Eksponen dan Logaritma

Transkripsi

1 Bb Ekspoe d Logrit A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kopetesi Dsr Setelh egikuti pebeljr ekspoe d logrit sisw pu:. eghyti pol hidup disipli, kritis, bertggugjwb, kosiste d jujur sert eerpky dl kehidup sehri-hri;. eilih d eerpk tur ekspoe d logrit sesui deg krkteristik perslh yg k diselesik d eeriks keber lgkh-lgkhy;. eyjik slh yt egguk opersi ljbr berup ekspoe d logrit sert eyelesiky egguk sift-sift d tur yg telh terbukti kebery. Pegl Beljr Mellui pebeljr teri ekspoe d logrit, sisw eperoleh pegl beljr: egkouiksik krkteristik slh otetik yg peechy terkit ekspoe d logrit; ercg odel Mtetik dri sebuh perslh utetik yg berkit deg ekspoe d logrit; eyelesik odel Mtetik utuk eperoleh solusi perslh yg diberik; efsirk hsil peech slh; ebuktik berbgi sift terkit ekspoe d logrit; eulisk deg kt-kty sediri kosep pers kudrt.berdsrk ciriciri yg ditulisk sebeluy; ebuktik sift-sift d tur tetik yg berkit deg ekspoe d logrit berdsrk kosep yg sudh diiliki; eerpk berbgi sift ekspoe d logrit dl peech slh. Bilg Pokok (Bsis) Perpgkt Ekspoe Logrit

2 B. PETA KONSEP Hipu Mslh Otetik Fugsi Mteri prsyrt Bsis Fugsi Ekspoe Fugsi Logrit Bsis Pgkt Usur Bilg Ekspoe Bilg Logrit Usur Nuerus Hsil Opersi Sift-sift Ekspoe Sift-sift Logrit Hsil Logrit Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

3 C. MATERI PEMBELAJARAN Byk perslh kehidup yg peyelesiy terkit deg kosep d tur-tur dl tetik. Utuk itu perhtik d selesik deg cert perslh-perslh yg diberik. Di dl proses peech slh-slh yg diberik, ku certi objek-objek yg dilibtk dl perslh yg diberik. Objek-objek itu ejdi bh spirsi/ispirsi, kre terkdg d kosep tetik elekt pd objek itu yg tidk kit sdri d teryt sebgi kt kuci dl peyelesi slh. Deiki jug ku tidk boleh egbik tu elupk kosep-kosep d tur-tur tetik yg telh dipeljri sebeluy, bik di tigkt SD/MI, SMP/MTs, bhk pd teri yg bru sj ku peljri. Pegg teguh sift tetik; yitu, tetik bersdr pd kesepkt, slig terkit teriy, egguk vribel-vribel, d bersift bstrk sebb tetik dlh hsil bstrksi peikir usi. Mtetik egut keber kosistesi; rtiy, tidk boleh d di dly usur-usur, sibolsibol, kosep-kosep, ruus-ruus yg slig bertetg. Jik sebuh kosep diteuk, ukur kebery dlh pbil kosep tersebut diteri pd struktur tetik yg sudh d sebeluy. Jik prisip (ruus-ruus, sift-sift) yg diteuk, ukur kebery dpt dibuktik kebery egguk kosep tu tur yg sudh d sebeluy.. Meeuk Kosep Ekspoe Utuk eeuk kosep ekspoe, ku selesik slh yg disjik di bwh ii secr berkeljut. Ku lebih dhulu berush eikirk, berupy ecri ide-ide kretif, berdiskusi, ecob eechk slh di dl kelopok beljr. Dri beberp odel tetik yg elibtk ekspoe, ku secr idividu eulisk ciri-ciri ekspoe d ediskusik hsily deg teu. Berdsrk ciri-ciri tersebut, ku eulisk kosep ekspoe deg peh sediri. Mslh-. Seorg peeliti bidg ikrobiologi di sebuh lebg peeliti sedg egti pertubuh sutu bkteri di sebuh lbortoriu ikrobiologi. Pd kultur bkteri tersebut, stu bkteri ebelh ejdi r bkteri setip j. Hsil pegt eujukk bhw julh bkteri pd khir j dlh bkteri d setelh j keudi, julh bkteri tersebut ejdi bkteri. Peeliti tersebut igi egethui byk bkteri sebgi hsil pebelh d ecri thu byk bkteri dl wktu 8 j. Bb Ekspoe d Logrit

4 Altertif Peyelesi Dikethui: Stu bkteri ebelh ejdi r bkteri utuk setip j. Julh bkteri pd khir j dlh bkteri d setelh j keudi, julhy ejdi bkteri. Dity:. Berp byk bkteri sebgi hsil pebelh. b. Berp julh bkteri dl wktu 8 j. Sebgi lgkh wl but tbel lju pertubuh bkteri terhdp wktu setip j. Mislk julh bkteri pd wly (t 0) dlh x 0. Isilh tbel berikut! J ke-t Julh bkteri (x t ) x 0 rx Dri hsil pegt dt pd tbel di ts, kit dpt ebut hubug pertubuh julh bkteri (x t ) tersebut terhdp perubh wktu (t). xt r r r... r x0 tu secr rigks ditulis x t t fktor t r x0... () deg t dl j, x 0 dlh julh bkteri st t 0 d r dlh byk bkteri setelh pebelh terjdi pd setip j. Pd Mslh-. dikethui bhw pd khir j terdpt bkteri d setelh 5 j terdpt bkteri. Kit substitusi ke forul di ts, k diperoleh x r x d x 5 r 5 x x x 5 5 r x r x r 4 r 4 Jdi, peeliti tersebut eeuk bhw setip j bkteri ebelh ejdi bkteri. Utuk edptk byk bkteri pd wly tu t 0, substitusi r ke pers r x sehigg 8x Deg deiki x Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

5 Subtitusik x 0.50 ke pers (), pol pertubuh bkteri tersebut diytk t x t 8 x 8 ( )( 50) Dl Mslh-., diteuk r 4 k r. Apkh r tidk berlku? Berik lsu. Jdi, setelh 8 j, peeliti edptk julh bkteri sudh ecpi bkteri. Mslh-. Diberik selebr kerts berbetuk persegi pjg. Liptlh kerts tersebut di tegh-tegh sehigg gris lipt ebgi du bidg kerts ejdi du bgi yg s. Teuklh pol yg eytk hubug byk lipt deg byk bidg kerts yg terbetuk. Altertif Peyelesi Sebgi lgkh wl but tbel keterkit tr byk lipt deg byk bidg kerts yg terbetuk. Byk Lipt Byk Bidg Kerts Pol Perkli N Berdsrk tbel di ts, islk k dlh byk bidg kerts yg terbetuk sebgi hsil lipt bidg peruk kerts ejdi du bgi yg s, dlh byk lipt. k dpt diytk dl, yitu k... () Cob ku uji keber pers k deg esubtitusik ili d ke pers tersebut. Bb Ekspoe d Logrit 5

6 Berdsrk pers () d (), diperoleh Dri pers () x t r t x 0, r dlh bilg pokok d t dlh ekspoe dri r. Dri pers () k, dlh bilg pokok d dlh ekspoe dri. Utuk eyederhk peulis hsil kli bilg yg s, kit dpt egguk otsi pgkt. Bilg berpgkt didefiisik sebgi berikut. Defiisi. Mislk bilg rel d bilg bult positif. dlh hsil kli bilg sebyk fktor, dpt ditulis... deg sebgi bsis fktor bilg pokok d sebgi pgkt. Ctt:. Pd Defiisi-. di ts, kit sepkti, cukup ditulis.. Hti-hti deg bilg pokok 0, tidk seu 0 deg bilg rel hsily dlh. Cob tyk pd guruu, egp deiki?. Jik dlh sebuh vribel (vribel sebgi ekspoe dri ), k perlu dicerti seesty di vribel itu dibicrk. Sebb... sebyk fktor, ii hy berlku ketik seest N. Perhtik Mslh-. berikut! Mslh-. Sutu zt yg disutikk ke dl tubuh usi k dikelurk dri drh ellui gijl. Setip j sepruh zt itu dikelurk oleh gijl. Bil 00 g zt itu disutikk ke tubuh usi, berp iligr zt itu yg tersis dl drh setelh: ) t j? ) t j? ) t j? 4) Butlh odel tetik pegurg zt tersebut dri tubuh ellui gijl! 5) Gbrlh grfik odel pers yg diteuk! Altertif Peyelesi Lgkh wl isilh tbel berikut: t Julh zt z(t) 50 5, Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

7 Isilh secr legkp dt pd tbel d cob gbrk psg titik-titik tersebut pd siste koordit krtesius! Seljuty perhtik grfik fugsi (Gbr.) di bwh ii. Isilh ili-ili yg dillui fugsi tersebut d sjik ili-ili tersebut pd tbel yg diberik. f(x) f(x) -x f(x) -x f(x) x f(x) x x Gbr. Grfik fugsi ekspoe f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x x 0 4 Ltih. Ati grfik di ts. Tulisk sedikity 5 (li) sift grfik fugsi ekspoe d presetsi hsily di dep kels. Dl ppr jelsk egp kit perlu egethui sift-sift tersebut! Bb Ekspoe d Logrit 7

8 Defiisi. Fugsi Ekspoe dlh sutu fugsi yg diytk dl betuk y f(x) (b cx ) deg, b, d c bilg rel. x dlh vribel b dlh bilg pokok tu bsis c dlh koefisie x cx dlh ekspoe dri b.. Pgkt Bult Negtif Defiisi. Utuk bilg rel d 0, bilg bult positif, didefiisik Defiisi di ts dijelsk sebgi berikut: fktor Cotoh. sebyk fktor Jik ili x d y, tetuk ili x ( y 4 )... Peyelesi: y x ( y ) x 8 ( ) 8 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

9 . Pgkt Nol Defiisi.4 Utuk bilg rel d 0, k 0. Utuk lebih ehi defiisi di ts, perhtik pol hsil pegkt bilg-bilg berikut deg bilg Perhtik hsil pegkt deg 0, d hsil pegkt deg 0, hsil pegkty dlh. 4. Sift-sift Pgkt Bult Positif Cob buktik sift-sift pgkt bult positif egguk defiisi bilg berpgkt yg telh dipeljri sebeluy. Sift- Jik bilg rel, d bilg bult positif k + Bukti: fktor + + fktor Perhtik.... fktor Diskusik dl kelopoku, pkh ber perpgkt dlh perkli berulg? Bgi jik buk bilg? Bgi jik d buk bilg bult positif? Sift- Jik bilg rel d 0, d bilg bult positif, k. Bb Ekspoe d Logrit 9

10 Bukti:... fktor... fktor (sesui defiisi) Pd persyrt Sift-, Ap rti 0? Bgi jik 0? Ap dpky pd hsil pebgi?? Jik ku tidk thu, ty pd guru! Pd Sift- di ts, terkit bilg bult positif d. Ad (tig) keugki, yitu () >, (b), d (c) <. ) Ksus > Jik d bilg bult positif d > k > 0. Deg deiki fktor... fktor ( ) fktor fktor fktor... ( ) fktor Jdi (-), deg, bilg bult positif d > b) Ksus Jik, k. Bukti:, sebb... fktor... fktor 0 (hl ii sesui deg Defiisi.4). 0 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

11 Ltih. Buktik sediri utuk <. Jelsk perbed hsily deg ksus (). Sift- Jik bilg rel d 0, d dlh bilg bult positif, k ( ) Bukti: ( )... fktor fktor fktor fktor fktor... fktor fktor ( ) (terbukti) Defiisi.4 Mislk bilg rel d 0, bilg bult positif. bilg rel positif, sehigg p. p dlh Diskusi Diskusik deg teu, pkh syrt d bilg positif diperluk utuk Sift d Sift 4. Bgi jik d dlh slh stu tu keduy bilg egtif. Bb Ekspoe d Logrit

12 Cotoh. () Buktik jik R, > d >, k >! Bukti: Kre > d >, k > 0 d > 0, > 0. Akibty, berlku (Liht > Sift- di ts) > (Megp >? Beri lsu!) > (Kre > 0) > (terbukti) (b) Perlukh syrt >? Mislk kit bil bilg rel yg eeuhi < d >,. Apkh yg terjdi? Pilih, deg >, pilih d, pkh yg terjdi? ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 4 Deg deiki, 8 < 4 tu <. Jdi, tidk ber bhw > bil < d >,. Jdi, syrt dlh bilg rel, d > d >, tidk boleh dikurgi (syrt cukup) utuk ebuktik >. Diskusi Berdiskusilh deg teu stu kelopok. Alisis peryt pd Cotoh.! Ap kibty bil syrt > tidk dipeuhi? Perlukh diperkut deg syrt >, > 0? Jelsk! Bolehkh syrt > di ts digti? Jelsk! Bil tidk boleh, odifiksi ketetu di ts supy berlku utuk. Bgikh bil 0 < < d < 0? But tur hubug tr d utuk berc-c ili di ts! But lpor terkit hsil diskusi kelopoku. Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

13 Cotoh. Terpk berbgi sift ekspoe utuk eetuk hsil opersi bilg pd sol yg disjik pd cotoh. Ujilh keber hsily!. 5 fktor 5 fktor fktor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fktor fktor 6 6 fktor 4. ( ) ( ) ( ) 5. fktor fktor fktor fktor ( ) deg egguk Sift- deg egguk Sift- ksus b deg egguk Sift- deg egguk Defiisi. deg egguk Defiisi. Bb Ekspoe d Logrit

14 Diskusi Diskusik deg teu utuk eperoleh ruus perpgkt sebgi hsil peh terhdp Cotoh.4 d Cotoh.5 di ts. Msih igtkh ku, disebut sift pkh dl kosep perkli? But lpor hsil diskusi kelopoku. Cotoh.4 Buktik jik > d > deg d bilg bult egtif k >. Bukti: Kre > deg d bilg bult egtif, k d dlh bilg bult positif d >. Kre > k > (Guk sift ). > > (terbukti) Cotoh.5 Berdsrk sift bilg 7, tetuk bilg stu dri 7 4 tp eghitug tuts. Perhtik bilg stu dri perpgkt dri 7 berikut? Perpgkt 7 Nili Bilg Stu Cob ljutk lgkh berikuty utuk eeuk bilg stu 7 4. Certi sift stu pd tbel di ts. St periode keberpkh berulg? Seljuty ftk sift-sift perpgkt d perkli bilg berpgkt. 4 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

15 5. Pgkt Pech Seljuty kit k lisis sift perpgkt bilg rel deg pgkt pech. Mislk bilg rel d 0,, bilg bult positif didefiisik Defiisi.5. Defiisi.6 Mislk bilg rel d 0 deg > 0, p pech q 0. q. q q c, sehigg c p q q p. tu. p p q dlh bilg Sift-4 Mislk dlh bilg rel d 0 deg > 0, p bilg pech 0. Jik, q k p d p ( ) +. dlh Bukti: Berdsrk Sift-4, jik bilg rel d 0,, dlh bilg bult positif, k p p. Deg deiki p fktor p fktor fktor p fktor p Bb Ekspoe d Logrit 5

16 ... + p fktor + p ( ) + p (Igt Defiisi.5) (terbukti) Jdi, jik dlh bilg rel deg > 0, p d p p deg 0, sert, q k ( ) +. dlh bilg pech Sift-5 Jik dlh bilg rel d 0 deg > 0, p p q q q, 0, k +. d p q bilg pech Uji Kopetesi.. Sederhklh opersi bilg berpgkt berikut b c. 4 d. d. ( 5) ( 4). Deg egguk sift bilg berpgkt, sederhklh betuk berikut.. x 7x 4 (x) b. p ( q) p q 5 c. 5 y ( x z) x y 4 d. ( b c) 4 ( b c) e. f. 4 b 8 b 5 x 5 ( 4y) x y y x x b Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

17 b g. ( b) b h b b 4 4b i. 6( x y) x( y) x y 9x y j. 5 ( p) ( q) r pqr ( p q) ( qr). Hituglh hsil opersi bilg berpgkt berikut b. ( ) 5 5 c. d. e x y ( y) ; utuk x 4x d y x y 4 ( ) ; xy utuk x d y 4 p q ( ) ( p) ( q) q 4 ; p utuk p 4 d q 6 4. Tetuk hsil dri + ( ) + 5. Mislk ku diit eghitug Berp byk perkli yg ku lkuk utuk edptk ili khiry? Bdigk jwbu deg teu. Peeg di tr kli dlh yg dpt ecri hsily deg elkuk perkli sesedikit ugki. Cob tulisk prosedur eglik yg plig sedikit perkliy utuk eghitug Apkh prosedur tersebut dpt diperguk utuk pgkt positif berppu? 6. Berdsrk sift gk 7, tetuk bilg stu dri tp eghitug tuts! 7. Tetuk bilg stu dri 6 6 (( 6) ) berdsrk sift gk 6, tp eghitug tuts. Seljuty berdsrk sift gk,, 4, 5, 8, 9, tetuk jug gk stu yg diperoleh bilg-bilg tersebut yg dipgktk. 8. Tujukk bhw dlh kelipt. 9. Bgi cr terudh utuk ecri ( +. ) ( 6 +. ) Bb Ekspoe d Logrit 7

18 0. Hituglh Sederhklh b b b b.. Tetuk ili x yg eeuhi. x 8 b. 4 x 0,5 x c. 5 Projek Bilg yg terllu besr tu terllu kcil serigkli ditulisk dl otsi ekspoe yg ditulisk sebgi E b yg iliy dlh 0 b. Sehigg 0,00005 ditulis sebgi 5, E 5. Cri besr-besr fisik, kii, strooi, d ekooi yg iliy diytk deg otsi ekspoe. Mislk cept chy dlh k/det, sehigg dl otsi ekspoe ditulis sebgi E 8 /det. 6. Betuk Akr Pegkr (perik kr) sutu bilg erupk iversi dri pegkt sutu bilg. Akr dilbgk deg otsi. Perhtik perslh berikut. Mslh-.4 Seorg hli ekooi eeuk bhw hrg (h) d byk brg (b) dpt diytk dl pers h b. Jik ili b 8, k berp ili h? Altertif Peyelesi h b h 8 h 64 h h 8 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

19 Akr ke- tu kr pgkt dri sutu bilg ditulisk sebgi, deg dlh bilg pokok/bsis d dlh ideks/ekspoe kr. Betuk kr d pgkt eiliki kit ert. Betuk kr dpt diubh ejdi betuk pgkt d sebliky. Sebelu epeljri betuk kr, ku hrus ehi kosep bilg rsiol d irrsiol terlebih dhulu. Bilg rsiol berbed deg bilg irrsiol. Bilg rsiol dlh bilg yg dpt diytk dl betuk, deg d b bilg bult d b b 0. Bilg rsiol terdiri ts bilg bult, bilg pech uri, d bilg pech desil. Sedgk, bilg irrsiol dlh bilg yg tidk dpt diytk dl betuk pech. Bilg irrsiol erupk bilg yg egdug pech desil tk berhigg d tk berpol. Cotoh bilg irrsiol, isly, , e,78...,,45965 d sebgiy. Defiisi.7 Mislk bilg rel d bilg bult positif. jik d hy jik hsil dlh bilg irrsiol. disebut betuk kr ilg irrsiol yg egguk td kr ( ) dik betuk kr. Tetpi igt, tidk seu bilg yg berd dl td kr erupk bilg irrsiol. Cotoh: 5 d 64 buk betuk kr, kre ili 5 dlh 5 d ili 64 dlh 8, keduy buk bilg irrsiol. Agr lebih jels, perhtik cotoh berikut.. 0 dlh betuk kr. 7 dlh buk betuk kr, kre 7 7. Hubug Betuk Akr d Bilg Berpgkt Perlu dikethui bhw bilg berpgkt eiliki hubug deg betuk kr. Berdsrk Sift-5, jik dlh bilg rel d 0 deg > 0, p d p p dlh bilg pech 0, k ( ) +. Perhtik bhw p p p + p p d perhtik bhw Bb Ekspoe d Logrit 9

20 p p p, sehigg berdsrk Defiisi 7.6 disipulk p p. Perhtik utuk ksus di bwh ii + + p p p p p p d perhtik jug bhw p p p p, sehigg berdsrk Defiisi 7.6 disipulk p p. Ltih. Certilh d buktik pkh berlku secr uu bhw p p. Perhtik bhw p p p p, sehigg berdsrk sift perkli bilg berpgkt diperoleh: Jdi, p p. p p Igt, ( p ) p Secr uu dpt disipulk bhw p p p pd Defiisi-6. ( ) sebgi diberik 8. Opersi pd Betuk Akr. Opersi Pejulh d Pegurg Betuk Akr Opersi pejulh d pegurg pd betuk kr dpt dilkuk pbil betuk kry se. Betuk kr se dlh betuk kr yg epuyi ekspoe d bsis s. Utuk setip p, q, d r dlh bilg rel d r 0 berlku sift-sift berikut. p r + q r p + q r ( ) ( ) p r q r p q r 0 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

21 Perhtik cotoh berikut ii! Cotoh.6 Tetuk hsil pejulh d pegurg berikut dl betuk yg sederh! ( ) (tidk dpt disederhk kre kry tidk se) ( ) 4 ( ) x 4. x x x b. Opersi Perkli d Pebgi Betuk Akr q p Pd pgkt pech telh diytk bhw. Sift perkli d pebgi betuk kr dpt dicerti pd beberp cotoh berikut. Cotoh.7 ) ) ) ( 4 )( 5 7) ) ( 5)( 5 5 ) 5( 5 ) 5 5 5) 6) p q Bb Ekspoe d Logrit

22 Ltih.4 ) Buktik: jik bilg rel d > 0, k ) Buktik: jik, b, c, d d bilg rel, c > 0 d d > 0, k c b d b cd ) Buktik: jik, b, c, d d bilg rel, c > 0 d d > 0, d 0, k c c b d b d c. Mersiolk Peyebut Betuk Akr Kit thu bhw betuk-betuk kr seperti, 5, + 7, 6, dst erupk bilg irrsiol. Jik betuk kr tersebut ejdi peyebut pd sutu pech, k diktk sebgi peyebut irsiol. Peyebut irrsiol dpt diubh ejdi bilg rsiol. Cr ersiolk peyebut sutu pech bergtug pd betuk pech itu sediri. Ak tetpi, prisip dsry s, yitu eglik deg betuk kr sekwy. Proses ii dik ersiolk peyebut. ) Mersiolk betuk p q Betuk p q dirsiolk deg cr egliky deg q q. p q p q. q q p q q Diskusi Meurutu egp peyebut bilg pech berbetuk kr hrus dirsiolk? Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

23 Megp kit hrus eglik p q deg q q? q Kre ili q sellu positif, k q. Jdi perkli p q deg q q p tidk k egubh ili u eyebbk peyebut ejdi bilg q rsiol. ) Mersiolk betuk r r r r,,, d p + q p q p + q p q Sebelu kit ersiolk betuk-betuk kr di ts, perlu kit phi betuk-betuk cpur bilg rsiol d bilg irrsiol. ) Jik bilg rsiol dijulhk deg bilg irrsiol k hsily bilg irrsiol. Cotoh + 7 +, , (bilg irrsiol). b) Jik bilg irrsiol dijulhk deg bilg irrsiol k hsily bilg irrsiol tu rsiol, Cotoh () 5 + 7, , , (bilg irrsiol), () 5 + (- 5 ) 0 (bilg rsiol). Jik du bilg irrsiol dikurgk, bgi hsily? c) Jik bilg rsiol diklik deg bilg irrsiol, k hsily bilg irrsiol. Cotoh 5 5. d) Jik bilg irrsiol diklik deg bilg irrsiol, k hsily dpt bilg rsiol tu bilg irrsiol. Cotoh: (5 dlh bilg rsiol) 5 5 ( 5 dlh bilg irrsiol) e) disebut betuk kr pbil hsil kr dlh bilg irrsiol. r r r r Utuk ersiolk betuk,,, d. p + q p q p + q p q dpt dilkuk deg eperhtik sift perkli ( + b) ( b) b. Bb Ekspoe d Logrit

24 Sehigg ( )( ) ( ) ( ) ( p + q )( p q ) p ( q ) p q p + q p q p q p q Betuk ( p + q ) d betuk ( p q ) slig sekw, betuk ( p + q ) d ( p q ) jug slig sekw. Jik perkli betuk sekw tersebut dilkuk k dpt ersiolk betuk kr. Cotoh.8 Pikirk cr terudh utuk eghitug julh bilg-bilg berikut ? Perslh di ts dpt diselesik deg cr ersiolk peyebut tip suku; yitu, Cotoh.9 Berpkh ili Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

25 Perhtik pol bilg di rus k. Mislk, P Deg egudrtk rus kiri d k, diperoleh P P + P P ( + P ) ( P ) + P 0 Deg egubh ke betuk kudrt sepur, diperoleh pers: ( P + ) 0 4 Igt teri pers kudrt di SMP. Dptkh ku selesik. P + + P + 0 ( P ) + P 0 deg ruus bc pd pers kudrt? P + P tidk eeuhi. Dptkh ku beri lsy? P + tu P 6 Jdi, ili dri dlh Bb Ekspoe d Logrit 5

26 Cotoh.0 Rsiolk peyebut pech-pech berikut.. + (klik peyebut deg betuk sekwy) + ( + ) ( )( + ) ( ) b ( 6 ) ( )( ) (klik peyebut deg betuk sekwy) c ( 7 + 5) ( 7 5) ( 7 + 5) (klik peyebut deg betuk sekwy) 6 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

27 ) Meyederhk betuk ( p + q) ± pq Sekrg kit k eyederhk betuk kr yg epuyi betuk khusus; yitu, betuk p + q pq ( ) ±. Perhtik proses berikut ii! Diskusiklh slh berikut deg teu! ( )( + ) ( )( ). p + q p q b. p q p q Dri hsil kegit yg ku lkuk, ku k eperoleh betuk sederhy ( ) ±. Seljuty, perhtik cotoh berikut! ejdi p + q pq Cotoh. Sederhk betuk kr berikut ii! ( 5 + ) ( 5 + ) 5 + ( ) b Bb Ekspoe d Logrit 7

28 Uji Kopetesi.. Rsiolk peyebut pechpech berikut ii!. 5 5 b. c. 0 8 d. e. f Rsiolk peyebut pechpech berikut ii! d Jik + b 6, tetuk + ili + b! 5. Sederhk betuk kr berikut ii! d. 4 5 b e b. c d. e. 5 0 xy x + y c SOAL TANTANGAN. Tetuklh ili dri: f Sederhklh betuk berikut ii! b b. c c Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

29 . Jik,b dlh bilg sli d b sehigg b dlh bilg rsiol, k psg (,b) dlh... (OSN 005/006) b. Nytk b dl d c pd b c c bc Betuk dpt disederhk ejdi Jik(+4)( +4 )( )( ) ( ) ( +4 ) (4 x y ), k x y... Projek Tidk seu bilg pech desil tk higg dlh bilg irrsiol. Sebgi cotoh 0,... buklh bilg irrsiol, kre dpt diytk sebgi pech uri. Keyty, bilg pech desil tk higg deg desil berulg seperti 0,... dpt diytk dl betuk pech.. Rcg sebuh prosedur utuk egkoversi bilg pech desil tk higg deg desil berulg ejdi bilg pech. Beri cotoh peerp prosedur yg ku rcg. b. Berdsrk pejels di ts π yg bilg irrsiol tidk ugki s deg, kre dlh pedekt utuk ili π sebery. 7 7 ) Berpkh keslh terhdp ili π? 7 ) Deg egguk prosedur yg ku rcg di ts cri pech yg lebih edekti ili π dripd 7 (keslhy lebih kecil). ) Apkh lebih bik egguk gk yg ku peroleh dripd egguk 7 But lpor projek ii d pprk di dep kels. Bb Ekspoe d Logrit 9

30 9. Meeuk Kosep Logrit Telig usi dpt edegr sur deg itesits yg retgy lur bis. Sur plig kers yg dpt didegr oleh org yg seht tp erusk gedg telig eiliki itesits triliu ( ) kli lebih kut dri pd sur plig redh yg bis didegr. Meghitug itesits buyi deg retg begitu besr tetu sgt tidk y. Nu, deg logrit perhitug ii k ejdi lebih sederh. Logrit erupk sutu opersi hitug. Alexder Grh Bell (847 9) egguk logrit utuk eghitug skl buyi. Skl ii dik I decibel, d didefiisik sebgi D 0log, deg D dlh skl decibel I0 buyi, I dlh itesits buyi deg stu Wtt per eter persegi W ( ), d I 0 dlh itesits buyi plig iiu yg bis didegr org yg seht, yitu,0 0. Sebgi gbr, berikut ii dlh tbel itesits buyi beberp objek. Tbel. Itesits buyi beberp sur Itesits Buyi Itesits Buyi W,0 0 Abg bts bwh pedegr 5, 0 0 Sur bisik-bisik, 0 6 Perckp orl 8,5 0 4 Llu lits pdt 8, 0 Peswt jet leps lds Byk slh kehidup yg peyelesiy elibtk berbgi tur d sift logrit. Certilh slh berikut. Mslh-.5 Yusuf dlh seorg peljr kels X di kot Kupg. I seg berhet d ebug ug. Sel ii di berhsil ebug ugy sejulh Rp ,00 di dl sebuh celeg yg terbut dri th lit. Agr ugy lebih, i ebug ugy di sebuh bk deg bug 0% per thu. Berp l Yusuf eyip ug tersebut gr ejdi Rp ,- 0 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

31 Phi slh d tulisk iforsi yg dikethui pd sol. But tbel keterkit tr julh ug Yusuf deg wktu peyip. Seljuty teuk odel tetik yg eytk hubug totl ug sip deg wktu eyip d bug ug. Dikethui: Modl wl (M 0 ) ,- d besr ug tbug setelh seki thu (M t ) , besr bug yg disedik bk utuk stu thu dlh 0% 0,. Dity: Berp thu (t) Yusuf ebug gr ugy ejdi (M t ) Altertif Peyelesi Perhtik pol pertbh julh ug Yusuf setip khir thu pd tbel sebgi berikut. Tbel. Perhitug besr suku bug pd setip khir thu t Akhir Thu Bug ug (0% Totl Ug) Totl Modl + Bug Pol Totl Ug pd st t 0 0 Rp (+0,) 0 Rp Rp (+0,) Rp Rp (+0,) Rp..000 Rp (+0,) 4 Rp..00 Rp (+0,) 4 Dri tbel di ts, jels kit liht bhw Yusuf hrus ebug sel 4 thu gr ugy ejdi Rp ,-. Seljuty, kit k eyelesik perslh di ts deg egguk logrit, setelh kit egel siftsift logrit. Dl pebhs sebeluy, kit telh ebhs tetg pegkt sutu bilg. Kit thu bhw hsily dlh 8 yg dpt ditulis 8. Sehigg bil d pers x 8, k ili x yg eeuhi pers tersebut dlh x. Perhtik Tbel-. di ts, kit peroleh (+0,) 4. Jik 4 t, k pers tersebut ejdi ( + 0,) t. Hl ii dpt dikitk deg betuk ekspoe yg sudh dipeljri sebeluy, yitu c b, deg eislk ( + 0,), b, 46400, d c t. Bgi cr eetuk ili c t 4? Perslh ii dpt diselesik egguk ivers dri ekspoe, yitu logrit. Logrit, ditulisk sebgi log, didefiisik sebgi berikut. Bb Ekspoe d Logrit

32 Defiisi.8 Mislk, b, c R, > 0,, d b > 0 k log b c jik d hy jik c b. di: disebut bsis (0 < < tu > ) b disebut uerus (b > 0) c disebut hsil logrit Diskusi Megp d syrt > 0 d dl defiisi di ts? Diskusik deg teu tu guru. Deiki jug deg b > 0. Berdsrk defiisi di ts, kit dptk betuk-betuk berikut. x 5 x log 5 (otsi dibc jik d hy jik) y 8 y log 8 5 z z 5 log Ctt: Jik logrit deg bsis e (yitu e,78, e dlh bilg Euler), k e log b ditulis l b. Bilg pokok (bsis) 0 tidk ditulis, sehigg 0 log log. Mslh-.6 Di thu 0 julh peduduk Negr X dlh 00 jut org. Bil pertbh peduduk % per thu, berp julh peduduk egr itu pd khir thu 07 d thu 08? Pd thu berp peduduk egr itu ejdi du kli lipt? Dikethui: Julh peduduk Negr X pd thu 0 dlh 00 jut jiw. Persetse pertbh peduduk per thu dlh % Dity: ) Julh peduduk pd thu 07 d thu 08 b) Pd thu berp, julh peduduk ejdi du kli lipt. Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

33 Peyelesi Julh peduduk di wl (P 0 ) 00 jut Mislk: P t dlh julh peduduk pd thu t r dlh persetse pertbh peduduk. Tbel. Perhitug julh peduduk Negr X utuk setip thu Akhir Thu Pertbh peduduk (% totl peduduk) Totl Julh Peduduk wl + Pertbh (jut) Pol Totl Peduduk pd st t (+0,0) (+0,0) 05,0 0,0 00 (+0,0) 06,00 0,00 00 (+0,0) 07,000 04, (+0,0) 4 Dri tbel di ts, jels kit liht bhw totl peduduk pd khir thu 07 dlh Seljuty, kit k eyelesik perslh di ts deg egguk logrit, setelh kit egel sift-sift logrit. Perhtik Tbel-. di ts, kit peroleh (+0,0) 4. Jik 4 t, k pers tersebut ejdi (+0,0) t. Hl ii dpt dikitk deg betuk ekspoe yg sudh dipeljri sebeluy, yitu c b, deg eislk ( + 0,0), b , d c t. Bgi cr eetuk ili c t 4? Seljuty bgi eetuk julh peduduk pd khir thu 08 d thu berp julh peduduk Negr X ejdi dukli lipt. Diskusi Mislk P 0 dlh julh peduduk pd st t 0, d P t dlh julh peduduk pd khir thu t, d dikethui ili e,78... Berdiskusilh deg te d guru, bgi eeuk hubug P t deg P 0 sehigg P t P 0 (e rt ). Apkh ku egerti ky? Jik tidk, berty pd guru. Misly ketik t 0, k P 0 00 jut. Artiy julh peduduk ul-ul dlh 00 jut org. Bb Ekspoe d Logrit

34 Seljuty certi grfik fugsi y f(x) log x, f(x) log x, f(x) log x d f(x) log x yg disjik berikut. f(x) x Gbr. Grfik Fugsi Logrit Diskusi Berdsrk grfik di ts d defiisi tetg logrit, diskusik deg teu utuk ecri sedikity 5 sift dri fugsi logrit. Sjik hsil yg ku peroleh di dep kels. Perhtik grfik fugsi di ts. Isilh tbel berikut. Tbel.4 Perhitug Nili Fugsi Logrit x f(x) log x 0 f ( x) f ( x) f ( x) log x log x log x Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

35 Mri kit defiisik fugsi logrit. Defiisi.9 Fugsi Logrit dlh sutu fugsi yg didefiisik oleh y f(x) log x deg bilg rel, > 0, sert x > 0. x dlh vribel (peubh bebs) d dlh bilg pokok tu bsis. Cotoh.. Tulislh betuk logrit dri:. 5 k log 5 b k 4 log 64 c. 4 k log 4. Tulislh betuk pgkt dri:. log k b. log 8 4 k 4 8 c. log 000 k Hituglh ili logrit berikut.. log kre b. log 0 kre 0 c. log 8 7 kre Sift-sift Logrit Dri Defiisi.9, logrit erupk iversi dri perpgkt, oleh kre itu terdpt sift dsr logrit, yitu: Sift-6. Sift Dsr Logrit Mislk d bilg rel, > 0 d, k. log 0. log 0. log Sift-sift tersebut dpt dituruk lgsug dri defiisi logrit. Bb Ekspoe d Logrit 5

36 Cotoh.. log x x sehigg x tu log. log y y. Kre 0, k y 0. log z x sehigg z sert log BEBERAPA SIFAT OPERASI LOGARITMA Sift-7 Utuk, b, d c bilg rel positif,, d b > 0, berlku log b c logb logc ( ) + Bukti: Berdsrk Defiisi.6 k diperoleh: x logb x b y logc y c Deg eglik ili b deg c, k: b c x y b c x+y log (b c) x + y Substitusi ili x d y log (b c) log b + log c (terbukti) Sift-8 Utuk, b, d c bilg rel deg > 0,, d b > 0, berlku b log logb logc c Bukti: Berdsrk Defiisi.6, diperoleh: log b x b x log c y c y Deg ebgik ili b deg c, k diperoleh x b b y c c x y b log c log x y Sibol dibc jik d hy jik Apkh ku egerti ky? Jik tidk berty kepd guru. 6 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

37 b log c x y b log c log b log c (terbukti) Substitusi ili x d y Sift-9 Utuk, b, d bilg rel, > 0, b > 0,, berlku logb logb Bukti: logb log b b b... b igt, fktor... logb logb + log b logb fktor logb logb (terbukti) igt, Sift-8 fktor Sift-0 Utuk, b, d c bilg rel positif,, b, d c, berlku c logb logb c b log log Bukti: Berdsrk Defiisi.8, diperoleh: log b x b x Terdpt bilg pokok c sedeiki sehigg: c log b c log x c log b x c log b x log c log c c logb logb (terbukti) c log igt, Sift-9 substitusi ili x Bb Ekspoe d Logrit 7

38 Kre c dlh bilg sebrg deg ketetu di ts dpt dipeuhi c b sehigg diperoleh Sift- b logb logb b log igt, Sift pokok b log (terbukti) Utuk, b, d c bilg rel positif deg d c, berlku b logb logc logc Bukti: Berdsrk Defiisi.6 k diperoleh: log b x b x b log c y c b y log b b log c log x b log by log b b log c log b b log b y igt, c b y log b b log c y log b b log b igt, Sift pokok log b b log c y log b igt, Sift 6 log b b log c log b y igt, c b y log b b log c log c (terbukti) Sift- Utuk d b bilg rel positif deg, berlku log b ( log b), deg, bilg bult d 0. Bukti: (Silhk cob sediri) Sift- Utuk d b bilg rel positif, berlku log b Bukti: (cob sediri) Logrit slig ivers deg ekspoe. Mislk log b c. Kit subtitusik log b c ke c b ( ) log, sehigg diperoleh c b b 8 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

39 Utuk edli sift-sift di ts, perhtik beberp cotoh berikut. Cotoh.4 Mri kit tiju kebli Mslh-.5. Kit k eyelesik slh tersebut deg egguk kosep logrit. Certilh kebli Tbel.. Kit dpt eytk hubug totl julh ug utuk t thu sebgi berikut: M t M 0 (+i) t di M t : totl julh ug dikhir thu t t : periode wktu i : bug ug Deg egguk otsi di ts, k sol tersebut dpt ditulisk sebgi berikut: Dikethui : M , M t , i 0, Dity : t Peyelesi (+0,) t log log [ (,) t ] log log log (,) t log log t log, log t log, log t log, log 0 4 t log, 4 log (,) t log, t 4 Jdi, Yusuf hrus ebug sel 4 thu gr edptk ug sebesr Rp ,- Cotoh.5 Misl log dlh otsi utuk (log ). Berpkh ili yg eeuhi log + log 6? Bb Ekspoe d Logrit 9

40 Peyelesi Misl P log log + log 6 (log ) + (log ) 6 P + P 6 0 (P + )(P ) 0 P tu P log tu log 0 tu 0 Jdi, ili yg eeuhi pers di ts dlh 0,00 tu 00. Cotoh.6 Nytk b dl supy berlku log b b log! Peyelesi log b b log Igt, b log logb logb 0 Mislk: P log b logb P 0 P P P 0 (P + )(P ) 0 P tu P log b tu log b Sekrg k kit ytk b dl, yitu, logb log b tu log b log b b b b Jdi, b tu b. 40 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

41 Uji Kopetesi.. Pd wl thu, Roy ebug ug di bk sebesr Rp 5.000,00. I eyip ug tersebut sel 8 thu. Berp julh ug Roy pd khir thu ke delp jik bk eberi suku bug jeuk 6% sethu?. Pk Thos ebug Rp ,00 sel 5 thu deg bug % per thu. Jik perhitug bug tig bul, berpkh besr bug yg diteri Pk Thos?. Tetuk skl decibel sur berikut.. Perckp orl yg eiliki itesits, 0 6 Wtt per eter kudrt. b. Peswt jet yg bru leps lds yg eiliki itesits 8, 0 Wtt per eter kudrt. 4. Geuruh sur Air terju Nigr eiliki skl decibel 90. Tetuk itesits buyi dri ir terju tersebut. Apkh itesits tersebut sih utuk telig usi? 5. Tulislh betuk logrit dri:. 5 5 b c d Tulislh betuk pgkt dri:. log 0,0 b. 0, 5 log 0, c. log d. log 9 7. Hituglh ili dri:. log 0 4 b. 5 log 5 c. log 7 d. log 0,5 e. 4 log 4 0 f. 5 log 8. Dikethui log 0,00; log 0,477 d log 7 0,845 tetuk:. log 8 b. log c. log 0,5 d. log 7 9. Sederhk. 64 log log 6 b. ( ) log x + log x log y c. log x log x d. log + log b log b Bb Ekspoe d Logrit 4

42 0. Jik log d log 5 b, ytk betuk berikut dl d b!. log 5 b. 4 log 75 c. 5 log 6 d. log 5 e. 0 log 50 f. 00 log 50. Jik b 4, d b bilg rel positif, tetuk ili log b b log!. Jik log b 4, c log b 4 d, b, c bilg positif,, c, tetuk ili 4 log( bc )!. Buktik log 0 d log 0! 4. Buktik bhw utuk > b > 0, log b < 0 d sebliky utuk 0 < < b, log b > 0! 5. log dlh otsi utuk (log ). Berpkh ili yg eeuhi log + log 6? 6. Nytk p dl q supy berlku p log q 6 q log p! 7. log dlh otsi utuk ( log ). Jik dlh bilg bult positif, k berpkh ili yg eeuhi log ( 6) + log ( 6) Utuk > 0,, ytk b dl yg eeuhi pers log (b + ) log (b + ) + 0 SOAL TANTANGAN 9. Jik 4 log p d 8 log b q k tetuklh b b b dl p d q.... Projek Skl logrit diperguk utuk byk keperlu seli eytk itesits buyi. Cri iforsi tetg besr li yg egguk skl logrit. Utuk ebedk lisis egguk logrit bhk digbrk grfik dl skl logrit. Cri iforsi d berp c skl logrit bis diperguk d beri cotoh peeliti gr skl logrit tersebut diperguk. But lpor hsil pegt d sjik di dep kels. 4 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

43 D. PENUTUP Berdsrk sji teri terkit berbgi kosep d sift ekspoe d logrit di ts, beberp hl petig dpt kit rgku sebgi berikut.. Kosep ekspoe d logrit dpt diteuk kebli dri berbgi peech slh yt di sekitr kehidup kit.. Opersi ekspoe dlh perlus dri opersi perpgkt yg sudh dipeljri di Sekolh Dsr d SMP. Opersi perpgkt psti erupk ekspoe, tetpi opersi ekspoe belu tetu perpgkt. Perbedy terletk pd seest pebicry. Seest pebicr pd opersi perpgkt dlh bilg, tetpi seest pebicr pd ekspoe tergtug vribel sebgi ekspoe dri bsisy. Misly p x q, x sebgi ekspoe dri p, di x d p belu tetu bilg, tetpi 8, dlh sebuh bilg pgkt dri.. Perpgkt d perik kr dlh du opersi yg slig berkeblik. Artiy jik sutu bilg dipgktk d hsily dikrk deg pgkt kr yg s deg pgkt bilg sebeluy, k hsily dlh bilg seul. Misly 8 k 8 4. Sift-sift perpgkt dpt diguk utuk euruk sift-sift perik kr. 5. Ekspoe d logrit dlh du opersi yg slig berblik. Artiy jik sutu bsis diekspoek deg c d hsily dlh b, k logrit dri b deg bsis yg s, yitu, hsily dlh c sebgi ekspoe dri. Dpt ditulis isl, b, c R, 0 < <, d b > 0, jik c b k log b c. 6. Jik grfik fugsi ekspoe dicerik terhdp subu y x, k diperoleh grfik fugsi logrit. 7. Pegus berbgi kosep d sift-sift ekspoe d logrit dlh prsyrt utuk epeljri fugsi ekspoe d fugsi logrit sebb fugsi ekspoe elibtk bilg ekspoe d fugsi logrit elibtk logrit. Secr edl, berbgi sift-sift dri fugsi ekspoe d logrit sert peerpy k dibhs dipokok bhs peit. Pd Bhs (Bb ), kit k epeljri pers d pertidks liier yg elibtk vribel berpgkt stu. S hly deg peeu kebli kosep ekspoe d logrit ellui peech slh yt, k kit teuk kosep d sift-sift pers d pertidks liier dri berbgi Bb Ekspoe d Logrit 4

44 situsi yt kehidup disekitr kit. Pegus ku pd teri ekspoe d logrit k bergu utuk epeljri teri pd bb berikuty. Perlu ki tekk bhw epeljri teri tetik uli bhs spi, hrus dipeljri secr terurut, jg elopt-lopt, sebb sgt diugkik pegus teri pd bhs berikuty didsri pegus teri pd bhs sebeluy. 44 Buku Mtetik Sisw SMA/MA/SMK/MAK Kels X

45 Bb Ekspoe d Logrit 45