DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN ( DINAMICS ON TWO COMPONENTS MARKOV CHAINS ) SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana sains RIKI YAKUB 060823036 DEPARTEMEN MATEMATIKA FALULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008
PERSETUJUAN Judul : DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN Kategori : SKRIPSI Nama : RIKI YAKUB Nomor Induk Mahasiswa : 060823036 Program Studi : SARJANA (S-1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, November 2008 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si Dra.Mardiningsih, M.Si NIP : 130 810 774 NIP : 131 803 344 Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua Dr.Saib Suwilo, M.Sc NIP : 131 796 149
PERNYATAAN DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing masing disebutkan sumbernya. Medan, November 2008 Riki Yakub 060823036
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Dra.Mardiningsih, M.Si dan Drs.Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada penulis agar penulis menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr.Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan rekan kuliah pada program studi ekstension matematika stambuk 2006. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Ayahanda Efriyandi dan Ibunda Nelwati serta Abang dan adik adik tercinta. Penulis mengucapkan terima kasih yang tulus atas do a dan doronganya kepada penulis yang selama ini memberikan bantuan baik moril maupun materi yang tak terbatas. Semoga Allah SWT yang akan membalasnya, Amin.
ABSTRAK.Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dipengaruhi oleh nilai eigen dari matriks probabilitas transisinya serta keadaan awal yang diberikan. Berdasarkan nilai λ 2 yang diperoleh, dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen dapat dikelompokkan menjadi 3 bagian utama. Yaitu : a. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai 0 < λ 2 < 1 yang dinamakan Monoton naik atau turun. b. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai λ = 2 0 yang dinamakan Quasi Statik. c. Dinamika pada rantai Markov dengan dua komponen jika nilai 1 < λ < 2 0 yang dinamakan Osilasi Teredam. Keadaan awal yang diberikan nantinya akan mempengaruhi bagaimana awal pergerakan dua komponen dari rantai Markov tersebut.
DAFTAR ISI Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Halaman ii iii iv v vi viii ix Bab 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Identifikasi Masalah 2 1.3 Tujuan Penelitian 2 1.4 Metode Penelitian 3 1.5 Tinjauan Pustaka 3 1.6 Kontribusi Penelitian 6 Bab 2 Landasan Teori 7 2.1 Probabilitas 7 2.1.1 Definisi Probabilitas 7 2.2.2 Probabilitas Beberapa Peristiwa 9 2.2 Matriks 12 2.2.1 Definisi Matriks 12 2.2.2 Teorema Matriks 12 2.2.3 Operasi Matriks 14 2.2.4 Determinan Suatu Matriks 16 2.2.5 Invers Suatu Matriks 18 2.3 Nilai dan Vektor Eigen 19 2.3.1 Definisi dan Notasi 19 2.3.2 Persamaan Karakteristik 20 2.2.3 Proses Diagonalisasi Matriks 21 2.4 Rantai Markov 23
2.4.1 Definisi Rantai Markov 23 2.4.2 Sifat Markov 24 2.4.3 Asumsi Asumsi Dasar Rantai Markov 24 2.4.4 Keadaan Awal Rantai Markov 25 2.4.5 Keadaan Transisi dan Probabilitasnya 25 2.4.6 Keadaan Setimbang dan Probabilitasnya 26 Bab 3 Isi 27 3.1 Rantai Markov dengan Dua Komponen 27 3.1.1 Keadaan Awal Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 27 3.1.2 Keadaan Transisi Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 28 3.1.3 Keadaan Setimbang Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 28 3.2 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen 29 3.3 Penyajian Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen Berdasarkan Contoh Contoh Kasus 41 3.3.1 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen Untuk Nilai 0 < λ < 2 1 41 3.3.2 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen Untuk Nilai λ 2 = 0 50 3.3.3 Dinamika Pada Rantai Markov dengan Dua Komponen Untuk Nilai 1 < λ < 2 0 57 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 65 4.1 Kesimpulan 65 4.2 Saran 68 Daftar Pustaka
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.1 Sumbangan Alumni Kasus 1 42 Tabel 3.2 Perpindahan Data Sumbangan pada Kasus 1 42 Tabel 3.3 Perpindahan Data Sumbangan Kasus 3 50 Tabel 3.4 Perpindahan Data Sumbangan Kasus 4 54 Tabel 3.5 Perpindahan Data Sumbangan Pada Kasus 5 57 Tabel 3.6 Perpindahan Data Sumbangan Pada Kasus 6 61
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 3.1 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 1 46 Gambar 3.2 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 2 49 Gambar 3.3 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 3 53 Gambar 3.4 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 4 56 Gambar 3.5 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 5 60 Gambar 3.6 Dinamika Rantai Markov Untuk Kasus 6 64