Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Pihak Pemerintah Kabupaten Nias Barat terutama Bupati Nias Barat yang telah memberikan Tugas Belajar sekaligus membiayai perkuliahan S-2 Matematika di. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 yang telah memberikan bantuan moril serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada Ibunda tercinta Yuhanis Waruwu dan Ayahanda Abdul Afif Laia yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis serta Etek Hj. Nur Latifah Waruwu, S.H, M.H. Terima kasih juga buat Istri tercinta Wartini Zebua beserta anak-anak saya; Anita Rahmi Laia, Atmajaya Rahman Laia, Berkat Gunawan Laia, Ahmad Syukur Laia dan Asni Rasyidah Laia yang telah memberikan semangat dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih. Medan, Juni 2015 Penulis, Arsyad Thalib Laia v

2 RIWAYAT HIDUP Arsyad Thalib Laia dilahirkan di Awaai Kec. Sirombu pada tanggal 27 November 1980 dari pasangan Bapak Abdul Afif Laia & Ibu Yuhanis Waruwu. Penulis lulus dari pendidikan Sekolah Dasar Inpres Tetesua pada tahun 1993, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Sirombu pada tahun 1996, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Sirombu tahun Pada tahun 1999 memasuki tingkat Perguruan Tinggi di IKIP Gunungsitoli Fakultas MIPA Jurusan (S-1) Matematika dan lulus tahun Pada tahun 2004 penulis bekerja sebagai tenaga pengajar di SMA Negeri 1 Sirombu sampai sekarang. Pada tahun 2005 penulis menikah dengan Wartini Zebua dan dianugerahi 5 (lima) orang anak yaitu; Anita Rahmi Laia, Atmajaya Rahman Laia, Berkat Gunawan Laia, Ahmad Syukur Laia dan Asni Rasyidah Laia. Pada tahun 2013, Penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di dengan pembiayaan oleh Pemerintah Kabupaten Nias Barat. Selain kegiatan akademik, penulis juga aktif di berbagai kegiatan organisasi masyarakat Penulis dipercaya sebagai: 1. Ketua Komisi Pendidikan Majelis Ulama Indonesia (MUI) Kabupaten Nias Barat dari tahun 2012 sampai sekarang. 2. Sekretaris Umum Lembaga Pengembangan Tilawatil Quran (LPTQ) Kabupaten Nias Barat dari tahun 2012 sampai sekarang. 3. Sekretaris Umum Al Jamiyatul Washliyah Kabupaten Nias Barat dari tahun 2012 sampai sekarang. 4. Sekretaris Umum Panitia Hari Besar Islam (PHBI) Kabupaten Nias Barat dari tahun 2013 sampai sekarang. vi

3 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 4 BAB 2 ANALISIS REGRESI DAN METODE KERNEL Model Analisis Regresi Model regresi parametrik Model regresi nonparametrik Metode Kernel Smoothing Teknik Smoothing Kernel 14 vii

4 2.5 Estimator Kernel 15 BAB 3 MODEL ESTIMASI REGRESI NONPARAMETRIK Estimator Estimasi titik Estimasi interval Nadaraya-Watson Estimator Distribusi yang asimtotis 19 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Estimasi regresi nonparametrik 20 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan saran 26 DAFTAR PUSTAKA 27 viii

5 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 4.1 Statistika deskriptif sepeda motor Nilai rata-rata, nilai tengah dan standar deviasi 21 ix

6 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Scatterplot smoothing Diagram pencar data sepeda motor Diagram analisis estimasi regresi Diagram pencar data sepeda motor Model formula nonparametrik 24 x

7 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan dasar dari sebuah analisis regresi adalah untuk mengetahui bagaimana respon sebuah peubah Y terhadap perubahan yang terjadi pada peubah lainnya yaitu X. Hubungan antara X dan Y dapat dituliskan sebagai berikut: Y = m(x)+ ε (1.1) dimana m merupakan sebuah fungsi regresi dan ε merupakan nilai error yang mengijinkan terjadinya deviasi dari hubungan yang murni secara deterministik (Halim dan Bisono, 2006). Data yang akan diolah merupakan himpunan pasangan terurut {(X i,y i )},i =1,...,n yang memuat informasi tentang fungsi m. Dari data ini kemudian akan diperoleh suatu dugaan atau nilai estimasi dari fungsi m tersebut. Berdasarkan bentuk fungsinya, pendekatan yang digunakan untuk model estimasi fungsi regresi ada dua jenis, yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik. Pendekatan parametrik dilakukan jika asumsi bentuk g diketahui, sedangkan pendekatan non parametrik menghubungkan variabel prediktor X terhadap variabel respon Y tanpa diketahui model dari fungsi g. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa fungsi g termuat dalam kelas fungsi mulus; artinya mempunyai turunan yang kontinu atau dapat diintegralkan secara kuadrat. Terdapat beberapa teknik smoothing dalam model regresi nonparametrik antara lain histogram, estimator kernel, deret orthogonal, estimator spline, k- NN, deret fourier, dan wavelet (Eubank, 1999). Regresi nonparametrik dengan pendekatan kernel merupakan metode yang sering digunakan. Pendekatan kernel memiliki bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah dikerjakan. Ada beberapa jenis fungsi kernel, antara lain: kernel unif orm, triangle, epanech nikov, quartik, triweight, Gaussian, dan cosinus. Dalam regresi kernel pemilihan parameter pemulus (bandwidth) jauh lebih penting dibandingkan 1

8 2 dengan memilih fungsi kernel. Nilai parameter bandwidth yang kecil akan memberikan grafik yang kurang mulus namun memiliki bias yang kecil. Sebaliknya, nilai parameter bandwidth yang besar akan memberikan grafik yang sangat mulus tetapi memiliki bias yang besar. Regresi nonparametrik merupakan suatu cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku, analisis yang tidak menggunakan parameterparameter dan tidak mensyaratkan data harus berdistribusi normal dan sebagainya. Regresi nonparametrik digunakan untuk menganalisis data yang berskala nominal dan ordinal dari populasi yang bebas distribusi. Regresi nonparametrik juga dikenal sebagai teknik pemulusan scatterplot. Teknik ini merupakan salah satu yang biasa diandalkan untuk mendapatkan bentuk kurva yang mulus (smooth) terhadap titik-titik acak yang dibentuk oleh sumbu y maupun x. Asumsi dasar pada regresi nonparametrik ini adalah adanya kehadiran fungsi m( ) yang berseuaian dengan variabel respon y dan variabel penduga x. Tujuan dari analisis regresi nonparametrik ini adalah untuk menemukan sebuah pola yang tepat pada suatu data tanpa melibatkan asumsi tentang bagaimana bentuk dari fungsi regresi yang tidak diketahui tersebut. Dalam penelitian ini, penulis akan menggunakan metode kernel untuk menghadirkan estimasi Nadaraya- Watson (Nadaraya, Watson (1964)). Hubungan antara Y dengan X pada sampel berukuran n data pengamatan (x 1,y 1 ),...(x n,y n ) dapat dinyatakan dengan model regresi sebagai berikut : y i = m(x i )+σε i,i=1,...,n. (1.2) dimana ε 1,...,ε n merupakan nilai error acak dengan E(ε i )=0danV(ε i )=1. Pasangan (x i,y i ) merupakan sebuah barisan dimana x 1 <...<x n dan x [0, 1], (Wand, 1995). E(Y X = x i )=m(x) dan V (Y X = x i )=σ 2 i. Oleh sebabnya, model tersebut dikatakan bersifat homoskeditas.

9 3 Pertanyaan yang sering muncul adalah; bagaimana cara memodelkan estimasi regresi nonparametrik untuk mendapatkan rumus estimasi nadaraya watson. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, penulis akan menjelaskan suatu prosedur yang dapat digunakan adalah metode kernel. Metode kernel adalah teknik statistik nonparametrik untuk mengestimasi nilai E(Y X) = m(x) atau y = m(x) dalam suatu variabel. Metode ini banyak digunakan pada ilmu statistik terapan seperti; proses kendali pada industi, uji coba klinis, uji coba kehidupan dan lain sebagainya. Metode ini sangat cocok dan sangat mudah untuk dilakukan bahkan pada setiap tahapan-tahapannya. Metode kernel memiliki tahapan yang lebih fleksibel, perhitungan matematisnya mudah disesuaikan sehingga diperoleh hasil yang lebih baik dan akurat. Terlebih lagi, metode ini memungkinkan peneliti data membuat keputusan berdasarkan kemungkinan terkecil pada ukuran sampel yang ada. Dengan demikian sangatlah tepat apabila dalam hal ini diberlakukan model estimasi metode kernel pada regresi nonparametrik. Jadi, penulis mengambil judul Model estimasi regresi nonparametrik dengan metode kernel. 1.2 Perumusan Masalah Sesuai dengan permasalahan dalam hal ini melihat hubungan antara dua variabel tanpa bergantung pada asumsi baku sangatlah tepat model estimasi regresi nonparametrik dengan menggunakan metode kernel untuk mendapatkan estimasi Nadaraya Watson. Jadi dengan demikian maka masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana model estimasi regresi nonparametrik dengan metode kernel.

10 4 1.3 Tujuan Penelitian Ada beberapa tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. Menerapkan analisis hubungan non-linear antara dua variabel dengan menggunakan ukuran sampel terkecil yang memungkinkan; 2. Menghadirkan pengenalan singkat akan estimasi regresi nonparametrik; 3. Uraian metode kernel untuk mendapatkan rumusan Nadaraya-Watson dalam model estimasi regresi nonparametrik. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan pemahaman tentang model estimasi regresi nonparametrik dengan metode kernel untuk serta bisa menjadi acuan bagi penelitian yang relevan atau lebih kompleks lagi.

11 BAB 2 ANALISIS REGRESI DAN METODE KERNEL Istilah regresi telah umum dikenal oleh berbagai pihak. Tak jarang juga persoalan ini menjadi kajian yang menarik untuk dibahas. Pada bab ini akan dibahas tentang model regresi nonparametrik beserta sifatnya. Pemaparan ini tentunya diharapkan agar mempermudah dalam mengkaji bab-bab berikutnya serta untuk mendukung hasil penelitian ini. 2.1 Model Analisis Regresi Para peneliti sering tertarik mengkaji hubungan antara suatu variabel dengan variabel yang lainnya. Sebagai contoh, apakah merokok menyebabkan kanker paruparu?. Sebuah studi yang dilakukan oleh pemerintahan Inggris. Penelitian tersebut mengambil data dari 25 kelompok kerja yang terdiri dari ribuan responden pria dengan usia yang sama. Variabel pertama menunjukkan jumlah rata-rata rokok yang dihisap per hari pada setiap jenis pekerjaan. Variabel yang lainnya adalah jumlah rata-rata angka kematian. Untuk mengetahui hubungan antara angka kematian dan jumlah rokok yang dihisap, perlu dilakukan kajian terhadap model analisis regresi. Analisis regresi merupakan metode statistika yang biasa digunakan untuk mengetahui hubungan antara satu atau lebih variabel penduga yang biasa dinotasikan dengan y dan variabel kontrol yang biasa dinotasikan dengan variabel x. Analisis ini biasa dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Di dalam ilmu statistika, pendekatan analisis yang biasa digunakan untuk mengestimasi fungsi regresi ada dua jenis, yaitu parametrik dan nonparametrik. Untuk lebih jelaskan perhatikan penjelasan pada subbab berikut Model regresi parametrik Dalam ilmu statistika, analisis regresi merupakan suatu teknik untuk memodelkan hubungan antara variabel terikat (depentent variable) dengan satu atau bebera- 5

12 6 pa variabel bebas (independent variable). Dalam regresi sendiri, variabel terikat dimodelkan sebagai sebuah fungsi atas variabel bebas, nilai parameter yang berkaitan, serta nilai eror yang merepresentasikan variasi dalam variabel terikat tersebut. Model regresi yang demikian disebut model regresi parametrik. Model regresi yang demikian dapat ditulis seperti pada persamaan (2.1) berikut ini: y i = f(β,x i)+ε i (2.1) dimana β =(β 1,...,β p ) merupakan sebuah vektor parameter yang akan diestimasi, sementara X i =(x 1,...,x k ) merupakan sebuah vektor penduga ke-i dari n data pengamatan. Nilai eror ε i diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan konstanta varians σ 2 (Fox, (2002)). Gujarati (2006) mendefinisikan analisis regresi sebagai kajian terhadap hubungan satu variabel terikat (variabel yang diterangkan) dengan satu atau lebih variabel bebas (variabel yang menerangkan). Melalui analisis regresi ini, hubungan antar variabel dapat dengan mudah diketahui. Model regresi sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut: Y i = β 0 + β 1 X 1 + ε i, i =1,,2,...,n (2.2) dengan: Y i : Variabel tidak bebas pada pengamatan ke-i X i : Variabel bebas pada pengamatan ke-i β 0 dan β 1 : Parameter-parameter yang tidak diketahui ε i : Nilai error (galat/kesalahan) Pada kasus model analisis regresi parametrik, peneliti biasanya menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menduga parameter-parameter regresi dengan sampel yang teramati dan melandaskan kesimpulan-kesimpulan yang menyangkut parameter-parameter pada beberapa asumsi yang harus dipenuhi. Salah satu asumsi yang harus dipenuhi adalah kenormalan galat, yaitu bahwa galat berditribusi normal dengan rata-rata nol dan simpangan baku tertentu. Apabila asumsi kenormalan tidak terpenuhi, analisis alternatif yang dapat digunakan adalah dengan metode regresi nonparametrik. Hal ini dikarenakan oleh

13 7 statistik nonparametrik tidak menuntut terpenuhi banyak asumsi, misalnya data yang akan dianalisis harus berdistribusi normal, dan sebagainya Model regresi nonparametrik Berbeda dengan model regresi yang dijelaskan sebelumnya, untuk kasus regresi nonparametrik, model regresinya dimodelkan tanpa adanya suatu variabel yang dianggap sebagai parameter. Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas sebaran. Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk sebaran parameter populasi. Statistik nonparametrik dapat digunakan pada data yang memiliki sebaran normal atau tidak. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi-asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Nama lain yang sering digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi. Analisa regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Analisa regresi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan. Dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi- asumsi yang sangat umum. Penggunaan regresi nonparametrik dilandasi pada asumsi:

14 8 1. Contoh yang diambil bersifat acak dan kontinu; 2. Regresi (Y X) bersifat linier; 3. Semua nilai X i saling bebas; 4. Data diasumsikan tidak berdistribusi normal. Perbandingan statistik nonparametrik dan statistik parametrik. Kekurangan dan kelebihan setiap pemilihan prosedur pengujian data, apakah itu menggunakan nonparametrik atau parametrik memiliki kelebihan dan kekurangan masingmasing. Berikut adalah kelebihan dan kekurangan masing-masing prosedur: Kelebihan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah: 1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan; 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah; 3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim; 4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal). Kekurangan statistik nonparametrik dibandingkan dengan statistik parametrik ialah: 1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi; 2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan.

15 9 Prosedur nonparametrik digunakan sebaiknya: 1. Bila hipotesis yang diuji tidak melibatkan suatu parameter populasi; 2. Bila data telah diukur menggunakan skala nominal atau ordinal; 3. Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi; 4. Bila penghitungan harus dilakukan secara manual. Menurut jenisnya data terdiri dari data kualitatif dan kuantitatif. Data kuantitatif adalah data yang diukur dalam suatu skala numerik (angka). Data kuantitatif dapat dibedakan menjadi: 1. Data interval yaitu data yang diukur dengan jarak diantara dua titik pada skala yang sudah diketahui; 2. Data rasio yaitu data yang diukur dengan suatu proporsi. Data kualitatif adalah data yang tidak dapat diukur dalam skala numerik. Namun dalam statistik semua data harus dalam bentuk angka, maka data kualitatif umumnya dikuantifikasi agar dapat diproses. Kuantifikasi dapat dilakukan dengan mengklasifikasi data dalam bentuk kategori. Data kualitatif dapat dibedaka menjadi: 1. Data nominal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori; 2. Data ordinal yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk kategori, namun posisi data tidak sama derajatnya karena dinyatakan dalam skala peringkat. Secara umum, model regresi nonparametrik dapat ditulis dengan cara yang sama, hanya saja fungsi f tidak memiliki nilai parameter. y i = f(x i )+ε i (2.3) = f(x i1,x i2,...,x ik )+ε i

16 10 Analisis regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena yang lain. Analisa regresi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas dalam ilmu pengetahuan terapan. Regresi di samping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan. Regresi nonparametrik merupakan suatu teknik analisis data dalam statistika yang dapat menjelaskan hubungan antara variabel prediktor dengan variabel respon yang tidak diketahui bentuk fungsinya karena sebelumnya tidak ada informasi tentang bentuk fungsi tersebut dan hanya diasumsikan mulus (smooth) dalam arti termuat dalam suatu ruang fungsi tertentu sehingga regresi nonparametrik sangat mempertahankan fleksibilitasnya. Dalam banyak hal, pengamatan-pengamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik-teknik inferensial dengan validitas yang tidak bergantung pada asumsi-asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik-teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi-asumsi yang sangat umum. Dalam regresi nonparametrik bentuk kurva juga tidak diketahui, kurva regresi hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi yang berdimensi tak hingga dan merupakan fungsi mulus (smooth) Tujuan dari persoalan regresi nonparametrik adalah untuk mengestimasi fungsi regresi f secara langsung, bukannya untuk mengestimasi parameter seperti yang dijelaskan pada persoalan regresi nonlinier sebelumnya. Banyak metode regresi nonparametrik secara implisit mengasumsikan bahwa fungsi f merupakan fungsi yang kontinu dan mulus /smooth (Nason dan Silverman, (1994, 2000). Sama halnya dengan persoalan regresi nonlinier parametrik, pada persoalan regresi nonparametrik juga mengasumsikan bahwa ε i NID(0,σ 2 ). Suatu kasus khusus yang penting pada model umumnya adalah bentuk regresi nonparamtrik sederhana, dimana hanya ada satu prediktor saja. y i = f(x i )+ε i (2.4)

17 11 Regresi nonparametrik sederhana yang ditunjukkan oleh persamaan (2.4) juga dikenal dengan teknik pemulusan terpencar. Teknik ini merupakan suatu aplikasi yang sangat penting untuk menemukan kurva yang mulus pada titik-titik yang terpencar (scatterplot). Gambar 2.1 menunjukkan sebuah teknik pemulusan pada titik-titik terpencar seperti yang telah dijelaskan. Gambar 2.1 Scatterplot smoothing Dikarenakan sulitnya untuk mendapatkan model umum regresi nonparametrik saat terdapat banyak penduga, maka ada beberapa model yang dikembangkan untuk menghadapi situasi seperti ini. Salah satu modelnya dinamakan model regresi aditif seperti pada persamaan (2.5) berikut ini. y i = α + f 1 (x i1 )+f 2 (x i2 )+...+ f k (x ik )+ε i (2.5) dimana fungsi regresi parsial f j (.) diasumsikan mulus dan terestimasi dari data yang ada. Model ini pada dasarnya lebih terbatas bila dibandingkan dengan model regresi nonparametrik, akan tetapi masih lebih baik dibandingkan model regresi linier. 2.2 Metode Kernel Bilamana terdapat data yang sangat banyak dimana X = x i, maka cara mengatasinya adalah dengan mencari nilai rata-rata setiap y i pada data tersebut. Dan juga karena X berdistribusi kontinu, maka tidak perlu dilakukan pengamatan berulang pada data dengan nilai yang sama.

18 12 Solusi dari persoalan tersebut adalah dengan memperhatikan ketetanggaan x i, untuk itu perlu dilakukan sejumlah pengamatan di ketetanggan tersebut. Trik yang sangat jelas adalah dengan cara melakukan estimasi bias serta estimasi varians. Andai dilakukan pengamatan pada sejumlah besar data X. Misalkan x±h untuk sebarang bandwidth h > 0. Maka estimator Nadaraya-Watson (1964) ˆm NW (x) yang ditunjukkan pada persamaan (3.1) merupakan rata-rata nilai y i untuk pengamatan i sedemikian sehingga X i berada pada ketetanggaannya. ˆm NW (x) = = n i=1 K( x x i h)y i n i=1 K( x x i h) n i=1 y ik( x x i ) h n i=1 K( x x i ) (2.6) h dengan K(u) merupakan Kernel. Pada dasarnya, fungsi regresi dapat dituliskan seperti pada persamaan (3.2) berikut. m(x) = yf(x, y)dy f(x) (2.7) dimana, f(x, y) = 1 n H h y n K ( H 1 (x x i ) ) ( ) y yi K i=1 h y dan h y merupakan bandwidth untuk pemulusan data y. Dengan demikian, f(x) = = = f(x, y)dy 1 n ( ) y K(H 1 yi (x x i )) K dy n H h y h y i=1 1 n K(H 1 (x x i )) (2.8) n H i=1

19 13 dan yf(x, y)dy = = 1 n ( ) y K(H 1 yi (x x i )) yk dy n H h y h y i=1 1 n K(H 1 (x x i ))y i (2.9) n H i=1 Kemudian lakukan substitusi persamaan (3.3) dan (3.4) ke persamaan (3.2), maka diperoleh: m(x) = = 1 n n H i=1 K(H 1 (x x i ))y i 1 n n H i=1 K(H 1 (x x i )) n i=1 y ik( x x i ) h n i=1 K( x x i ) h 2.3 Smoothing Tujuan dari smoothing adalah untuk membuang variabilitas dari data yang tidak memiliki efek sehingga ciri-ciri dari data akan tampak lebih jelas. Smoothing sendiri telah menjadi sinonim dengan metode-metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi fungsi-fungsi yang ada pada regresi nonparametrik. Beberapa metode smoothing dalam berbagai konteks dapat dijumpai di Priestly (1981), Silverman (1986), Eubank (1988), Haerdle (1990) dan Hart (1997). Teknik smoothing yang akan digunakan pada penelitian ini adalah teknik smoothing Kernel. Teknik ini merupakan pengembangan dari teknik smoothing menggunakan metode kernel. Metode Kernel merupakan teknik smoothing yang paling sederhana yang biasa digunakan pada persoalan regresi nonparametrik. Misalkan fungsi m(x) akan diestimasi untuk beberapa x [0, 1]. Jika m adalah fungsi kontinu, maka nilainilai fungsi pada x i yang berdekatan dengan x semestinya akan cukup dekat dengan m(x). Hal itu memberikan usulan bahwa merata-ratakan nilai Y i yang bersesuaian dengan x i yang dekat dengan x akan menghasilkan estimator tak bias untuk fungsi m(x).

20 14 Sementara itu, pada teknik smoothing Kernel secara sederhana tersebut digantikan dengan jumlahan berbobot. Biasanya bobot yang lebih besar diberikan pada Y i yang nilai x i nya mendekati titik estimasi x. 2.4 Teknik Smoothing Kernel Teknik smoothing Kernel sering digunakan pada persoalan regresi nonparametrik. Sesuai dengan namanya, teknik ini menggunakan pendekatan Kernel. Pendekatan Kernel memiliki bentuk yang lebih fleksibel dan perhitungan matematisnya mudah dikerjakan (Wand, 1995). Alasan lain dari penggunaan teknik ini dikarenakan pada dasarnya fungsi Kernel (Wand, 1995) memenuhi kondisi sebagai berikut: (i) K(x)dx =1 (ii) xk(x)dx =0 (iii) x 2 K(x)dx = k 0 Penduga Kernel didefinisikan seperti pada persamaan (4.1) berikut ini. f(x; h) = 1 n n K h (x X i ) (2.10) i=1 Terlihat bahwa f(x; h) bergantung pada fungsi Kernel K dan parameter h yang disebut bandwidth. Bentuk bobot Kernel ditentukan oleh fungsi Kernel K, sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus h. Ada beberapa fungsi Kernel (Wand, 1995), antara lain: 1 1. Uniform 2 u 1 2. Triangle (1 u )I u 1 3. Epanechnikov 3 4 u2 )I u 1 4. Quartic u2 ) 2 I u 1 5. Triweight u2 ) 3 I u Gaussian 4 u2 )I u 1 π 7. Cosinus π I 4 2 u 1

21 15 Untuk mengestimasi fungsi regresi m(x) pada model regresi nonparametrik, Nadaraya dan Watson pada tahun 1964 mendefiniskan estimator Kernel sehingga disebut estimator Nadaraya-Watson (Hardle, 1994). Penjelasan tentang estimator Nadaraya-Watson akan dijelaskan pada Bab selanjutnya. 2.5 Estimator Kernel. Estimator kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram. Suatu histogram disusun dengan meletakkan titik-titik data ke dalam suatu bin atau kelas. Setiap bin dinyatakan secara grafik oleh segiempat dengan lebar sama dan tinggi proposional dengan banyaknya titik-titik data yang terletak dalam bin tersebut. Estimator kernel merupakan estimator linier yang sama dengan estimator lainnya, perbedaannya hanya karena metode kernel lebih khusus dalam penggunaan metode bandwith. Beberapa kelebihan estimator kernel adalah fleksibel, bentuk matematisnya mudah, dan dapat mencapai tingkat kekonvergenan yang relatif cepat