D Uraian Materi 4 Relasi Rekursif KOMBINATORIKA Konsep relasi rekursif disajikan pada Definisi 4. Definisi 4. Relasi Rekursif untuk barisan {a n } didefinisikan sebagai sebuah persamaan yang menyatakan a n dalam salah satu atau lebih suku-suku sebelumnya, yaitu a 0, a 1,, a n 1, untuk semua n dengan n n 0 dengan n 0 bilangan bulat tak negatif. Selanjutnya, barisan {a n } dikatakan sebagai solusi dari relasi rekursif ini bila a n memenuhi relasi rekursif. Ilustrasi tentang relasi rekursif dijelaskan pada contoh-contoh berikut ini. Contoh 14. 1. Misal barisan {a n } memenuhi relasi rekursif a n = a n 1 a n 2 untuk n = 2,3,4, Serta diberikan nilai awal: a 0 = 3 dan a 1 = 5. Diperoleh: a 2 = a 1 a 0 = 5 3 = 2 a 3 = a 2 a 1 = 2 5 = 3 a 4 = a 3 a 2 = 3 2 = 5 a 5 = a 4 a 3 = 5 + 3 = 2 Dan seterusnya. Jelas bahwa a n mengaitkan dua suku sebelumnya. 2. Apakah barisan {a n } dengan a n = 3n merupakan solusi dari relasi rekursif a n = 2a n 1 a n 2 untuk n = 2,3,4, dengan n bilangan bulat tak negatif? Penyelesaian: Dengan mensubtitusi a n = 3n ke ruas kanan relasi rekursif, diperoleh: 2.3. (n 1) 3(n 2) = 6n 6 3n + 6 = 3n = a n Dapat dibuktikan bahwa a n = 3n memenuhi relasi rekursif. Jadi a n = 3n merupakan solusi dari relasi rekursif. 3. Bagaimana dengan barisan {a n } dengan a n = 2 n? Apakah barisan ini merupakan solusi dari relasi rekursif a n = 2a n 1 a n 2 untuk n = 2,3,4, Penyelesaian: Dengan mensubtitusi a n = 2 n ke ruas kanan relasi rekursif, diperoleh: 2. 2 n 1 2 n 2 = 2 n 0.25(2 n ) = 0.75(2 n ) a n Dapat dibuktikan bahwa a n = 2 n tidak memenuhi relasi rekursif.
Jadi a n = 2 n bukan solusi dari relasi rekursif. Relasi rekursif dapat digunakan untk memodelkan permasalahan real. Sebagai ilustrasi, diperhatikan contoh berikut ini. Contoh 15. 1. Barisan Fibonacci: Sepasang kelinci diletakkan di sebuah pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan, Setelah 2 bulan, setiap pasang kelinci akan menghasilkan sepasang kelinci lainnya setiap bulan. Misal f n menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah n bulan, relasi rekursif untuk barisan {f n } adalah f n = f n 1 + f n 2 2. Masalah derangement: Misal D n menyatakan banyak derangement dari n obyek berbeda. Diperhatikan kembali formula untuk menentukan D n. Jelas bahwa D 0 = 1, D 1 = 0, D 2 = 1, D 3 = 2, D 4 = 9, D 5 = 44, D 6 = 265, dan seterusnya. Relasi rekusif untuk menentukan D n sebagai berikut: D n = (n 1)D n 1 + D n 2 Menentukan solusi dari sebuah relasi rekursif sama dengan menentukan rumus eksplisit dari barisan {a n }. Metode untuk menentukan solusi dari sebuah relasi rekursif bergantung pada jenis relasi rekursif tersebut. Terdapat dua jenis relasi rekursif, yaitu relasi rekursif linear homogen dan relasi rekursif linear tak homogen. Definisi 5. Bentuk umum relasi rekursif linear homogen berderajat k dengan koefisien-koefisien konstan sebagai berikut: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + + c k a n k (3) dengan c 1, c 2,, c k bilangan-bilangan real dan c k 0. Untuk lebih memahami bentuk relasi rekursif linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan, diperhatikan contoh berikut ini. 1. P n = (1.11)P n 1, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 1 2. f n = 4f n 2, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 2 3. H n = 2H n 1 H n 2 + H n 3, merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 3 4. H n = 2H n 1 H n 2 + H n 3 + H n 4, merupakan relasi rekursif linear homogen
berderajat 4. Langkah untuk menentukan solusi relasi rekursif homogen linear adalah dengan mensubtitusi bentuk a n = r n dengan r konstanta. Bentuk a n = r n solusi dari relasi rekursif (3) jika dan hanya jika a n memenuhi relasi rekursif (3). Dengan cara mensubtitusi a n = r n ke relasi rekursif (3), diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut: r k c 1 r k 1 + c 2 r k 2 + + c k 1 r c k = 0, dan akar dari persamaan tersebut di atas disebut akar-akar karakteristik. Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3) dibedakan berdasarkan akar-akar persaam karakteristiknya. Beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menentukan bentuk solusi homogen relasi rekursif linear homogen berderajat k disajikan berikut ini. Teorema 5. Misal c 1, c 2 bilangan real dan persamaan r 2 c 1 r c 2 = 0 mempunyai dua akar berbeda r 1 dan r 2. Barisan {a n } solusi dari relasi rekursif a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 jika dan hanya jika a n = α 1 r n 1 + α 2 r n 2, n = 0,1,2, dengan α 1 dan α 2 konstanta. Teorema 5 dapat diterapkan untuk menentukan bentuk solusi homogen relasi rekursif (3) berderajat 2 dengan semua akar karakteristik berbeda. Jika akar karakteristik dari relasi rekursif (3) berderajat 2 merupakan akar rangkap 2, dapat digunakan Teorema 6 untuk menentukan bentuk solusinya. Teorema 6. Misal c 1, c 2 bilangan real dan persamaan r 2 c 1 r c 2 = 0 mempunyai satu akar (rangkap) r 0. Barisan {a n } solusi dari relasi rekursif a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 jika dan hanya jika a n = α 0 r n 0 + α 1 nr n 1, n = 0,1,2, dengan α 1 dan α 2 konstanta. Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3) berderajat-k dengan semua akar karakteristik berbeda, dapat ditentukan berdasarkan Teorema 7. Dengan kata lain, Teorema 7 lebih umum dari Teorema 6. Teorema 7. Misal c 1, c 2,, c k bilangan real dan persamaan r k c 1 r k 1 c 2 r k 2 c k 1 r c k = 0 mempunyai k akar berbeda r 1, r 2,, r k. Barisan {a n } solusi dari relasi rekursif a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + + c k a n k jika dan hanya jika
a n = α 1 r 1 n + α 2 r 2 n, + α k r k n, n = 0,1,2, dengan α 1, α 2,, α k konstanta. Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3) berderajat-k dengan akar karakteristik rangkap, dapat ditentukan berdasarkan Teorema 8. Dengan kata lain, Teorema 8 merupakan perumuman dari Teorema 6 Teorema 8. Misal c 1, c 2,, c k bilangan real dan persamaan r k c 1 r k 1 c 2 r k 2 c k 1 r c k = 0 mempunyai mempunyai t akar r 1, r 2,, r t berbeda dengan multiplisitas m 1, m 2,, m t dengan m 1 + m 2 + + m t = k. Barisan {a n } solusi dari relasi rekursif a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + + c k a n k jika dan hanya jika a n = (α 1,0 + α 1,1 n + + α 1,m1 1n m1 1 )r n 1 + (α 2,0 + α 2,1 n + + α 2,m2 1n m2 1 n )r 2 + + (α t,0 + α t,1 n + + α t,mt 1n m t 1 )r t n dengan n = 0,1,2, dan α i,j konstanta untuk 1 i t dan 0 j m i 1. Untuk lebih memahami cara menyelesaikan relasi rekursif linear homogen berderajat-k, diperhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 16. Tentukan solusi dari relasi rekursif a n = 6a n 1 11a n 2 + a n 3 dengan kondisi awal a 0 = 2, a 1 = 5, a 2 = 15. r 3 6r 2 + 11r 6 = 0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: r = 1, r = 2 dan r = 3. Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: a n = c 1. 1 n + c 2. 2 n + c 3. 3 n. a 0 = c 1 + c 2. 1 + c 3. 1 = 2 a 1 = c 1 + c 2. 2 + c 3. 3 = 5 a 2 = c 1 + c 2. 4 + c 3. 9 = 15
Dari tiga persamaan di atas, diperoleh solusi homogen: a n = 1 2 n + 2. 3 n. Contoh 17. Tentukan solusi dari relasi rekursif a n = 3a n 1 3a n 2 a n 3 dengan kondisi awal a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 1. r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: r = 1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: a n = c 1. ( 1) n + c 2. n. ( 1) n + c 3. n 2. ( 1) n. a 0 = c 1. 1 + 0 + 0 = 1, Diperoleh: c 1 = 1 a 1 = c 1. ( 1) 1 + c 2. 1. ( 1) 1 + c 3. 1 2. ( 1) 1 = 2 a 1 = c 1. ( 1) 2 + c 2. 1. ( 1) 2 + c 3. 1 2. ( 1) 2 = 1 Dengan subtitusi nilai c 1 kedua persamaan terakhir, diperoleh solusi homogen a n = (1 + 3n 2n 2 )( 1) n. Contoh 18. Tentukan solusi dari relasi rekursif a n = 5a n 1 6a n 2, n 2 dengan kondisi awal a 0 = 1, a 1 = 0. r 2 5r + 6 = 0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: r = 2, dan r = 3 Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: a n = c 1. 2 n + c 2. 3 n. a 0 = c 1. 1 + c 2. 1 = 1 a 1 = c 1. 2 + c 2. 3 = 0 Dari dua persamaan di atas, diperoleh solusi homogen:
a n = 3. 2 n 2. 3 n. Contoh 19. Tentukan solusi dari relasi rekursif a n = 4a n 2, n 2 dengan kondisi awal a 0 = 0, a 1 = 4. r 2 4 = 0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: r = 2, dan r = 2 Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: a n = c 1. 2 n + c 2. ( 2) n. a 0 = c 1. 1 + c 2. 1 = 0 a 1 = c 1. 2 + c 2. ( 2) = 4 Dari dua persamaan di atas, diperoleh solusi homogen: a n = 1. 2 n ( 2) n. Contoh 20. Tentukan solusi dari relasi rekursif a n = 4a n 1 4a n 2, n 2 dengan kondisi awal a 0 = 1, a 1 = 0. r 2 4r + 4 = 0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: r = 2 (rangkap 2). Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: a n = c 1. 2 n + c 2. n. 2 n. a 0 = c 1. 1 + 0 = 1, diperoleh c 1 = 1 a 1 = c 1. 2 + c 2. 2 = 0 Dari dua persamaan di atas, diperoleh solusi homogen: a n = 1. 2 n n. 2 n.