KOMPUTASI JARAK MINIMUM. Mike Susmikanti *

Transkripsi

1 KOMPUASI JARAK MINIMUM Mike Susmikanti * ABSRAK KOMPUASI JARAK MINIMUM. Perhitungan arak minimum diperlukan pada beberapa aplikasi seperti aplikasi logika samar fuzzy logic, pengolahan citra image processing untuk bidang kedokteran, aringan saraf neural network dan pengolahan sumber bumi khususnya serta sistim informasi geografi umumnya. Metoda arak minimum yang dikemukakan di sini didasarkan pada konsep vektor dan matrik sehingga dapat memudahkan perhitungan dan kesamaannnya dalam ruang dimensi-n untuk banyak data. Pertama-tama dalam hal ini dikemukakan arak antara dua titik, arak antara satu titik dengan titik-titik lain yang membentuk bidang dalam ruang Euclidean-n. Selanutnya perhitungan arak minimum di sini akan memberikan arak terdekat bagi titik tersebut dengan suatu bidang serta posisi dari titik tersebut pada bidang. Konsep arak minimum tersebut di atas dapat digunakan selanutnya untuk persoalan analisis pengelompokan dalam penerapan logika samar menggunakan metoda Mahalanobis Distance. Metoda ini menyarankan penggunaan titik-titik terdekat tetapi masih di dalam anggota kelompok yang sama dengan memperhatikan matrik kovarian karena ada kemungkinan data berasal dari kelompok yang berbeda. ABSRAC MINIMUM DISANCE COMPUAION. Minimum distance calculation is used for many applications such as neural network, fuzzy logic, image processing for medical science, geology source processing and geografy information system. he minimum distance we discuss here is based on the concept of some geometric interpretation of vectors and matrices, that may be helpful in computation and analogy in Euclidean n-space. he first we calculate the distance between two points, the distance between one point and other points in the same plane in Euclidean n-space which are defined as the minimum distances. hen the calculation of minimum distance will give the minimum distance of the point and a plane as well as a position of the point in the plane. he minimum distance concept above can be used in the cluster analysis problem in fuzzy logic application using the Mahalanobis distance method. his method suggests the nearest points but they are still in same subsets with respect to covarian matrix rule, since the data probability come from different subsets. PENDAHULUAN Perhitungan arak minimum dirasakan banyak diperlukan dalam berbagai bidang di antaranya pada tehnik clustering atau pengelompokan yang digunakan pada * Pusat Pengembangan eknologi Informatika dan Komputasi - BAAN

2 sistem aringan saraf neural network, logika samar fuzzy logic dan pengolahan citra image processing untuk bidang kedokteran, pengolahan sumber bumi khususnya dan sistim informasi geografi umumnya dan lain-lain. Adapun analisis pengelompokan yang sifatnya deterministik dapat digunakan metoda statistik, akan tetapi untuk tehnik pengelompokan yang bersifat stochastik dapat digunakan fuzzy logic sebagai suatu pendekatan fungsi. Dalam analisis berikut ini akan digunakan beberapa interpretasi geometrik dari vektor-vektor yang mungkin dapat membantu dalam perhitungan arak minimum minimum distance ini, dan selanutnya dapat diperluas untuk ruang berdimensi n atau ruang-n. Salah satu keunggulan interpretasi geomerik dari vektor-vektor adalah situasi untuk ruang berdimensi dua atau berdimensi tiga secara analog dapat diperluas menadi ruang-n. Interpretasi vektor secara geometrik dalam ruang-n dapat dipandang sebagai suatu titik dalam ruang koordinat-n dan dapat diartikan pula sebagai suatu segmen garis dari titik pusat ke titik tertentu yang direpresentasikan sebagai vektor. Konsep arak minimum tersebut di atas dapat digunakan selanutnya untuk persoalan analisis pengelompokan dalam penerapan logika samar menggunakan metoda Mahalanobis Distance. Metoda ini menyarankan penggunaan titik-titik terdekat tetapi masih di dalam anggota kelompok yang sama dengan memperhatikan matrik kovarian karena ada kemungkinan data berasal dari kelompok yang berbeda. MEODA JARAK MINIMUM Jarak antara dua titik vektor a dan b dalam ruang Euclidean-n didefinisikan sebagai : n d [ atau dapat ditulis dalam bentuk vektor i a i b i ] / d [ a - b a - b ] ½ di mana a a, a,., a n dan b b, b,., b n Kumpulan titik-titik yang melalui titik a dan b dalam ruang Euclidean-n didefinisikan sebagai L { x : x λ b + - λ a ; λ R } Segmen garis yang menghubungkan titik a dan b dalam ruang Euclidean-n adalah kumpulan dari titik-titik l yang didefinisikan dengan : l { x : x λ b + - λ a ; λ }

3 Jarak antara titik p dan suatu garis l yang melalui titik a dan b gambar, di mana titik x pada garis l ialah : D x [ p x p x ] ½. Jarak terdekat dari suatu titik p ke garis l dalam ruang Euclidean-n gambar : D minimum [ p x p x ] / x l p D x D l a b Gambar. Jarak terdekat dari titik p terhadap garis l yang dinyatakan dengan D Bidang yang melalui n titik-titik b, b,., b n sedemikian sehingga matrik B [b, b,., b n ] mempunyai rank n, didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik P yaitu : P { Y : Y n i n λ i b i ; i λ i ; λ i R } Bidang dalam ruang Euclidean-n dengan dimensi k yang melalui titik a, a,., a k, O titik pusat, didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik P n k : P k n { Y : Y k i λ i a i ; λ i R, i,,., k} Dalam bentuk vektor, persamaan untuk P k n, dapat ditulis Y A λ ; λ R k ; A [ a, a,., a k ],

4 Proyeksi l p gambar didefinisikan sebagai l p { y : y λ c ; λ } X a l L θ l p c b O X Gambar. Proyeksi dari titik a terhadap garis L yang dinyatakan dengan lp. Sudut antara dua segmen garis a dan b dalam ruang Euclidean-n : cos θ a a a b b b. Untuk menghitung l p, diperlukan terlebih dahulu menghitung titik c yaitu titik dengan posisi yang akan menghasilkan arak minimum, dari suatu titik tertentu terhadap titik-titik yang membentuk bidang. Misal c pengganda skalar dari garis b yang dapat dinyatakan sebagai c λ b. Misal d adalah segmen garis dari ke c dan b* adalah unit vektor dengan arah dari O ke b, maka c d b*. a b Dapat diperoleh bahwa : c b. b b Dengan cara yang sama, apabila l adalah segmen garis dari a ke a dalam ruang euclidean-n dan L adalah garis dari b dan b dalam ruang euclidean-n gambar 3, maka proyeksi dari l pada L didefinisikan dengan segmen garis l p dari O ke c adalah : c [ a b a b b b b b ] b b.

5 a l L θ l p c b Gambar 3. Proyeksi segmen garis l pada garis L yang dinyatakan dengan posisi titik c Misal P n k adalah bidang yang melalui titik pusat dan titik b,, b k dalam ruang euclidean-n dan B [ b,, b k ]. Misalkan l adalah segmen garis dari titik n pusat ke titik a. Maka titik c merupakan titik proyeksi dari l pada P k yang dapat ditentukan posisinya dengan perhitungan ; C B B B - B a yang merupakan proyeksi dari titik a ke bidang P k n. itik c merupakan titik akhir dari proyeksi l pada P k n. Sehingga c adalah titik pada P k n yang mempunyai arak minimum dari titik a. Berarti bahwa arak dari suatu titik a ke bidang P k n yang dinyatakan dengan d, dapat didefinisikan sebagai arak minimum dari titik a ke titik c yang terletak pada bidang P k n sebagai d [ a B B B - B a a B B B - B a ] / 3 MAHALANOBIS DISANCE Dalam suatu sistim fuzzy, tehnik pengelompokan dapat memberikan pendekatan untuk data yang samar. Salah satu metoda yang dapat digunakan dalam tehnik pengelompokan yaitu Mahalanobis Distance. Sistem fuzzy merupakan kumpulan yang memenuhi aturan dalam memetakan input menadi output, yang apabila dinyatakan dalam bentuk fungsi merupakan

6 fungsif : X Y. Pola fuzzy dapat didefinisikan sebagai berikut : ika input x adalah pola A maka output y adalah pola B. Ruang Cartesian-product A x B memenuhi berlakunya aturan fuzzy untuk ruang Input-Output : X x Y gambar 4. Aturan fuzzy dapat mempunyai bentuk elipsoida dalam ruang sistim input-output. Sistim fuzzy memberikan pendekatan fungsi yang diwakili oleh grafik. Penyebaran data membentuk bidang elipsoida yang kemungkinan tumpang tindih gambar 4. Y B 3 B B X Gambar 4. Penyebaran data pada ruang Input-Output XXY Sistim Mahalanobis memberikan suatu kumpulan untuk mengetahui apakah sampel data termasuk sebagai anggota kumpulan. Mahalanobis distance menghasilkan gabungan kumpulan data yang memenuhi aturan kovariasi-samar elipsoida. Dapat diperoleh proyeksi pada kumpulan fuzzy yang memenuhi, dengan memperhatikan struktur korelasi diantara input. Bidang elipsoida menentukan keberadaan semua titik z yang memenuhi α z A A A 3 c Eigenvektor dan eigenvalue dari matrik A mendefinisikan bentuk elipsoida dalam ruang input dan output dimensi-q. q n + p, n merupakan umlah input dan p merupakan umlah output. Matrik A dimisalkan matrik positif-definite. α adalah A z c

7 bilangan nyata yang positif, sedangkan c adalah pusat elipsoida. Dalam hal ini dimungkinkan adanya kehilangan struktur korelasi di antara komponen input. Matrik kovariansi K dapat digunakan untuk mengukur penyebaran data. Matrik kebalikan K - membantu mendefinisikan elipsoida E sebagai lokasi semua titik z yang memenuhi : e z m K z m Dengan proyeksi elipsoida pada sumbu x dan x, diperoleh dua vektor yaitu vektor u dan v yang berarak sama dari titik pusat gambar 5. X 3 u v 7 A A Pusat X Gambar 5. Proyeksi Elipsoida pada sumbu X & X. Bentuk elipsoida di atas disarankan dengan Mahalanobis distance sebagai dasar untuk kumpulan fungsi ax yang similar di mana penyebaran datanya kemungkinan saling tumpang tindih. d x n : vektor x m i i i K i m mempunyai sub matrik kovarian dx : arak input vektor x terhadap rata-rata pusat i K x m i m berskala kovariansi

8 PEMBAHASAN Suatu bidang dapat dibentuk dari suatu titik pusat dan dua titik, masing-masing titik b,, yang dinyatakan dalam bentuk vektor b [,,] dan titik b,, yang dinyatakan dalam vektor b [,,]. Kumpulan vektor-vektor b dapat dibentuk menadi matriks B sebagai berikut B Dapat ditentukan persamaan garis l p, sebagai proyeksi dari l pada bidang P 3 dimana l adalah segmen garis dari titik pusat ke titik a,, dengan menggunakan persamaan tersebut di atas. Adapun titik a dapat dinyatakan dalam bentuk vektor a [,,]. Dalam bentuk matrik titik a dapat dinyatakan sebagai berikut a Persamaan garis l p dapat dihitung dengan sebelumnya menentukan terlebih dahulu posisi titik yang merupakan proyeksi dari l pada bidang P 3. Misalkan posisi titik yang 3 merupakan proyeksi dari l pada bidang P dinyatakan sebagai titik c. Maka posisi titik c dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut C B B B B

9 Persamaan untuk proyeksi l p adalah : Y.3333λ.6667λ.6667λ λ Jarak terdekat dari titik a terhadap bidang P 3 yang didefinisikan sebagai d yaitu arak minimum dari titik a ke titik c dengan posisi,3333,.6667,.6667, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 3 tersebut di atas. d [{,,.3333,.6667,.6667} {,,.3333,.6667,.6667}] / d [-.3333,.3333, ,.3333,.3333] / d [.3333] / Sehingga diperoleh arak minimum dari titik a ke titik c, adalah : d.58. Misalkan suatu bidang dilalui oleh beberapa titik masing b,,, b,, dan b 3,,. Agar syarat ruang vektor P terpenuhi yaitu mengandung vektor nol, maka salah satu titik harus digeser menadi titik pusat yaitu dimisalkan titik b,, menadi titik pusat O,,. Sehingga titik-titik lain yaitu b menadi b -,, dan b 3 menadi b,,-. Dapat ditentukan arak minimum dari titik a,, terhadap bidang tersebut di atas, yang sebelumnya titik a digeser pula menadi a,,. Dalam bentuk matrik titik a dapat dinyatakan sebagai berikut a Maka posisi titik c dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut B B B B

10 C Karena salah satu vektor b digeser sebelumnya, maka hasil posisi titik c harus dikembalikan ke bentuk semula yaitu sebelum digeser. Sehingga posisi titik c menadi; C ,.6667, ,,.6667,.6667,.6667 Diperoleh arak minimum dari titik a ke titik c.6667, adalah : d [{,,-.6667,.6667,.6667} {,,-.6667,.6667,.6667}] / d [.3333,.3333, ,.3333,.3333] / d.58. Untuk persoalan diatas apabila titik a diambil titik lain yaitu a,,, maka titik a sebelumnya digeser menadi a-,,-, karena satu titik b yaitu titik b digeser menadi titik pusat. Dalam bentuk matrik titik a dapat dinyatakan sebagai berikut; a Maka posisi titik c dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut; B B B B C

11 Karena salah satu vektor b digeser sebelumnya, maka hasil posisi titik c harus dikembalikan ke bentuk semula yaitu sebelum digeser. Sehingga posisi titik c menadi; C ,.6667, ,,.6667,.6667,.6667 Sehingga diperoleh arak minimum dari titik a ke titik c, adalah : d [{,,-.6667,.6667,.6667} {,,-.6667,.6667,.6667}] / d [{-.6667,-.6667,-.6667} {-.6667,-.6667,-.6667}] / d [.3334] / d.5. Pada permasalahan lain, misalnya ingin ditentukan proyeksi dari a,,- ke a,-, pada bidang P 3 yang dilalui titik O,,, x [,,] dan x [,-,]. Perhitungan diatas dapat digunakan secara umum yaitu dengan sebelumnya membentuk vektor a menadi vektor a a yang diperoleh nilainya adalah a,-,. Konsep ini sama dengan menggeser titik a menadi titik asal atau titik pusat,,. Dalam bentuk matrik titik a dapat dinyatakan sebagai berikut a Maka posisi titik c dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut C B B B B Dari perhitungan diatas, diperoleh bahwa proyeksi dari a,,- ke a,-, pada bidang P 3 yang dilalui titik O,,, x [,,] dan x [,-,] adalah titik c dengan posisi c.5,-,.5.

12 Dalam persoalan filter terhadap pengaruh noise untuk suatu alat, yang telah dihitung matrik kovarian dari input data diperoleh K Mahalanobis distance dari titik x, terhadap titik pusat, dengan matrik kovarin di atas diperoleh : d x d x.47,, ,, Mahalanobis distance untuk titik -, terhadap titik pusat, dengan matrik kovarian penyebaran data yang sama, diperoleh : d x, 5, 4 d x.4 4 5,, Jika dilihat secara Ruang-Euclidian posisi titik -, dan titik,, mempunyai arak yang sama dengan titik pusat. Akan tetapi arak mahalanobis untuk titik, lebih kecil dibandingkan arak dari -,. Hal ini disebabkan dengan perhitungan Mahalanobis distance diperhatikan pula faktor penyebaran datanya. Sehingga posisi titik, yang terpilih karena ika dilihat pula dari proyeksi bidang elipsoida, maka titik tersebut termasuk dalam bidang tersebut. KESIMPULAN. Perhitungan arak minimum dapat digunakan pada tehnik clustering pengelompokan dalam logika samar fuzzy logic khususnya, dan pengolahan citra image processing umumnya.. Perhitungan arak di antara dua titik dapat diperluas menadi perhitungan mencari arak minimum dari satu titik ke beberapa titik yang membentuk bidang.

13 3. Apabila l adalah segmen garis dari a ke a dalam ruang euclidean-n dan L adalah garis dari b dan b dalam ruang euclidean-n. Dapat ditentukan proyeksi dari l pada L yang memberikan posisi terdekat dari segmen garis l dan garis L 4. Apabila suatu bidang dilalui oleh beberapa titik dan titik-titik tersebut tidak melalui titik pusat maka agar syarat suatu ruang vektor terpenuhi yaitu harus mengandung vektor nol, maka salah satu titik harus digeser menadi titik pusat, yang diikuti oleh titik-titik lain. Kemudian hasil posisi titik proyeksi harus dikembalikan ke bentuk semula demikian pula titik yang diproyeksikan. 5. Sistim Mahalanobis sangat baik untuk input data yang berkorelasi. 6. Mahalanobis Distance membantu analisis pengelompokan dalam konsep arak minimum untuk data yang berkorelasi, dengan memperhitungkan matrik kovarian. DAFAR PUSAKA. BANDEMER, HANS; GOWALD, SIEGFRIED, Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications, John Wiley & Sons Ltd., England 995. GRAYBILL, FRANGKLIN A., Introduction to Matrices with Application in Statistics, Colorado State University, Wadsworth Publishing Company, Inc., Belmont, California KOSKO, BAR, Fuzzy Engineering, University of Southern California, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, ROMLI, UP-LAGG, BPP EKNOLOGI, Clustering Analysis, Lokakarya Komputasi dalam Sains dan eknologi Nuklir VI, BAAN, Jakarta 996

14 DISKUSI M. SYAMSA ARDISASMIA Jika suatu titik-titik terkorelasi kuat, bagaimana pengaruhnya terhadap pengukuran arak Mahalanobis? MIKE SUSMIKANI Jarak Mahalanobis dapat digunakan tergantung pada data. Bilamana sampel data menyebar atau noise, kovariansi dari cluster akan besar. Hal ini akan memberikan elipsoida yang besar. Sebaliknya bila penyebaran data-data menyempit/rapat, kovariansi dari cluster akan kecil berarti elipsoidanya kecil. Penyebaran data dapat merubah ukuran dari bidang elipsoida. Berarti setiap matrik kovariansi membentuk elipsoida. Jadi, ika suatu titik-titik terkorelasi kuat maka arak Mahalanobis akan kecil. MUSANGIMAH Dikatakan bahwa arak minimum banyak diaplikasikan dalam clustering. Dalam clustering secara berhirarki atau non-hirarki arak minimum ini dapat diterapkan untuk memperoleh hasil yang terbaik? MIKE SUSMIKANI Dapat diterapkan pada clustering non-hirarki. Jarak Mahalanobis merupakan pengembangan dari clustering non-hirarki K-mean.

15 DAFAR RIWAYA HIDUP. Nama : MIKE SUSMIKANI. empat/anggal Lahir : Jakarta, November Instansi : PIK - BAAN 4. Pekeraan / Jabatan : Bidang Matematika dan Komputasi/ Pranata Komputer 5. Riwayat Pendidikan : setelah SMA sampai sekarang FMIPA-UI, Jurusan Matematiak Statistika S SIE-IGI, Jurusan Manaemen S 6. Pengalaman Kera : Staf Pengolahan Data Biro Bina Program Ka. Sub. Bidang Statistik, Bidang Analis Sistem Staf Bidang Komputasi Pranata Komputer 7. Organisasi Professional : -