TURUNAN KE-n HASIL KALI FUNGSI

TURUNAN KE-n HASIL KALI FUNGSI Disusun Ole : H A M Z A H, S.Pd. NIP.98408 00 007 MADRASAH ALIYAH NEGERI PURBALINGGA KEMENTERIAN AGAMA REPUBLIK INDONESIA 05

KATA PENGANTAR Puji dan syukur senantiasa kita panjatkan keadirat Alla SWT yang tela memberikan kita banyak sekali kenikmatan yang kalau kita mau mengitungnya maka tidak akan perna bisa. Salawat serta salam semoga tetap teruralimpakan kepada junjungan kita Nabi besar Muammad SAW yang mana sebagai suri tauladan kita. Atas izin-nya pula Penulis dapat menyelesaikan makala Matematika yang penulis beri judul Turunan Ke-n Hasil Kali Fungsi. Pada kesempatan kali ini penulis menguapkan terima kasi yang sebesar-besarnya kepada semua piak yang tela membantu dalam penyusunan makala ini. Penulis sadar bawa masi banyak kekurangan dan kesalaan dalam penyusunan makala ini, untuk itu saran,kritik, dan masukan dalam rangka penyempurnaan makala ini sangat penulis arapkan. Air kata penulis berarap semoga makala ini dapat bermanfaat bagi pembaa dalam menamba pengetauannya terutama di bidang Matematika.

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Dalam Matematika tentunya tidak asing lagi dengan materi turunan fungsi, baik definisi turunan maupun aturan penarian turunan dari suatu fungsi. Proses penarian turunan suatu fungsi langsung dengan menggunakan definisi turunan yaitu dengan menyusun asil bagi selisi ( f ( f dan mengitung limitnya untuk yang dekat ke nol, akan memakan waktu dan membosankan. Untuk itu dikembangkan aturan-aturan penarian turunan fungsi yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan seingga kita dapat menari turunan fungsi-fungsi yang tampak rumit dengan epat. Aturan-aturan yang tela kita kenal antara lain adala aturan fungsi konstan, aturan pangkat, aturan jumla dan selisi, aturan asil kali, aturan asil bagi, dan aturan rantai, untuk menari turunan pertama dari suatu fungsi. Pada kenyataannya kita sering diadapkan pada permasalaan penarian turunan kedua, ketiga, atau bakan ke-n. Sebagai onto dalam penyelesaian Persamaan Diferensial dengan metode variasi parameter yang mengaruskan kita menari turunan ke-n untuk setiap n penyelesaian omogennya. Selain itu kasus yang kita adapi seringkali adala fungsi-fungsi yang rumit atau bakan merupakan asil kali beberapa fungsi, yang mana kalau kita turunkan langka demi langka dari turunan pertamanya, turunan kedua sampai turunan ke-n akan memakan waktu yang lama, dan memerlukan ketelitian kita untuk menyederanakan asilnya. Conto : Tentukan turunan ketiga dari : f( 6 Sin Untuk menyelesaikan permasalaan itu, mungkin kita akan menempu beberapa langka berikut :

Langka : f ( 6 5 sin 6 os Langka : f ( 0 4 sin 6 5 os 6 (- sin 6 5 os 0 4 sin 5 os - 6 sin Langka : f ( 0 sin0 4 os60 4 os- 5 sin- 6 os-6 5 sin 0 sin 90 4 os - 8 5 sin - 6 os Dilatarbelakangi ole al tersebut diatas maka penulis menoba membuat makala dengan judul Turunan Ke-n Hasil Kali Fungsi yang nantinya akan diari bentuk umumnya, seingga pada onto diatas kita tidak perlu lagi langka pertama dan kedua. B. PEMBATASAN MASALAH Dalam pembaasan Turunan Fungsi dapat meliputi fungsi yang bernilai riil maupun komplek. Agar dalam pembaasan masala tidak terlalu banyak dan dapat terara, maka penulis memberikan pembatasan masala dalam makala ini untuk menari turunan ke-n asil kali dua fungsi bernilai riil dari satu peuba riil. C. PERUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang masala dan pembatasan masala maka penulis merumuskan masala sebagai berikut : Bagaimanaka bentuk umum turunan ke-n asil kali fungsi? D. TUJUAN PENULISAN Mengingat latar belakang masala pembatasan dan perumusan masala tersebut maka tujuan dari penulisan makala seminar dengan judul Turunan Ke-n Hasil Kali Fungsi adala untuk menyajikan Bentuk umum turunan ke-n asil kali fungsi.

BAB II PEMBAHASAN A. Teori Pendukung Sebelum kita membaas turunan ke-n asil kali fungsi akan dibaas terlebi daulu beberapa materi pendukung yang akan memberikan kejelasan dalam pembaasan masala tersebut.. Fungsi Deinisi.Fungsi Sebua fungsi f adala suatu aturan padanan yang mengubungkan tiap obyek dalam satu impunan yang disebut daera asal, dengan sebua nilai unik f( dari impunan kedua. Himpunan nilai yang diperole seara demikian disebut daera asil (jelaja fungsi tersebut. (Purell, 48 :999 f( Daera asal Daera asil Gambar.. Conto : f( ; dengan daera asal {-,0,,} Sebua diagram skematis untuk fungsi ini diperliatkan dalam gambar.. 4 0-0 Gambar.. Deinisi... Operasi pada fungsi f dan g dua fungsi bernilai riil maka : i f g {(,y : y f( }

ii f - g {(,y : y f( - } iii f. g {(,y : y f(. } iv f / g {(,y : y f( / } ; 0 ( Alan H, 7 : 970 Conto : f( dan / (- maka:. (f g ( f( / (-. (f - g ( f( - - / (-. (f. g ( f(. ( ( / (- 4. (f / g ( f( / ( / ( / (-. it Definisi.. it f ( L berarti bawa untuk setiap ε >0, δ >0 yang berpadanan, sedemikian seingga f( L <ε asalkan bawa 0 < < δ, yakni 0 < < δ f( L < ε (Purell,80: 999 Conto : Buktikan bawa Analisis pendauluan ε >0, δ >0, 0< - <δ - < ε Peratikan : - -

, batasi δ < 4 ; - < 4 > 4 < 8 < ε kita mensyaratkan pula δ 8 ε, maka Bukti formal - 8 ε 8 ε 8 Andaikan diberikan ε >0 sebarang, pili δ min { 4, 8 ε }, maka 0 < - < δ memberikan - - < ε 8 ε 4

Teorema.4 [ f ( ] f ( (Purell,87:999 Bukti : Andaikan f ( L dan M, jika ε sebarang bilangan positif yang diberikan, maka ε/ adala positif. Karena f ( L, maka terdapat suatu bilangan positif δ sedemikian seingga 0 < <δ f( L < ε / Karena M, terdapat suatu bilangan positif δ sedemikian seingga 0 < < δ M < ε / Pili δ min { δ, δ }, maka 0 < <δ menunjukkan f( - (L M [ f( L] [ M] f( L M ε ε < ε Kita perole, 0 < < δ f( - (L M < ε Jadi [ f ( ] f ( Teorema.5 [ f (. ] f (. Analisis Pendauluan Andaikan Akan dibuktikan [ f (. ] LM f ( L dan M (Purell,87:999

Bukti formal Peratikan, f(. - (LM [ f( Mf( Mf( LM] f(( M M(f( L f( ( M M (f( L Ambil sebarang ε >0 akan diari δ >0 0< < δ berlaku f(. - (LM < ε Karena f ( ada, maka f( terbatas pada lingkungan, seingga 0 < <δ f( L < ε, karena ε sebarang maka dapat dipili ε seingga, f( L < f( - L < f( < L Pili, T sup { f(, L }, maka f( < T, untuk tiap V δ ( Karena ε f ( L, maka δ >0, 0< <δ f( L < M dan M, maka δ >0, 0< < δ M < ε T Pili δ min {δ, δ, δ } Seingga, 0< < δ berlaku : f(. - (LM f( ( M M (f( L Kita perole, Jadi < T ( M M (f( L < T ε T M ε M < ε ε 0 < < δ f(. - (LM < ε [ f (. ] f (. ε

. Turunan Definisi.6 Turunan fungsi f adala fungsi lain f yang nilainya pada sebarang bilangan adala f ( f f ( ( 0 asalkan limit ini ada. (Purell,5:999 Conto : f( 7 f ( ( 7 ( 7 ( 0 7 7 7 0 7 0 ( 7 ( 0 ( ( 0 7 7 Bentuk lain yng setara dengan turunan adala : f ( f f ( ( Conto: f( 7 f ( 7 7 7( 7( ( (

dy / d 7 7 merupakan lambang baku untuk turunan, yang pengertiannya sama dengan lambing operator D yang membaanya turunan teradap. Teorema.6 (Aturan fungsi konstanta. Jika f( k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang, f ( 0, yakni Bukti : Teorema.7 f ( 0 0 0 0 D(k 0 f ( f ( k k 0 (Purell,:999 (Aturan Hasil Kali. Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (f.g ( f ( f(g ( yakni Bukti : (fg ( 0 0 0 D[f(] f(d Df( ( fg( ( fg( f ( f ( (Purell,6:999 f ( f ( f ( f (

0 0 f ( 0 g 0 f ( [ ] [ f ( f ( ] f ( [ ] ( 0 0 0 [ ] [ f ( f ( ] [ f ( f ( ] f(g ( f ( f(d Df( Conto : Gunakan aturan asil kali untuk menari turunan y ( 4 ( Jawab : Misal f( ( 4, ( f ( 4 g ( y f (f(g ( 4 ( ( 4 4 5 4 5 6 5 4 4. Koefisien Binomial Definisi.8 Notasi Faktorial dibaa n faktorial, merupakan asil kali bilangan bulat positif dari sampai n.... (n-. (n-. n Kita juga dapat mendefinisikan sebagai berikut:! dan n. (n-! Didefinisikan pula 0! (Lipsutz,45:988 Conto : Sederanakanla ( n r!

Jawab Definisi.9 ( n r! (Koefisien Binomial Lambang berikut : n.( n.( n...( n ( r ( n r.( n ( r... n. (n-. (n-.. (n-(r- n. (n-. (n-.. (n-r. n r disebut sebagai koefisien binomial. Conto : 8 8.7. 8. 0 0.9.8. 0.. Teorema.0. n r Bukti: n n r r ( n r ( n ( r... n, n,r Є Z, r n, didefinisikan sebagai r n.( n.( n...( n ( r r.( r... (Lipsutz,45:988 (Lipsutz,48:988 n r r n ( r! ( n r! r. r!( n r! r. ( n r. ( r! ( n r! r! ( n r (. n r! r. ( n r. r! ( n r! r! ( n r!

( r. n r. r! ( n r! ( r ( n r r! ( n r! ( n r! ( n r! ( n ( n! r! ( r! n r Teorema. n n n n atau, dengan lain perkataan, jika a b n maka n r r a b (Lipsutz,46:988 Bukti : n n r ( n ( n r!( n r! r!( n r! ( n r! r! n r B. PEMBAHASAN MASALAH. Turunan Tingkat Tinggi Operasi pendiferensialan mengambil sebua fungsi f dan mengasilkan fungsi baru f. jika f didierensialkan lagi kita akan perole fungsi f yang kita sebut sebagai turunan kedua fungsi f. Dan jika kita turunkan lagi maka kita akan perole fungsi f yang kita sebut sebagai turunan ketiga dari fungsi f, dan seterusnya.

Conto :. f( f ( f ( 6 f ( 6 f ( 0 Karena turunan dari fungsi nol adala nol maka semua turunan tingkat yang lebi tinggi akan nol.. f( e f ( e f ( e.... f (n e Seringkali kita menyebutkan sebagai turunan tingkat tinggi dari fungsi f.. Turunan tingkat tinggi untuk asil kali fungsi. Kita tela mengenal beberapa aturan penarian turunan termasuk juga aturan asil kali fungsi. Jika kita mempunyai fungsi f dan g dengan f dan g fungsi yang dapat didiferensialkan, Misal F( f( F ( f ( f(g ( Jika F ( kita diferensialkan lagi kita perole fungsi F (, dan jika F ( kita diferensialkan lagi kita perole F ( dan seterusnya. Seingga kita perole : F ( f ( f (g ( f (g ( f(g ( f ( f (g ( f(g ( F ( f (f (g (f (g (f (g (f (g ( f(g (

.... F (n ( f ( f (g ( f (g ( f(g ( f (n (nf (n- (g ( n(n-f (n- (g ( nf (g (n- Bukti : (f(g (n ( F (n n f (n n ( f (n- n (g ( f (n- (g (. n f (g (n- n ( fg (n ( n n Dengan Prinsip Induksi Matematika Misal F( f( n F ( f ( ( f(g ( ( f ( f(g (, Benar. Misal untuk n k benar, maka : F (k k f (k k ( f (k- k (g ( f (k- (g (. k f (g (k- k ( f(g (k ( k k Akan ditunjukkan untuk nk juga benar, k ( k k ( k- f ( f (g'( D( D k ( F D k k- k f'(g ( f(g k - k ( ( k (

k ( k ( k k ( k (f ( f (g'( (f (g'( k f (g''( (f''(g ( f'(g k - k ( k ( k (f'(g ( f(g ( k ( k- ( k- ( k ( k f ( k ( k k k f k ( k f(g k k k ( (f 0 (g'( k k (g''( f'(g k - k ( k- ( k k k k f ( (f (g'( f 0 k ( k k ( k f'(g ( f(g k k ( k ( k ( k- ( (g''( Jadi karena p( benar dan bila p(k0 benar, maka pasti dapat ditunjukkan p(k juga benar. Dengan kata lain P(n berlaku untuk setiap bilangan asli n. Conto :. Carila turunan ketiga dari fungsi, F( 5 ( 4 Jawab : Misal, f( 5 dan ( 4 f ( 5 4 g ( 4( f ( 0 g ( ( f ( 60 g ( 4( F ( f ( f (g ( f (g ( f(g ( 60 ( 4. 0. 4(. 5 4. ( 5. 4( 60 ( 4 40 ( 80 4 ( 5 (

. F( e Cos, tentukanla F (4 (! Jawab : Misal f( e dan Cos f ( f ( f ( f (4 ( e g ( -Sin ; g ( -Cos ; g ( Sin ; g (4 (Cos F (4 4 ( f (4 4 4 4 ( f (g ( f (g ( f (g ( 4 f(g (4 ( 4 e Cos 4 e (-Sin 6 e (-Cos 4 e Sin e Cos e Cos - 4e Sin - 6e Cos 4e Sin e Cos. Tentukan turunan kelima dari fungsi, F( sin Cos Jawab : Misal, f( Sin dan Cos f ( Cos g ( - Sin f ( -4 Sin g ( -4 Cos f ( -8 Cos g ( 8 Sin f (4 ( 6 Sin g (4 ( 6 Cos f (5 ( Cos g (5 ( - Sin F (5 5 ( f (5 5 ( f (4 5 5 (g ( f (g ( f (g ( 5 f g (4 5 ( fg (5 ( 4 5 Cos Cos 5.6Sin(- Sin 0(-8Cos(-4Cos 0(-4Sin 8Sin 5.Cos (6Cos Sin (-Sin Cos -60Sin 0Cos -0Sin 60Cos Sin 5 Cos 5 Sin 4. Tentukan turunan ketuju dari fungsi, F( 8 e Jawab : Misal, f( 8 dan e

f ( 8 7 f ( 56 6 f ( 6 5 f (4 ( 680 4 f (5 ( 670 f (6 ( 060 f (7 ( 400 g ( g ( g ( g (4 ( g (5 ( g (6 ( g (7 ( e F (7 7 ( f (7 7 ( f (6 7 (g ( f (5 7 (g ( f (4 (g ( 7 f g (4 7 ( f g (5 7 ( f g (6 7 ( fg (7 ( 4 5 6 7 400e 7.060 e.670 e 5.680 4 e 5.6 5 e. 56 6 e 7. 8 7 e 8 e 400e 40 e 40 e 58800 4 e 760 5 e 76 6 e 56 7 e 8 e 5. Tentukan turunan kedelapan dari fungsi F( e Sin Jawab : Misal, f( e dan Sin f (f (f (f (4 (f (5 (f (6 (f (7 (f (8 ( e g (g (5 (Cos g ( g (6 ( -Sin g (g (7 ( -Cos g (4 (g (8 ( Sin F (8 8 ( f (8 8 ( f (7 8 (g ( f (6 8 (g ( f (5 (g ( 8 f (4 g (4 8 ( f g (5 8 ( f g (6 8 ( f g (7 ( 4 5 6 7 8 fg (8 ( 8 e Sin 8e Cos8e (-Sin56e (-Cos70e Sin 56e Cos 8e (-Sin 8e (-Cos e Sin e Sin 8e Cos -8e Sin -56e Cos 70e Sin 56e Cos - 8e Sin -8e Cos e Sin

BAB III PENUTUP yaitu : A. Kesimpulan Ada beberapa kesimpulan dalam makala ini yang dapat penulis perole,. Aturan asil kali turunan pertama dapat digeneralisir untuk turunan ke-n ( Turunan tingkat tinggi, nєn.. Bentuk umum turunan ke-n asil kali fungsi adala : Misal, F( f( dengan f( dan adala fungsi-fungsi yang terdiferensialkan. F (n n f (n n ( f (n- (g ( n f (n- n (g (. f (g (n- ( n n fg (n ( n. Aturan ini memungkinkan kita lebi epat dalam menari turunan tingkat tinggi asil kali fungsi, terutama untuk fungsi eksponen asli dan trigonometri. B. Saran Saran yang dapat disampaikan penulis adala :. Pembaasan aturan asilkali ini masi terlalu sempit, seingga pembaa dapat mengembangkan untuk turunan implisit, untuk fungsi bernilai komplek, atau juga aturan asil bagi turunan tingkat tinggi.. Bentuk umum turunan ini dapat digunakan untuk menari turunan tingkat tinggi untuk asil kali beberapa fungsi yang lebi dari dua.

DAFTAR PUSTAKA Purell,, Edwin dan Dale Varberg. 999. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I. Erlangga : Jakarta Lipsutz, Seymour. 988. Matematika Hingga. Alan H. 970.