KONSEP KETERBAGIAN PADA IDEAL DALAM RING Z[ ] DAN APLIKASINYA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR. (Skripsi) Oleh KARINA SYLFIA DEWI

Transkripsi

1 KONSEP KETERBAGIAN PADA IDEAL DALAM RING Z[ ] DAN APLIKASINYA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR (Skripsi Oleh KARINA SYLFIA DEWI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 206

2 ABSTRAK Persamaan Diophantine adalah persamaan polinomial atas bilangan bulat dalam n variabel dengan solusi bilangan bulat. Persamaan Diophantine berbentuk f(x, x2,..., xn 0 dengan f adalah fungsi n variabel dengan n 2. Ada 3 masalah dasar yang diperhatikan dalam persamaan Diophantine: apakah persamaan Diophantine mempunyai penyelesaian, penyelesaiannya hingga, atau penyelesaiannya tak hingga. Jika mempunyai penyelesaian, maka tentukan semua penyelesaiannya. Mencari penyelesaian persamaan Diophantine lebih sulit daripada menentukan apakah penyelesaiannya ada atau tidak. Beberapa metode penyelesaian persamaan Diophantine dasar antara lain: dekomposisi, aritmatika modulo, matematika induksi dan metode Fermat tak hingga. Metode dalam penelitian ini adalah metode ring Z[ ] dengan memperhatikan konsep keterbagian, keprimaan serta faktorisasi pada bilangan bulat Z[ ]. Kata Kunci: Persamaan Diophantine, norm, prima, ring bilangan bulat Gaussian dalam Z[ ]

3 ABSTRACT A Diophantine equation is a polynomial equation over Z in n variables in which we look for integer solutions. In what follows, we call a Diophantine equation an equation of the form f(x, x2,..., xn 0 where f is an n-variable function with n 2. Concerning a Diophantine equation three basic problems arise: Is the equation solvable, the solvable solutions is finite, or the solvable solutions is infinite. If it is solvable, so determine all of its solutions. It is easier to show that a Diophantine Equations has no solutions than it is to solve an equations with a solution. Elementary methods in solving Diophantine equations, such as: decomposition, modular arithmetic, mathematical induction, and Fermat s infinite descent. Some advanced methods for solving Diophantine equations involving Gaussian integers, quadratic rings, divisors of certain forms, and quadratic reciprocity. Keyword : Diophantine equation, norm, prima, ring of Gaussian integer in Z[ ].

4 KONSEP KETERBAGIAN PADA IDEAL DALAM RING Z[ ] DAN APLIKASINYA UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR Oleh KARINA SYLFIA DEWI Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 206

5 i

6 ii

7 iii

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kota Metro pada tanggal 0 Januari 996, sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, putri dari pasangan Bapak Ir. Zulfikar Passa dan Ibu Sitiyana, S.Pd. Pendidikan Taman Kanak Kanak (TK Pertiwi Metro pada tahun 200, Pendidikan Sekolah Dasar (SD Pertiwi Teladan Metro pada tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama (SMP Negeri Metro pada tahun 200, Sekolah Menengah Atas (SMA Negeri Metro pada tahun 203. Tahun 203 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur SNMPTN (undangan. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA yang diamanahkan menjadi anggota Bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan periode dan dilanjutkan menjadi Sekretaris Biro Dana dan Usaha (Danus periode Selain itu penulis juga pernah bergabung di Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM FMIPA yang diamanahkan menjadi anggota Departemen Advokasi dan Kesejahteraan Mahasiswa (Adkesma periode Pada awal tahun 206 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP di Biro Administrasi Pembangunan Kantor Gubernur Provinsi Lampung. Pada bulan Juli hingga Agustus 206 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN dan bergabung pada KKN Kebangsaan 206 di Kepulauan Riau.

9 KATA INSPIRASI Setiap fase memiliki pelajarannya masing-masing, yang kita perlukan hanya sabar dan syukur di setiap fasenya (Kurniawan Gunadi

10 PERSEMBAHAN Kupersembahkan karya kecilku ini dengan ketulusan cinta dan segala kerendahan hati kepada : Bapak dan Ibu tercinta yang dengan segala cinta, doa, dorongan semangat, dan pengorbanan untukku dalam menyelesaikan skripsi ini, serta kakakku Muhammad Ryanda Adhitya Rakhman Passa, dan adikku Jayanthi Maharani tersayang yang selalu memberi doa, dan semangat, serta setia menunggu atas keberhasilanku Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh sahabat-sahabatku dan Almamaterku Universitas Lampung

11 SANWACANA Alhamdulillah penulis ucapkan puji dan syukur terhadap kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah serta nikmat yang tak kurangkurangnya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi dengan judul Konsep Keterbagian Pada Ideal Dalam Ring Z[ ] Dan Aplikasinya Untuk Penyelesaian Persamaan Diophantine Non Linear disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S,Si. di Universitas Lampung. Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:. Bapak Amanto, S,Si., M,Si. selaku Pembimbing I, atas segala bantuan dan waktunya untuk membimbing, memberi arahan, nasehat, dan juga motivasi di tengah kesibukannya beliau sabar membantu penyelesaian skripsi ini; 2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing II atas bimbingan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini; 3. Ibu Dra. Wamiliana M,A., Ph.D. selaku Pembahas atas saran dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini; 4. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik; 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika;

12 6. Ibu dan Bapak tercinta yang telah membesarkan penulis, juga atas doa, cinta, semangat, pengorbanan yang luar biasa, serta Kakak dan Adik tersayang yang selalu memberikan kasih sayang kepada penulis; 7. Sahabat-sahabat Matematika 203 Maimuri, Suri, Tiwi, Siti, Eka, Citra, Selma, Shintia, Suci, Yucky, Della, Tina, Rio, Irfan, Rasyd, Artha, Sanfernando, Jefery, dan Onal, serta yang lainnya terima kasih banyak atas dukungan, doa, dan semangatnya, juga atas kebersamaan yang luar biasa selama ini; 8. Sahabat-sahabatku Tia, Bima, Galuh, Intan, Okta, Nevi, Erlina, Klara, dan Agustin atas kebersamaan selama ini juga atas semangat yang telah diberikan kepada penulis; 9. Adik-adik Matematika 204 dan 205 Atuy, Anin, Yona, Redi, Eca, Dea, Annisa ul, dan Ncek, serta yang lainnya terima kasih banyak atas dukungannya; 0. Pengurus dan Magang HIMATIKA 205/206 khususnya Biro Dana dan Usaha terima kasih banyak atas pengalaman organisasi berbasis kekeluargaan yang kalian berikan;. Almamaterku tercinta Universitas Lampung. Bandar Lampung, November 206 Penulis Karina Sylfia Dewi

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... i DAFTAR SIMBOL...iii BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang....2 Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2. Keterbagian Faktor Persekutuan Terbesar (FPB Bilangan Prima Modulo Persamaan Diophantine Linear Sistem Bilangan Kompleks Ring Daerah Integral...26 i

14 2.9 Bilangan Bulat Gaussian Konsep Norm dan Unit dalam Ring Z[i] Ideal dalam Ring Z[ ] BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat dan Waktu Penelitian Metode Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4. Konsep Keterbagian pada Ideal dalam Ring Z[ ] Penyelesaian Persamaan Diophantine Non Linear dengan Metode Ring Z[ ] BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5. Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA ii

15 DAFTAR SIMBOL DAN SINGKATAN : a membagi habis b atau b habis dibagi a Z[i] : Himpunan semua bilangan bulat Gaussian : a tidak membagi habis b : himpunan semua bilangan bulat mod : modulo N( : Norm dari a b (mod m : a berelasi kongruen dengan b modulo m : anggota : lebih kecil atau sama dengan : lebih besar atau sama dengan gcd : greatest common divisor FPB : factor persekutuan terbesar : untuk setiap : terdapat iii

16 I. PENDAHULUAN. Latar Belakang Dalam mempelajari matematika, pasti akan dikenal istilah aljabar. Pembelajaran dalam aljabar dimulai dari aljabar linear elementer, aljabar linear lanjut, struktur aljabar, aljabar terapan, dan masih banyak lagi materi tentang aljabar yang dapat dipelajari. Dalam struktur aljabar sendiri akan dikenal istilah grup, subgrup, ring, subring, homomorfisma, grup faktor, ring faktor, ideal, ideal prima, ideal maksimal, dan masih banyak lagi. Ideal sendiri merupakan suatu subring dari ring yang memenuhi dan untuk semua. Sementara itu, secara umum diketahui bahwa persamaan Diophantine adalah persamaan dengan variabel-variabel tertentu sehingga solusinya merupakan bilangan bulat. Persamaan Diophantine pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus dari Alexandria yang dikenal dengan julukan bapak dari aljabar. Koefisien dari persamaan Diophantine hanya melibatkan bilangan bulat. Tidak ada bilangan pecahan di persamaan ini (Andreescu dkk, 200. Persamaan Diophantine tidak harus linear, dapat saja kuadrat, kubik, atau lainnya. Contohnya ax 2 by 2 c. Persamaan

17 2 Diophantine dapat memiliki banyak solusi yang beragam, yaitu tidak ada solusi, solusi tunggal dan solusi banyak (tak berhingga. Pada mulanya persamaan Diophantine khususnya persamaan Diophantine linear menggunakan Algoritma Euclid untuk menyelesaikannya. Beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine bentuk linear antara lain: metode faktorisasi prima, dengan pertidaksamaan, metode parametrik, metode modulo, metode induksi, Fermat s Method of Infinite Descent (FMID. Dalam perkembangannya persamaan Diophantine yang berbentuk kuadrat dan yang memuat persamaan Pell dapat menggunakan metode matriks dan analisis keterbagian (Andreescu dkk, 200. Persamaan Pell adalah persamaan yang mempunyai solusi penyelesaian bilangan bulat positif dengan bentuk x 2 dy 2, x, y 0 dengan d > dimana d adalah bilangan bulat positif dan bukan kuadrat sempurna. Dalam penelitian ini penulis akan mengkaji tentang konsep keterbagian pada ideal dalam ring Z[ ] dan juga aplikasinya untuk penyelesaian persamaan Diophantine non linear..2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah Bagaimana cara memperumum konsep keterbagian pada bilangan bulat Z ke ring Z[ ], khususnya pada ideal ring

18 3 Z[ ] dan bagaimana menyelesaikan persamaan Diophantine non linear dengan menggunakan metode ring Z[ ]?.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mengkaji konsep keterbagian pada ideal dalam ring Z[ ] dan aplikasinya untuk penyelesaian persamaan Diophantine non linear..4 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 2. Menambah wawasan tentang materi struktur aljabar, khususnya ideal pada ring Z[i]. 3. Mempelajari lebih dalam lagi tentang konsep keterbagian pada ideal dalam ring Z[i] dan aplikasinya untuk penyelesaian persamaan Diophantine non linear.

19 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep keterbagian, keprimaan, persamaan Diophantine dan ring ℤ[ ] yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2. Keterbagian Definisi 2.. Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga ditulis (Burton, Jika a tidak membagi habis b maka Istilah lain untuk adalah a faktor dari, pembagi b atau b kelipatan dari a. Bila a pembagi b maka juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan selalu terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu bilangan bulat cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian tinggal menggabungkan faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung dari definisi adalah sebagai berikut: 0,, dan untuk 0 Fakta 0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan apapun yang tidak nol. Fakta mengatakan bahwa merupakan faktor atau

20 5 pembagi dari bilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta menyatakan bahwa bilangan tidak nol selalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil baginya adalah. Berdasarkan pengertian keterbagian bilangan terdapat pada Definisi 2.., maka berikut ini akan diberikan teorema tentang keterbagian. Teorema 2.. (Sukirman, 997 Untuk setiap,, ℤ berlaku pernyataan berikut:. jika dan hanya jika 2. Jika dan maka atau.. 3. Jika dan maka. 4. dan jika dan hanya jika 6. Jika dan, maka ( untuk sebarang bilangan bulat x dan y. 5. Jika dan. atau 0, maka <. Bukti.. Jika atau, maka jelas bahwa berarti ada sebelumnya. Sebaliknya, diketahui, sesuai penjelasan ℤ sehinga ka. Persamaan ini hanya dipenuhi oleh dua kemungkinan berikut: k, a atau 2.,. Jadi berlaku jika terbukti jika hanya jika atau Diketahui dan yaitu ada, maka, ℤ sehingga atau Dengan mengalikan kedua persamaan tersebut diperoleh : (,. Jadi dan.

21 6 yaitu 3.. Diketahui dan, maka terdapat, dan ℤ sehingga (2. (2.2 Ppersamaan (2. disubstitusikan ke persamaan (2.2, sehingga diperol 4. Diketahui ( ( dan. (2.3 (2.4 Persamaan (2.3 dikalikan dengan persamaan (2.4, diperoleh ( (. Diperoleh jadi terbukti, yakni. atau 5. Diberikan b ac untuk suatu 6.. Karena dan atau, ℤ. Diambil nilai mutlaknya 0 maka. Sehingga diperoleh. Diketahui dan, maka terdapat yang berarti (,. Untuk sebarang,. ℤ sedemikian sehingga ℤ berlaku ( Pernyataan terakhir teorema ini berlaku juga untuk berhingga banyak bilangan yang dibagi oleh a, yaitu untuk setiap bilangan bulat (,,,,,,. yaitu:

22 7 2.2 Faktor Persekutuan Terbesar ( FPB Definisi 2.2. Misalkan a atau b dua bilangan bulat dengan minimal salah satunya tidak nol. Faktor persekutuan terbesar (FPB atau greatest common divisor (gcd dari a dan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi (i (ii dan, dan jika dan maka c. Dari Definisi 2.2., syarat ( i menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b. Sedangkan syarat ( ii menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terbesar. Selanjutnya, jika d faktor persekutuan terbesar dari a dan b akan ditulis gcd(, (Sukirman,997. Teorema 2.2. Algoritma Pembagian (Graham, 975 Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a, b > 0, a 0 maka ada tepat satu pasang bilangan-bilangan q dan r sehingga: b qa r dengan 0 r a Algoritma pembagian adalah suatu cara atau prosedur yang dapat dipakai untuk mendapatkan faktor persekutuan terbesar. Ilustrasinya adalah : Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > 0, b > 0, maka gcd(a,b dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian. a qb r 0 <r<b b q2r r2 0 <r2<r r q3r2 r3 0 <r3<r2...

23 8 rn- qnrn- rn 0 <rn<rn- rn- qnrn 0 0 <r<b maka rn, sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan gcd (a,b. Berdasarkan Definisi 2.2. maka berikut ini akan diberikan teorema sebagai berikut. Teorema (Sukirman, 997 Jika a dan b dua bilangan bulat yang keduanya tak nol maka terdapat bilangan bulat x dan y sehingga gcd(, (2.5 Persamaan (2.5 disebut dengan identitas Benzout. Sebelum dibuktikan, perhatikan ilustrasi berikut, gcd(2,30 6 (22 30( gcd(8, 36 4 (84 (36( Identitas Benzout menyatakan bahwa gcd(, dapat disajikan dalam bentuk kombinasi linear atas a dan b. Ekspresi ruas kanan pada (2.5 disebut kombinasi linear dari a dan b. Pada teorema ini keberadaan x dan y tidak harus tunggal. Bukti. Bentuk S himpunan semua kombinasi linear positif dari a dan b sebagai berikut { Perhatikan bahwa, jika,, 0 maka ℤ} 0, yaitu dengan mengambil u bila a positif atau u - bila a negatif. Jadi, himpunan S tak kosong. Menurut sifat urutan, S terjamin memiliki anggota terkecil, katakan saja

24 9 d. Selanjutnya, dibuktikan sehingga gcd(,. Karena, dengan 0 ditunjukkan r 0, sehingga diperoleh. Jika Faktanya maka terdapat, ℤ. Dengan menerapkan algoritma pembagian pada a dan d maka terdapat q dan r sehingga 0< ( sedangkan syaratnya < <. Selanjutnya > 0 maka dapat ditulis ( ( ini bertentangan dengan pernyataan bahwa d elemen terkecil S sehingga disimpulkan r 0 atau. Argumen yang sama dapat dipakai dengan menerapkan algoritma pembagian pada b dan d untuk menunjukkan. Jadi, terbukti bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b. Selanjutnya ditunjukkan faktor persekutuan ini adalah yang terbesar. Misalkan c adalah bilangan bulat positif dengan dan maka yaitu. Jadi, karena tidak mungkin pembagi lebih besar dari bilangan yang dibagi. Terbukti bahwa gcd(, 2.3 Bilangan Prima Definisi 2.3. Sebuah bilangan bulat > disebut bilangan prima, jika dan hanya jika p habis dibagi dengan dan bilangan sendiri (Burton,980. Definisi (Relatif Prima Bilangan bulat a dan b dikatakan coprima atau relatif prima jika gcd(, (Burton, 980.

25 0 Berdasarkan pengertian relatif prima yang terdapat pada Definisi 2.3.2, maka akan diberikan teorema - teorema sebagai berikut yang dirujuk dari buku Sukirman tahun 997. Teorema 2.3. Bilangan a dan b relatif prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat x, y sehingga. Bukti. Karena a dan b relatif prima maka gcd(,. Identitas Bezout menjamin adanya bilangan bulat x, y sehingga bilangan bulat maka (. Sebaliknya, misalkan ada. Dibuktikan gcd(,. Karena dan, jadi. Karena itu disimpulkan d. Teorema Jika gcd(,, maka berlaku pernyataan berikut dan maka. Jika 2. Jika maka (Lemma Euclid. Bukti.. Diketahui dan. Artinya, ℤ terdapat. Berdasarkan hipotesis, gcd(,. Oleh karena itu dapat dituliskan untuk suatu bilangan bulat x dan y. Akibatnya (

26 ( Karena 2. terdapat bilangan ( ( bulat. Terbukti bahwa, jika dan maka Diketahui sedemikian., gcd(,. Oleh karena itu dapat dituliskan untuk suatu bilangan bulat x, y. Akibatnya ( Karena diketahui dan faktanya, sehingga terbukti. sehingga maka (. Karena Karena penyelesaian persamaan Diophantine yang digunakan adalah dengan relasi kongruensi modulo m, maka diberikan definisi modulo sebagai berikut. 2.4 Modulo Definisi 2.4. Misalkan a, m> 0 bilangan bulat. Operasi a mod m (dibaca a modulo m memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Notasi: a mod m r sedemikian sehingga a mq r, dengan 0 r < m. Bilangan m disebut modulo, dan hasil aritmatika modulo m terletak di dalam himpunan {0,,, m } (Grillet, Definisi (Relasi Kongruensi Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m > 0, a dikatakan kongruen dengan b modulo m atau ditulis a b (mod m jika m habis membagi a b. Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulo m, maka ditulis a b (mod m (Grillet, 2007.

27 2 Kekongruenan a b (mod m dapat pula dituliskan dalam hubungan a b km yang dalam hal ini k adalah bilangan bulat. Contoh. 6 4 (mod 3 dapat ditulis sebagai Sehingga, dapat dituliskan a mod m r sebagai : a r (mod m Teorema 2.4. (Grillet, 2007 Misalkan m adalah bilangan bulat positif. Jika a b (mod m dan c adalah sebarang bilangan bulat maka (i (a c ( b c (mod m (ii ac bc (mod m (iii ap bp(mod m untuk suatu bilangan bulat tak negatif p. 2. Jika a b (mod m dan c d (mod m, maka (i (a c (b d (mod m (ii ac bd (mod m Bukti.. (i a b (mod m berarti untuk sebarang ( (mod (ii a b (mod m berarti: untuk suatu ℤ, diperoleh ℤ

28 3 ( (iii ( a b (mod m berarti ℤ {0} ( 2. (i, dengan { ( } a b (mod m 2 a b (mod m c d (mod m ( ( ( (mod ℤ ( ( (ii ( (mod m Jadi,( ( ( ( ( ( dengan ( c d (mod m (, untuk suatu ℤ, untuk suatu ℤ

29 4 Teorema Teorema Fermat (Burton, 980 Jika p adalah bilangan prima dan ( maka. adalah bilangan bulat positif dimana, Bukti. Diasumsikan ( bilangan positif pertama kelipatan dari, yaitu bilangan bulat. Sehingga terdapat barisan sebagai berikut:, 2, 3,, ( (2.6 Tidak ada satu pun suatu bilangan dari barisan di atas yang habis dibagi p, karena barisan tersebut terbentuk dengan pola ka dimana dan, maka bilangan yang. Oleh karena. Kemudian, dari barisan tersebut tidak ada dua kongruen. Dengan kata lain, jika bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan p, maka sisa pembagiannya akan selalu berbeda satu sama lain. Diasumsikan bahwa ada dua bilangan kongruen sehingga ( untuk Karena gcd(a,p, maka diperoleh ( <, yaitu ra dan sa. (2.7 Karena r dan s harus lebih besar dan harus lebih kecil dari p, maka ini menyatakan r s. Persamaan (2.7 kontradiksi dengan asumsi awal bahwa r dan s harus berbeda. Oleh karena itu, himpunan barisan pada (2.6 harus kongruen terhadap,2,3,4,,. Selanjutnya jika himpunan tersebut dikalikan dan dikenai modulo, maka diperoleh : (. 2 3 ( (

30 5 Sehingga, Karena gcd (!, (! (! (, maka ( Contoh. Tunjukkan bahwa sisa pembagian 538 oleh adalah 4. Untuk menunjukkan hal di atas, dengan menggunakan relasi kongruensi cukup ditunjukan bahwa (mod. Bukti. 538 (503 8 (50 3 ( (mod 8 (mod 4 (mod 2.5 Persamaan Diophantine linear Definisi 2.5. Persamaan Diophantine adalah persamaan suku banyak atas bilangan bulat Z dalam n variable dengan solusi bulat, ditulis sebagai f(x, x2,..., x2 0, dengan f adalah fungsi n variabel dengan n 2 (Burton, 980. Contoh.. 2x 5y 200, dengan x dan y bilangan bulat

31 6 2. y3 x2, dengan x dan y bilangan bulat 3. x y xy 34, dengan x dan y bilangan bulat positif Persamaan Diophantine dapat berbentuk linear (contoh maupun non linear (contoh 2 dan 3. Beberapa metode penyelesaian persamaan Diophantine, antara lain: Faktor Persekutuan Terbesar (FPB, pemfaktoran, keterbagian, teknik pembatasan, parameter dan struktur aljabar ring. Definisi Persamaan Diophantine linear dua variabel adalah suatu persamaan berbentuk ax by c dengan a, b, c bilangan bilangan bulat dan a, b dua-duanya bukan nol disebut persamaan linear Diophantine jika penyelesaiannya dicari untuk bilangan bilangan bulat (Burton, Berdasarkan definisi persamaan Diophantine linear di atas dapat dibentuk teorema berikut ini. Teorema 2.5. (Burton, 980 Persamaan linear Diophantine ax by c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari a dan b habis membagi c. Bukti. Misalkan d gcd(a,b dan d c d c ada k bulat sehingga c kd. d gcd(a,b ada bilangan bulat m dan n sehingga : am bn d a (km b (kn kd a (km b (kn c

32 7 berarti x mk dan y nk. Berikut ini merupakan teorema tentang solusi umum persamaan Diophantine linear. Teorema Jika d gcd(a,b dan x0, y0 penyelesaian persamaan Diophantine ax by c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah x x0 dan y y0 - dengan k parameter bilangan bulat (Burton, 980. Karena ring yang akan dibahas adalah ℤ[ ] dimana ruang lingkupnya sangat erat dengan sistem bilangan kompleks sehingga akan dijelaskan konsep sistem bilangan kompleks sebagai berikut. 2.6 Sistem Bilangan Kompleks Definisi 2.6. Sistem bilangan kompleks ℂ adalah bilangan kompleks ℂ yang dilengkapi oleh operasi penjumlahan ( dan perkalian ( yang memenuhi aksioma atas lapangan ℂ (Churchill, 999. Berikut ini adalah teorema teorema tentang sifat sifat operasi penjumlahan dan perkalian dalam sistem bilangan kompleks yang dirujuk dari buku yang ditulis oleh Churchill tahun 999.

33 8 Teorema 2.6. Untuk semua bilangan kompleks berlaku sifat aditif dan asosiatif terhadap penjumlahan. ( 2.6 z (z2 z3 (z z2 z3 ( 2.7 Bukti. Misal, 2 dan ( ( ( ( 2 3 ( ( [ [( [( 2 2 ( ( ( 3] ( 3 3 ( 2 [( 2 [( 2 2 ( 3 2 3] 2 [ maka : 2 3 ( ( ( [( 2 2 ] ( ] 3] 3] 3] 3 Teorema Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat komutatif Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat asosiatif. ( 2.8

34 9 ( ( 2 ( Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat distributif terhadap penjumlahan. ( ( Bukti. Misal., z z2 ( 2. ( 2 2 ( ( ( 2 3 (( ( ( 2 ( [( ( [( ( ( dan 2 ( 3. ( 2 ( ( ( 2 ( ( ( ( 2 3 ( ] ( 2 3 [( 2 maka : 3 2 3] 3 [( [( [( ( ( ( ( ] [( 3 3] 3] 2 3] 2 3

35 20 ( ( 2 2 ( ( 2 ( ( 2 2 ( 3 3 ( Ring Sebelum membahas tentang ring ℤ[ ], akan diberikan terlebih dahulu definisi tentang grup berikut. Definisi 2.7. Suatu grup <G, *> adalah himpunan G yang diperlengkapi dengan operasi biner * pada G yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:. Operasi biner * asosiatif, yaitu a, b, c G berlaku : (a*b*c a*(b*c 2. Terdapat elemen identitas e untuk * pada G, yaitu terdapat e G sedemikian hingga e*a a*e a, a G 3. Untuk setiap a G mempunyai invers a-, yaitu terdapat a- G sedemikian hingga a*a- a- * a e (Dummit and Foote, Definisi 2.7.2

36 2 Suatu grup G dikatakan abelian (komutatif jika operasi biner * pada G adalah komutatif, yaitu a,b G maka a * b b*a. Contoh. Didefinisikan himpunan S { x R x }. Selanjutnya didefinisikan * pada S, dengan a b a b ab Tunjukkan S,, grup komutatif. Bukti. Harus dipenuhi aksioma grup berikut:. Tertutup, yaitu ( a, b S (a b S Bukti : Diketahui a b a b ab. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan a b a b ab a ab b a ( b ( b, b a, kontradiksi. Jadi pengandaian salah, yang benar a b ab Dengan kata lain a b S. 2. Asosiatif, yaitu ( a, b, c S (a b c a (b c Bukti : (a b c (a b ab c

37 22 (a b ab c (a b abc a b ab c ac bc abc a b c bc ab ac abc a (b c bc a(b c bc a (b c bc a (b c. 3. Terdapat elemen netral / identitas, yaitu ( a S, y S y a a y a Bukti : Misal y elemen netral untuk dari S, maka : y aa y a ya a y ya 0 y( a 0 y 0 atau ( a 0 ( a 0 tidak mungkin, sebab a. Oleh karena itu, satu satunya penyelesaian persamaan di atas adalah y 0 yang merupakan elemen netral pada S. 4. Terdapat invers, yaitu ( a S, z S z a a z 0 Bukti : z a0 z a za 0 z za a z( a a

38 23 z a, apakah z S? atau z? a Andaikan z, maka a a a ( a a a 0, Kontradiksi. Jadi yang benar z, dengan kata lain z S. 5. Komutatif, yaitu ( a, b S a b b a Bukti : a b a b ab b a ba b a. Berdasarkan (i sd (v, maka disimpulkan S, grup komutatif. Selanjutnya diberikan definisi ring sebagai berikut. Definisi Himpunan R dengan dua operasi biner (penjumlahan dan (perkalian atau ditulis,, merupakan ring jika memenuhi aksioma berikut: 2., merupakan grup komutatif; 3. setiap,,. Opersi perkaliannya bersifat asosoatif, yaitu ( ; Hukum distributif terpenuhi di R, yaitu untuk setiap,, ( untuk

39 24 ( ( ( dan (Dummit and Foote, ( ( ( Contoh. Didefinisikan himpunan S { x R x }. Selanjutnya didefinisikan dua operasi pada S, yaitu dan dengan definisi : i. a b a b ab ii. a b 0, a, b S Pasangan,, membentuk ring. Selanjutnya akan diberikan pengertian ideal dalam ring yang sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu pengertian subring. Definisi Diberikan ring R dan himpunan S R dengan S. Himpunan S disebut subring jika S sendiri merupakan ring terhadap operasi yang sama pada R. Contoh. Diberikan ring Z {0,, 2, 3,.} 2Z {0, 2, 4, 6,.} 2Z Z 2Z, grup komutatif 2Z, tertutup dan asosiatif 2Z,, merupakan ring

40 25 2Z subring dari Z. Untuk menyelidiki subring digunakan teorema berikut. Teorema 2.7. Diberikan himpunan bagian S dari ring R (S R. Himpunan S merupakan subring jika dan hanya jika :. 0 S 2. a, b S ( a b S 3. a, b S ab S Definisi Suatu subring dari ring disebut ideal dari yang memenuhi (Fraleigh, dan untuk semua Setiap ring R selalu mempunyai ideal, yaitu paling tidak mempunyai ideal {0R} dan R. Kedua ideal tersebut dinamakan ideal trivial. Definisi Diberikan ring, ideal dari. a. b. Untuk setiap,, disebut ideal maksimal jika : ideal dalam tidak ada ideal lain yang memuat dengan maka kecuali dirinya sendiri (Fraleigh, atau

41 26 Definisi Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan, N ideal dalam R. N disebut prima jika : a. b. Untuk setiap,,, dan dan ; atau atau (Fraleigh, Definisi Misalkan R ring dengan elemen satuan. Jika A sebarang himpunan bagian dari ring R. < > dinotasikan sebagai ideal terkecil dari R yang memuat A dan disebut ideal yang dibangun oleh A. Ideal yang dibangun oleh satu elemen disebut ideal utama (Fraleigh, Contoh. Misalkan., maka ideal utama dari 2.8 Daerah Integral Definisi 2.8. yang dibangun oleh adalah < >

42 27 Jika a dan b elemen tak nol dari ring R sedemikian sehingga ab0, maka a dan b adalah pembagi nol. Dengan kata lain a adalah pembagi nol kanan (Fraleigh, Berdasarkan pengertian pembagi nol terdapat pada Definisi 2.8., maka berikut ini akan diberikan teorema tentang pembagi nol. Teorema 2.8. Dalam ring ℤ pembagi nol adalah elemen elemen yang tidak relatif prima terhadap n (Fraleigh, Berdasarkan teorema pembagi nol yang terdapat pada Teorema 2.8., maka berikut ini akan diberikan akibat dari Teorema Akibat Jika p sebuah bilangan prima, maka ℤ tidak mempunyai pembagi nol. Definisi Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi nol disebut daerah integral (Fraleigh, Berikut ini akan diberikan pengertian unit dan elemen irreducible yang digunakan dalam pembahasan faktorisasi tunggal. Definisi 2.8.3

43 28 Misalkan adalah Daerah Integral dan adalah elemen satuan di, merupakan unit jika dan hanya jika u membagi sedemikian sehingga. untuk suatu operasi perkalian pada. Dengan kata lain, mempunyai invers terhadap ( Dummit and Foote, Contoh. Elemen unit di ℤ adalah dari -. karena (. dan karena - ( ( - ( - u. Definisi Misalkan jika 0 dan bukan unit di daerah integral. di, maka unit atau dikatakan irreducible unit di (Dummit and Foote, Berikut ini akan diberikan definisi bilangan bulat Gaussian yang akan digunakan pada penyelesaian persamaan Diophantine non linear. 2.9 Bilangan Bulat Gaussian Metode ring yang digunakan pada penelitian ini adalah ring ℤ[ ], sehingga didefinisikan bilangan Gaussian sebagai berikut. Definisi 2.9. Bilangan bulat Gaussian adalah bilangan kompleks yang bagian riil dan bagian imajinernya adalah bilangan bulat. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks, himpunan bilangan bulat Gaussian membentuk ring yang dinotasikan dengan ℤ[ ] dan dituliskan dengan

44 29 ℤ[ ] { a bi a, ℤ } (Andreescu dkk, 200. Berikut ini akan dibuktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat Gaussian ℤ[ ] dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk ring. Teorema 2.9. (Andresescu dkk, 200 Jika diberikan himpunan semua bilangan bulat Gaussian : ℤ[ ] {, Pada ℤ[ ] didefinisikan dua operasi : ℤ} ( i Operasi penjumlahan (, yaitu : ( ( ( ( ( ii Operasi perkalian (, yaitu : ( ( ( maka, < ℤ[ ],, > membentuk ring. ( Bukti. a. Harus dibuktikan < ℤ[ ], > grup komutatif. ( i Diberikan sebarang ( Karena (, ( ( ( ( ℤ dan ( ℤ[ ], maka ( ( Jadi operasi tertutup pada ℤ[ ]. ( ii Diberikan sebarang ( [( ℤ[ ], maka diperoleh: (, ( ] (, ( ℤ[ ]. ℤ[ ] maka diperoleh: [( ( ] ( ( ( (

45 30 ( ( ( ( ( [( ( ] ( [( ( ] Jadi operasi bersifat assosiatif pada ℤ[ ]. (iii Diberikan sebarang ( ℤ[ ], maka terdapat ( sehingga, ( ( Dari persamaan ( ( ( ( ( ( ( Jadi dan 0 dan 0 ℤ[ ], terdapat ( ( ℤ[ ] sehingga, ( ( ( ( 00 0 dan Dari persamaan ( ( Jadi ( ( 0 0 merupakan elemen netral pada ℤ[ ]. ( iv Untuk setiap ( ( ( ℤ[ ] dan merupakan invers pada ℤ[ ] ( ( v Diberikan sebarang ( (, ( ( ℤ[ ]. ℤ[ ], maka diperoleh : ( (

46 3 ( ( ( Jadi operasi komutatif. b. Dari (i, (ii, (iii, (iv, dan (v disimpulkan < ℤ[ ], > grup komutatif. Terhadap operasi perkalian ( harus dibuktikan: ( i Diberikan sebarang ( ( karena (, ( ( ℤ dan ( ( ( ( ℤ[ ], maka Jadi operasi tertutup pada ℤ[ ]. ( ℤ, maka ℤ[ ]. ( ii Assosiatif Diberikan sebarang ( [( ( [( ( c. [( ( ( ((, ( ( ] ( ( ( ℤ[ ], maka diperoleh: ] ( ] [(, ( ( ] Terhadap operasi dan harus dipenuhi ( i Distributif kiri Diberikan sebarang ( ( [(, ( ( ], ( ℤ[ ], maka diperoleh:

47 32 ( [( ( ] [ ( ( ] [ ( ( ] ( ( ( ( ii Distributif kanan [( ( ( Diberikan sebarang ( ( ] ( [( ( ] ( (, (, ( ℤ[ ], maka diperoleh: [( ( ] [( ( ] ( ( ( ( ( ( Selanjutnya ring ℤ[ ] merupakan daerah integral, yang dituliskan dalam teorema berikut : Teorema (Andresescu dkk, 200 Ring ℤ[ ] merupakan daerah integral. Bukti. Untuk membuktikan ring ℤ[ ]daerah integral cukup dibuktikan. ( i Ring ℤ[ ] komutatif Diberikan sebarang (, ( ( ( ( ( ℤ[ ], maka diperoleh: ( (

48 33 ( ( ii Ring ℤ[ ] tidak memuat pembagi nol ( Ring ℤ[ ] tidak memuat pembagi nol, sebab jika diambil sebarang ( 0, ( 0, maka ( ( 0. Selanjutnya akan dibahas konsep bilangan prima dan unit dalam ring ℤ[ ]. 2.0 Konsep Norm dan Unit dalam Ring Z[i] Sebelum membahas unit dalam ring Z[i], terlebih dahulu didefinisikan norm (jarak pada ring Z[i]. Definisi 2.0. Norm pada ℤ[ ] merupakan fungsi : ℤ[ ] ℤ dengan rumus N (a bi, ( ℤ[ ]. Norm di atas menyatakan ukuran besaran dari elemen ℤ[ ]. Norm juga digunakan untuk pembuktian eksistansi (keberadaan unit dan keprimaan dalam ring ℤ[ ]. Selain itu, norm juga digunakan untuk mengukur sisa keterbagian pada ring ℤ[ ]. Berikut ini diberikan sifat multiplikatif dari norm pada ℤ[ ]. Teorema 2.0. (Andresescu dkk, 200 Fungsi norm ( ( Bukti. ℤ[ ] ℤ bersifat multiplikatif, yaitu : N(αN(,, ℤ[ ]

49 34 ℤ[ ] dengan, Diberikan sebarang diperoleh : ( ( Sehingga diperoleh, ( N( ( 2 ( ( ( N(αN( ( ( ( 2 dan, maka Sifat multiplikatif norm N pada ℤ[ ] ini juga dapat digunakan untuk menghubungkan struktur multiplikatif pada ℤ dengan struktur multiplikatif pada ℤ[ ], dan juga dapat untuk menghubungkan keterbagian, keprimaan pada ℤ dengan keterbagian serta keprimaan dalam ring ℤ[ ]. Dengan definisi norm pada ℤ[ ] pada Definisi 2.0. dapat digunakan untuk mengembangkan pengertian unit pada ring ℤ[ ] berikut ini : Definisi Misalkan ℤ[ ]. Bilangan bulat Gaussian hanya jika N(. dikatakan unit dari ℤ[ ] jika dan Sehingga unit dari ℤ[ ] adalah, -, i,-i. Unit-unit tersebut dapat dicari dengan cara berikut:

50 35 Diberikan sebarang ℤ[ ], sebagai unit. Maka terdapat elemen lain ℤ[ ] sedemikian sehingga, ( N ( N( ( ( ( ( ( Karena,,, bilangan bulat, maka ( Maka diperoleh solusi (, (,0, (0,, (,0 dan (0,. Dalam ring ℤ[ ], maka solusi tersebut menjadi,, dan. 2. Ideal dalam Ring Z[i] Pada sub bab ini akan dijelaskan tentang ideal dalam Ring Z[i] yang dirujuk dari buku Andreescu dkk tahun 200. Jika p bilangan prima, maka himpunan I pz [i ] pa pbi a, b Z merupakan ideal dalam ring Z[i]. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. (i Diberikan sebarang x, y I, dengan x pa pbi, y pa2 pb2 i a, a2, b, b2 Z, sehingga diperoleh x y ( pa pbi ( pa2 pb2 i ( pa pa2 ( pb pb2 i p(a a 2 p(b b2 i Karena a, a2, b, b2 Z, maka (a a2, (b b2 Z. Sehingga x y I.

51 36 (ii Diberikan sebarang x I, r Z [i ], dengan x pa pbi, r a2 b2 i a, a2, b, b2 Z sehingga diperoleh xr ( pa pbi(a 2 b2 i ( pa a 2 pbb2 ( pb a 2 pab2 i p(a a 2 bb2 p(b a 2 ab2 i Karena a, a2, b, b2 Z, maka (aa2 bb2, (ba2 a b2 Z. Sehingga xr I. (iii Diberikan sebarang x I, r Z [i ], dengan x pa pbi, r a2 b2 i a, a2, b, b2 Z sehingga diperoleh rx (a 2 b2 i( pa pbi ( pa a 2 pbb2 ( pb a 2 pab2 i p(a a 2 bb2 p(b a 2 ab2 i Karena a, a2, b, b2 Z, maka (aa2 bb2, (ba2 a b2 Z. Sehingga rx I. Berdasarkan (i, (ii dan (iii, maka I ideal (maksimal dari ring Z[i]. Karena, -, i dan i unit dalam Z[i], maka <a bi>, < -a bi>, <-b ai> dan <b ai > merupakan ideal (ideal trivial dalam ring Z[i].

52 III. METODE PENELITIAN 3. Waktu dan Tempat Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran 206/ Metode Penelitian Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:. Membangun konsep keterbagian dan faktorisasi tunggal pada ring Z[i], dengan langkah langkah sebagai berikut : a. Mendefinisikan norm pada ring Z[i] b. Mendefinisikan unit dalam ring Z[i] c. Membuktikan ideal dalam ring Z[i] d. Mendefinisikan pengertian prima dalam ring Z[i] dan sifat-sifatnya serta memperumum teorema faktorisasi tungggal dari Z ke ring Z[i] 2. Mengkaji penerapan persamaan Diophantine non linear pada ideal dalam ring Z[ ].

53 V. KESIMPULAN DAN SARAN 5. Kesimpulan Persamaan Diophantine adalah persamaan dengan variabel variabel tertentu sehingga solusinya merupakan bilangan bulat. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, persamaan Diophantine non linear dapat diselesaikan dengan metode ring Z[ ], yaitu menggunakan sifat sifat faktorisasi prima tunggal dalam ring Z[i] yang merupakan perumuman sifat pada bilangan bulat Z. Dengan menjabarkan persamaan Diophantine menjadi perkalian elemen elemen prima dalam ring Z[ ], akan diperoleh solusi bilangan bulat yang memenuhi. Persamaan Diophantine yang dapat diselesaikan dengan metode ini adalah persamaan yang dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat Gaussian dalam ideal ring Z[i]. Selain itu permasalahan persamaan Diophantine non linear juga dapat diselesaikan cukup dengan menggunakan Lemma Euclid dan konsep norm pada ring Z[i]. 5.2 Saran Pada penelitian ini hanya dibahas persamaan Diophantine menggunakan bilangan bulat Gaussian pada Z[ ] dengan keterbagian. Disarankan pada penelitian selanjutnya untuk membahas persamaan Diophantine menggunakan bilangan bulat Gaussian pada Z[ ] dengan lebih dari 2 variabel.

54 DAFTAR PUSTAKA Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I An Introduction to Diophantine Equation. Birkhauser. Burton, D.M Elementary Number Theory. University Of New Hampshire.United State of Afrika. Churchill, R., 999. Complex Variable and Applications. McGraw-Hill. Dummit, D.S., Foote, R.M Abstract Algebra. Third Edition. Y&Y. United states of America. Fraleigh, J.B A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addison Wesley Publishing Company, Inc. Philippines Graham, M Modern Elementary Mathematics. Harcort Brace Jonanovich, inc. New York. Grillet, P.A Graduate Text In Mathematics. Second Edition. Springer. New York Sukirman, M. P Ilmu Bilangan. Universitas Terbuka. Jakarta.