BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Perkiraan Variansi Tipe SYG Perkiraan Ŷ tidak bias secara bersyarat untuk perkiraan tahap Ŷ1 = s 1 ẏ i, sebagai sampel tahap pertama s 1, dimana ẏ i = y i π 1i = d 1i y i. Sebagai contoh EŶ s 1 = Ŷ1. Karena itu, adalah tidak bias secara tidak bersyarat untuk total Y = U y i. Variansi Ŷ diberikan sebagai berikut: V Ŷ = E V Ŷ s 1 + V E Ŷ s 1 = E V Ŷ s 1 + V Ŷ1.1 Perkiraan ariansi bersyarat V Ŷ s 1 pada.1 dengan menggunakan perkiraan ariansi SYG, di tentukan ukuran sampel tahap kedua adalah fix untuk s 1 Rao, Perkiraan ariansi SYG adalah sebagai berikut: Ŷ s 1 = π π i si j s1 ẏi πij s i<j s 1 πi s 1 ẏj π j s1. Adalah tidak bias secara bersyarat untuk V [ ] bias secara tidak bersyarat untuk E V Ŷ s 1 Ŷ s 1 dan karena itu tidak Langkah kedua dalam.1 diperoleh : V Ŷ1 = π 1i π 1j π 1ij ẏ i ẏ j.3 i<j U Dengan ukuran sampel tahap pertama adalah fix jika ukuran y i diketahui untuk semua i s 1, kemudian perkiraan ariansi SYG dari V Ŷ1 adalah sebagai berikut: Ŷ1 = π 1iπ 1j π 1ij ẏ i ẏ j.4 π i<j s 1ij 1 8

2 9 Tetapi y 1 hanya diketahui untuk i s karena perkiraan.4 merupakan sampel tahap kedua s untuk memperoleh: Ŷ1 = π 1iπ 1j π 1ij ẏ i ẏ j.5 π i<j s 1ij π ij s1 Perkiraan ariansi.5 adalah tidak bias untuk V Ŷ1. Oleh karena itu dari.1 perkiraan bias pola SYG dari V Ŷ1 ditunjukkan oleh: SY G Ŷ = Ŷ s 1 + Ŷ1.6 dimana Ŷ s 1 dan Ŷ1 ditunjukkan oleh. dan.5 secara berurutan. Untuk menggambarkan analogi tahap tunggal SYG, perkiraan pola SYG adalah V Ŷ, tetapi rumus untuk V Ŷ s 1 terlihat tidak tepat karena menggunakan ẏ i ẏ j berdasarkan bentuk yang tepat ẏ1 π i s1 ẏj π j s1 diberikan di persamaan.. Type-type dari perkiraan ariansi HT, HT Ŷ adalah alid untuk kedua tahap ariansi dan tidak fix pada pembuatan pola sampel yang tidak sejenis dengan type perkiraan ariansi SYG.6. Bagaimanapun, perkiraan ariansi SYG memberikan hasil yang alid untuk banyak pola dua tahap, dan analogi untuk kasus tahap umum dapat lebih stabil untuk perkiraan ariansi HT dan memberikan hasil tidak negatif untuk beberapa pola yang dikenal dengan bentuk probability proportional to size PPS. Rao 1973 memberikan bukti nyata bahwa perkiraan ariansi SYG adalah lebih bagus dari perkiraan ariansi HT untuk sampling tahap umum.. Pengaturan Umum Di bagian ini, penulis mengealuasi estimator ariansi SYG.6 untuk sampling dua tahap untuk proses stratifikasi. Di tahap pertama, sebuah sampel yang besar s 1 dengan ukuran n 1 di buat berdasarkan desain yang ditentukan termasuk perihal batasan peluang π 1i dan peluang yang berhubungan π 1ij. Menggunakan informasi yang terkumpul untuk unit i s 1, sampel tahap pertama s 1 distratifikasi pada strata Gs 1, dinotasikan s 1g g = 1,, Gs 1 dengan elemen m 1g

3 di strata g, g m 1g = n 1. Di tahap kedua, sebuah sampel peluang s g dengan ukuran m g dibentuk dari s 1g, bebas terhadap zg, dan sifat dari keuntungan, y, telah tercatat. Angka dari strata tahap kedua Gs 1 dan ukuran sampel m 1g dan m g tergantung pada s 1, meskipun Gs 1 mungkin dapat didefinisikan terlebih dahulu, sebagai contoh, Gs 1 G. Sebagai kesederhanaan notasi, penulis menyederhanakan persamaan yang tergantung pada s Yang penting diperhatikan adalah π ij s1 = π i s1 π j s1 jika i s 1g dan j s 1g dan j s 1l g l, Ŷ s 1 dapat menjadi V Ŷ s 1 = G i<j s g ij s1g ẏi π i s1g ẏj π j s1g.7 dimana ij s1g = π i s 1g π j s1g π ij s1g π ij s1g.8 Persamaan.7 dapat digunakan untuk sampling tahap kedua tanpa strata dengan peluang yang bersifat bersyarat π i s 1g dan π ij s 1g memenuhi s 1 π i s 1g diperlukan untuk menyelesaikan s 1 yang diberikan. Di kasus khusus dari sampling random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, diperoleh bahwa π i s 1g = m g m 1g dan π ij s 1g = m gm 1g 1 m 1g m 1g dan persamaan 3.1 disederhanakan menjadi 1 Ŷ s 1 = G m 1g 1 fg 1 m g 1 m g dimana f g = m g m 1g Sekarang menggunakan identitas Langrange i<j s g ẏi ẏ j.9 m i<j=1 zi z j = m m = 1z i z.10 i Persamaan.3 disederhanakan menjadi Ŷ s 1 = G 1 fg m g m 1g 1 m g 1 Ŝ gẏ.11 dimana Ŝ gẏ adalah rata rata kuadrat dari sampel yang ada, dari pembobotan tahap pertama ẏ i = y i π i untuk i s g. Komponen kedua dari estimator ariansi

4 11 HT 1., menggunakan sampling acak yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menghasilkan nilai yang sejalan dengan persamaan.5, formula dari Särndal et.al,. Komponen Ŷ1 di estimator ariansi SYG.6 berdasarkan sampling random yang sederhana tanpa strata tahap kedua, menyederhanakan persamaan tersebut menjadi Ŷ1 = G + = 1 m 1g m 1g 1 m g m g 1 G g<l=1 Ŷ1 m1g m 1l i<j s g m g m l + Ŷ1 i s g 1ij ẏ i ẏ j j s l 1ij ẏ i ẏ j.1 dimana 1ij = π 1iπ 1j π 1ij π 1ij.13 Untuk penyederhanaan lebih lanjut yang mungkin untuk menggeneralisasikan tahap pertama dengan peluang π 1i dan p 1ij. Contoh: Jika sampel tahap pertama s 1 dengan ukuran n 1 dipilih dengan sampling acak sederhana dari sebuah populasi U dengan N, selanjutnya π 1i = n 1 N, π 1ij = n 1 n 1 1 dan [NN 1] 1ij = 1 f 1 N g W 1gȳ g dimana ȳ g = m 1. Estimator kedua tahap n 1 1 Ŷ disederhanakan menjadi s g y i. Menggunakan identitas Langrange dan nilai π 1i dan π 1ij, di atas, komponen pertama di persamaan.6 disederhanakan menjadi 1 Ŷ1 = N 1 f 1 n 1 G w 1g m 1g 1 n 1 1 Ŝ gy.14 dimana Ŝ gy adalah rata rata kuadarat dari sampel y 1 untuk i S.

5 1 Komponen yang kedua dari persamaan.6 disederhanakan menjadi [ Ŷ1 = N 1 f 1 1 G G m 1g m 1l n 1 n 1 1 m g m l l=1 G y i y j m m g 1 1g Ŝ gy m i s g i s l g [ G = N 1 f 1 n 1 + n 1 n 1 1 n 1 m 1g n 1 1 n 1Ŝ gy ] G w 1g ȳ g ȳ a.15 dimana ȳ a = Ŷ = G N w 1gȳ g. Hasil penjumlahan dari.14 dan.15, Ŷ1 ditunjukkan sebagai Ŷ1 = G dimana δ g = 1 n 1 m 1g m g n δ g w 1g Ŝ gy + n 1 n 1 1 G w 1g ȳ g ȳ a.16 Särndal et.al, 199 menyederhanakan komponen pertama dari estimator ariansi HT1. untuk kasus spesial dari sampling acak sederhana di tahap pertama tanpa memberikan detailnya untuk menghasilkan.16. Formula ini sejalan dengan persamaan Ŷ1 yang dihasilkan oleh persamaan Penarikan Sampel Dua-Tahap Misalkan bahwa setiap unit dalam populasi dapat dibagi ke dalam sejumlah unit-unit atau subunit yang lebih kecil. Sebuah sampel dari n unit dipilih. Jika subunit dalam unit yang dipilih memberikan hasil yang sama, hal ini kelihatannya tidak ekonomis untuk mengukur sebuah sampel dari subunit dalam setiap unit yang dipilih. Teknik ini disebut subpenarikan sampel, karena unitnya tidak diukur dengan lengkap, tetapi diambil sampelnya. Nama lain, yang berhubungan dengan Mahalanobis, adalah penarikan sampel dua tahap, karena sampelnya diambil dalam dua tahap. Tahap pertama memilih sebuah sampel dari unti-unit utama dan tahap kedua memilih sebuah sampel dari unit-unit dari tahap kedua atau subunit dari setiap unit utama yang dipilih.

6 13 Subpenarikan sampel dapat diterapkan secara luas melebihi cakupan surei sampel. Kapan saja suatu proses yang mencakup pengujian secara kimia, fisika atau biologi dapat dilaksanakan dengan jumlah material yang kecil, yang lebih disukai dengan mengambilnya sebagai sebuah subsampel dari suatu jumlah yang besar yang mana jumlah itu sendiri adalah sebuah sampel. Pertimbangan sederhana, yang setiap unit terdiri dari M subunit yang sama, m dipilih bila setiap unit subsampel. Sebuah penyajian secara skema dari penarikan sampel dua tahap, dimana M = 9 dan m =, ditunjukkan dalam gambar.1 berikut. Gambar.1 Gambar secara skema dari penarikan sampel N=81, n=5, M=9 dan m= Keuntungan utama dari penarikan sampel dua tahap adalah bahwa cara ini lebih fleksibel dari penarikan sampel satu tahap. Ini mengurangi penarikan sampel satu tahap bila m = M, kecuali ini adalah pilihan terbaik dari m, kita mempunyai kesempatan mengambil beberapa nilai yang lebih kecil yang kelihatan lebih efisien. Seperti biasa, persoalan ini mengurangi keseimbangan antara ketelitian secara statistik dan biaya. Bila subunit dalam unit yang sama sangat dekat, pertimbangan-pertimbangan ketelitian membutuhkan satu nilai m yang kecil. Di lain pihak, hal ini kadang-kadang hampir semahal mengukur keseluruhan unit sebagai suatu subsampelnya, sebagai contoh bila unit itu adalah sebuah rumahtangga dan seorang responden dapat memberikan data yang tepat mengenai semua anggota rumahtangganya.

7 14 Misalkan populasi U adalah populasi U adalah populasi yang distratifikasi dengan menggunakan strata H, U h dengan N h adalah anggota di tahap ke h H th h=1 N h = N. Di dalam tahap pertama, digunakan contoh s 1h sederhana dari tahap pertama strata U h dan menyelidiki sebuah ariabel skalar x untuk i s 1h, h = 1,, H, dimana ukuran s 1h adalah H h=1 = n 1. Kemudian dilakukan stratifikasi ulang sampel y dengan s 1 = H h=1 s 1h ke dalam G tahapan s 1g dengan populasi m 1g G m 1g = n 1, menggunakan aiabel tambahan untuk diselidiki di tahap pertama, sampel acak sederhana s g dengan populasi m g dan kemudian diambil secara acak dari strata kedua s 1g g = 1,, G. Untuk gambaran diatas, π 1i = N h jika i s 1h dengan i j, 1 jika i j s 1h π 1ij = N h N h 1 n 1k jika i s 1h, j s 1k, h k N h N k.17 Estimator fase kedua Ŷ dapat disederhanakan menjadi Ŷ = H N h h=1 G m 1g m g i s gh y i.18 dimana s gh = s 1h s g, dengan catatan bahwa beberapa s, ghs mungkin kosong, di beberapa kasus penggunaan i sgh y i menjadi nol di persamaan.. Beralih ke permasalahan estimasi ariansi, komponen Ŷ s 1 diberikan oleh.5 dengan ẏ 1 = y 1 N h jika i s 1h. Untuk mengealuasi Ŷ1 diberikan oleh persamaan.6, dibutuhkan nilai 1ij. Dengan menggunakan.3, diperoleh 1ij = 1 f 1h 1 dimana s h = g s gh dan f 1h = N h. jika ij s h = 0 jika i s h, j s k, h k.19 Substiusi yang dilakukan pada batas atas 1ij di persamaan.6, komponen pertama 1 Ŷ1 disederhanakan menjadi 1 Ŷ1 = G m 1g m 1g 1 m g m g 1 h=a g Nh 1 f 1h 1 i<j s gh yi y j.0

8 15 dimana A g adalah himpunan dari strata h fase pertama dengan menggunakan paling sedikit dua unit di s gh, untuk sisa strata fase pertama tidak memberikan kontribusi 1 Ŷ1, menggunakan identitas Langrange.4, menggunakan.7 mereduksi persamaan menjadi 1 Ŷ1 = G m 1g m 1g 1 m g m g 1 h A g Nh dimana m gh adalah banyaknya unit s gh dan Ŝ ghy adalah kuadrat sampel ratarata dari nilai y i untuk i S gh. Dapat dituliskan bahwa Ŷ1 = G g<l m 1g m 1l m g m l h gl 1 f 1h 1 m ghm gh 1Ŝ ghy.1 Ŷ1 sebagai gambaran dari Nh 1 f 1h y i y j 1. j s lh i s gh dimana gl adalah himpunan strata h fase pertama dengan paling sedikit satu unit di kedua s gh dan s gl. Untuk kesederhanaan dari persamaan.10 adalah tidak mungkin sederhana tanpa memenuhi m gh untuk semua gh. Tipe ariansi estimator SYG, Ŷ, sekarang diberikan oleh perpaduan persamaan.5,.15 dan.16, dan selalu menghasilkan angka yang tidak negatif. Sekarang gunakan kasus spesial m gh untuk semua gh. Di kasus 1 Ŷ1 diberikan oleh.15 dengan A g berubah menjadi H h=1 Untuk lebih jauh dapat ditulis bahwa Ŷ1 sebagai gambaran dari Ŷ1 = 1 G G =I II G l=1 m1g m 1g m 1l m g m l m g lij i s gh j s lh ẏ i ẏ j i<j s g ẏi ẏ j.3 Mengikuti langkah yang digunakan untuk mendapatkan persamaan.15, diperoleh II = G m1g H m g h=1 Nh 1 f 1h 1 m gh m gh 1Ŝ ghy.4

9 16 Kombinasi dari.15 dengan.18, diperoleh Ŷ1 II = G m1g m g H Nh h=1 1 f g m g 1 1 f 1h 1 m gh m gh 1 Ŝ ghy Kedalam bentuk I pada.17, dapat ditulis H Nh I = 1 f 1h 1 G G m 1g m 1l n 1h n ẏi ẏ j 1h 1 m g m l h=1 l=1 i s gh.5.6 dimana ˆ = G m 1g m gh dan ȳ ah = ˆn 1 1h m g G m gh m 1g yk m g k=1.7 Estimator ariansi Ŷ sekarang diberikan dengan menjumlahkan persamaan.5,.1 dan.13. Estimator ariansi HT dari Binder et.al, 000 diturunkan dari persamaan 1., adalah berbeda dari hasil Ŷ, tetapi Ŷ s 1 yang dihasilkan dari persamaan.5 adalah sejenis dengan formula yang ditemukan Binder et.al, Perumusan Binder et.al, 000 tersebut berkorespondensi dengan persamaan.19 yang diberikan G = m1g m g 1 f g m g 1 L h=1 Nh { m gh 1 S ghy + m gh 1 f 1h 1 m g 1 m gh ȳgh m g }.8 dimana ȳ gh adalah rata-rata dari y untuk s gh. Persamaan Binder et.al, 000 berkorespondensi dengan persamaan.13 di berikan H = N h n h=1 1h 1 f h 1 [ G m 1g m g m 1 fg m gh gh ].9 y i ȳ ah ˆn1h + ˆ ȳah m g 1 m g n i=1 1h 1

10 17 Estimasi ariansi Binder et.al, 000 sekarang diberikan dengan menjumlahkan.5,.1 dan.13. Dengan catatan bahwa bentuk ˆ 1 dapat menghasilkan positif atau negatif..4 Penarikan Sampel Tiga-Tahap Misalkan y iju adalah nilai yang diperoleh untuk unit ke-u tahap ketiga pada unit ke-j tahap kedua diambil dari unit utama ke-i. Rata-rata unit yang sesuai populasi per-unit ketiga adalah Ȳ ij = ΣK u y iju K, Ȳ = ΣM j Σ K u y iju MK, Ȳ = ΣN i Σ M j Σ K u y iju NMK.30 Varians populasi yang dibutuhkan: N i Ȳ i Ȳ S1 = N 1 N S = i Σ M j Y ij Ȳ i NM 1 N S3 i Σ M j Σ K u Y ijk Ȳ i = NMK 1 Jika penarikan sampel acak sederhana digunakan pada ketiga tahap, ratarata sampel Ȳ per-unit tahap ketiga adalah suatu perkiraan yang tidak bias dari Ȳ, dengan arians Ȳ = 1 f 1 n S f nm S + 1 f 3 nmk S 3.31 dimana f 1 = n, f N = m, f M 3 = k adalah fraksi penarikan sampel pada tahap K ketiga. Selanjutnya : ȳ Ȳ = ȳ Ȳ nm Ȳ nm Ȳ n + Ȳ n Ȳ.3 dimana Ȳ nm adalah rata-rata populasi nm unit tahap kedua yang telah dipilih dan Ȳ n adalah rata-rata populasi n unit utama yang telah dipilih. Bila dikuadratkan dan diambil rata-ratanya, bentuk produk silangnya hilang.

11 18 Kontribusi dari bentuk yang telah dikuadratkan akan menjadi: 1 f 3 E ȳ Ȳ nm = nmk S 3 1 f E Ȳ nm Ȳ n = nm S 1 f 1 E Ȳ n Ȳ = n S 1 Bila ketiga bentuk tersebut dijumlahkan, teorema diatas diperoleh suatu perkiraan tidak bias pada V Ȳ dari samplenya Ȳ = 1 f 1 n S 1 + f 11 f nm S + f 1f 1 f 3 S3.33 nmk dimana S 1, S, S 3 adalah perkiraan arians sampel dari S 1, S, S 3. Hal ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan ES 1 = S f m S + 1 f 3 mk S 3 ES = S + 1 f 3 S3 k.34 dan ES3 = S. Untuk mendapatkan hasil yang pertama, misalkan ȳ ik menyatakan rata-rata m unit tahap kedua pada unit utama ke-i, dengan syarat bahwa seluruh K elemen telah dihitung pada tahap ketiga. Misalkan ȳ K adalah rata-rata dari n nilai ȳ ik. Maka penarikan sampel dua tahap menjadi [ n ] ȳik ȳ K E = S1 + 1 f n 1 m S.35 Sekarang bila ȳ i adalah rata-rata sampel untuk unit utama ke-i menjadi ȳi ȳ = [ ȳ ik ȳ K + ȳi ȳ ik ] ȳ ȳ K.36 Dengan diawali merata-ratakan seluruh sampel yang mana unit-unit tahap pertama dan tahap kedua tetap, dapat ditunjukkan bahwa: 1 n[ n 1 E ȳi ȳ ik ] ȳ ȳ K = 1 f 3S3 mk.37 dan bahwa produk silang dari.11 tidak bisa memberikan kontribusi apa-apa. Ini membentuk hasil Es 1. Untuk Es didapat dengan cara yang sama.

12 19 Oleh karena itu, E [ ȳ ] = 1 f 1 n S1 + 1 f m S + 1 f 3 + f 11 f nm S + 1 f 3 S3 k mk S 3 = 1 f 1 n S f nm S + 1 f 3 nmk S 3 =V y + f 1f 1 f 3 S3 nmk.38 Seperti dengan penarikan sampel dua tahap, hal ini hal ini jelas dari.33, bahwa jika f 1 diabaikan ȳ menjadi ȳ n = S 1 n = ȳ i ȳ nn 1.39 Perkiraan ini konseratif bila f 1 tidak diabaikan. Dengan sebuah fungsi biaya dari bentuk C = c 1 n + c nm + c 3 nmk.40 Nilai k dan m optimum adalah k opt = s 3 S S 3 K c c 3, m opt = S S 3 K S 1 S 3 M c 1 c.41 Perluasan hasil ini dalam bagian ini untuk penambahan tahap penarikan sampel akan lebih jelas dari struktur rumusnya.