy sm. Sebgim digmbrk pd grf komplit K berikut, Suku e, derjt titik = Suku, derjt titik = Suku d, derjt titik = Suku b, derjt titik = Suku c, derjt titik = Gmbr.6 Represetsi Grf Komplit K dri Q.S 9 Dlm grf komplit, semu titik psti terhubug oleh sebuh sisi deg titik-titik yg liy. Jik grf komplit dirtik sebgi perstu semu titik, mk pd grf komplit meggmbrk bhw perstu hy bis dibetuk pbil semu titik terhubug deg semu titik yg liy.

82 Jik ditelh lebih ljut, sebuh grf komplit jik d stu sisi sj yg dihpus tu slh stu titik tidk terhubug deg stu titik yg liy, mk perstu yg digmbrk pd grf komplit k terpech, sehigg bis dirtik bhw jik d stu golog yg tidk mu mejli hubug deg golog yg li, perstu d kestu dlm sebuh egr tidk k terwujud. Seljuty jik pegerti ii di iterpretsik dlm jr islm, mk perstu yg dibetuk oleh keterhubug semu golog buk hy hubug kre slig megel sj, tetpi lebih dri itu yitu hubug yg diperstuk oleh jr gm, yitu islm. Hubug yg dijli oleh setip golog, suku mupu bgs k tetp kokoh jik didsrk ts jr islm d tetp berpegg teguh didlmy. Hl ii sebgim di jelsk dlm Q.S Ali Imr. D berpegglh kmu semuy kepd tli (gm) Allh, d jglh kmu berceri beri, d igtlh k ikmt Allh kepdmu ketik kmu dhulu (ms Jhiliyh) bermusuh-musuh, Mk Allh memperstuk htimu, llu mejdilh kmu kre ikmt Allh, org-org yg bersudr; d kmu telh berd di tepi jurg erk, llu Allh meyelmtk kmu dri pdy. Demikilh Allh meergk yt-yt-ny kepdmu, gr kmu medpt petujuk. Disebutk dlm yt tersebut, bhw ukhuwh deg berpegg pd tli Allh ii dlh ikmt yg dikruik-ny kepd kum muslimi gkt pertm dhulu. Dlm yt ii, Allh jug megigtk bhw pd

83 wly merek d suku-suku merek dhulu slig bermusuh. Tetpi, kemudi Allh memperstuk hti suku-suku tersbut deg Islm. Kre hy Islm sjlh yg dpt memperstuk hti-hti yg slig bermusuh d berjuh ii. Tidk d tli yg dpt megikt merek mejdi stu keculi tli Allh, sehigg deg ikmt Allh ii merek mejdi org-org yg bersudr. (Syyid Quthb, 8 ) Seli itu, dlm teori grf, hubug tr grf komplit d poho retgy jug dpt diguk utuk meggmbrk hubug bi deg pr ulm sebgi peerus rislhy. Dlm teori grf, poho retg dri sebuh grf komplit (K ) dlh grf bgi yg dibetuk dri grf komplit (K ), disebut subgrf, dim grf (subgrf) tersebut memut semu titik yg d pd grf komplit (K ) d di merupk poho. Seli itu, sebuh poho retg dri sutu grf hruslh memiliki titik yg sm dri grf pembetuky. Tetpi byky sisi tidk hrus sm deg grf yg mejdi pembetuky (dlm ksus ii, peulis merepresetsik poho retg dri grf komplit). Di dlm Al Qur, Allh memerithk utuk metti rsulullh sebgim disebutk dlm Q.S Ais yt 9, Ali Imr yt,, Al Ahzb, Muhmmd. Dlm yt-yt tersebut perith utuk metti Rsulullh sellu digdeg setelh perith utuk metti Allh. Nmu secr jels perith utuk metti rsul jug disebutk dlm Q.S. A-Nis yt 6 yg berbuyi.

84 6. D Kmi tidk megutus seseorg Rsul melik utuk ditti deg seizi Allh Setelh bi wft, sebgim disebutk dlm sebuh hdits, bi tidklh meigglk wris berup dir mupu dirhm (hrt), tetpi pr ulm yg berpegg teguh pd Al Qur d As-suh sebgi peerus rislhy, sebgim diriwytk oleh Bukhri d Muslim, Sesugguhy ulm dlh pewris pr bi, sugguh pr bi tidk mewrisk dir d dirhm, d tidk pul seteghy. (H.R Bukhri 7, Muslim ) Seorg ulm, sebgi peerus rislh bi tetu hrus memiliki siftsift utm yg dimiliki bi. Mislk sift-sift itu direpresetsik sebgi titik-titik dlm sebuh grf komplit, mk titik-titik itu jug dimiliki oleh poho retg dri grf tersebut. Utuk lebih jelsy bis digmbrk dlm grf komplit K berikut, Siddiq Tbligh Amh Fthoh Gmbr.7. Represetsi sift-sift Nbi dlm grf komplt K Mk poho retg dri grf komplit K dlh

85 Gmbr.8. Poho retg dri grf komplit K

86 dim dirtik sebgi mh, = fthoh, = tbligh, = siddiq. Dri cotoh grf komplit d poho retgy tersebut, ditujukk bhw sift yitu mh, fthoh, tbligh d siddiq semuy d didlm diri bi sebgim digmbrk bhw semu titik-titik itu terhubug. Sedgk byky sisi yg terkit lgsug deg titik yg d dlh meggmbrk derjt titik itu, rtiy bi memiliki sift deg derjt yg sm,, yg bis dijdik ptok derjt yg sempur. Seljuty dlm poho retg yg terbetuk yg meggmbrk ulm sebgi pewris bi, sift itu tetp d d terhubug yg rtiy jug hrus dimiliki oleh seorg ulm. Seli itu, berbed deg bi, sift yg dimiliki oleh pr ulm tersebut memiliki derjt yg lebih kecil d berbedbed tr stu ulm deg ulm yg li, hl ii tidk mejdi mslh selm sift yg dimilliki bi tersebut tetp d didlm diri seorg ulm sebgi peerus d pewris rislh bi.

87 BAB IV PENUTUP. Kesimpul Berdsrk hsil pembhs pd bb III, mk dpt dimbil kesimpul tr li. Byky poho retg pd grf komplit (K ) =. Byky poho retg pd grf komplit (K ) =. Byky poho retg pd grf komplit (K ) = 6. Byky poho retg pd grf komplit (K ) =. Byky poho retg pd grf komplit (K 6 ) = 96 Berdsrk hsil peetu byky poho retg grf komplit (K ) deg N, mk dpt disimpulk bhw betuk umum byky poho retg pd grf komplit K deg d N dlh Poho retg (K ) = -. Sr Apliksi mtriks poho dpt diguk utuk meetuk byky poho retg pd sebrg grf terhubug. Sehigg, utuk peeliti seljuty peulis meyrk peggu mtriks poho utuk meetuk byky poho retg pd jeis-jeis grf yg li.

88 DAFTAR PUSTAKA Ato, Howrd Aljbr Lier Elemeter, Jkrt Erlgg Chrtrd, G. d Lesik, L Grph d Digrph d Editio. Clifori Wdsworth. Ic. Dhd, Viek. The Mtrix-Tree Theorem. (Oliehttpwww./mth.msu.edu/~dhd/ dikses 6 Nopember 9) Dwi Astuti, Yui. 6. Logik d Algoritm. Poho (Tree). (Oliehttp/ dikses Nopember 9). Kuriw, Hris. 9. Spectrum Grf Komplit (K) deg d UIN Mul Mlik Ibrhim Mlg Skripsi, tidk diterbitk. Purwto Mtemtik Diskrit. Mlg IKIP MALANG. Ν. Quthb, Syyid. 8. Tfsir Fi Zhilli Qur. Jilid. Bdug Gem Isi Press Tfsir Fi Zhilli Qur. Jilid. Bdug Gem Isi Press Shihb, Qurysh.. Membumik Al Qur. Bdug Miz. Skie. 99. Implemetig Discrete Mthemtics Combitorics d Grph Theory with Mthemtics. (Oliehttp/ dikses Desember 9) Sutro, Heri.. Mtriks. Mlg UM Press Turmudi dkk. 6. Islm, Sis & Tekologi. Mlg UIN Press Wllis, W. D., Bskoro, Edy T., Miller, d Slmi. Edge-Mgic Totl Lbelig. Austrli Jourl of Combitorics Volume () -. Wilso, R. J d Wtkis,J. J. 99. Grphs A Itroductory Approch First Course i Discrete Mthemtics. Cd Joh Willy d Sos, Ic.

89 DEPARTEMEN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gjy No. Dioyo Mlg () Fx. ()7 BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nm Umr Roj NIM 8 Fkults/ Jurus Sis D Tekologi/ Mtemtik Judul Skripsi Apliksi Mtriks Poho utuk meetuk byky Poho Retg Pd Grf Komplit (K ) Pembimbig I Drs. H. Turmudi, M.Si Pembimbig II Dr. Muirul Abidi, M.Ag No Tggl HAL Td Tg 9 Desember Kosultsi Mslh. Desember Kosultsi BAB I. Juri Reisi BAB I. 7 Juri Kosultsi BAB II. Juri Reisi BAB II. 6 9 Juri Reisi BAB II 6. 7 Februri Kosultsi BAB III 7. 8 Februri Kosultsi Kegm 8. 9 Februri Reisi BAB III 9. Februri Reisi Kegm BAB III. 8 Februri Reisi Keseluruh. Mlg, 9 Februri Megethui, Ketu Jurus Mtemtik Abdusskir, M.Pd NIP. 976