EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR ZUMROTUS SYA DIYAH

Transkripsi

1 EKSSTENS EGEN VALUE DAN EGEN VECTOR PADA MATRKS BUJUR SANGKAR ZUMROTUS SYA DYAH 4 6 Jurus Mtetik d lu Pegethu Al stitut Tekologi Sepuluh Nopeber Surby ABSTRAK Mislk A dlh triks yg eiliki ukur. Bil C, d sklr C yg eeuhi A, k diktk sutu eige-ector dri triks A yg bersesui deg eigelue []. Dl Tugs Akhir ii k dituukk bhw utuk setip triks buur sgkr, setidky terdpt stu C, d sutu C yg eeuhi A. Dl pebhs tersebut, k diguk sutu pebukti yg kostruktif []. Nu dl hl ii diberik sutu odifiksi utuk eudhk pebhs. Pebukti tersebut erupk prosedur yg k eberik sutu eigelue d eige-ector ellui sutu ektor tk ol sebrg, di dl prosesy ti k diguk beberp sift dri rug ektor. Kt kuci: Eige-lue d eige-ector, rug ektor. Abstrct Suppose tht A is squre tri of size. f is ector i C, d is sclr i C such tht A, the we sy is eige-ector of A with eige-lue (Beezer, 8. this fil proect we will proe tht for ll squre tri, A, wich ech eleets of it re rel uber, the equtio A ust be stisfied. the other words, there is t lest oe C, d sclr C such tht A. We use kid of costructie proig i the epltio (Beezer, 8. But, it will be odified i seerl cses. This proof cotis procedure tht led to eige-lue d eige-ector which strted with y o zero ector. The epltio will use seerl of ector spce s properties. Keywords: Eige-lue, eige-ector d ector spce.. PENDAHULUAN Eige-lue pert kli ucul deg keguy dl eyelesik pers differesil, yitu dl bidg geoetri d etode stdr utuk eyelesik pers differesil orde ke- deg koefisie kost yg diperkelk oleh Leohrd Euler [4]. Seli itu, eige-lue ug ucul dl proble ili bts, seperti dl peetu derh-derh yg rw gep, dl eetuk pust eergi dri sebuh to, tu derh kritis yg disebbk oleh ledut pd blok [5]. Sedgk eigeector ucul secr li dl telh getr, siste elektris, geetik, reksi kii, ekik

2 kutu, tek ekis, ilu ekooi, d geoetri []. Berdsrk uri dits, terliht bhw eige-lue d eige-ector sgt petig. Sehigg pebhs tetg eksistesi eige-lue d eige-ector sgt perlu utuk diki. Tugs Akhir ii tidk ebhs tetg bgi eyelesik pers A, tetpi euukk bhw utuk setip triks buur sgkr, setidky terdpt stu C, d sutu C yg eeuhi pers A. Dl pebhsy ti, k diguk sutu pebukti yg kostruktif. Nu dl hl ii diberik sutu odifiksi utuk eudhk pebhs. Pebukti tersebut erupk prosedur yg k eberik sutu eige-lue d eige-ector ellui sutu ektor tk ol yg telh ditetuk sebeluy secr sebrg. Dl Tugs Akhir ii, k dituruk sutu teore secr kostruktif tetg eksistesi eigelue d eige-ector dri sutu triks buur sgkr. Agr pebhs slh tidk elus, dl Tugs Akhir ii hy k diguk bilg kopleks sebgi pokok pebhs, yitu dl peetu rug ektor upu lpg tu field. Keduy egguk bilg kopleks sebgi seest pebicr. Tuu dri Tugs Akhir ii dlh ebuktik bhw setip triks khususy triks buur sgkr sellu eiliki setidky stu eige-lue d eige-ector yg bersesui. Sedgk ft dri Tugs Akhir ii dlh eperlus peh d pegethu tetg eige-lue d eige-ector yg berkit deg eksistesi eige-lue d eige-ector dri sutu triks buur sgkr. Hl ii diksudk gr dl pliksiy ti eksistesi eige-lue d eige-ector dri sutu triks buur sgkr tidk lgi edi sutu persol dl upy peyelesi sutu perslh.. RUANG VEKTOR Sebelu defiisi tetg sutu rug ektor dipprk, perlu dikethui terlebih dhulu defiisi dri field tu lpg. Kre utuk eperoleh peh tetg sutu rug ektor, k sgt dibutuhk defiisi dri field tu lpg. Berikut dlh defiisi uu egei field tu lpg. Defiisi. (Hl.G.Moore d Adil Yqub Sutu hipu K bers-s deg du opersi tbh (+ d kli (. diktk sutu field tu lpg ik utuk setip, b, c K eeuhi:. ( b K (tertutup terhdp peulh. ( b ( b (kouttif terhdp peulh. ( b c ( b c (ssositif terhdp peulh 4. K (eksistesi elee etrl terhdp peulh 5. ( K ( ( (eksistesi iers terhdp peulh 6. (. b K (tertutup terhdp perkli 7.. b b. (kouttif terhdp perkli 8. (. b. c.( b. c (ssositif terhdp perkli 9. ek. e e. (eksistesi elee etrl terhdp perkli. ( K.( (. e, utuk (eksistesi iers terhdp perkli (.. (.( b c (. b (. c (sift distributif Setelh diperoleh defiisi field tu lpg secr uu, k berdsrk pd defiisi tersebut dpt diurik lgi defiisi tetg sutu rug ektor secr uu. Defiisi. (Hl.G.Moore d Adil Yqub Sutu hipu V deg du opersi tbh (+ d kli (. diktk sutu rug ektor ts lpg K bil utuk setip u,, wv d, b K eeuhi:. u V (tertutup terhdp peulh. u u (kouttif terhdp peulh. ( u w u ( w (ssositif terhdp peulh (. 4. V (eksistesi elee etrl terhdp peulh 5. V u u (eksistesi iers terhdp peulh (. 6.. V (tertutup terhdp perkli sklr 7. ( b.. b. (.4 8..( u. u.

3 9. (. b..( b. (.5... (.6. POLNOMAL MATRKS Polioil dlh kobisi dri pgktpgkt sutu ribel, perkli deg koefisie sklr, d peulh (deg pegurg hy erupk iers dri peulh[]. Ak ucul sutu perslh ketik yg edi ribel dri polioil tersebut dlh triks. Nu, tidk seu triks dpt edi ribel dri sutu polioil. Melik hy triks buur sgkr s yg dpt didik ribel polioil. Kre hy pd triks buur sgkr s seu opersi dl polioil dpt diberlkuk. Peghitug dl polioil triks tidk uh berbed deg polioil bis. Hy s yg edi subek peghitug dlh triks (triks buur sgkr d buk bilg rel. V. SSTEM PERSAMAAN LNEAR Ki tetg siste pers lier d peyelesiy erupk slh stu topik ut dl lbr lier[]. Apliksi dri siste pers lier pu byk diupi dl kehidup sehri-hri. Bik dl bidg tekologi upu idustri[]. Peels tetg siste pers lier dielsk dl defiisi sebgi berikut. Defiisi 4. (Robert A.Beezer Sebuh siste pers lier dlh sebuh hipu dri pers dl beberp ribel, isl,,,..., yg berbetuk:... b... b... b... b di ili dri i, b i d erupk ggot dri bilg kopleks C. Pers-pers lier dits dpt diotsik secr sigkt deg: A b deg A b b, d b b b Lebih lut, ik ektor b erupk ektor, k siste pers lier tersebut dik siste pers lier hooge, tu dpt diotsik deg: deg A A, d V. BARS ESELON TEREDUKS Bris eselo tereduksi sgt dibutuhk dl eghitug peyelesi sutu siste pers lier kre bris eselo tereduksi dpt eperudh proses peghitug tersebut. Oleh kre itu, bris eselo tereduksi sgt perlu utuk dielsk. Tpi, sebeluy k dielsk egei bris eselo terlebih dhulu. Defiisi 5. (Howrd Ato, Jilid Sebuh triks diktk berbetuk bris eselo ik:

4 .Elee tidk ol pert dri sig-sig brisy dlh (disebut deg ut.. Jik d sebrg du bris yg berurut tidk seluruhy terdiri dri ol, ut pd bris yg lebih bwh terletk di sebelh k ut pd bris yg lebih ts.. Jik d sebrg bris yg seluruhy terdiri dri ol, k bris ii dikelopokk bers di bgi bwh triks. Sedgk utuk egethui defiisi dri bris eselo tereduksi dpt diliht dri defiisi di bwh ii. Defiisi 5. (Joh.B. Frleigh d Ryod A. Beuregd Sebuh triks diktk berbetuk bris eselo tereduksi ik triks tersebut berbetuk bris eselo d elee tidk ol pert dri sig-sig brisy dlh elee tidk ol stu-stuy dl kolo dri elee tidk ol tersebut. V. MATRKS REPRESENTAS Dri pegerti rug ektor dits, dpt dikeukk tetg defiisi dri peet lier. Defiisi 6. (Howrd Ato, Jilid Mislk terdpt du rug ektor V d W ts lpg K yg direlsik oleh sebuh fugsi T : V W dibwh du opersi peulh d perkli sklr. Fugsi T diktk trsforsi lier ik dipeuhi:. T( T( T(. T r rt( ( utuk setip d dl V d r dlh sklr dl K. Seluty, setelh trsforsi lier didefiisik, k dpt dipprk defiisi egei sutu triks represetsi sebgi berikut. Defiisi 6. (Joh.B. Frleigh d Ryod A. Beuregd Mislk T : V W dlh sutu trsforsi lier deg B dlh bsis dri V d B dlh bsis dri W di V berdiesi sedgk W berdiesi. Mk sutu triks A T yg berukur deg triks kolo ke- dlh sutu triks koordit dri T b reltif terhdp ( bsis B diktk sutu triks represetsi dri T reltif terhdp bsis-bsis B d B. Jdi, triks represetsi sgt bergtug pd bsis yg telh ditetuk sebeluy. Mtriks represetsi ii k berbed ik bsis yg diguk ug berbed. Tpi, triks represetsi tersebut tetp erupk sutu triks represetsi dri sutu trsforsi lier yg s []. V. BERGANTUNG LNEAR DAN BEBAS LNEAR Kebergtug lier ektor-ektor sgt dipegruhi oleh peyelesi siste lier hooge dri kobisi lier ektor-ektor yg bersgkut. Sehigg, sgt perlu utuk euukk defiisi dri kobisi lier ts ektor-ektor secr uu, dl hl ii buk hy ektor kolo tu ektor bris s. Defiisi 7. (Stee. J.Leo Sutu ektor w disebut sutu kobisi lier dri ektor-ektor {,,,, k } ik ektor w tersebut dpt diytk dl betuk: w k k... k k k deg k, k,...., kk dlh sklr. Defiisi 7. (Joh.B. Frleigh d Ryod A. Beuregd Mislk sutu hipu {,,,, k } dlh ektor-ektor tk kosog dri rug ektor V, k hipu ektor-ektor {,,,, k } diktk bergtug lier ik dipeuhi: r r r k k utuk beberp r. Sedgk utuk defiisi tetg ektorektor yg bebs lier diberik dl defiisi berikut. Defiisi 7. (Joh.B. Frleigh d Ryod A. Beuregd Hipu ektor-ektor {,,,, k } diktk bebs lier ik dipeuhi: r r r k k utuk setip r, =,,...k. V. EGEN VALUE DAN EGEN VECTOR Berikut dlh defiisi dri eige-lue d eige-ector. Defiisi 8. (Robert. A. Beezer 4

5 Mislk A dlh triks yg eiliki ukur. Bil C, d sklr C, deg C eotsik hipu seu ektor-ektor kolo berukur deg elee-eleey dlh ggot hipu bilg kopleks C, k diktk sutu eige-ector dri triks A yg bersesui deg eige-lue ik eeuhi A. X. EKSSTENS EGEN VALUE DAN EGEN VECTOR Dl bb ii k diberik pebukti beberp teore pedukug yg tiy k sgt dibutuhk dl peuru teore tetg eksistesi dri eige lue d eige ector pd triks buur sgkr. Setelh itu, k dituruk teore ut secr kostruktif. Teore ut disii dlh teore yg erupk sutu prosedur dl ecri eige lue d eige ector. 9. Siste Pers Lier Hooge, Peyelesi, d Kebergtug Lier Vektor-ektory Sift yg pert dibuktik dlh sift tetg kekosiste dri sutu siste pers lier hooge, yg diberik dl teore berikut Teore 9. Setip siste pers lier hooge sellu kosiste (eiliki peyelesi. Diislk sutu siste pers lier hooge sebrg: = (9. deg i R, i,,,..., d,,,...,. Mk diperoleh pers-pers lier sebgi berikut: (9. utuk deg p =,,,..., d q = pq,,,..., di tidk seu dri pq =, k pers-pers lier (9. plig tidk eiliki stu peyelesi, yitu:... (disebut deg peyelesi triil. Jdi, terbukti bhw setip siste pers hooge (9. psti kosiste (eiliki peyelesi, plig tidk stu peyelesi yitu.... Lebih lut lgi, terdpt sutu ksus di sutu siste pers lier hooge k dii eiliki tk higg byky peyelesi, yitu ketik siste tersebut epuyi byk pers yg lebih sedikit dripd byky peubh dl seluruh pers. Utuk lebih elsy, hl ii dielsk dl teore berikut. Teore 9. Jik siste pers lier hooge eiliki pers dl peubh deg < k siste tersebut epuyi tk higg byky peyelesi. Diislk sutu siste pers lier hooge sebrg: = (9. di i R utuk i,,,, d,,,,. Mk diperoleh triks diperbesry dlh: Keudi dilkuk opersi bris eleeter higg didptk sutu triks diperbesr yg 5

6 berbetuk triks bris eselo tereduksi. Mislk terdpt r bris tk ol dl triks yg diperbesr, k k diperoleh bhw r<. Dri Teore 9., k siste tersebut psti eiliki peyelesi. Sehigg dri triks diperbesr yg berbetuk triks bris eselo tereduksi tersebut k didptk sutu siste pers yg berpd sebgi berikut: k X k k X Deg..., (9.4 k, k, k,... kr dlh peubh-peubh ut d X eytk ulh yg elibtk -r peubh bebs, ugki seuy berbed tr yg stu deg yg liy. Llu, pers (9.4 diselesik secr tetis sehigg diperoleh: X k k k kr kr X X X X X Julh peubh bebs yg berd di rus k dpt ditetpk secr sebrg. Sehigg k diperoleh tk higg byky peyelesi dri siste tersebut. Setelh dikethui sift dri siste pers lier hooge, yitu sift di ik siste pers lier hooge eiliki pers dl peubh deg < k siste tersebut epuyi tk higg byky peyelesi, k perlu dipprk pul sift siste pers hooge yg liy. Sift tersebut dlh sift egei keterkit tr solusi dri siste pers hooge deg kebergtug lier dri ektor-ektory, yg dielsk dl teore di bwh ii. Teore 9. Jik sutu siste pers lier hooge AX = eiliki solusi otriil, k ektorektor kolo dri triks A slig bergtug lier (ektor kolo yg stu erupk kobisi lier dri ektor yg liy. Mislk A Mk utuk setip dpt ditulis deg:,,,,,... ektor (,... deg i erupk ggot dri bilg rel (R. Sehigg diperoleh sutu pers:..., (,,,..., (,,,..., (,,,..., (,,,...,... C = (9.5 Jik siste pers lier hooge (9.5 eiliki solusi otriil, k hl ii berrti terdpt beberp r, r,..., deg yg eeuhi pers lier hooge tersebut. Meurut Defiisi 7. els bhw setip triks kolo dri triks A dlh slig bergtug lier. Keudi k diurik sebuh teore tetg kosep kebergtug lier beberp ektor deg egguk Teore 9. d Teore 9. sebgi cu. 6

7 Teore 9.4 Mislk C, =,,,...,. Bil >, k ektor-ektor C slig bergtug lier. Vektor dpt ditulis deg: (,, deg,... i erupk ggot dri bilg rel (R, i=,,... =,,... Sehigg diperoleh sutu pers:..., C (,,,..., (,,,..., (,,,..., (,,,...,... = Terliht bhw siste pers lier hooge tersebut terdiri dri pers deg byky ribel yg tidk dikethui dlh. Kre < k dri Teore 9. dpt disipulk bhw siste pers lier hooge tersebut eiliki tk higg byky peyelesi. Atu deg kt li peyelesiy erupk solusi otriil. Jdi, eurut Teore 9. k dpt disipulk bhw setip ektorektor lier. C =,,,..., slig bergtug 9. Sift Rug Vektor Dl peuru teore tetg eksistesi eige lue d eige ector ti ug k sgt dibutuhk stu sift dri rug ektor yg berkit deg perkli tr setip ggot rug ektor deg sklr dri fieldy. Di perkli ii dlh perkli sklr yg eiliki ektor ol ( sebgi hsily. Sift ii k dielsk dl teore berikut Teore 9.5 Mislk u dlh sebuh ektor dl rug ektor kopleks C d C. Jik u k tu u. Utuk eudhk pebukti teore ii, k perlu dy pebgi lis terhdp teore tersebut edi du ksus. Yitu utuk d utuk. Ksus Aggp, dl ksus ii didptk kesipul yg ber. Mislk diggp bhw u, k diperoleh: u u u u (sift dri defiisi rug ektor. u ( ( u (sift dri defiisi rug ektor.4 u u (9.6 Kre u k deg huku kselsi diperoleh. Ksus Aggp, k u u (sift dri defiisi rug ektor.6 u ( u (kre C dlh lpg d, dri sift. u ( u (sift dri defiisi rug ektor.5 u (dikethui di teore u + u ( ( (sift dri defiisi rug ektor. u ( ( (sift dri defiisi rug ektor. 7

8 u ( + ( (sift dri defiisi rug ektor.4 u ( (sift dri defiisi rug ektor. u (9.7 Dri du pers yitu pers (9.6 d pers (9.7 dpt disipulk bhw ik u k tu u. 9. Eksistesi Eige Vlue d Eige Vector Dl bhs ii k dibuktik bhw setip triks buur sgkr eiliki plig sedikit stu eige lue (d sebuh eige ector yg bersesui. Dl pebukti ii, diguk sutu peuru secr kostruktif. Di peuru ii erupk sebuh prosedur yg k eberik stu eige lue d sebuh eige ector yg bersesui dri sutu triks buur sgkr. Teore 9.6 Mislk A dlh sutu triks buur sgkr berukur. Mk A eiliki plig sedikit stu eige lue. Mislk A dlh triks represetsi dri peet lier :C C terhdp sutu bsis tertetu. D diislk pul A dlh yg berukur. Pilih sebrg ektor tk ol C sehigg diperoleh hipu ektorektor dlc sebgi berikut: S {, A, A, A,, A } di k terdpt tig ksus, yitu: Ksus Jik A, sehigg dpt ditulis: A (kre dlh ektor tk ol k didptk sebgi eige lue dri triks A ( deg eige ector yg bersesui dlh. Ksus Jik A i tetpi A i, d diislk i z A sehigg dpt ditulis: i Az A( A i i ( A A A Az z k didptk sebgi eige lue dri triks A ( deg eige ector yg bersesui dlh A i. Ksus Jik seu ektor dl S buk ektor ol, tu deg kt li A i, utuk i,,,,. Mk S dlh hipu (+ ektor-ektor yg dibgkitk dri ektor tk ol C. setip ektor dl hipu S ug berd dlc. Dri Teore 4.4 diperoleh bhw S dlh hipu dri ektorektor yg bergtug lier. Sehigg,,,, C yg tidk seuy ol, sedeiki higg terpeuhi: A A A 4 A Mislk d. Mk diperoleh: tu (dri Teore 4.5 (9.8 Dpt diliht dri pers (9.8 bhw didptk du peyelesi yitu tu, di kedu peyelesi tersebut ss erupk kotrdiksi deg susi di wl proses egei d ektor yg erupk ektor tk ol dl C. Sehigg didpt: i utuk beberp i (9.9 Misl dlh bilg bult terbesr sedeiki higg. Mk dri (9.9 diperoleh bhw. Seluty didefiisik sutu polioil p y y y y ( di p(y dlh sutu polioil berdert. Keudi polioil p(y dpt difktork ke dl betuk y b, b i C. Mk terdpt ( i b, b, b sklr-sklr,, b C sehigg diperoleh polioil dl betuk: p( y ( y b ( y b ( y b ( y b Sehigg diperoleh: 8

9 A A A A A A,, i ( A A A p ( A ( A b ( A b ( A b ( A b (9. Mislk k dlh bilg bult terkecil sedeiki higg berlku pers: ( A bk ( A bk ( A b ( A b sehigg k. D dpt didefiisik ektor z sebgi berikut: z ( A bk ( A bk ( A b ( A b (9. Kre k dlh bilg bult terkecil, k ektor z psti erupk sutu ektor tk ol. Sehigg deg egguk pers (9. d pers (9., k diperoleh pers: ( A b z k ( A bk ( A bk ( A b ( A b Dri pers dits dpt ditulis pers berikut: A z ( A O z ( A ( bk bk z ( A ( bk bk z (( A b b z i k k ( A b z b = ( b z b k z Kre z, pers ii euukk bhw z dlh sutu eige ector dri triks A utuk sutu eige lue b k C. Jdi, terbukti bhw setip triks buur sgkr eiliki plig sedikit stu eige lue (d sebuh eige ector yg bersesui. k k k z sgkr A k terdpt setidky stu ektor sedeiki higg berlku pers A, utuk sutu ili C yg bersesui. 5. Sr Sr yg diberik utuk peeliti seluty dlh ecri eksistesi eige lue d eige ector dri sutu triks buur sgkr deg elee-eleey erupk ggot rig kouttif. X. DAFTAR PUSTAKA []. Ato, Howrd..Dsr-dsr Albr Lier Jilid. terksr. Bt. []. Ato, Howrd.. Dsr-dsr Albr Lier Jilid. terksr. Bt. []. Beezer, Robert.A. Februri 8. A First Course of Lier Algebr. Uiersity of Puget Soud, Wshigto < [4]. Frleigh, Joh.B d Ryod A. Beuregd.987.Lier Algebr. Addiso- Wesley Publishig Copy. c, Rhode sld. [5]. Leo, Stee.J. 6. Lier Algebr With Applictios. Perso Eductio.c, New Jersey. [6]. Moore, Hl.G d Adil Yqub.998. A First Course i Lier Algebr With Applictios. Acdeic Press, Uited Sttes of Aeric. X. KESMPULAN DAN SARAN 5. Kesipul Berdsrk pebhs tetg eksistesi eige lue d eige ector, k dpt disipulk bhw utuk setip triks buur 9