Penentuan Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo

Transkripsi

1 JURAL AEAIKA AIK Vol. 3 o. 1. ei 217. Penentuan Harga Opsi Asia dengan etode onte Carlo Surya Amami Pramuditya 1 FKIP, Universitas Swadaya Gunung Djati 1, amamisurya@fip-unswagati.ac.id 1 DOI: Abstra Opsi adalah ontra antara holder dan writer dimana writer memberian ha (buan ewajiban) epada holder untu membeli menjual aset dari writer dengan harga tertentu (strie price) dan pada watu yang telah ditentuan dimasa datang (maturity time). Opsi Asia termasu pada opsi path dependent. Artinya payoff opsi Asia tida hanya bergantung pada harga saham saat maturity time saja, tetapi merupaan rata-rata harga saham selama masa jatuh temponya dan disimbolan A (average). onte Carlo pada dasarnya digunaan sebagai prosedur numeri untu menasir nilai espetasi pricing product derivative. eni yang digunaan adalah onte Carlo standar dan redusi varians. Hasilnya diperoleh harga opsi Asia call dan put untu edua teni dengan selang epercayaan 95%. eni redusi varians terlihat lebih cepat memperecil selang epercayaan 95% dibandingan metode standar. Kata unci: opsi,, Asia, onte Carlo Abstract Option is a contract between a holder and a writer in which the writer grants the rights (not obligations) to the holder to buy or sell the assets of the writer at a certain price (strie price) at maturity time. Asian options are included in the dependent path option. his means that Asia's payoff option depends not only on the stoc price at maturity time, but it is the average stoc price during its maturity and symbolized A (average). onte Carlo is basically used as a numerical procedure to estimate the expected value of pricing product derivatives. he techniques used are the standard onte Carlo and variance reduction. he result obtained the Asia call option price and put for both techniques with 95% confidence interval. he variance reduction technique loos faster reducing 95% confidence interval than standard method. Keyword: option, Asian, onte Carlo 1. Pendahuluan Hull [2] mendefinisian opsi sebagai ontra antara holder dan writer dimana writer memberian ha (buan ewajiban) epada holder untu membeli menjual suatu aset dari writer dengan harga tertentu (strie exercise price) dan pada watu yang telah ditentuan dimasa datang (expiry date maturity time) [4][5]. Salah satu jenis opsi adalah opsi Asia. Opsi Asia termasu pada opsi path dependent [4]. Artinya payoff opsi Asia tida hanya bergantung pada harga saham saat maturity time saja. Di sini payoff opsi Asia merupaan rata-rata harga saham selama masa jatuh temponya dan disimbolan A (average). etode onte Carlo pada dasarnya digunaan sebagai prosedur numeri untu menasir nilai espetasi dari suatu peubah aca sehingga metoda ini dapat digunaan untu permasalahan pricing product derivative jia direpresentasian sebagai nilai espetasinya. Prosedur simulasi melibatan generating dari peubah aca dengan suatu fungsi epadatan dan dengan menggunaan law of large number maa rata-rata dari nilai ini dapat dinyataan sebagai penasir espetasi peubah aca tersebut. Penelitian ini bertujuan untu mencari payoff harga opsi Asia call dan put fixed strie dan 46

2 JURAL AEAIKA AIK Vol. 3 o. 1. ei 217. average strie disertai selang epercayaan 95%. Selanjutnya, dicari selang epercayaan terecil melalui metode onte Carlo standard dan redusi varians. 2. Simulasi onte Carlo isalan X peubah aca dengan espetasi E(X) = a dan Var (X) = b 2 yang nilainya belum dietahui. isalan X 1, X 2,, X adalah barisan peubah aca yang berdistribusi identi dengan X, maa penasir ta bias untu a [6][3] adalah a = 1 X i dan penasir ta bias untu b 2 adalah (1) b 2 = 1 1 (X i a ) 2 (2) Berdasaran teorema limit pusat untu berlau X i a ~(,1) b Sehingga, X i ~(a, b 2 ) a a = 1 X i a~(, b2 ) a a b ~(,1) Aan didapatan tasiran interval untu a. Perhatian P ( a a 1.96) =.95 b P ( 1.96 a a b 1.96) =.95 P (a 1.96 b a a b ) =.95 b Di sini merupaan standard error, dengan mengambil b b, maa P (a 1.96 b a a b ) =.95 (3) Sehingga diperoleh selang epercayaan 95 % untu a adalah [a 1.96 b, a b ]. Agar aurasi selang lebih aurat dapat diperoleh malalui dua cara yaitu : 1. emperbesar simulasi, tetapi hal ini memberian watu omputasi yang lama. 2. engecilan b meredusi variansi dengan menggunaan ontrol variat. 2.1 eni Redusi Variansi dengan Kontrol Variat asiran selang aan semain aurat jia lebar dari selang tersebut semain sempit/ecil, lebar selang epercayaan dapat dipersempit dengan cara memperbanya sampel (menambah jumlah simulasi). amun cara ini cuup menyulitan arena fator. Sebagai contoh, untu mendapatan selang epercayaan yang lebih aurat, yaitu menyusutan selang epercayaan dengan fator 1 membutuhan sampel seratus ali lebih banya dari semula. Cara lain yang dapat dilauan adalah memperecil standar deviasi (b ) yang berarti memperecil variansi [1]. Ide dari teni ini dalah mengganti X i dengan barisan peubah aca yang lain yang juga identi dengan mean sama dengan E(X i ) namun dengan variansi yang lebih ecil. isalan θ = E(X) ingin ditasir dengan simulasi onte Carlo. Andaian ada peubah aca lain, selain X yaitu Y dengan mean E(Y) = μ Y, emudian aan ditunjuan var (X) > var(y). ulis peubah aca Z = X + c(y μ Y ) (4) maa nilai espetasi dari Z adalah E(X + c(y μ Y )) = E(X) + ce(y μ Y ) = θ + ce(y μ Y ) = θ Sedangaan variansinya var(x + c(y μ Y )) = var (X + cy) = var (X) + var (Y) + 2cov(X, cy) = var (X) + c 2 var(y) + 2c cov(x, Y) (5) Pilih Y sedemiian rupa sehingga cov(x, Y). Karena var (X), var(y), Cov(X, Y) dietahui, maa var (Z) = f(c) yaitu fungsi uadrat dalam c. inimuman ruas anan pada persamaan (5) terhadap c diperoleh c cov(x, Y) = (6) var (Y) usahaan cov (Y, V) positif sehingga c negatif. Dengan mengsubsitusian persaman (6) e persamaan (5) diperoleh 47

3 JURAL AEAIKA AIK Vol. 3 o. 1. ei 217. var(x + c (Y μ Y )) = var(x) cov2 (X, Y) var(y) diperoleh redusi variansi var(z) var(y) = 1 cov2 (X, Y) var(y)var(x) = 1 corr 2 (X, Y) selanjutnya pilih Y = S(n) i dan lauan simulasi untu X dan Y diperoleh X i dan Y i (i = 1,2,, ). ulis cov (X, Y) = 1 X = 1 X i Y = 1 Y i 1 (X i X )(Y Y ) var (X, Y) = 1 1 ( Y i Y ) Peubah aca pembanding memilii mean sampel θ = 1 ( X i + c (Y μ Y )) 2.2 odel Harga Saham isalan model pergeraan harga saham [3] [2] [4] [5] adalah S() = S e (r 1 2 σ2 )+σ z dengan Z~(,1) (7) serta = 1, dimana merupaan banya hari erja dalam 1 tahun. Selanjutnya model saham ini menghasilaan espetasi dari peubah aca [4][5] C = e r mas{s e (r 1 2 σ2 )+σ z K, } yaitu nilai opsi call Eropa saat dihitung di t =. 2.3 Opsi Asia Average price Asian Call (fixed strie price) C(S, ) = mas ( 1 S(τ)dτ K, ) Average price Asian Put ((fixed strie price)) P(S, ) = mas (E 1 S(τ)dτ, ) Average Strie Price Asian Call C(S, ) = mas (S() 1 S(τ)dτ, ) Average Strie Price Asian Put P(S, ) = mas ( 1 S(τ)dτ S(),) Pandang S (τ)dτ t S j (8) dimana adalah banyanya partisi dan ingat bahwa =, maa S (τ)dτ = 1 t S t j = 1 S j (9) Sehingga penggunaan onte Carlo untu Asian Call Option memilii payoff [3] C i (S, ) = mas ( 1 S j K, ) (1) C i (S, ) = mas (S() 1 S j, ) (11) untu i = 1,2,,. Berdasaran persamaan (9), persamaan (1) dan (11) dapat ditulisan Vcprice = exp ( r n ) (1 n S j K, ) n Vcstrie = exp ( r n ) (S + (12) Payoff dari Asian option ditentuan dari nilai rata-rata untu tiap asusnya [2][6], yaitu: + n 1 n S j, ) (13) 48

4 JURAL AEAIKA AIK Vol. 3 o. 1. ei Algoritma etode onte Carlo Beriut merupaan algoritma menentuan harga opsi Asia dengan etode onte Carlo [6]. abel 1. Harga Saham Input: S, K, r, σ, n,, Bangitan fator aca z(, n) Hitung E(X) = mu = (r 1 2 σ2 ) Var(X) = dev = σ Untu i = 1,2,.., dan j = 1,2,.., n Untu j = 1, x(i, j) = mu + dev z(i, j) Untu j = 2,.., n, x(i, j) = x(i, j 1) + (mu + dev z(i, j)) Harga saham S b (i, j) = S exp (x(i, j)) abel 2. Opsi Asia Bangun harga saham S b Hitung A mean S b sebagai harga saham selama [, ] Hitung S n yaitu harga saham saat maturity time Hitung payoff Jia C standar, maa Jia opsi call, maa Vprice = exp( r n ) max(a K, ) lainnya, Vprice = exp( r n ) max(k A, ) Hitung mean dan standar deviasi dari Vprice, serta selang epercayaan 95% lainnya, (ontrol variat) pilih Y = n S i Jia opsi call, maa hitung X = exp( r n ) max(a K, ) Cov(X, Y) Corr(X, Y) c Z = X + c (Y μ Y ) Hitung mean dan standar deviasi dari Z, serta selang epercayaan 95% lainnya, Vprice = exp( r n ) max(k A, ) Cov(X, Y) Corr(X, Y) c Z = X + c (Y μ Y ) Hitung mean dan standar deviasi dari Z, serta selang epercayaan 95% Hitung rasio (redusi) Hasil Dan Pembahasan Untu menentuan selang epercayaan serta harga opsi Call dan Put Asia digunaan program atlab. Program ini menggunaan data fitif dengan r = 6%; σ =.3; = 1; S = 15; = 252; n = 1. Adapun r adalah suu bunga, σ adalah volatilitas, adalah watu satu tahun erja, S adalah harga saham awal, adalah watu hari erja dan n adalah partisi watu. abel 3. Selang Kepercayaan Opsi Call Asia onte Carlo Standar K=9 Average Price Average Strie abel 4. Harga Opsi Call Asia onte Carlo Standar K=9 Fixed Strie Average Strie Berdasaran tabel 3 dan tabel 4 di atas, semain besar langah, maa selang epercayaan 95% semain ecil, sehingga tasiran harga opsi call Asia untu fixed strie maupun average strie semain bai. abel 5. Selang Kepercayaan Opsi Call Asia onte Carlo Redusi Varians K=9 Average Price Average Strie abel 6. Harga Opsi Call Asia onte Carlo Redusi Varians K=9 Fixed Strie Average Strie Berdasaran tabel 5 dan tabel 6 di atas, semain besar langah, maa selang epercayaan 95% semain ecil, sehingga tasiran harga opsi call Asia untu fixed strie maupun

5 JURAL AEAIKA AIK Vol. 3 o. 1. ei 217. average strie semain bai. eni redusi varians terlihat lebih cepat memperecil selang epercayaan 95% dibandingan metode standar. abel 7. Selang Kepercayaan Opsi Put Asia onte Carlo Standar K=17 Average Price Average Strie abel 8. Harga Opsi Put Asia onte Carlo Standar K=17 Fixed Strie Average Strie Berdasaran tabel 7 dan tabel 8 di atas, semain besar langah, maa selang epercayaan 95% semain ecil, sehingga tasiran harga opsi put Asia untu fixed strie maupun average strie semain bai. abel 9. Selang Kepercayaan Opsi Put Asia onte Carlo Redusi Varians K=17 Average Price Average Strie Kesimpulan Semain besar banyanya langah, maa semain memperecil jara selang epercayaan 95%, untu menasir harga opsi Call maupun opsi Put. Dengan menggunaan teni redusi varians terlihat lebih cepat memperecil selang epercayaan 95% dibandingan metode standar. Daftar Pustaa [1] Fu,. C., adan, D. B., & Wang,. Pricing continuous Asian options: a comparison of onte Carlo and Laplace transform inversion methods. Journal of Computational Finance, 2(2), (1999) [2] Hull, J.C., Options, Futures, and Other Derivatives (Eighth Edition). Pearson, England. (212). [3] Podlozhnyu, V., & Harris,. onte Carlo Option Pricing. CUDA SDK. (28). [4] Pramuditya, S.A., & Sidarto, K. A. Penentuan Harga Opsi Asia Dengan odel Binomial Dipercepat. Repository FKIP Unswagati. (213). [5] Pramuditya, S.A. Perbandingan etode Binomial dan etode Blac-Scholes Dalam Penentuan Harga Opsi. SAISA, 5(1). (216). [6] Seydel, R., ools for Computational Finance. Springer-Verlag, Berlin. (22). abel 1. Harga Opsi Put Asia onte Carlo Redusi Varians K=17 Fixed Strie Average Strie Berdasaran tabel 9 dan tabel 1 di atas, semain besar langah, maa selang epercayaan 95% semain ecil, sehingga tasiran harga opsi put Asia untu fixed strie maupun average strie semain bai. eni redusi varians terlihat lebih cepat memperecil selang epercayaan 95% dibandingan metode standar 5