PROGRAMA MATEMATIK MULTI TUJUAN

Transkripsi

1 PROGRAMA MATEMATIK MULTI TUJUAN Programa linier yang kita bahas sebelumnya mempunyai tujuan tunggal, baik persoalan memaksimalkan maupun persoalan meminimalkan. Pengambil keputusan sering menghadapi persoalan dengan tujuan lebih dari satu, baik yang sejalan maupun yang bertentangan. Misalnya meminimalkan biaya kesehatan di satu pihak sedangkan di lain pihak ingin memaksimalkan kualitas pelayanan kesehatan. Untuk membahas programa matematik multi tujuan, dibahas secara bertahap. Programa linier dengan tujuan tunggal: Contoh Sebuah perusahaan akan mengalokasikan dana iklan sebesar $. pada media TV dan radio untuk setiap $ biaya iklan akan menarik peminat sebanyak. orang pada iklan di TV dan 75 orang di radio. Pimpinan menetapkan tidak lebih 7% dana dialokasikan pada TV. Tentukan alokasi yang memaksimalkan peminat! Penyelesaian : Variabel : X j = jumlah dana iklan pada media j j=,2 f.t. maks. Z =. X X2 d.k. X + X2 X 7 Xj j=, 2 Sekarang persoalannya adalah target tujuan dari pimpinan yaitu jumlah peminat sebanyak.. orang. Dengan demikian kendala tujuan adalah:. X X2.. Jika kita lakukan penyelesaian pada persoalan ini tidak diperoleh penyelesaian yang layak. Persoalan sekarang adalah tujuan dari pimpinan adalah jumlah peminat yang diraih sebanyak... Dengan demikian fungsi tujuannya menjadi meminimalkan penyimpangan tujuan. Model Programa tujuan dari persoalan di atas:

2 Fungsi tujuan : min Z = X + X2 + d - + d + atau: min Z = d - + d + dengan kendala : - kendala sistem : X + X2 X 7 - kendala tujuan :. X X2 + d - - d + =.. X, X2, d -, d + di sini selain variabel keputusan terdapat variabel baru yaitu variabel penyimpangan, dengan : d - d + = variabel penyimpangan kurang dari tujuan = variabel penyimpangan lebih dari tujuan Kedua variabel tersebut berfungsi sebagai variabel slack dan variabel surplus, yang samasama ada pada kendala tujuan. Jika X dan X2 dipilih sedemikian rupa diperoleh peminat kurang dari.., d - mewakili jumlah kekurangan peminat dari.., dan jika X dan X2 dipilih sedemikian rupa diperoleh peminat lebih dari.., d + mewakili jumlah kelebihan peminat dari... Jika kita ingin target tujuan tepat.., maka nilai kedua variabel penyimpangan tersebut = nol. Pada persoalan programa tujuan, fungsi tujuan selalu meminimalkan dan hanya terdiri dari variabel penyimpangan. Jika kelebihan pencapaian tujuan dapat diterima, maka hanya terdapat variabel d - pada fungsi tujuan (sedangkan pada kendala tujuan, kedua variabel tersebut harus terdapat pada kendala), dengan demikian kita ingin meminimalkan kekurangan pencapaian tujuan. Sebaliknya jika kekurangan pencapaian tujuan dapat diterima, maka hanya terdapat variabel d + tujuan. pada fungsi tujuan, dengan demikian kita ingin meminimalkan kelebihan dari pencapaian Pada programa linier dengan tujuan tunggal tidak terdapat priorotas pada fungsi tujuan. Pada pembahasan berikut, di mana terdapat tujuan lebih dari satu maka pada fungsi tujuannya kita beri faktor priorotas pada fungsi tujuannya. 2

3 Programa Linier Multi Tujuan : Jika terdapat tujuan lebih dari satu, pada setiap kendala tujuan terdapat variabel penyimpangan. Setiap variabel penyimpangan yang akan dioptimalkan (diminimalkan), pada fungsi tujuan diberi faktor bobot priorotas, dimana yang mempunyai prioritas lebih tinggi lebih besar faktor bobot prioritasnya. Jika terdapat tujuan mempunyai bobot yang sama, maka faktornya sama besar. Contoh 2 : Dari contoh sebelumnya, lebih lanjut pimpinan menetapkan iklan tersebut tidak sukses jika peminat kurang dari 75. dan dikatakan sukses jika peminat lebih dari... Pimpinan menetapkan tujuan berikut disusun berdasarkan urutan prioritasnya: - Meminimumkan kekurangan pencapaian dari Menghindari pengeluaran biaya lebih dari $. - Menghindari pengeluaran lebih dari $7. pada TV - Meminimumkan kekurangan pencapaian dari.. Penyelesaian : Tujuan dan 4 secara bertingkat mengatakan bahwa pimpinan mempunyai prioritas utama pencapaian tidak kurang dari 75.,sedangkan prioritas terakhir pimpinan tidak menyukai pencapaian kurang dari... Model: Fungsi tujuan : min Z = Pd - + P2d2 + + P3d3 + + P4d4 - dengan kendala : - kendala tujuan :. X X2 + d - - d + = 75. X + X2 + d2 - - d2 + = X2 + d3 - - d3 + = 7. X X2 + d4 - - d4 + =.. X, X2, d -, d +, d2 -, d2 +, d4 + P k = prioritas tujuan j=; 2 ; 3 ;4 P >> P2 >> P3 >> P4 3

4 Contoh 3 : Dari persoalan sebelumnya pimpinan berpendapat 2 kelompok umur peminat merupakan kelompok yang penting yaitu kelompok 8 s/d 2 tahun dan 25 s/d 3 tahun. Tabel berikut memperlihatkan jumlah peminat yang ditarik oleh $. iklan pada setiap kelompok umur. Pimpinan menetapkan untuk kedua kelompok umur tersebut paling sedikit 25. dan keduanya berada pada prioritas kelima, namun kelompok umur 25 s/d 3 tahun bobotnya 2 kali kelompok umur 8 s.d. 2 tahun. Umur TV Radio 8 2 th th 3..5 Model: f.t. min Z = Pd - + P2d2 + + P3d3 + + P4d4 - + P5d P5d6 - d.k.. X X2 + d - - d2 + = 75. X + X2 + d2 - - d2 + = X + d3 - - d3 + = 7. X X2 + d4 - - d4 + = X + 3 X2 + d5 - - d5 + = X +.5 X2 + d6 - - d6 + = 25. X, X2, d -, d +, d6 -, d6 + Contoh apikasi lainnya dari programa tujuan : Contoh 4 Sebuah perusahaan mobill akan menempatkan pesanan 4 macam komponen pada 4 buah perusahaan. Tabel berikut memperlihatkan harga yang ditawarkan dan jumlah permintaan setiap komponen tersebut. Setiap komponen tidak perlu dibeli dari hanya satu pemasok. Komp. Perush Juml.Permintaan (unit) $25 $28 - $ $8 $75 $ $3 $28 $ $4 - - $

5 Perusahaan-perusahaan tersebut mempunyai beberapa kendala yaitu: - Perusahaan hanya dapat mensuplai komponen 4 maks Perusahaan 2 hanya dapat mensuplai komponen maks Perusahaan 4 hanya dapat mensuplai komponen 2 maks. 5. dan komponen 4 maksimal 5. - Perusahaan 4 menyatakan akan mensuplai pesanan dengan jumlah order paling sedikit $5.. Dalam menempatkan pesanan, pimpinan menetapkan tujuan dengan urutan kepentingan sebagai berikut: - Meminimumkan jumlah kontrak kepada semua pemasok lebih dari $3,5 juta - Meminimumkan jumlah pesanan pada pemasok 4 kurang dari $5. - Meminimumkan jumlah pesanan pada setiap pemasok lebih dari $,2 juta - Oleh karena hubungan yang baik dengan pemasok, meminimumkan pesanan kurang dari $ juta Variabel : Xij = jumlah komponen i yang diberikan pada pemasok j Kendala sistem: Jumlah Komponen: Komponen : X + X2 + X4 = 5. Komponen 2: X22 + X23 + X24 = 3. Komponen 3: X3 + X32 + X33 =. Komponen 4: X4 + X44 = 2. Kemampuan pemasok: Pemasok : X4 8. Pemasok 2 : X2 3. Pemasok 4 : X24 2. X44 5. Order kepada pemasok 4 minimum $ 5. 3 X X X

6 (berlebih sehingga tidak diperlukan karena terdapat kendala tujuan 2) Kendala tujuan: - Kelebihan order dari $3,5 juta: 25 X + 28 X X44 + d - - d + = 3,5 juta - Order pada pemasok 4 kurang dari $5. 3 X X X44 + d2 - - d2 + = 5. - Order pada setiap pemasok lebih dari $,2 juta 25 X + 3 X3 + 4 X4 + d3 - - d3 + =,2 juta 28 X2 + 8 X X32 + d4 - - d4 + =,2 juta 75 X X33 + d5 - - d5 + =,2 juta 3 X X X44 + d6 - - d6 + =,2 juta - Hubungan baik dengan pemasok : 25 X + 3 X3 + 4 X4 + d7 - - d7 + =, juta fungsi tujuan : min Z = Pd + + P2d2 - + P3[ d3 + + d4 + + d5 + + d6 + ] + P4d7 - dengan demikian model menjadi : fungsi tujuan : min Z = Pd + + P2d2 - + P3 [ d3 + + d4 + + d5 + + d6 + ] + P4d7 - dengan kendala : - Kendala sistem : Kendala permintaan komponen : Komp. : X + X2 + X4 =5. Komp. 2 : X22 + X23 + X24 =3. Komp. 3 : X3 + X32 +X33 =. Komp. 4 : X4+ X44 =2. Kendala persediaan perusahaan : X4 8. X2 3. 6

7 X24 5. X Kendala Tujuan : 25 X + 28 X X44 + d - - d2 + = 3,5 juta 3 X X X44 + d2 - - d2 + = X + 3 X X4 + d3 - - d3 + =,2 juta 28 X2 + 8 X X32 + d4 - - d4 + =,2 juta 75 X X d5 - - d5 + =,2 juta 3 X X X44 + d6 - - d66 + =,2 juta 25 X + 3 X X4 + d7 - - d7 + =, juta - Kendala non negatif : Xij i j d - k ; d + k k Kendala terakhir dapat diganti dengan d3 - + d7 - - d7 + = 2. Contoh 5 : Sebuah perguruan tinggi akan menerima sejumlah mahasiswa untuk tahun yang akan datang pada programa studi A, B, dan C yang berasal dari negara bagian tersebut dan dari luar negara bagian. Setiap program studi mempunyai kuota masing-masing sebesar 5, 4, dan 2 mahasiswa baru. Perguruan tinggi tersebut mempunyai tujuan jumlah mahsiswa yang diterima 2 orang. Perguruan tinggi tersebut mempunyai target 25% mahasiswa berasal dari luar negara bagian, dari 75% dari dalam negara bagian. Lebih lanjut perguruan tingggi tersebut berharap 4% mahasiswa adalah wanita dan 3 mahasiswa akan tinggal di asrama. Tabel menunjukkan persentase rata-rata jenis kelamin dari mahasiswa dari negara bagian dan luar negara bagian yang tinggal di asrama. Bagian pendaftaran menentukan batas maksimum mahasiswa pada berbagai program studi yang terdiri dari berbagai asal dan jenis kelamin untuk memenuhi kebutuhan minimum penerimaan seperti pada tabel 2. Tabel Presentase berdasarkan daerah dan jenis kelamin tinggal di asrama Daerah Laki-laki Perempuan Negara bagian 5 % 6 % Luar negara bagian 8 % 95 % 7

8 Tabel 2 Maksimal penerimaan untuk memenuhi penerimaan minimum Mahasiswa PS.A PS.B PS.C Laki-laki negara bagian Perempuan negara bagian 4 Laki-laki luar negara bagian 3 5 Perempuan luar negara bagian Tujuan dari perguran tinggi tersebut disusun menurut urutan prioritasnya sbb : - Menerima mahasiswa baru tepat 2 orang - Menerima mhsw sesuai dengan kuotanya dgn urutan prioritas pesanan A,B, dan C - Meminimumkan kekurangan pencapaian mahasiswa dari negara bagian dari 75 % - Meminimumkan kelebihan pencapaian mhsw dari luar negara bagian dari 4% - Meminimumkan kekurangan penerimaan mhsw dari 3 orang tinggal di asrama - Meminimumkan kekurangan penerimaan mahasiswa perempuan dari 4% - Membatasi kelebihan penerimaan tinggal di asrama sebanyak 5 orang Variabel : X ijk i =,2 j =,2 k =,2,3 = jenis kelamin j = asal negara bagian k = programa studi Fungsi Tujuan : min Z = P[d - +d2 + ] + 3P2[d3 - +d3 + ] + 2P2[d4 - -d4 + ] + P2[d2 - -d2 + ] + P3d5 - + P4 d6 + + P5d7 - + P6d8 - + P7d9 + dengan kendala : - Kendala sistem: X 8 X2 4 X3 2 X2 3 X22 X23 5 X2 4 X22 X23 X22 5 X222 5 X

9 Kendala Tujuan: X + X2 + X3 + X2 + X22 + X23 + X2 + X22 + X23 + X22 + X222 + X223 + d - - d + = 2 X + X2 + X2 + X22 + d2 - - d2 + = 5 X2 + X22 + X22 + X222 + d3 - - d3 + = 4 X3 + X23 + X23 + X223 + d4 - - d4 + = 2 X + X2 + X3 + X2 + X22 + X23 + d5 - - d5 + =.75 (X + + X223) atau.25x +.25X2 +.25X3 +.25X2 +.25X X23.75X2.75X22.75X23.75X22.75X222.75X223 + d5 - - d5 + = X2 + X22 + X23 + X22 + X222 + X223 + d6 - - d6 + =.25(X + + X223) atau -.25X -.25X2 -.25X3 -.25X2 -.25X X X2 +.75X X X X X223 + d6 - - d6 + =.5X +.5X2 +.5X3 +.6X2 +.6X22 +.6X23 +.8X2 +.8X22 +.8X X X X223 + d7 - - d7 + = 3 X2+X22+X23 + X22 + X222 + X223 + d8 - - d8 + =.4(X + + X223) atau -.4X -.4X2 -.4X3 +.6X2 +.6X22 +.6X23 -.4X2-.4X22 -.4X X22 +.6X X223 + d8 - - d8 + = d7 + + d8 - - d9 + = X ijk i=,2 j=,2 k=,2,3 d - l ; d + l i=,2, 9 9

10 Contoh 6 : Ahli gizi pada sebuah sekolah merencanakan menu makan siang untuk besokhari. Tabel 9-5 berikut adalah daftar makanan dan harganya serta berbagai data nutrisi. Ahli gizi tersebut menentukan untuk menyajikan paling sedikit satu macam makanan dari setiap grup makanan. Tepat satu macam dari grup daging dan grup minuman. Makanan yang hanya dapat lebih dari (dan makanan yang diikutsertakan dalam seluruh penyajian) adalah keju dan roti. Kebutuhan lain dalam perencanaan adalah paling sedikit 3% dari kebutuhan harian minimum (minimum daily allowance/mda) dari Calcium dan Vitamin. Dalam memnentukan berapa banyak setiap jenis makanan diikutsertakan dalam sajian makan ahli gizi menentukan tujuan dngan urutan priortas sebagai berikut: - Meminimumkan kelebihan biaya total dari $,8 - Meminimumkan kekurangan jumlah protein 5% dari MDA - Meminimumkan kelebihan jumlah lemak dari 25 gram - Meminimumkan kekurangan pottasium dari 4 mg - Meminimumkan kelebihan jumlah sodium dari 35 mg

11 Cost/ Protein Fat Minerals Vitamins(mG) Food Measure Measure Calories (gram) (gram Calcium Potassium Sodium B B 2 Niacin Dairy :. Whole milk 2. Ice cream 3. Cheese Meat : 4. Lean ground beef 5. Broiled chicken 6. Baked flounder Vegetables 7. Frenchfried potatoes 8. Green beans 9. Carrots, cooked Fruit :. Apple juice. Banana 2. Orange juice, fresh Grain : 3. Bread, whole wheat 4. Noodles 5. Pizza, cheese Minimum daily allowance (MDA) cup cup cube 3 oz. 3 oz. 3.5 oz. pcs cup cup cup 8 oz. slice cup slice $

12 Variabel : makanan j dipilih j =, 2, 4, 5,.., 2 Xj = makanan j tidak dipilih X3; X3 > dan integer; d - k ; d + k > k = ;2;.; 5 Kendala : Kendala sistem : ) X+X2+X3 > 2) X4+X5+X6 = 3) X7+X8+X9 > 4) X+X+X2 > 5) X3+X4+X5 > 6) X + X + 2 = 7) 385X + 75X2 + X4 + X5 + 22X6 + 9X7 + 45X8 + 38X9 + 5X + 8X + 27X2 + 23X3 + 6X4 + 57X5 > 24 8).8X +.8X2 +.X +.2X2 +.5X3 >.3 9) 425X +.3X2 +.X3 +.X5 +.X8 +.X5 >.48 ).2X+.3X2+5.3X4+7X5+2.5X6+.8X7+.6X8+.7X9+.7X+X2+.7X3 +.7X4 +.8X5 > 5. ).5X + 8X7 + 6X8 + 6X9 + 2X + X + 29X2 + 8X5 > 2 Kendala tujuan : 2).5X+.25X2+.5X3+.45X4+.22X5+.6X6+.X7+.35X8+.2X9+.8X+.2X +.4X2 +.5X3 +.4X4 +.2X5 + d - - d + =.8 3) 8X+6X2+4X3+24X4+23X5+3X6+X7+X8+X8+X9+2X2+ 2X3+7X4+8X5 + d2 - - d2 + = 35 4) X+ 8X2+6X3+X4+9X5+8X6+7X7+X3+2X4+6X5 + d3 - - d3 + = 25 5) 52.5X+7X2+3X3+34X4+35X5+585X6+5X7+24X8+ 6X9+2X+39X+5X2+4X3+96X5+ d4 - - d4 + = 4 6) 9X+4X2+8X3+X4+5X5+235X6+6X7+2X8+75X9+ 5X + X+`2X2`+`44X3`+`525X5 + d5 - - d5 + = 35 Terdapat kendala sistem dan 5 kendala tujuan. Kendala -5 menjamin paling sedikit jenis makanan yang dipilih, sedangkan kendala 2 menjamin hanya dari keduanya dipilih. Kendala 6 menjamin hanya satu jenis minuman yang dipilih. Kendala 7 s/d adalah kendala jumlah minimum dari kalsium dan vitamin, sedangkan kendala 2-6 adalah kendala tujuan. 2

13 Contoh 7 : Sebuah perusahaan memproduksi empat macam komponen yang memerlukan mesin bubut dan mesin drilling. Kedua mesin tersebut beroperasi jam per hari. Pada tabel diberikan waktu yang diperlukan dalam menit untuk memproduksi setiap komponen pada kedua mesin tersebut. Dikehendaki kedua mesin tersebut bekerja dalam waktu yang seimbang, di mana dibatasi perbedaan waktu produksi kedua mesin tersebut berbeda paling banyak 3 menit. Permintaan setiap komponen tersebut paling sdikit unit. Di samping itu jumlah produksi komponen tidak dapat melebihi julah produksi komponen 2. buatlah mpdel programa tujuan dari persoalan di atas. Waktu produksi (menit/unit) Komponen Mesin Bubut Mesin drilling Penyelesaian : Variabel : Xj = jumlah produksi komponen j j = ; 2; 3; 4 Kendala waktu produksi : - mesin bubut : 5X + 6X2 + 4X3 + 7X4 < 6 - mesin drilling : 3X + 2X2 + 6X3 + 4X4 < 6 Selisih waktu produksi : 2X + 4X2 2X3 + 3X4 Kendala permintaan : Xj > X - X2 < Kendala tujuan : 2X + 4X2 2X3 + 3X4 + d - + d + = 3 Kendala : Xj; d - ; d + > j = ; 2; 3; 4 Fungsi tujuan : min. Z = d - + d + Dengan demikian model menjadi : 3

14 Fungsi tujuan : min. Z = d - + d + - Kendala sistem : 5X + 6X2 + 4X3 + 7X4 < 6 3X + 2X2 + 6X3 + 4X4 < 6 Xj > ; j = ; 2; 3; 4 X - X2 < Kendala tujuan : 2X + 4X2 2X3 + 3X4 + d - + d + = 3 Kendala non negatif Xj; d - ; d + > j = ; 2; 3; 4 Contoh 8 : Sebuah perusahaan memproduksi mobil mainan. Komponen dari mobil mainan tersebut antara lain adalah roda dan tempat duduk. Setiap mobil mempunyai empat roda dan dua tempat duduk. Yang akan diproduksi pada tiga shift produksi. Kapasitas produksi pada setiap batch produksi pada ketiga shift tersebut berbeda-beda, seperti pada tabel. Pada shift jumlah batch 4

15 PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAMA TUJUAN : Penyelesaian secara grafis : Contoh 7 : Model Programa Tujuan : Min Z = p d - + P2 d2 - + P3 d3 - Kendala sistem : 2X + 3X2 3 6X + 4X2 6 Kendala tujuan : X + X2 + d - - d + = X2 + d2 - - d2 + = 7 X + d3 - - d3 + = 8 X, X2, d -, d +, d2 -, d2 +, d3 -,d3 + Penyelesaian : Pertama dicari bidang penyelesaian dari kendala sistem Kemudian dimasukkan kendala tujuan, lalu dicari bidang penyelesaian dari kendala tujuan tersebut berurutan menurut skala prioritasnya - Gambar a menggambarkan daerah penyelesaian dari kendala sistem.yaitu bidang yang berwarna gelap. - Pada gambar b kendala tujuan ditambahkan pada gambar a. Tanda panah yang menuju titik A (,) menunjukkan daerah penyimpangan kurang dari, sedangkan tanda panah yang menjauhi titik A menunjukkan daerah penyimpangan lebih dari. - Gambar c menunjukkan tujuan prioritas pertama yaitu meminimumkan d - dimasukkan ke daerah penyelesaian. Disini nilai d - pada garis persamaan X+X2 = adalah nol. Dengan demikian bidang yang berwarna lebih gelap adalah bidang penyelesaian yang baru. - Gambar d kendala tujuan prioritas kedua dimasukkan yaitu meminimumkan d2 -, dengan demikian diperoleh bidang penyelesaian ABC. - Gambar e kendala tujuan prioritas ketiga dimasukkan, yaitu meminimumkan d3 -. Pada gambar ini terlihat d3 - tidak dapat nol. D3 - paling kecil diperoleh pada titik C Dengan demikian titik C dalah titik optimal, dimana pada titik tersebut d3 - terkecil yang dapat diperoleh. 5

16 6

17 7

18 Contoh 8 : Dari contoh 2 pada hal. 3 modelnya : f. t. min Z = Pd - + P2d2 + + P3d3 + + P4d4 - d. k.. X X2 + d - - d + = 75. () X + X2 + d2 - - d2 + = (2) X2 + d3 - - d3 + = 7 (3). X X2 + d4 - - d4 + =.. (4) X, X2, d -, d +, d2 -, d2 +, d4 + P k = prioritas tujuan j=; 2 ; 3 ;4 P >> P2 >> P3 >> P4 8

19 Dari gambar (d) di atas, terlihat titik optimal adalah di titik C, yaitu porpotongan antara garis (2) dan dan garis (3) (2) x + x2 = x2 = 3 (3) x = 7 dengan demikian titik optimal adalah pada x = 7 dan x2 = 3 Penyelesaian dengan metode simpleks : Pada model programa linear jika variabel lebih dari 2 buah persoalan harus diperoleh dengan metode simpleks, demikian juga pada programa tujuan. Di sini bobot prioritas diberi angka, di mana P>> P2>> P3... >> Pn Jika pada model terdapat kendala dengan hubungan = dan >, maka pada fungsi tujuan terdapat penalti sebesar M x variable buatan. Disini M >> P. Setelah itu diselesaikan dengan metode simpleks. 9