Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Gabungan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Gabungan"

Hendra Sugiarto
6 tahun lalu
Tontonan:

1 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Gabungan A-5 Fery Firmansah, Muhammad Ridlo Yuwono Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Widya Dharma Klaten, korespondensi : feryfirmansah@unwidha.ac.id Abstrak Graf yang memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil disebut sebagai graf harmonis ganjil. Pada makalah ini akan diberikan kontruksi gabungan graf ular berlipat yang memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil. Sedemikian sehingga gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis. Kata kunci:gabungan graf, graf ular berlipat, graf harmonis ganjil I. PENDAHULUAN Kajian tentang pelabelan graf telah dimulai sejak tahun 964 oleh Sedlacek, dan sampai tahun 06. Pada [] telah mengumpulkan banyak hasil penelitian tentang pelabelan graf baik secara teori maupun aplikasi. Dalam jurnal yang sama [] telah mengelompokkan pelabelan graf yang mempunyai sifat pelabelan yang sama, diantaranya pelabelan graceful, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, pelabelan harmonis dan variasinya. Aplikasi pelabelan graf diantaranya pada bidang kriptografi, teori koding, dan secret sharing message. Pada dasarnya pelabelan graf adalah pemetaan dari setiap elemen graf baik simpul, busur ataupun kombinasinya ke bilangan bulat positif (label). Lebih lanjut disebut pelabelan simpul jika daerah asal dari pemetaan adalah himpunan simpul, dan pelabelan busur jika daerah asal dari pemetaan adalah himpunan busur. Sedangkan jika daerah asal dari pemetaan adalah kombinasi antata himpunan simpul dan himpunan busur maka disebut pelabelan total. Makalah ini dibatasi untuk graf sederhana, tidak berarah (undirected) dan berhingga []. Salah satu variasi dari pelabelan harmonis adalah pelabelan harmonis ganjil yang diperkanalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 009. Graf disebut sebagai jika memenuhi simpul dan busur. Graf adalah graf harmonis ganjil (odd harmonious graph) jika terdapat fungsi injektif yang menginduksi fungsi bijektif, yang didefinisikan oleh dengan f adalah fungsi harmonis ganjil dari [3]. Dari tahun 009 sampai tahun 06 telah ditemukan beberapa kelas graf baru yang merupakan keluarga dari graf harmonis ganjil. Hasil penelitian yang relevan tersebut dapat dilihat [4], [5], [6], [7], [8], [9], dan [0]. Hasil dari penelitian pada makalah ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yaitu Firmansah pada tahun 06. Pada [] telah membuktikan bahwa gabungan graf ular, dan graf ular berlipat,, adalah graf harmonis ganjil. Terinspirasi dari penelitian tersebut, maka peneliti tertartik untuk menunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat,, memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil, sedemikian sehingga diperoleh keluarga baru dari graf harmonis ganjil. II. DASAR TEORI Berikut diberikan dasar teori yang digunakan pada makalah ini. Graf disebut sebagai jika memenuhi simpul dan busur. Graf adalah graf harmonis ganjil (odd harmonious graph) jika terdapat fungsi injektif yang menginduksi fungsi bijektif, yang didefinisikan oleh dengan f adalah fungsi harmonis ganjil dari. Sifat-sifat graf yang mempunyai pelabelan PA-5

2 ISBN (Cetak) (On-line) harmonis ganjil diantaranya, jika graf adalah graf harmonis ganjil maka adalah graf bipartit dan jika graf adalah graf harmonis ganjil maka memenuhi. Operasi gabungan (union) dari graf dan yang dinotasikan dengan adalah graf dengan himpunan simpul dan himpunan busur. III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian awal akan diberikan definisi, kontruksi, notasi simpul dan notasi busur dari gabungan graf ular berlipat. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil. Dibagian akhir akan diberikan contoh gabungan graf ular berlipat berserta pelabelannya untuk mempermudah pemahaman. A. Kontruksi dan Definisi dari Gabungan Graf Ular Berlipat Sebelumya akan diberikan definisi dan kontruksi dari graf lingkaran berlipat berlipat sebagai berikut: dan graf ular Definisi. [5] Graf lingkaran dengan himpunan simpul yang selanjutnya ditambahkan simpul baru yang terhubung dengan simpul dan simpul disebut sebagai graf lingkaran berlipat. Definisi. [5] Graf ular berlipat adalah graf terhubung dengan blok dimana setiap blok tersebut isomorfik dengan graf lingkaran berlipat dan titik potong blok-nya merupakan graf lintasan. Bedasarkan Definisi dan Definisi tersebut diperoleh definisi, kontruksi, notasi simpul, dan notasi busur dari gabungan graf ular berlipat. Definisi 3. Graf dengan, adalah gabungan dari dua graf ular berlipat.,, k,,, k,, w, w w k,, z, z z k, v v v k y y y k u 0 u u u k x 0 x x x k v v v k y y y k, w, w w k,, z, z z k,,, k,,, k, kc 4 ( r ) kc 4 ( r ) GAMBAR. KONTRUKSI DARI GABUNGAN GRAF ULAR BERLIPAT B. Kontruksi Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular Berlipat Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil yang dinyatakan dalam Teorema 4, sedemikian sehingga gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Dibagian akhir akan diberikan beberapa contoh gabungan graf ular berlipat beserta pelabelan harmonis ganjilnya untuk mempermudah pemahaman. PA-6

3 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 Teorema 4. Gabungan graf ular berlipat dengan adalah graf harmonis ganjil. Bukti. Misalkan dengan, adalah gabungan graf ular berlipat, dengan himpunan simpul dan himpunan busur didefinisikan oleh dan maka dan. Berikut didefinisikan fungsi pelabelan simpul () () (3) (4) (5) (6) Berdasarkan fungsi pelabelan simpul pada (), (), (3), (4), (5) dan (6) diperoleh himpunan simpul setelah dilabel sebagai berikut: Terlihat bahwa fungsi pelabelan simpul memberikan label yang berbeda pada setiap simpul dan sedemikian sehingga fungsi pelabelan simpul memenuhi pemetaan injektif. PA-7

4 ISBN (Cetak) (On-line) Selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur yang didefinisikan oleh bersifat bijektif. Sedemikian sehingga didapatkan fungsi pelabelan busur sebagai berikut: Berdasarkan fungsi pelabelan busur pada (7), (8), (9), (0), (), (), (3), dan (4) diperoleh himpunan busur setelah dilabel sebagai berikut: (7) (8) (9) (0) () () (3) (4) PA-8

5 SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 Terlihat bahwa fungsi pelabelan busur memberikan label yang berbeda pada setiap busur dan sehingga fungsi pelabelan busur memenuhi sifat pemetaan bijektif. Akibatnya gabungan graf ular berlipat dengan, adalah graf harmonis ganjil Contoh 5. Berikut diberikan contoh pada Gambar yaitu pelabelan harmonis ganjil pada C4 6C4 GAMBAR. PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA Contoh 6. Berikut diberikan contoh pada Gambar 3 yaitu pelabelan harmonis ganjil pada. PA-9

6 ISBN (Cetak) (On-line) C4 5C4 3 GAMBAR 3. PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA IV. SIMPULAN DAN SARAN Pada makalah ini telah dibuktikan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil sehingga didapatkan bahwa gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Masih banyak kelas graf yang belum ditemukan sifat pelabelannya, sehingga tidak menutup kemungkinan penelitian ini dilanjutkan untuk kelas graf yang baru. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terimakasih kepada RISTEK DIKTI atas dukungan pendanaan terhadap penelitian ini pada program Peneltian Dosen Pemula (PDP) tahun 07. DAFTAR PUSTAKA [] Gallian, J. A. 06. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, 8. #DS6. [] Baca, M dan Miller, M Super Edge-Antimagics Graphs : A Wealth of Problems anda Some Solution. Florida : Brown Walker Press. [3] Liang, Z., dan Bai, Z On The Odd Harmonious Graphs with Applications, J. Appl. Math. Comput., 9, doi:0.007/s [4] Abdel-Aal, M. E. 04. New Families of Odd Harmonious Graphs. International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control, 3(), -3. [5] Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., dan Sugeng, K. A. 03. The Odd Harmonious Labeling of kcn-snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8. IndoMS International Conference on Mathemathics and Its Applications, Diselenggarakan oleh Program Studi Matematika, UGM dan IndoMS, 6-7 November 03 (hal. 5-30). Yogyakarta: Indonesian Mathematical Society. [6] Firmansah, F., dan Sugeng, K. A. 05. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Belanda dan Gabungan Graf Kincir Angin Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 05-95, [7] Firmansah, F. dan Syaifuddin, M. W. 06. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Diselenggarakan oleh Prodi Pendidikan Matematika FKIP UNY, 5 November 07 (hal. MA 53-58). Yogyakarta. ISBN [8] Firmansah, F. 07. Odd Harmonius Labeling on Pleated of the Dutch Windmill Graphs. Cauchy Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi, 4(4) p-issn: , e-issn: doi: [9] Saputri, G. A., Sugeng, K. A., dan Froncek, D. 03. The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. Graphs Comb., 0(), -8. [0] Vaidya, S. K., dan Shah, N. H. 0. Some New Odd Harmonious Graphs. International Journal of Mathematics and Soft Computing, (), 9-6. [] Firmansah, F. 06. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular dan Graf Ular Berlipat. Konferensi Nasional Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP ), Diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Matematika, UMS, Maret 06 Surakarta: Muhammadiyah University Press. PA-30

dokumen-dokumen yang mirip

Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral Fery Firmansah, M. Wahid Syaifuddin Prodi Pendidikan Matematika, Fakultas