MATEMATIKA BUNGA: PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN CONTOH SOAL. A. BUNGA TUNGGAL a. Konsep Bunga Tunggal. b. Rumus Bunga Tunggal

Transkripsi

1 MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM 03 Sesi BUGA: PERTUMBUHA DA PELURUHA A. BUGA TUGGAL a. Konsep Bunga Tunggal Perhitungan bunga tunggal digunakan pada permasalahan pinjaman ataupun investasi. Bunga tunggal bermakna perhitungan bunga pinjaman atau investasi yang dibuat selalu sama per periode pinjaman ataupun investasi, di mana besarnya dihitung sekali dari besar investasi atau pinjaman aalnya. b. Rumus Bunga Tunggal Formula untuk menghitung besaran investasi atau besar pengembalian pinjaman pada tahun ke- (M ), dengan besar investasi aal M dan besar persentese bunga p% pertahun adalah M = M( + COTOH SOAL. Jika Budi menabung uangnya sebesar Rp0..,00 di bank dengan bunga tunggal yang ditaarkan sebesar 8% per tahun, maka tentukan total saldo tabungannya pada akhir tahun ke-!

2 M = Rp0.. p = 8% /tahun = tahun Maka M =M(+ M =0..(+ 0,08) M =0..(,48) M = Pak Doni membutuhkan dana untuk merenovasi rumahnya. Beliau memutuskan untuk meminjam uang sebesar Rp00..,00 ke bank dengan bunga tunggal 4% per tahun. Pak Doni berencana akan melunasi pinjamannya setelah tahun keempat. Tentukan besar total bunga pinjaman Pak Doni yang harus dibayar! M = Rp00.. p = 4%/tahun = 0,04/tahun = 4 tahun sehingga M = M( + M4 = 00.. ( , ) M4 = 00.. (, ) M4 =.. maka bunganya adalah: B = B =.. 3. Pak Cecep meminjam uang kepada Koperasi Media Makmur sebesar Rp40... Besar persentase bunga pinjaman % per tahun dengan perhitungan bunga tunggal. Jika setelah n tahun Pak Cecep harus mengembalikan sebesar Rp.., maka nilai n adalah. M = 40.. M =.. p = %/tahun = 0,0/tahun

3 maka M = M( +.. = 40.. ( + 0, 0).. = =.. maka = tahun c. Pembayaran Bunga Tunggal Per Periode Waktu Tertentu Pembayaran bunga investasi atau bunga pinjaman dengan sistem bunga tunggal dapat dilakukan dalam periode yang berbeda, misalnya pertiga bulanan, per semester atau periode lainnya. Cara mudahnya adalah selalu menyamakan antara satuan aktu persentase bunga dengan aktu yang terkait dengan modal akhir atau pinjaman akhirnya. COTOH SOAL. Hana menabung uangnya sebesar Rp00.,00 dengan bunga tunggal % per tahun yang dibayarkan setiap bulan sekali. Berapakah saldo tabungan Hana jika dia mengambil uangnya setelah 48 bulan? M = Rp00. Periode bulan sekali maka p = %/tahun =,%/ bulan = 48 bulan = 8 bulan maka M = M( +, M = M8 = 00. (, ) M8 = 70.. Berapakah total saldo yang diterima dalam aktu 30 bulan jika Adi menabung uangnya sebesar Rp800.,00 dengan bunga 4% per tahun? 3

4 M = Rp 800.,00 4 p = 004, /tahun = / bulan 00 = 30 bulan M = M( + M = M = 800. (,) 30 M30 = Berapakah besar uang yang harus disimpan pada tabungan dengan bunga tunggal % per tahun agar saldonya menjadi Rp8..,00 tujuh bulan kemudian? M = Rp8..,00 p = %/tahun = / bulan 00 = 7 bulan M = M( = M = M + 00 maka 00 M = M = B. BUGA MAJEMUK a. Konsep Bunga Majemuk Bunga majemuk adalah perhitungan bunga pinjaman atau investasi, di mana perhitungan bunga tiap periode berbeda-beda. Besaran bunga periode selanjutnya dihitung dari jumlah simpanan atau pinjaman periode sebelumnya. Jika besar pinjaman atau investasi aal M, besar persentase bunga majemuk p (dalam persen), maka besar pinjaman atau investasi pada akhir periode tahun ke- adalah 4

5 M = M( + COTOH SOAL. Suatu modal sebesar Rp..,00 diinvestasikan dengan bunga 8%. Tentukan besar modal di akhir tahun ketiga jika modal diinvestasikan dengan bunga majemuk! M = Rp.. p = 8%/tahun = 0,08/tahun = 3 tahun maka M = M( + M3 =.. ( + 0, 08) 3 M3 =.. (, 08) M3 = Pak Agus menabung Rp..,00 di suatu bank dengan bunga tunggal sebesar 4% per tahun. Pak Budi juga menabung Rp..,00 di bank yang sama dengan bunga majemuk 4% per tahun. Setelah tahun, tabungan siapakah yang lebih banyak? Pak Agus M = Rp.. p = 0,04/tahun = tahun M = M( + M = , M =.. (, ) M = Pak Budi M = Rp.. p = 0,04/tahun = tahun ( )

6 Maka M = M( + M M =.. ( + 0, 04) =.. (, 04) M = Jadi, tabungan yang lebih banyak adalah milik Pak Budi. b. Pembayaran Bunga Per Periode Waktu Tertentu Pembayaran bunga majemuk dapat dilakukan dalam periode tertentu, bulanan, 4 bulanan, dan sebagainya. Caranya tidak jauh berbeda dengan cara perhitungan bunga tunggal dengan tetap mengacu pada formula M = M( + COTOH SOAL. Imam menginvestasikan uangnya sebesar Rp.. di suatu perusahaan dengan janji mendapatkan bunga % per tahun dengan perhitungan bunga majemuk. Jika pembayaran keuntungan dilakukan per caturulan, maka uang Imam pada akhir bulan ke-0 adalah. M = Rp.. p = %/ tahun = / bulan = 00 / 4 bulan = 0 bulan = 4 bulan maka M = M( + M = M =.. (, 0) M = , 0

7 . Rudi meminjam uang di bank sebesar Rp0.. dengan perhitungan bunga majemuk 8% per bulan. Besar bunga hutang yang harus dibayar Rudi pada akhir tahun ke-4 adalah... M = Rp0.. p = 8 %/ 8 bulan= 00 / bulan = 4 tahun = 48 bulan = maka M = M( + M8 = 0.. ( + 0, 08) 8 M8 = 0.. (, 08) M Maka bunga = Rp Pak Ali menabung Rp..,00 di suatu bank dengan dibungakan secara majemuk sebesar 4% setiap 3 bulan. Pada saat yang sama, Pak Budi juga menabung Rp..,00 di bank yang sama dan dibungakan secara tunggal setiap tahun. Besar bunga yang akan diberikan kepada Pak Budi sehingga tabungan mereka sama besar di akhir tahun ke- adalah... Pak Ali M = Rp.. p = 4%/3 bulan = %/tahun = tahun maka Mtahun = M( + M =.. ( + 0, ) M =.. (, ) M = , 83 Untuk Pak Budi M =.7.34,83 = tahun 7

8 Maka M = M( , 83 =.. ( +, = + p 0, = p Maka 0, p = p = 0, 4833 p 0, p= % per tahun 4. Putri meminjam uang di bank sebesar Rp..,00 untuk keperluan menikah dengan jangka aktu tahun. Jika 3 tahun pertama bunganya adalah 8% per tahun dengan pembayaran per semester, sedangkan tahun berikutnya bunganya menjadi % per tahun dibayarkan tiap 3 bulan. Total pinjaman Putri yang harus dibayarkan adalah. Sampai akhir tahun ke-3 atau bulan, dengan bunga 4% per bulan didapatkan M = M ( + 0 =.. ( + 0, 04) = Rp Dua tahun terakhir atau 8 3 bulan dengan M 0 = Rp dan bunga 3% per 3 bulan didapatkan M = M ( = ( + 0, 03) =Rp ,3 8 C. MASALAH PERTUMBUHA Pertumbuhan jumlah suatu objek yang memiliki peningkatan tetap (dinyatakan dalam persentase) dapat kita temui dalam berbagai aspek kehidupan. Sebagai contoh ratarata peningkatan jumlah penduduk suatu negara adalah % dari tahun sebelumnya, menunjukkan terjadinya pertumbuhan penduduk suatu negara yang hampir tetap setiap 8

9 tahun. Contoh yang lain kenaikan jumlah produksi suatu perusahaan yang ditargetkan 0% melebihi tahun sebelumnya, menunjukkan target pertumbuhan produksi suatu perusahaan naik setiap tahun. Formula masalah pertumbuhan = 0 ( + Formula untuk menghitung masalah pertumbuhan suatu objek, tidak berbeda dengan perhitungan bunga majemuk. Bila kondisi aal ada sebanyak dengan besar pertumbuhan p (dalam persen) dari tahun sebelumnya, maka banyaknya objek yang tumbuh pada akhir tahun ke- adalah COTOH SOAL. Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar % dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 0, penduduk di kota tersebut sebanyak 00. orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 0 hingga tahun 07! Cara = 00. orang (tahun 0) p = %/tahun maka Pada tahun 0 = o + P o = o ( + = 00. ( + 0, 0) = 00. ( 0, ) = 0. Pada tahun 07 9

10 = + P = ( + = 0. ( + 0, 0) = 0. ( 0, ) = Cara tahun 0 tahun ke-(0 0) = ( + o = 00. ( + 0, 0) = 0. tahun 07 tahun ke-(07 0) = ( + o = 00. ( + 0, 0) = 00. (, 0404) = Pertumbuhan suatu bakteri dalam tubuh seorang anak terdeteksi meningkat 3% dari satu jam sebelumnya. Bila pada pukul 07:00 terdeteksi ada 00 bakteri, maka pada pukul :00 banyak bakteri akan sebanyak. o = 00 bakteri p = 3% = 0,03 Jam.00 adalah jam setelah pukul maka =, sehingga = o ( + = 00( + 0, 03) = 00(, 03) 00(, ) 3. Pada tahun 00 jumlah produksi suatu produk berjumlah 00. buah. Pada tahun 0 jumlah produksi dari produk yang sama meningkat menjadi 30. buah. Jika diasumsikan persentase pertumbuhan produksi selalu tetap, maka besar persentase pertumbuhannya adalah. 0

11 tahun00 tahun ke-0 o = 00. tahun0 tahun ke- o = 30. Dengan asumsi persentase pertumbuhan tetap maka = ( + o 30. = 00. ( + 7, = ( + Maka + p = 7, + p 098, p = 0, , p = 00 Jadi, pertumbuhannya adalah 9,8%. 4. Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan baha satu bakteri dapat membelah diri dalam aktu jam. Diketahui baha pada aal kultur jaringan tersebut terdapat. bakteri. Banyak bakteri setelah 0 jam adalah. Pembelahan diri setiap jam bermakna bakteri berubah menjadi dua setiap jam, atau besar pertumbuhannya 00% atau p =. Diketahui pada aalnya (jam ke-0) 0 = bakteri Maka setelah 0 jam atau periode ke- : = o ( + = ( + ) = 3.

12 D. MASALAH PELURUHA Peluruhan atau penurunan adalah suatu kondisi penurunan jumlah suatu objek dengan persentase penurunan yang tetap. Kondisi peluruhan atau penurunan dapat ditemui dalam berbagai masalah seperti masalah menurunnya omset penjualan, menurunnya jumlah bakteri jahat dalam tubuh setelah diberikan obat, dll. Masalah ini adalah kebalikan dari masalah pertumbuhan di mana formula untuk menghitung besar peluruhan adalah = 0 ( dengan kondisi aal, adalah banyak objek setelah meluruh selama satuan aktu, dengan p adalah persentase peluruhannya. COTOH SOAL. Suatu mobil dibeli dengan harga Rp00.. pada tahun 0. Jika diasumsikan harga mobil akan turun sebesar % dari tahun sebelumnya. Hitunglah harga mobil: a) Pada tahun 0! b) Pada tahun 00! tahun0 tahun ke-0 o = Rp 00.. p = % = 0, 0 a) 00 tahun ke- = o po = o ( = 00.. ( 0, 0) = 00.. ( 0,98) = 98.. b) tahun 00 tahun ke- Sulit untuk dihitung satu persatu, maka gunakan formula = p 0 ( ) ( ) = , 0

13 = 00.. ( 098, ) = , Pada pemeriksaan kedua, dokter mendiagnosa baha masih ada 800. bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 0% bakteri setiap jam. Tentukanlah a) Banyak bakteri setelah 7 jam! b) Waktu ketika jumlah bakteri kurang dari 00.! Kondisi aal = o 800. p = 0% = 0, a) 7 jam adalah periode ke- ( jam) maka = p 0 ( ) = 800. ( 0, ) = ( ) , = 4., 8 b) = ( < 00. o 800. ( 0,) < , < 0, log 09, > log 0, > 3, = 4 09, 09, Maka bakteri berjumlah kurang dari 00. setelah 4 jam atau 84 jam. 3

14 SOAL LATIHA. Pak Dedi membutuhkan dana untuk merenovasi tokonya. Beliau memutuskan untuk meminjam uang sebesar Rp0..,00 ke bank dengan bunga tunggal 4% per tahun. Pak Dedi berencana akan melunasi pinjamannya setelah tahun keempat. Tentukan besar total bunga pinjaman Pak Dedi yang harus dibayar! A. Rp3..,- B. Rp3..,- C. Rp3..,- D. Rp37..,- E. Rp38..,-. Pak Charli meminjam uang kepada Koperasi Maju Jaya sebesar Rp4... Besar persentase bunga pinjaman % per tahun dengan perhitungan bunga tunggal. Jika setelah n tahun Pak Charli harus mengembalikan sebesar Rp9.70., maka nilai n adalah. A. B. 3 C. 4 D. E. 3. Hani menabung uangnya sebesar Rp.800.,00 dengan bunga tunggal % per tahun yang dibayarkan setiap 4 bulan sekali. Berapakah saldo tabungan Hani jika dia mengambil uangnya setelah 3 bulan? A. Rp.80.,- B. Rp.8.,- C. Rp.90.,- D. Rp.9.,- E. Rp.9.,- 4. Suatu modal sebesar Rp..,00 diinvestasikan dengan bunga %. Tentukan besar modal di akhir tahun keempat jika modal diinvestasikan dengan bunga majemuk! 4

15 A. Rp.09.77,- B. Rp.39.77,- C. Rp.39.77,- D. Rp.33.77,- E. Rp ,-. Pak Budi menabung Rp..,00 di Bank Sukses dengan bunga majemuk % per tahun. Di akhir tahun ke- besar bunga yang diterima oleh Pak Budi adalah. A. Rp ,- B. Rp ,- C. Rp ,- D. Rp ,- E. Rp ,-. Tentukan total bunga yang harus dibayarkan jika meminjam uang sebesar Rp0..,00 dengan bunga majemuk 4% per semester selama 30 bulan! A. Rp4..9,- B. Rp3..9,- C. Rp..9,- D. Rp.0.9,- E. Rp..9,- 7. Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar % dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 00, penduduk di kota tersebut sebanyak 00. orang. Banyak penduduk pada tahun 04 adalah. A. 40,0 jia B. 4,0 jia C. 4,0 jia D. 43,0 jia E. 44,0 jia 8. Pertumbuhan suatu bakteri dalam tubuh seorang anak terdeteksi meningkat,% dari satu jam sebelumnya. Bila pada pukul :00 terdeteksi ada 0 bakteri, maka pada pukul 7:00 banyak bakteri akan sebanyak.

16 A. bakteri B. 8 bakteri C. 70 bakteri D. 7 bakteri E. 74 bakteri 9. Suatu mobil dibeli dengan harga Rp84.. pada tahun 0. Jika diasumsikan harga mobil akan turun sebesar % dari tahun sebelumnya. Harga mobil pada tahun 0 diperkirakan... A. Rp ,- B. Rp ,- C. Rp ,- D. Rp ,- E. Rp ,- 0. Pada pemeriksaan kedua, dokter mendiagnosa baha masih ada 00. bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 8% bakteri setiap 4 jam. Banyak bakteri setelah 0 jam adalah. A B C..908 D E

17 KUCI JAWABA LATIHA SOAL. D. C. C 7. D 3. B 8. B 4. E 9. B. C 0. C 7