CHAPTER 8. Advanced Counting Techniques

Transkripsi

1 CHAPTER 8 Advanced Counting Techniques

2 Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang merpati. Misalnya: Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan? Untuk memecahkan ini, misalkan a n = banyaknya string tsb panjang n. Dapat ditunjukkan kemudian bhw a n+1 = a n + a n-1. Dengan memecahkan persamaan ini kita dapat mencari a n.

3 Relasi Recurrence Definisi. Relasi Recurrence untuk barisan {a n } adalah persamaan yang menyatakan a n dalam salah satu atau lebih bentuk a 0, a 1,, a n-1 untuk semua n dengan n n 0 dimana n 0 bilangan bulat nonnegatif. Barisan {a n } tersebut dikatakan sebagai solusi dari relasi recurrence ini bila a n memenuhi relasi recurrence.

4 8.1 APPLICATIONS OF RECURRENCE RELATIONS

5 Contoh 1 Misalkan seseorang menabung Rp. 100,000 di bank dengan bunga 12% per tahun. Berapa banyak uangnya setelah 30 tahun? Solusi. Misal P n menyatakan banyaknya uang dalam tabungan setelah n tahun. Maka, P n = P n P n-1 = (1.12) P n-1, dengan P 0 = 100,000. Dengan pendekatan iteratif: P 1 = (1.12)P 0 P 2 = (1.12)P 1 = (1.12) 2 P 0 P 3 = (1.12)P 2 = (1.12) 3 P 0 P n = (1.12)P n-1 = (1.12) n P 0

6 Contoh 2 Sepasang kelinci ditaruh di suatu pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap sepasang menghasilkan sepasang yg lain setiap bulannya. Tentukan relasi recurrence dari jumlah pasangan setelah n bulan, bila tidak ada kelinci yg mati. Solusi. Misalkan f n : jumlah pasangan kelinci setelah n bulan. Maka, f 1 = 1, f 2 = 1. Untuk mencari f n, tambahkan jumlah pasangan pada bulan sebelumnya, f n-1, dengan jumlah pasangan yang baru lahir, f n-2. Jadi, f n = f n-1 + f n-2.

7 Menara Hanoi Merupakan sebuah puzzle populer yang ditemukan oleh seorang matematikawan Perancis Edouard Lucas pada abad 19. Terdapat menara dengan 3 tiang untuk meletakkan sejumlah disk berukuran berbeda. Awalnya semua disk terletak secara terurut pada tiang pertama dengan disk terbesar paling bawah Aturan: Satu disk dapat dipindahkan setiap waktu dari satu tiang ke tiang lain selama disk tsb tidak berada di atas disk yang lebih kecil. Tujuan: Memindahkan semua disk ke tiang kedua dengan disk terbesar di urutan paling bawah.

8 Menara Hanoi (2) Misalkan H n : banyaknya langkah yg diperlukan untuk memindahkan n disk dalam masalah menara Hanoi. Kita mulai dengan n disk pada tiang 1. Kita dapat memindahkan n-1 disk paling atas dengan mengikuti aturan ke tiang 3 dalam H n-1 langkah. Kemudian, dengan menggunakan 1 langkah kita bisa memindahkan disk terbesar ke tiang 2. Selanjutnya, pindahkan n-1 disk dari tiang 3 ke tiang 2, dengan mengikuti aturan dalam H n-1 langkah. Sehingga kita telah memecahkan puzzle dengan banyak langkah: H n = 2H n dan H 1 = 1.

9 Menara Hanoi (3) Untuk mencari solusinya, dilakukan proses iteratif: H n = 2H n = 2(2H n-2 + 1)+1 = 2 2 H n = 2 2 (2H n-3 +1) = 2 3 H n : = 2 n-1 H n n = 2 n n n (deret geometri) = 2 n - 1 Jadi, untuk memindahkan 64 disk diperlukan langkah sebanyak: = 18,446,744,073,709,551,615.

10 Variasi Menara Hanoi Terdapat banyak variasi dari masalah Menara Hanoi. Yang tertua dan paling menarik adalah Reve s puzzle (Henry Dudeney, 1907). Reve s puzzle: Sama seperti masalah Menara Hanoi namun menggunakan 4 tiang. Hingga kini belum ditemukan jumlah langkah minimum untuk puzzle dengan n disk. Conjecture: sama dengan jumlah langkah dalam algoritma Frame dan Stewart (1939).

11 Contoh 3 Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan? Misalkan a n string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan. Tentukan relasi recurrence untuk a n. Solusi. Periksa: a 1 = 2 dan a 2 = 3. Ada dua cara mendapatkan string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan: string biner dengan panjang n-1 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan string biner dengan panjang n-2 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan a n-1 a n-2 a n = a n-1 + a n-2

12 Contoh 4 (Enumerasi Katakode) Suatu string desimal merupakan katakode yang valid dalam suatu sistem komputer jika string tersebut memuat sejumlah genap digit 0. Contoh valid dan tidak valid. Misalkan a n banyaknya katakode valid dengan panjang n. Tentukan relasi recurrence untuk a n. Solusi. Periksa: a 1 = 9. Ada dua cara mendapatkan katakode valid panjang n: Menambahkan 1 digit selain 0 pada katakode valid panjang n-1 Menambahkan 1 digit 0 pada katakode tak valid panjang n-1 9a n-1 10 n-1 - a n-1 a n = 8a n n-1

13 Soal (Bilangan Catalan) C n adalah banyaknya cara untuk mengelompokkan perkalian n+1 bilangan x 0. x 1. x 2 x n, untuk menentukan urutan perkalian. Tentukan relasi recurrence untuk C n.

14 8.2 SOLVING LINEAR RECURRENCE RELATIONS

15 Relasi recurrence linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan Bentuk umum: a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k, dengan c 1, c 2,, c k bilangan real dan c k 0. Contoh P n = (1.12)P n-1 homogen linear berderajat 1 2. f n = f n-1 + f n-2 homogen linear berderajat 2 3. H n = 2H n linear tapi tak homogen 4. a n = a n-1 + (a n-2 ) 2 tak linear 5. T n = nt n-2 koefisien tak konstan Hanya mengkaji relasi linear dengan koefisien konstan!

16 Mencari solusi Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk a n = r n dengan r konstan. a n = r n adalah solusi dari a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k jika dan hanya jika r n = c 1 r n-1 +c 2 r n c k r n-k. Bila kedua ruas dibagi dengan r n-k diperoleh: r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k-1 r - c k = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut akar karakteristik.

17 Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar berbeda Teorema 1 Misalkan c 1, c 2 bilangan real dan r 2 - c 1 r - c 2 = 0 mempunyai dua akar berbeda r 1 dan r 2. Maka semua solusi dari relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 berbentuk a n = 1 r 1 n + 2 r 2n, n=0,1,2, dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Lihat di buku!

18 Contoh 2 Carilah solusi dari a n = a n-1 + 2a n-2 dengan a 0 = 2 dan a 1 =7. Solusi. Persamaan karakteristiknya r 2 - r - 2 = 0, mempunyai akar r = 2 dan r = -1. Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence berbentuk a n = 1 2 n + 2 (-1) n. Karena a 0 = 2 dan a 1 = 7, diperoleh a n = 3 2 n - (-1) n.

19 Soal 1 Tentukan formula eksplisit dari bilangan Fibonacci. Ingat bahwa bilangan Fibonacci f n memenuhi relasi dan kondisi awal f n = f n-1 + f n-2 f 0 =1, f 1 =1

20 Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar tunggal Teorema 2 Misalkan c 1, c 2 bilangan real dengan c 2 0 dan r 2 - c 1 r - c 2 = 0 mempunyai hanya satu akar r 0. Maka semua solusi dari relasi recurrence berbentuk a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 a n = 1 r 0 n + 2 nr 0n, n=0,1,2, dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Latihan!

21 Soal 2 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = 6a n-1-9a n-2 dengan kondisi awal a 0 = 1 dan a 1 = 6.

22 Solusi relasi recurrence homogen orde n dengan akar berbeda Teorema 3 Misalkan c 1, c 2,, c k bilangan real dan persamaan karakteristik r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k-1 r - c k = 0 mempunyai k akar r 1, r 2,, r k yang berbeda. Maka, solusi relasi recurrence a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k selalu berbentuk a n = 1 r 1 n + 2 r 2 n + + k r k n, n=0,1,2, dengan i, i=0,1,,k konstan.

23 Contoh 3 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = 6a n-1 11a n-2 + 6a n-3 dengan kondisi awal a 0 =2, a 1 =5 dan a 2 =15. Solusi. Persamaan karakteristiknya r 3-6r r - 6 = 0. Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3. Dengan demikian, solusinya berbentuk a n = 1 1 n n + k 3 n. Dari kondisi awalnya diperoleh a n = 1-2 n n.

24 Solusi relasi recurrence homogen Teorema 4 orde k Misal c 1, c 2,, c k bilangan real dan persamaan karakteristik r k - c 1 r k-1 - c 2 r k c k-1 r - c k = 0 mempunyai t akar r 1, r 2,, r t berbeda dengan multiplisitas m 1, m 2,, m t (m 1 + m m t = k). Maka solusi relasi recurrence selalu berbentuk a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k a n = ( 1,0 + 1,1 n + + 1,m1-1 n m1-1 )r 1 n + ( 2,0 + 2,1 n + + 2,m2-1 n m2-1 )r 2 n + + ( t,0 + t,1 n + + t,mt-1 n mt-1 )r t n

25 Contoh 4 Tentukan solusi dari relasi recurrence a n = -3a n-1-3a n-2 - a n-3 dengan kondisi awal a 0 = 1, a 1 = -2 dan a 2 = -1. Solusi. Persamaan karakteristiknya r 3 + 3r 2 + 3r +1 = 0. Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, solusinya berbentuk a n = 1,0 (-1) n + 1,1 n (-1) n + 1,2 n 2 (-1) n. Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh a = (1 +3n-2n 2 ) (-1) n.

26 Relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan Contoh 5. a n = 3a n-2 + 5n Secara umum, a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k + F(n) dengan c i, i=0,1,2, konstan dan F(n) fungsi tak nol. a n = c 1 a n-1 +c 2 a n c k a n-k disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan. Contoh 6. a n = a n n a n = a n-1 + a n-2 + a n-3 + n!

27 Teorema 5 Jika {a n (p) } adalah solusi khusus dari relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k + F(n) maka setiap solusi berbentuk {a n (p) + a n (h) }, dengan {a n (h) } solusi relasi recurrence homogen yang berkaitan a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k.

28 Tentukan semua solusi dari relasi recurrence Solusi. Contoh 7 a n = 3a n-1 + 2n. Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu p n = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus. Didapat, p n = 3p n-1 + 2n cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2. Jadi, solusi khususnya a n (p) = -n - 3/2.

29 Contoh 7 (2) Solusi homogen dari relasi homogen yang berkaitan, a n = 3a n-1 adalah a n (h) = 3 n, dengan konstan. Menurut Teorema 5, solusi umum dari a n = 3a n-1 + 2n adalah a n = a n (p) + a n (h) = -n - 3/2 + 3 n. Jika diketahui a 1 = 3, maka solusi menjadi a n = -n - 3/2 + (11/6) 3 n.

30 Contoh 8 Tentukan semua solusi dari relasi recurrence: a n = 5a n-1-6a n n. Solusi. Solusi homogennya adalah a n (h) = 1 3 n n. Karena F(n) = 7 n, solusi khusus yg perlu dicoba adalah a n (p) = c 7 n. Maka, c 7 n = 5c 7 n-1 6c 7 n n. Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya: a n = 1 3 n n + 49/20 7 n.

31 Teorema 6 Misalkan {a n } memenuhi relasi recurrence tak homogen linear a n = c 1 a n-1 + c 2 a n c k a n-k + F(n) dengan c i, i=1,2,,k bilangan real dan F(n) = (b t n t + b t-1 n t b 1 n + b 0 ) s n dengan b i, i=0,1,,t dan s bilangan real. Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk (p t n t + p t-1 n t p 1 n + p 0 ) s n Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk F(n) = n m (p t n t + p t-1 n t p 1 n + p 0 ) s n

32 Contoh 9 Carilah solusi khusus dari relasi recurrence a n = 6a n-1-9a n-2 + F(n) bila 1. F(n) = 3 n, 2. F(n) = n 3 n, 3. F(n) = n 2 2 n, dan 4. F(n) = (n 2 +1) 3 n Solusi. Solusi homogennya adalah a n (h) = 1 3 n + 2 n3 n. Dan solusi khususnya adalah 1. a n (p) = p 0 n 2 3 n. 2. a n (p) = n 2 (p 1 n+p 0 )3 n. 3. a n (p) = (p 2 n 2 +p 1 n+p 0 )2 n. 4. a n (p) = n 2 (p 2 n 2 +p 1 n+p 0 )3 n.

33 Contoh 10 Menara Hanoi Tentukan solusi dari relasi recurrence H n = 2H n-1 + 1, H 1 = 1, dan H 2 = 3 Solusi. Relasi homogen yang berkaitan adalah H n = 2H n-1 dan solusi homogennya H n (h) = 2 n. Karena F(n) = 1 = 1 n, maka solusi khususnya adalah H n (p) = p 0 1 n = p 0. Sehingga solusi umumnya adalah H n = 2 n + p 0 Dengan memandang H 1 = 1 dan H 2 = 3 diperoleh =1 dan p 0 = -1. Jadi, H n = 2 n - 1

34 Soal 3 Ada berapa cara untuk menutup suatu papan persegi panjang berukuran 2 x n dengan menggunakan papan-papan kecil yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2. Misalkan a n adalah jumlah n bilangan bulat positif pertama. Berikan formula eksplisit dari a n.