ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI

Transkripsi

1 NLSS SENSTVTS MODEL EPDEMOLOG HV DENGN EDUKS MRSUD Jurusan Matematika FMP Universitas Brawijaya BSTRCT Model epidemiologi dapat memberikan informasi dasar untuk para praktisi kesehatan publik dalam menganalisis isu-isu yang dapat mempengaruhi strategi-strategi untuk pencegahan penyebaran suatu penyakit Penulisan artikel ini difokuskan pada analisis sensitivitas dari angka reproduksi efektif untuk mengetahui parameter-parameter mana dari model yang berpengaruh terhadap penyebaran HV ngka reproduksi efektif diperoleh menggunakan metode matriks generasi berikutnya Dalam model ini populasi dibagi menjadi enam subpopulasi susceptible tanpa edukasi susceptible dengan edukasi infected tanpa edukasi tanpa gejala DS infected tanpa edukasi dengan gejala DS infected dengan edukasi tanpa gejala DS dan infected dengan edukasi dan gejala DS Simulasi numerik dari model diimplementasikan untuk memeriksa sensitivitas dari parameter-parameter kunci tertentu pada individuindividu yang terinfeksi Kata Kunci: analisis sensitivitas angka reproduksi efektif model epidemiologi HV Pendahuluan HV Human munnodeficiency dan DS cquired mmune Deficiency Syndrome adalah salah satu masalah kesehatan Saat ini tidak ada negara yang terbebas dari HV/DS dan HV/DS telah menyebabkan krisis multidimensi terutama dalam bidang kesehatan Salah satu program dalam rangka untuk meminimalisasi prevalensi HV/DS adalah dengan skrining HV terapi HV bagi orang yang terdeteksi positif HV Salah satu program pencegahan HV/DS adalah sosialisasi pencegahan melalui media komunikasi informasi dan edukasi KE HV/DS nonim [] Sampai saat ini banyak penelitian menggunakan program atau srategi-strategi untuk pengendalian penyebaran HV/DS misalnya Naresh et al [] mengkaji efek vaksinasi pada penyebaran HV/DS dalam populasi homogen Hussaini et al [3] dan Mukandavire et al [4] mengkaji program penggunaan kondom kampanye edukasi kesehatan publik dan perlakuan untuk pemberantasan epidemik HV di berbagai negara dan komunitas seperti Uganda Tailand Zambia dan komunitas gay US Salah satu permasalahan yang timbul adalah bagaimana mengukur efektifitas dari program-program pengendalian tersebut Marsudi et al [8] mengkaji model HV dengan skrining dan terapi menggunakan model S yang diperluas Disinilah perlunya model matematika yang mampu menghasilkan nilai ambang threshold yang bermakna sebagai dasar perbaikan dan pengembangan upaya penanggulangan HV/DS Diantara berbagai konsep nilai ambang sebuah paameter epidemiologi yang disebut angka reproduksi dasar efektif memainkan peranan penting dalam teori penyebaran penyakit nalisis sensitivitas mengkaji variasi output dari model yang disebabkan oleh variasi dalam input Pada dasarnya analisis sensitivitas menentukan parameter-parameter dan kondisi awal mana input mempengaruhi kuantitas yang diperhatikan output dari model Safiel et al [6] telah mengevaluasi indeks-indeks sensitivitas dari angka reproduksi efektif terhadap parameter-parameter model penyebaran HV/DS dengan pengaruh skrining dan pengobatan Sensitivitas dari angka reproduksi dasar untuk model penyebaran malaria dapat ditemukan dalam Chitnis et al [5] yang bertujuan untuk menentukan parameter-parameter mana yang berpengaruh dalam model penyebaran dengue Dalam makalah ini akan

2 difokuskan pada analisis sensitivitas dari angka reproduksi efektif dan simulasi numerik yang diimplementasikan untuk menerangkan parameter-parameter model yang berpengaruh pada penyebaran HV/DS nalisis sensitivitas memberikan informasi kepada kita sejauh mana pentingnya setiap parameter model dalam penyebaran penyakit Model HV dengan Edukasi Model epidemiologi HV dengan edukasi dideskripsikan menggunakan model kompartemen Secara demografi populasi dibagi menjadi enam subpopulasi yaitu susceptible tanpa edukasi S susceptible dengan edukasi S infected tanpa edukasi tanpa gejala DS infected tanpa edukasi dengan gejala DS infected dengan edukasi dan tanpa gejala DS dan infected dengan edukasi dan gejala DS Secara matematis transisi antara keenam subpopulasi berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear Hussaini et al [3] dan Marsudi dan Wibowo [] ds p S S ds p S S S d S d d S d dan N N N S S 3 dengan adalah laju rekrutmen susceptible adalah laju kematian alami adalah laju kematian karena DS dalam p adalah bagian dari individu rekruitmen baru dengan edukasi adalah laju edukasi susceptible tanpa edukasi adalah laju edukasi individu-individu dalam adalah laju kontak efektif adalah parameter modifikasi dari keinfeksian tanpa edukasi dengan edukasi adalah laju progresi dari ke ke adalah kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru dan adalah faktor reduksi dari penyebaran HV/DS dengan edukasi Nilai parameter-parameter model sebagai nilai basis yang digunakan dalam simulasi numerik diberikan dalam Tabel 3 ngka Reproduksi Dasar Solusi dari sistem termuat dalam daerah fisibel invarian positif S S R6 S S N 4

3 dengan kondisi awal Tabel Nilai parameter model Parameter Nilai Sumber p 4 sumsi 4 Elbasha&Gumel 6 8 Karen&Susan 999 Tripath etal 8 sumsi 4 sumsi 6 Gumel et al6 4 4 Gumel et al6 5 3 Sharomi&Gumel sumsi Sistem mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit p p E ngka reproduksi efektif dari sistem diperoleh menggunakan metode matriks generasi berikutnya seperti yang dideskripsikan oleh van den Driessche dan Watmough [8] Misalkan T S X Sistem dapat ditulis sebagai X X dx F V dengan dan S N S X N S X V F Matriks-matriks Jacobi dari dan X X V F pada titik kesetimbangan bebas penyakit E masingmasing adalah F F E DF 4 3 V J J V E DV Matriks generasi berikutnya dari sistem adalah FV 6 S S 5

4 ngka reproduksi efektif R e dari sistem adalah radius spektral dari matriks R e K L M PQRT dengan K PQ p T L RT p Q dan M p QT R Q FV ngka reproduksi efektif R e mengukur rata-rata jumlah infeksi baru yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi HV dalam suatu komunitas di mana program edukasi kesehatan publik digunakan sebagai strategi kontrol maka 8 men- Jika edukasi kesehatan publik tidak ada jadi angka reproduksi dasar R R e Nilai ambang R mengukur rata-rata jumlah dari infeksi HV baru yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi dalam populasi susceptible tanpa intervensi program edukasi Kestabilan lokal dan global titik kesetimbangan bebas penyakit E dari sistem dapat dirumuskan dalam lemma berikut Lemma Titik kesetimbangan bebas penyakit E dari sistem adalah stabil asimptotik lokal jika R dan tidak stabil jika R e e Jadi HV dapat dieliminasi dari komunitas jika R e artinya jika ukuran populasi awal dari model dengan program edukasi kesehatan diberikan dalam daerah stabil 4 nalisis Sensitivitas p R Pada dasarnya analisis sensitivitas menentukan parameter-parameter dan kondisi awal mana input mempengaruhi kuantitas yang diperhatikan output dari model nalisis sensitivitas memberikan informasi kepada kita sejauh mana pentingnya setiap parameter model dalam penyebaran penyakit Untuk menilai efek program edukasi kesehatan publik perlu dihitung indeks sensitifitas dari nilai ambang R e yang mengukur penyebaran penyakit awal menggunakan pendekatan seperti dalam Chitnis et al [5] ndeks sensitivitas dari nilai ambang R e mengukur penyebaran penyakit awal dan untuk mengukur perubahan relatif dalam R e jika suatu parameter berubah ndeks sensitivitas pada semua parameter yang mempunyai pengaruh tinggi pada R e dapat dijadikan sasaran untuk diberikan intervensi dalam rangka mengendalikan penyebaran penyakit Definisi cf Chitnis et al [5] ndeks sensitivitas normalisasi maju dari R e yang bergantung diferensiasi pada parameter p didefinisikan dengan Re p Re p Menggunakan nilai-nilai parameter dalam Tabel indeks sensitivitas dari parameter-parameter dalam sisem diberikan dalam Tabel Dari Tabel menunjukkan bahwa indeks sensitivitas yang bernilai positif adalah parameter-parameter dan Hal ini menunjukkan bahwa jika salah satu parameter dari dan dinaikkan sementara parameter yang lain dibuat konstan akan menaikkan nilai R e R dan akibatnya menaikkan endemisitas penyakit HV Misalnya 593 artinya dengan menaikkan p R e e 8 9

5 menurunkan nilai parameter sebesar % akan menaikkan menurunkan nilai R e sebesar 593% Sedangkan parameter-parameter dan p mempunyai nilai indeks sensitivitas negatif artinya jika salah satu parameter dari dan p dinaikkan sementara parameter lain dibuat konstan akan menurunkan nilai R e dan akibatnya menurunkan endemisitas penyakit R HV Karena e 383 maka dengan menaikkan menurunkan nilai parameter sebesar % akan menurunkan menaikkan nilai R e sebesar 383% Tabel Nilai ndeks Sensitivitas dari R e No Parameter ndeks Sensitivitas p Dari atas ke bawah Tabel menunjukkan tingkat sensitivitas dari parameter yang paling sensitif sampai dengan parameter yang kurang sensitif Jadi secara individu parameter yang paling sensitif adalah faktor reduksi dari penyebaran HV/DS dengan edukasi diikuti kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru diikuti laju kontak efektif parameter modifikasi dari keinfeksian dengan edukasi laju kematian karena DS dalam dan laju kematian alami Parameter yang kurang sensitif adalah laju edukasi individu-individu dalam dan parameter yang kurang sensitif adalah laju edukasi individu-individu dalam 5 Simulasi Numerik Menggunakan nilai-nilai parameter dalam Tabel sistem disimulasikan menggunakan ODE solver ode45 dalam bahasa pemrograman Matlab Model disimulasikan untuk berbagai nilai parameter model untuk mengetahui perubahan-perubahan perilaku solusi grafik model dengan populasi awal S S dan 5 Grafik dinamika populasi dengan intervensi edukasi kesehatan publik ditunjukkan dalam Gambar Dari Gambar a tampak baha dinamika populasi susceptible turun seiring berjalannya waktu karena infeksi HV Sebelum intervensi infected tanpa edukasi tanpa gejala DS naik dengan bertambahnya waktu dan akhirnya menuju ke titik kesetimbangannya tetapi karena intervensi adanya edukasi kesehatan

6 ngka Reproduksi R e R o Populasi Total Populasi Total publik laju infeksi turun seiring dengan turunnya infected dengan edukasi tanpa gejala DS dan infected dengan edukasi dan gejala DS Gambar b x 6 a x b 9 S 9 S waktu tahun waktu tahun Gambar Dinamika a populasi tanpa edukasi b populasi dengan edukasi Gambar menunjukkan bahwa dinamika populasi dan menuju nol artinya dengan intervensi edukasi kesehatan publik penyakit dapat diberantas Dalam hal ini angka reproduksi efektif lebih kecil dari satu R e = 486 Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model HV dengan edukasi kesehatan 6 publik adalah E 5x 334x Selama tidak ada intervensi untuk mengendalikan penyebaran penyakit HV penyakit tidak akan hilang dari populasi karena angka reproduksi dasar lebih besar dari satu R =368 Efek laju kontak efektif Gambar menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif R e dan angka reproduksi dasar R jika berubah Nampak bahwa jika naik mengakibatkan ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan R e dan R ikut naik dengan R e R R e R o Laju Kontak Efektif Gambar Hubungan antara angka reproduksi jika berubah Jadi jika intervensi diberikan pada komunitas program edukasi kesehatan harus tetap diupayakan untuk menurunkan penyebaran penyakit atau untuk membasmi penyakit secara total Selanjutnya akan diverifikasi efek parameter model terhadap angka reprodukasi efektif dan terhadap dinamika infected dengan edukasi tanpa gejala DS dan infected dengan edukasi dan gejala DS Efek faktor reduksi dari penyebaran HV dengan edukasi Gambar 3 a menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif R e dan faktor reduksi dari

7 ngka Reproduksi R ef nvected dengan edukasi tanpa DS nvected dengan edukasi dan DS ngka Reproduksi R ef penyebaran HV/DS dengan edukasi Nampak bahwa jika naik % maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan R e turun 38% Hal ini diperkuat Gambar 3 b dan Gambar 3 c yang menunjukkan bahwa populasi infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS turun jika naik Jadi nilai parameter faktor reduksi penyebaran HV dengan edukasi harus dipertahankan atau dinaikkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HV/DS x Faktor reduksi penyebaran HV =8 =9 a x 6 =8 = Waktu Tahun b Waktu Tahun Gambar 3 Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS Hal yang sama tejadi pada laju kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru Jika naik sebesar % maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan R e turun sebesar 36% Gambar 4a Populasi infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS turun jika naik Gambar 4 b dan Gambar 4 c Jadi nilai parameter laju kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru harus dipertahankan atau dinaikkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HV/DS c Kehandalan edukasi a

8 nvected dengan edukasi tanpa DS nvected dengan edukasi dan DS ngka Reproduksi R ef nvected dengan edukasi tanpa DS nvected dengan edukasi dan DS 8 x =8 =9 5 3 x =8 = Waktu Tahun b Waktu Tahun Gambar 4 Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS Gambar 5 a menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif R e dan laju kontak efektif Jika naik sebesar % maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan R e naik sebesar % Dari Gambar 5 b dan Gambar 5 c nampak bahwa populasi infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS naik jika naik Jadi nilai parameter laju laju kontak efektif harus diturunkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HV/DS c x =4 =5 Laju kontak a 35 x =4 = Waktu Tahun b Waktu Tahun Gambar 5 Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS Hal yang sama tejadi pada parameter modifikasi keinfeksian dengan edukasi Jika naik sebesar % maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan R e naik sebesar 59% Gambar 6a Populasi infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS naik jika naik Gambar 6 b dan Gambar 6 c Jadi nilai parameter modifikasi keinfeksian dengan edukasi harus diturunkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HV/DS c

9 nvected dengan edukasi tanpa DS nvected dengan edukasi dan DS nvected dengan edukasi tanpa DS nvected dengan edukasi dan DS ngka Reproduksi R ef x Parameter modifikasi dari keinfeksian dengan edukasi =3 =4 a x 6 =3 = Waktu Tahun b Waktu Tahun Gambar 6 Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS Pada kasus jika semua parameter dinaikkan % maka nilai angka reproduksi efektif R e turun dari 486 menjadi Dalam hal ini populasi infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS tampak turun dari populasi awal Gambar a dan Gamba b 5 x 6 Nilai parameter awal Nilai parameter naik 5 3 x 6 c Nilai parameter awal Nilai parameter naik Waktu Tahun a Waktu Tahun Gambar Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa dengan gejala DS jika semua parameter dinaikkan % 6 Kesimpulan Parameter-parameter yang meningkatkan endemisitas adalah parameter-parameter dan dan parameter-parameter yang menurunkan endemisitas adalah dan p Parameter yang paling sensitif pada angka reproduksi efektif adalah faktor reduksi dari penyebaran HV/DS dengan edukasi diikuti oleh kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru b

10 Sedangkan parameter yang kurang sensitif pada angka reproduksi efektif adalah laju edukasi dalam dan laju edukasi dalam Dari simulasi numerik disimpulkan bahwa model HV/DS dengan edukasi kesehatan publik 6 mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit E 5x 334 ngka x reproduksi efektif R e =486 dan E stabil asimtotik lokal artinya berdasarkan data simulasi yang diberikan penyakit HV/DS dapat direduksi menggunakan program intervensi edukasi kesehatan publik Daftar Pustaka [] nonim Strategi Nasional Penanggulangan HV dan DS -4 Komisi Penanggulangan DS Nasional [] Naresh R Tripath and Sharma D Modelling the Effect of Risky Sexual Behavior on The Spread of HV/DS nternational Journal of pplied Mathematics and Computation [3] Hussaini N Winter M and Gumel B Qualitative ssesment of The Role of Public Health Education Program on HV Transmission Dynamics Mathematical Medicine and Biology [4] Mukandavire Z Garira W and Tchuenche JM Modelling Effects of Public Health Educational Campaigns on HV/DS Transmission Dynamics pplied Mathematical Modelling [5] Chitnis N Hyman JM and Cushing JM Determining mportant Parameter in the Spread of Malaria Through the Sensitivity nalysis of Mathematical Model Department of Public Health and Epidemiology [6] Safiel R Massawe E S and Makinde D O Modelling the Effect Screening and Treatment on Transmission of HV/DS nfection in a Population merican Journal of Mathematics and Statistics [] Marsudi dan Wibowo RBE nalisis Kualitatif Dampak Program Kampanye Edukasi Kesehatan Masyarakat pada Dinamika Penyebaran HV Laporan Penelitian Fundamental LPPM Universitas Brawijaya [8] Marsudi Majono dan ndari Evaluasi Dampak Program Skrining dan Terapi HV dalam Upaya Pencegahan Penyebaran HV di Malang Melalui nalisis Sensitivitas Model Matematika Laporan Penelitian BOPTN 3 LPPM Universitas Brawijaya 3 [9] van den Driessche P and Watmough J Reproduction Numbers and Subthreshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of DiseaseTransmission Mathematical Biosciences