Linier Programming (LP): Metode Grafik

Transkripsi

1 RISET OPERASIONAL 1 Linier Programming (LP): Metode Grafik 2 SKS S1 Manajemen OUTLINE BAHASAN 1. Definisi, Elemen dan Model LP 2. Tahapan dalam LP 3. Solusi LP dengan metode Grafik 4. Contoh dan Latihan 1

2 Mahasiswa dapat menjelaskan tentang: 1. Linier Programming 2. Identifikasi Komponen LP Mahasiswa dapat menyelesaikan program linier menggunakan metode grafik Metode matematis ysng digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan Model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input dan batasan tertentu. Merupakan teknik riset operasi yang berhubungan dengan prinsip optimasi, yaitu bagaimana cara menggunakan sumber daya (waktu, tenaga, biaya, dll) untuk mengoptimalkan hasil. 2

3 Product Mix Perencanaan investasi Rencana produksi dan persediaan Perencanaan advertensi/promosi Masalah diet Masalah pencampuran Masalah distribusi/transportasi Perencanaan lokasi, pengilangan minyak, skedul tenaga kerja, pemanfaatan lahan, dan lain sebagainya 1. Variabel Keputusan (decision variable): x 1, x 2,..., x n 2. Fungsi Tujuan (objective function): Z= f(x 1, x 2,..., x n ) 3. Fungsi Kendala (constraints): g i (x 1, x 2,..., x n ) b i 3

4 Ciri-ciri masalah yang dapat diselesaikan dengan model program linier: Semua variable penyusunnya bernilai tidak negatif. Fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya. Fungsi kendala/batasan (constraint) dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier. Model Pemrograman Linear Maksimum 1. Variabel keputusan: x 1, x 2,..., x n 2. Fungsi tujuan maksimum: Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n 3. Fungsi Kendala: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Dimana x 1, x 2,, x n 0 4

5 Model Pemrograman Linear Minimum 1. Variabel keputusan: x 1, x 2,..., x n 2. Fungsi tujuan minimum: Min Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n 3. Fungsi Kendala: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Dimana x 1, x 2,, x n 0 1. Tentukan variabel keputusan 2. Buatlah fungsi tujuan, yaitu fungsi yang akan dioptimalkan 3. Tentukan fungsi kendala berdasarkan sumber daya atau karena kondisi yang harus terpenuhi. 5

6 Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat 2 variabel keputusan. Metode Grafik, terdiri dari 2 tahapan yaitu: 1. Menentukan ruang/daerah penyelesaian (solusi) yang feasible disebut dengan Daerah Feasible. 2. Menentukan solusi optimal dari semua titik di ruang/daerah feasible. Ada dua metode untuk mengidentifikasi solusi optimum yaitu: A. Metode Isoline menggunakan garis profit (iso profit line) B. Metode Titik Ekstrim menggunakan titik sudut (corner point) 6

7 Soal 1: Perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk: Pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan Pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum? Jam kerja untuk membuat 1 unit produk (jam) Total waktu tersedia per minggu (jam) Meja Kursi Pembuatan Pengecatan Profit per Unit 7 5 7

8 Formulasi masalah secara lengkap : Fungsi Tujuan : Maks. Z = 7 X X 2 Fungsi Kendala : 4 X X X 1 + X X 1, X 2 0 (kendala non-negatif) Kendala I: 4 X X 2 = 240 Memotong sumbu X 1 pada saat X 2 = 0 4 X = 240 X 1 = 240 / 4 X 1 = 60. Memotong sumbu X2 pada saat X 1 = X 2 = 240 X 2 = 240/3 X 2 = 80 Kendala I memotong sumbu X 1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X 2 pada titik (0, 80). 8

9 Kendala II: 2 X X 2 = 100 Memotong sumbu X 1 pada saat X 2 = 0 2 X = 100 X 1 = 100/2 X 1 = 50 Memotong sumbu X 2 pada saat X 1 =0 0 + X 2 = 100 X 2 = 100 Titik potong 2 kendala: 2 X X 2 = 100 -> X 2 = X 1 4 X X 2 = 240 X 2 = 100-2X 1 4 X (100-2 X 1 ) = 240 X 2 = * 30 4 X X 1 = 240 X 2 = X 1 = X 2 = 40-2 X 1 = - 60 X 1 = -60/-2 = 30. Jadi, kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40). 9

10 A. Metode Isoline dengan Garis Profit Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X 1 ) dan 5 (koefisien X 2 ) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X X 2. Garis ini akan memotong sumbu X 1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X 2 pada titik (0, 7). 10

11 A. Metode Isoline dengan Garis Profit Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X 1 dan X 2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X 1 = 30, X 2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X 1 sebanyak 30 unit, X 2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410. B. Metode Titik Ekstrim dengan Titik Sudut (Corner Point) Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0). Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0. Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400. Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410. Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350. Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar

12 Soal 2: Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 kursi terdiri atas kelas ekonomi dan VIP. Penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 3 kg dan kelas VIP boleh membawa bagasi 5 kg sedangkan pesawat hanya mampu membawa bagasi 1200 kg. Tiket kelas ekonomi memberi laba Rp dan kelas VIP Rp ,00. Berapakah laba maksimum dari penjualan tiket pesawat tersebut? TEST TENTANG LP: METODE GRAFIK 1. Apa LP, Model dan Komponen dalam LP? 2. Solusi LP dengan Metode Grafik? Kapandigunakan? 3. 2 Cara dalam metode Grafik? 40 12