KERNEL WAVELET. Oleh : Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI-Bandung ABSTRAK

Transkripsi

1 KENEL WAVELET Oleh : FPMIPA -Bandung ABSTAK Kernel wavelet adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh Mayer (0) sebagai E ( v) dengan ( u) ( u k), ( v) ( v ) adalah ( u, v), k ( u), k kz, k, k k fungsi-fungsi yang diperoleh dengan cara melakukan dilasi dan translasi k/ terhadap sebuah fungsi tunggal yang disebut fungsi skala (father wavelet). Kernel wavelet dapat uga dinyatakan dalam bentuk E ( u, v) ( u k) ( v k). kz Seperti halnya fungsi-fungsi kernel, kernel wavelet uga dapat digunakan untuk estimasi statistik nonparametrik, misalnya estimasi fungsi densitas, estimasi fungsi regresi, estimasi fungsi hazard. Kata kunci : kernel wavelet. Pendahuluan Dalam makalah ini akan diperkenalkan suatu fungsi yang didefinisikan oleh Mayer (0) yang dikenal dengan sebutan kernel wavelet. Untuk lebih memahami tentang pengertian kernel wavelet beserta sifat-sifatnya, penulis mencoba menguraikan terlebih dahulu secara singkat tentang beberapa pengertian dan teori-teori yang ada kaitannya dengan kernel wavelet, seperti : pengetian dan macam-macam fungsi kernel; kernel smoothing; teori wavelet yang meliputi : wavelet ortogonal, analisis multiresolusi (AM); dan diakhiri dengan memperlihatkan beberapa hasil simulasi komputer untuk fungsi-fungsi kernel. Seperti halnya fungsi-fungsi kernel, kernel wavelet uga dapat digunakan dalam estimasi fungsi statistika nonparametrik, misalnya untuk estimasi fungsi densitas (lihat Ogden ()); estimasi fungsi regresi (lihat Antoniadis ()); dan estimasi fungsi hazard dalam analisis data ui hidup (lihat Martadiputra ()).. Fungsi-Fungsi Kernel Definisi. Fungsi kernel K : adalah fungsi yang simetik terhadap titik pusat O dan mempunyai sifat : K (x)dx... (.) Dari definisi di atas, ika K adalah fungsi nonnegatif maka K dapat uga diartikan sebagai suatu fungsi padat peluang (fungsi densitas). Fungsi-fungsi kernel K(.) mempunyai support hingga, yaitu [-,] dan memenuhi syarat-syarat berikut : () K(u) du =, () uk(u) du = 0, () u K(u)du = (4) K (u) du (dalam Eubank (88), h.)... () Berikut adalah beberapa macam fungsi kernel yang telah dikenal dan sering digunakan estimasi statistika nonparametrik.

2 Value Kernel Epanechnikov Value Kernel Quartic Value Kernel Uniform Value Kernel Trangle. Uniform : K(u) = () I(u ). Triangle : K(u) = ( - u) I(u ). Epanechnikov : K(u) = (4)( - u ) I(u ) 4. Quartic : K(u) = (6) ( - u ) I(u )... (.). Triweigh : K(u) = () ( - u ) I(u ) 6. Gaussian : K(u) = () exp(-() u ). Cosinus : K(u) = (4) cos (u) I(u ) (dalam Hardle(), h) berikut. Hasil simulasi fungsi kernel dengan menggunakan program SPSS dapat dilihat pada gambar

3 Value Kernel Triweigh Value Kernel Gaussian Dalam estimasi statistik nonparametrik menggunakan kernel K(.), biasa digunakan estimatorestimator kernel dengan pembobotan yaitu K b (x) = (b)k(xb)... () dengan b adalah parameter smoothing yang mengatur tingkat kemulusan untuk kernel smoothers yang disebut bandwidth b. Jika fungsi kernel K(u) mempunyai support [-,] maka fungsi K(ub) mempunyai support [-b,b].. Teori Wavelet Ogden () mendefinisikan sebuah wavelet sebagai suatu fungsi gelombang yang disederhanakan dan dikonstruksi dengan hati-hati sehingga memiliki sifat-sifat matematika yang dapat dipercaya. Ide dari pengkontruksian wavelet adalah bagaimana memilih suatu fungsi tunggal (yang disebut wavelet) kemudian dibentuk keluarga fungsi,k yang diperoleh dengan cara mendelasi dan mentranslasi sehingga akan diperoleh basis di L (). Dengan kata lain,k membangun L () dan setiap fl () dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari,k. Misalkan adalah fungsi tunggal yang dipilih. Melalui delasi dan translasi k terhadap(x) diperoleh keluarga fungsi ( x - k) :,kz. Selanutnya dengan normalisasi pada ( x - k) akan diperoleh ( x - k) akan diperoleh ( x k)... (.),k Definisi. Suatu fungsi L () disebut wavelet ortogonal ika keluarga fungsi,k yang didefinisikan sebagai,k (x) = ( x-k) merupakan basis ortonormal untuk L () yaitu : (a),k (x), m,n (x) =,m k,n, ika = k dengan,k =,k,m,nz (disebut simbol Kronecker) dan 0, ika k (b) setiap fl () dapat ditulis dalam bentuk deret wavelet f(x) = c,k,k (x)... (),k dengan c,k = f,,k adalah koefisien wavelet. Jika suatu wavelet L () telah dikontruksi, maka disarankan untuk mempelaari struktur dari suatu dekomposisi L () yang membangunnya (dalam Chui (), h0). Definisi Keluarga ruang bagian tertutup V :Z dari L () yang memenuhi sifat : () Inklusi : V V + untuk setiap Z. () Maksimalitas : V 0 nn

4 4 () Densiti : Closure V L () nn (4) Skala : f(x) V ika dan hanya ika f(x) V + () Basis : terdapat V 0 sedemikian sehingga(. - k) : k Z merupakan basis ortonormal untuk V 0 disebut Analisis Multiresolusi (AM) pada L () disebut fungsi skala pada AM. Akibat. Misalkan V : Z adalah AM pada L () dan V 0 adalah fungsi skala yang bersesuaian pada AM tersebut. Jika didefinisikan,k (x) = ( x-k),,kz maka untuk setiap Z,,k ; kz merupakan basis ortonormal untuk V. Contoh. Misalkan V = fl () f konstan pada interval [k -, (k+) - ), kz, maka V Z adalah subruang dari L () yang memenuhi kelima aksioma analisis multiresolusi. Dalam wavelet Haar untuk memenuhi aksioma basis, digunakan fungsi skala (father wavelet) Haar (x) = I [0,) (x). Selanutnya dengan menggunakan aksioma skala dan aksioma basis dapat ditunukkan bahwa ( x-k) kz basis ortonormal untuk V. Tetapi totalitas dari semua basis ortonormal itu memuat suatu himpunan ( x-k),kz yang bukan basis ortonormal untuk L () sebab ruang-ruang V tidak saling mutually ortogonal. Untuk memperbaiki kesulitan ini, diperlukan subruang yang disebut subruang wavelet dan dinotasikan dengan W. Misalkan V : Z adalah suatu AM pada L () dan W 0 adalah komplemen ortogonal dari V 0 di dalam V, dengan kata lain W 0 memenuhi persamaan V = V 0 W 0... (.) dengan adalah umlah dari subruang yang saling ortogonal. Jika untuk setiap Z didefinisikan W = f(.) : kz sebagai komplemen ortogonal dari V di dalam V + maka W memenuhi persamaan V + = V W... () Karena Closure (aksioma densiti) dan V V L () + = V W maka diperoleh nn L () = V 0 0 W... (.) Selanutnya ika V 0 didekomposisikan dengan cara yang sama, maka peroleh L () = W... () Z Jadi L () adalah umlah ortogonal dari subspace wavelet W. Lemma Misalkan W 0 sedemikian sehingga (. - k) : kz merupakan basis ortonormal untuk W 0. Jika,k (x) = ( x-k) dengan,kz maka,k :,kz merupakan basis ortonormal untuk L (). 4. Kernel Wavelet E m (.,.) Misalkan hl () dan V adalah subruang tertutup dari L (). Proyeksi dari h pada V dituliskan sebagai h E (h)(u) = kz c,k,k (u)... (4.) dengan c,k = h,,k = h(v),k (v) dv. Misalkan kita perkenalkan proyektor yang berhubungan dengan integral kernel, yaitu h E (h)(u) = E (u,v)h(v) dv... (4) yang uga menyatakan proyeksi dari h pada V. dapat 4

5 Dari (.) dan () diperoleh hubungan E ()h(v) dv = kz Dari (4.) diperoleh = kz = c,k,k (u) kz h(v),k (v) dv,k (u),k (u),k (v)h(v) dv... (4.) E () = kz,k (u),k (v)... (4) yaitu sebuah fungsi yang didefinisikan oleh Mayer (0) sebagai kernel wavelet. Karena,k (u) = ( u - k) dan,k (v) = ( v - k) maka kernel wavelet (4) dapat uga dinyatakan dalam bentuk 4. Sifat-Sifat Kernel Wavelet E (.,.) Sifat E (u, v) = kz Sifat,k (u),k (v) = kz E () = kz ( u - k)( v - k)... (4.) E () = E 0 ( u, v)... (4..) ( u-k)( v-k) = +0 ( +0 u-k)( +0 v-k) = ( 0 ( 0 ( u-k)) ( 0 ( v-k)) kz kz = E 0 ( u, v) E 0 (u+k,v+k) = kz Sifat ((u+k)-k)((v+k)-k) = kz E 0 (u+k,v+k) = E 0 () untuk kz... (4.) ((u)((v) = (u-k)(v-k) kz = E 0 (u, v) E 0 (u, v) K(u - v)... (4..) dengan K(.) adalah fungsi integrabel, terbatas, dan positif (fungsi kernel) (lihat Mayer (0), h.) Sifat 4 Sup E (u, v) ( )... (4.) Akan ditunukkan bahwa Sup E (u, v)) lim ( ( Sup E (u, v)) ) = [ Sup E 0 ( u, v)] u, v = [ Sup E 0 ( J u, J v)] = Sup E 0 ( u, v)

6 6 Sup K( u - v) (sifat ) Karena K(.) fungsi terbatas, maka Sehingga diperoleh lim Dengan kata lain terbukti bahwa Sup K( u - v) uga terbatas. ( Sup E (u, v)) ). Sup E (u, v) ( ) Sifat Jika fungsi h terletak pada ruang Sobolev H v = H v () maka (a) Barisan E (h) = E (., y)h(y) dy konvergen kuat ke h pada H v untuk v q dan (b) h E (h) = O( - ) untuk 0 v q dengan. adalah norma yang berasosiasi dengan H v... (4..) (lihat Mallat (8), teorema ) Catatan : q menunukkan deraat keteraturan dari. uang Sobolev H v adalah suatu ruang dari distribusi-distribusi yang bersifat bahwa transformasi Fourier terintegralkan kuadrat yang bersesuaian dengan suatu ukuran (+ x) v dx pada (dalam Antoniadis (4), h). Sifat 6 Kernel wavelet adalah transisi invarians diadik, artinya E (t+u,.) = E (t,. - u) untuk setiap diadik u berbentuk k... (4.) E (t+u,.) = E 0 ( (t+u), (.)) = E 0 ( (t+u) - u, (.) - u)) (sifat dengan k = u) = E 0 ( t, (. - u)) (sifat ) = E (t,. - u) Sifat E 0 (0,-t) adalah suatu kernel K(t) yang mempunyai bandwidth -... (4..) K(t) = E 0 (0,-t) = E 0 (t,0) (sifat 6) Misalkan t = m x adalah titik diadik x = t m, sehingga K( x ) = E 0 ( x, 0) = ( ) E ( x, 0) (sifat ) = K( x ) = K J (x) Ini adalah fungsi kernel yang mempunyai bandwidth - Sifat 8 Untuk setiap x[0,] berlaku (a) Sup (b) 0 0 E (x,y)dy E (x,y) dy... (4..8) 6

7 (c) 0 (d) Sup y[0,] E (x,y) = O( ) (lihat Isogi (0), Mallat (8)). Sifat E (x,y)ix-y dy 0, untuk setiap Jika h : kontinu pada t maka dengan w 0 = E 0 (0,s) ds = kz lim - E J (t (),s)h(s) ds = h(t)w 0. Karena - t ( ) = [ t] dan E 0 (x+k, y+k) = E 0 (x,y) untuk setiap kz, maka (k)... (4..) - E (t (),s)h(s) ds = E 0 ( t (), s)h(s) ds = E 0 (0, s - [ t])h(s) ds Misalkan u = s - [ t] du = ds. Sehingga - E (t (),s)h(s) ds = E 0 (0,u)h(t () + u - )du h(t) E 0 (0,u)du bila Untuk selanutnya kernel wavelet dan sifat-sifatnya dapat digunakan untuk estimasi statistik nonparametrik seperti halnya fungsi-fungsi kernel. DAFTA PUSTAKA Antoniadis, A., Gregoire, G., Mc.Keague, W. (4). Wavelets Methods for Curve Estimation. Journal of the American Statistical Association, Dec, Vol.84, No8, 40-. Bruce, A., Gao, H. Y. (6). Applied Wavelet Analysis with S-Plus. New York: Springer -Verlag. Chui, K. (). An Introduction to Wavelet. Boston : Academic Press, Inc. Eubank,. L. (88). Spline Smoothing and Nonparametric egression. New York: Marcel Inc. Dekker. Hardle, W. (). Smoothing Techniques with Implementation in S. New York: Springer-Verlag. Issogi, E. (0). Nonparametric Estimation of a egressi Function by Delta Sequences. Ann. Inst. Statist. Math., 4, Kaiser, G. (4). A Friendly Guide to Wavelets. Boston : Birkhauser. Mallat, S. (8). Multiresolution Approximations and Wavelet Orthonormal Bases of Transactions of the American Mathematical Society,, 6-8. L (). Martadiputra, B.A.P. (). Estimator Wavelet Untuk Fungsi Hazard. Yogyakarta: Tesis - PPS UGM. MathSoft. (). User s Manual S-Plus, version. Seattle : Stat Sci, a divition of MathSoft, Inc. Mayer, Y. (0). Ondelettes et Operateurs I: Ondelettes. Paris : Hermann. Ogden, T.. (). Essensial Wavelets for Statistical Application and Data Analysis. Boston: Birkhauser.

8 8 Schomburg, B. (0). On the Approximation of the Delta Distribution in Sobolev Spaces of Negative Order. Applicable Analysis, 6, 8-. 8