Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari adalah materi matriks dan sistem persamaan linear. Dengan menggunakan matriks maka permasalahan yang kompleks dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan lebih cepat dan akurat. Di lain pihak banyak permasalahan kontekstual yang menuntut suatu penyelesaian yang harus memenuhi banyak kendala, seperti ketersediaan dana dengan kebutuhan yang ada. Model matematika sederhana yang dapat digunakan untuk permasalahan seperti ini adalah sistem persamaan linear. Modul berjudul Matriks dan Sistem Persamaan Linear ini membahas tentang pengertian/definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks dan sifat-sifatnya, determinan matriks, invers matriks, sistem persamaan linear dan cara penyelesaiannya, serta penggunaan matriks dalam penyelesian sistem persamaan linear. Modul ini dikemas dalam empat topik dan seluruhnya diberi alokasi waktu enam belas jam pelajaran. Empat topik tersebut disusun dengan urutan sebagai berikut: Topik 1: Pengertian Matriks dan Jenisnya Topik 2: Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya Topik 3: Determinan dan Invers Matriks Topik 4: Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya Setelah mempelajari modul ini Anda peserta PPG DALJAB akan dapat: 1) menjelaskan pengertian/definisi matriks; 2) menyebutkan jenis-jenis matriks dan contohnya; 3) menentukan hasil operasi matriks; 4) menentukan sifat-sifat operasi matriks; 5) menjelaskan pengertian determinan matriks; 6) menghitung determinan matriks; 7) menyebutkan pengertian invers matriks; 8) menentukan invers matriks; 9) menuliskan bentuk sistem persamaan linear (SPL) dua dan tiga variabel; 10) menjelaskan macam-macam SPL; 11) menjelaskan pengertian penyelesaian (solusi) dan himpunan penyelesaian suatu SPL; 12) menentukan 1
himpunan penyelesaian SPL; 13) menyelesaikan SPL dengan operasi matriks. Kompetensi-kompetensi tersebut di atas sangat diperlukan bagi Anda yang bekerja sebagai guru matematika. Penguasaan materi modul ini secara mendalam dapat mendukung Anda untuk dapat melaksanakan pembelajaran di kelas dengan lebih mantap dan profesional. Proses pembelajaran untuk materi matriks dan sistem persamaan linear dalam program PPG DALJAB yang sedang Anda ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar dan berhasil bila Anda mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1. Pahami setiap pengertian/definisi dan contohnya yang ada dalam setiap topik. 2. Buat rangkuman definisi dan sifat/teorema yang ada dalam setiap topik dengan menggunakan bahasa dan notasi matematika yang mudah dipahami. 3. Kerjakan Tugas yang adauntuk memperdalam penguasaan materi. 4. Kerjakan setiap soal Tes Formatif dan cocokan dengan kunci jawaban yang telah tersedia. 5. Kerjakan Tes Sumatif yang ada dalam modul 2.5 yang merupakan bagian akhir bidang kajian aljabar dan program linear. 6. Keberhasilan proses pembelajaran Anda dalam modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan Anda dalam mengerjakan tugas dan tes formatif. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. 7. Bila Anda menemui kesulitan, silakan hubungi instruktur/widiaiswara pembimbing atau fasilitator yang mengajar modul ini. Baiklah saudara perserta PPG DALJAB selamat belajar, semoga Anda sukses menguasai pengetahuan yang disajikan dalam modul ini untuk bekal bertugas sebagai guru mata pelajaran matematika yang profesional. B. Capaian Pembelajaran Menguasai teori bilangan, matriks dan sistem persamaan linear, vektor dan ruang vektor, grup, dan program linear. 2
C. Sub Capaian Pembelajaran 1. Menguasai pengertian/definisi matriks dan jenis-jenisnya. 2. Menguasai operasi matriks dan sifat-sifatnya. 3. Menguasai determinan matriks dan invers matriks serta sifat-sifatnya. 4. Menguasai sistem persamaan linear dan metode penyelesaiannya. D. Uraian Materi 1. Matriks dan Jenisnya 2. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya 3. Determinan dan Invers Matriks 4. Sistem Persamaan Linear dan Penyelesaiannya a. Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL) dan solusi SPL Definisi 2.2.16 Persamaan linear dengan n variabel adalah persamaan yang berbentuk a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, dengan a 1, a 2,, a n, b bilangan-bilangan riil dan a 1, a 2,, a n tidak semuanya nol. Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri atas n persamaan dengan p variabel x 1, x 2,, x p berbentuk (*) dengan a ij dan b i bilangan-bilangan riil untuk setiap i= 1,2,, n dan j=1,2,, p. Bilangan-bilangan terurut (c 1, c 2,, c p ) disebut penyelesaian/solusi untuk SPL (*) jika. Bilangan-bilangan a ij untuk setiap i=1, 2,, n dan j=1, 2,, p dalam (*) dinamakan koefisien variabel-variabel SPL, sedangkan b i untuk setiap i= 1,2,, n dinamakan konstanta SPL. Penggunaan tanda { dalam (*) menunjukkan bahwa bentuk tersebut merupakan suatu sistem, artinya persamaan-persamaan tersebut saling terkait. Oleh karenanya 3
dalam penulisan suatu SPL digunakan tanda {. Terkadang tanda kurung kurawal diletakkan di bagian belakang, sehingga menggunakan tanda }. Sebagaimana sistem persamaan yang sering dikenal yakni SPLDV (sistem persamaan linear dua variabel) dan SPLTV (sistem persamaan linear tiga variabel), maka bentuk umum SPLDV dan SPLTV dituliskan sebagai berikut. SPLDV dengan dua persamaan:... (**) atau SPLTV dengan tiga persamaan:... (***) atau Himpunan semua penyelesaian dari suatu SPL dinamakan Himpunan Solusi atau Himpunan Penyelesaian (HP). Contoh 2.2.19 Bentuk merupakan sistem persamaan linear tiga variabel dengan tiga persamaan. Bilangan terurut (2, -1, 3) merupakan solusi SPL tersebut. Sedangkan himpunan penyelesaian SPL tersebut adalah HP={(2,-1,3)}. Perhatikan bahwa HP suatu SPL merupakan himpunan, sehingga tidak benar jika himpunan penyelesaian SPL tersebut dituliskan dengan HP=(2,-1,3). b. Jenis-jenis SPL Dengan menggunakan matriks, maka SPL dapat ditulis dalam bentuk = atau AX=B, dengan 4
A nxp =, X px1 =, dan B nx1 =. Berdasarkan SPL dalam bentuk AX=B, maka SPL dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: 1. SPL homogen, jika B=O. 2. SPL non homogen, jika B O. Berdasarkan solusi yang dimiliki oleh SPL, maka SPL dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: 1. SPL konsisten (consistent), jika SPL tersebut mempunyai solusi. 2. SPL tak konsisten (inconsistent), SPL tersebut tidak mempunyai solusi. SPL homogen pasti mempunyai solusi, yakni solusi nol yang berbentuk (0, 0,, 0). Dengan demikian SPL homogen selalu konsisten. Ada beberapa sifat yang terkait dengan SPL AX=B, antara lain dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 2.2.7 Jika A matriks berukuran nxn, maka pernyataan berikut ekivalen. 1. A invertible (mempunyai invers). 2. SPL AX=O hanya memiliki solusi nol. 3. SPL AX=B konsisten untuk setiap matriks B berukuran nx1. 4. SPL AX=B memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks B berukuran nx1. Teorema 2.2.8 Misalkan A matriks berukuran mxn, X matriks berukuran nx1, dan B matriks berukuran mx1. 1. Jika m n maka SPL AX=B mempunyai tak hingga banyak solusi. 2. Jika m=n dan det(a)=0 maka SPL AX=O mempunyai solusi tak nol. 5
Contoh 2.2.20 SPL merupakan sistem persamaan linear konsisten dan hanya mempunyai solusi nol. c. Metode Penyelesaian SPL Ada beberapa cara/metode yang sering digunakan untuk menentukan solusi dari suatu SPL, seperti metode grafik, metode eliminasi, metode substitusi, dan metode campuran (eliminasi dan substitusi). Dalam bagian ini disajikan penyelesaian SPL dengan menggunakan matriks. Sebagaimana dinyatakan pada bagian sebelumnya, sistem persamaan linear dengan p variabel dan n persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks = atau AX=B dengan A nxp =, X px1 =, dan B nx1 =. Matriks disebut augmented matrix (matriks yang diperbesar) yang diperoleh dari SPL tersebut. Metode dasar untuk menyelesaikan SPL dengan menggunakan matriks adalah mengubah SPL yang diketahui menjadi SPL baru yang mempunyai himpunan penyelesaian sama tetapi lebih mudah menyelesaikannya. SPL baru ini diperoleh dengan menggunakan sederet langkah yang tidak mengubah solusinya. Ketiga jenis operasi berikut untuk mengeliminasi variabel-variabel secara sistematis. 1. Mengalikan sebuah persamaan dengan bilangan riil tak-nol. 6
2. Menukar dua persamaan. 3. Menambah kelipatan dari satu persamaan pada persamaan yang lain. Karena baris dalam augmented matrix bersesuaian dengan persamaan dalam SPL yang diasosiasikan dengan baris tersebut maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi pada baris augmented matrix. 1. Mengalikan sebuah baris dengan bilangan riil tak-nol. 2. Menukar dua baris. 3. Menambah kelipatan dari satu baris pada baris yang lain. Operasi-operasi ini disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Berikut contoh menyelesaikan suatu SPL dengan menggunakan OBE pada augmented matrix dari SPL tersebut. Contoh 2.2.21 Carilah himpunan penyelesaian (H p ) SPL menggunakan OBE. Penyelesaian: Augmented matrix dari SPL di atas adalah:. Selanjutnya dengan menggunakan OBE diperoleh hasil sebagai berikut. Dari matriks terakhir diperoleh SPL, sehingga diperoleh z= 3, y = 2, x = 1. 7
Jadi penyelesaian SPL di atas adalah (1,2,3) dan himpunan penyelesaiannya adalah H p ={(1,2,3)}. Contoh 2.2.22 Tentukan himpunan penyelesaian (H p ) dari SPL. Penyelesaian: Augmented matrix SPL di atas adalah. Dengan menggunakan OBE, diperoleh hasil sebagai berikut. Diperoleh SPL dalam bentuk Jika z=s dan w=t, maka diperoleh x=t-1; y=2s; sehingga penyelesaian dari SPL tersebut adalah (x, y, z, t)=(t-1, 2s, s, t) untuk sebarang bilangan real s dan t. Jadi H p ={(t-1,2s,s,t) s, t di R}. Contoh 2.2.23 Tentukan himpunan penyelesaian SPL. Penyelesaian. Augmented matrix SPL di atas adalah. Dengan menggunakan OBE diperoleh hasil sebagai beikut.. 8
Baris ketiga matriks terakhir menyatakan persamaan 0x+0y +0z = 4. Jelas tidak mungkin ada nilai x, y, z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi SPL di atas tidak mempunyai penyelesaian. Jadi H p ={ } =. E. Rangkuman Dari uraian materi di atas, maka untuk mengingat kembali pengertian/ definisi dan sifat-sifat/teorema yang terkait dengan sistem persamaan linear, disajikan dalam rangkuman berikut. 1. Berdasarkan SPL dalam bentuk AX=B, maka SPL dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: a. SPL homogen, jika B=O. b. SPL non homogen, jika B O. 2. Berdasarkan solusi yang dimiliki oleh SPL, maka SPL dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: a. SPL konsisten, jika SPL tersebut mempunyai solusi. b. SPL tak konsisten, SPL tersebut tidak mempunyai solusi. 3. Jika A matriks berukuran nxn, maka pernyataan berikut ekivalen. a. A dapat dibalik (mempunyai invers). b. SPL AX=O hanya memiliki solusi nol. c. SPL AX=B konsisten untuk setiap matriks B berukuran nx1. d. SPL AX=B memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks B berukuran nx1. 9