BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan bagian A dan y pada himpunan bagian B. contoh 1 : { (,y) : -3 3 dan + y = 9,, y R } Fungsi adalah aturan perkawanan antara anggota-anggota himpunan A dan himpunan B yang memenuhi syarat-syarat setiap anggota himpunan A mempunyai kawan tunggal anggota himpunan B. A B A B ( a ) ( b ) A B (c) Gambar 1. Fungsi dari A ke B
Bab. Fungsi 15 Selanjutnya ; - f disebut fungsi dari A ke B ditulis f : A B - f disebut fungsi dari A ke B jika f A B dengan syarat komponen pertama yaitu anggota A hanya timbul ( terjadi ) tepat satu kali. f() disebut nilai fungsi f di A= D f disebut domain (daerah asal) fungsi f B= C f disebut Kodomain fungsi f R f = { f() : D f } disebut Range (daerah hasil) dari f Setiap unsur A dengan kawannya y= f() B, dapat disusun sebagai pasangan berurutan (,y), sehingga f dapat ditulis sebagai himpunan pasangan pasangan berurutan sebagai berikut : f = { (,y) : y = f(), A } = { (, f() ): A } Selanjutnya pada pembicaraan berikutnya,unsur-unsur pada himpunan adalah bilangan nyata. Contoh : A : { -,-1,0,1 } dengan rumus f() = + 1 maka f ={ (-,5),(-1,),(0,1),(1,) } Contoh 3 : g ={ (,y) : y =, > 0 } bukan fungsi, karena untuk setiap bilangan nyata > 0, mempunyai dua kawan y = ±. Jika pada suatu fungsi domain tidak disebutkan secara khusus, maka domain diambil bilangan nyata yang mempunyai nilai fungsi nyata. Contoh 4 : f : f() = 9 domainnya himpunan bilangan nyata, sehingga 3.
Bab. Fungsi 16 Pada contoh di atas D f = { R : f() = bilangan nyata } dan R f = { 9 : 3 } = { R : 9 = bilangan nyata } = { R : 9 0 } = { R : 3 } Jika f suatu fumgsi, maka grafik f adalah himpunan semua titik T(,y) dimana (,y) f. contoh 5 : Buatlah sketsa grafik dari f() : 1 Penyelesaian. Dalam kasus ini daerah asal fungsi f adalah himpuan semua bilangan nyata R.Untuk menggambar grafiknya bisa dimulai dengan membuat titik-titik ysng berpadanan, kemudian menghubungkan titik-titik tersbut dengan kurva mulus, sehingga kita peroleh grafik seperti yang diperlihatkan pada gambar 1. berikut ; y 0-1 Gambar Untuk menggambar suatu grafik dengan mudah, terlebih dahulu perlu dilakukan suatu analisa tentang persamaan fungsinya. Antara lain apakah grafik tersebut mempunyai titik/garis simetri, titik ekstrem, asimtot dan lain-lain. Hal ini akan dibahas pada bagian lain.
Bab. Fungsi 17 B. Operasi pada fungsi Seperti halnya bilangan, fungsi juga dapat dioperasikan satu dengan yang lain untuk menghasilkan fungsi yang baru. Jika f dan g dua buah fungsi, maka didefinisikan operasi-operasi berikut : a. ( f + g ) () = f() + g() b. ( f g ) () = f() g() c. ( f. g ) () = f(). g() f f ( ) d. ( ) () = g g( ) Daerah asal dari fungsi-fungsi diatas adalah sama,yaitu D f + g = D f g = D f. D g, kecuali kita harus mengecualikan 0 (nol) dari daerah asal oleh nol. contoh 6 : f g untuk menghindari pembagian Misalkan f = f() = + 1, g = g() = 4, D f = [-1, + ] dan D g = [4, + ] maka (f + g) () = + 1 + 4 ( f g) () = + 1-4 ( f. g ) () = + 1. 4 f + 1 ( ) () = g 4 dengan D f + g = D f g = D f. D g = [4, + ], dan D f /g = (4, + ] Jika f = y = f() fungsi berkorespondensi 1-1, maka invers dari f ditulis f -1 didefinisikan sebagai = f -1-1 -1 (y) bila dan hanya bila y = f() dengan D f = R f, D f = R f. Jadi = f -1 (f()) untuk setiap D f dan y = f ( f -1-1 () ) untuk setiap y D f contoh 7 : Invers dari fungsi y = f() = + adalah f -1 () =
Bab. Fungsi 18 Diberikan dua buah fungsi f dan g, maka fungsi bersusun f o g adalah fungsi yang didefinisikan sebagai (f o g ) () = f (g() ) Pada fungsi bersusun ini D f o g D g dan R f o g R f contoh 8 : f = f() = +1 dan g = g() = maka f = (f o g ): f( g() ) = f( ) = himpunan semua bilangan nyata. +1 dengan D f o g adalah Misalkan g dan h dua buah fungsi dengan g = {(t,) : = g(t) } dan h = { (t,y) : y = h(t)} maka dapat disusun relasi {(,y) := g(t) dan y= h(t) } dengan t D g D h dan jika g mempunyai invers g -1 : g -1 () = t maka y = h(t) = h(g -1 ()) menentukan fungsi dari ke y, misalkan f. Sehingga relasi diatas menjadi fungsi : f ={ (,y) : y = (g -1 () )} dengan D f = R g Fungsi f yang didefinisikan sebagai : = g (t) y = h (t) disebut fungsi parameter dengan t sebagai parameternya. contoh 9 : = a cos t y = sin t C. Jenis-jenis fungsi Secara garis besar fungsi dikelompokan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden. a. Fungsi Aljabar Fungsi yang dapat disusun dari fungsi identitas f() = dan fungsi konstan f() = k ( k konstanta nyata ) yang didalamnya memuat operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian, perpangkatan atau pengambilan akar disebut fungsi aljabar. Termasuk dalam fungsi aljabar adalah fungsi rasional dan fungsi irrasional
Bab. Fungsi 19 contoh 10 : f() = + + 1 ( fungsi rasional bulat) g() = b. Fungsi transenden 3 + 4 + 3 ( fungsi rasional pecah) Yang termasuk fungsi transenden adalah fungsi goniometri, fungsi siklometri, fungsi logaritma,fungsi eksponensial. (i). Fungsi Goniometri Termasuk jenis fungsi ini adalah fungsi sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan. Biasa kita tulis y = sin, y = cos, y = tan = dinama dinyatakan dalam radian sin cos, dan seterusmya, Untuk diingat bahwa sudut biasanya diukur dalam derajat atau dalam radian, dimana sudut yang berpadanan dengan satu putaran penuh berukuran 360 0 atau π radian. Jadi 180 0 = π radian. Rumus-rumus penting yang perlu diingat : Kesamaan ganjil-genap: sin (-) = - sin Kesamaan fungsi ko-: sin ( π - ) = cos cos(-) = cos cos ( π - ) = sin Kesaman pythagoras : sin + cos = 1 1 + tan = sec Kesamaan penambahan : sin ( + y) = sin cos y +cos sin y cos ( + y) = cos cos y sin sin y Kesamaan sudut ganda: sin = sin cos
Bab. Fungsi 0 cos = cos sin = 1 sin = cos 1 Kesamaan setengah sudut: sin = 1 (1 cos ) cos = 1 (1 + cos ) Kesamaan jumlah: sin + sin y = sin + y cos y + y cos + cos y = cos cos y Kesamaan hasilkali: sin sin y = - 1 [cos ( + y) cos( - y)] cos cos y = 1 [ cos ( + y) + cos( - y)] sin cos y = 1 [sin ( + y) + sin ( - y)] (ii). Fungsi Siklometri Fungsi siklometri adalah invers dari fungsi goniometri. π π y = arc sin adalah invers dari y = sin, dimana 1 1, - y = arc sin bila hanya bila = sin y y = arc cos bila hanya bila = cos y y = arc tan bila hanya bila = tan y, dan seterusnya. (iii). Fungsi eksponensial
Bab. Fungsi 1 Adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan nyata menjadi perpangkatan dalam bilngan pokok a, dan didefinisikan sebagai : f : f() = a, dimana a bilangan nyata positif, dan R a disebut basis fungsi eksponen y y 0 0 f() = a, 0 < a < 1 f() = a, a > 0 gambar 1.3 Sifat Fungsi Eksponen untuk y = f( ) = a, yaitu : 1. Nilai fungsi definit positif ( kurva selalu berada diatas sumbu ).. memotong sumbu kartesius di sumbu y di ( 0,1 ). 3. mempunyai asimtot mendatar y = 0 ( sumbu ). 4. monoton naik untuk a > 1 dan monoton turun untuk 0< a < 1. 5. Mempunyai fungsi invers yaitu fungsi logaritma. (iv). Fungsi logaritma Fungsi logaritma berbentuk y = a log, dengan a > 0 merupakan invers dari fungsi eksponensial basis a. Jadi y = a log adalah invers dari y = a. Jika a = 10 biasanya cukup ditulis y = log, dan jika a = e =,718818 disebut logaritma alam dan biasanya cukup ditulis y = ln ( ln = e log ). a Sifat fungsi logaritma untuk y = g( ) = log, yaitu : 1. Kurvanya berada di sebelah kanan sumbu y.. memotong sumbu kartesius di sumbu di titik ( 1,0 ). 3. Mempunyai asimtot tegak = 0. 4. monoton naik untuk a > 1 monoton turun untuk 0< a < 1. 5. merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen.
Bab. Fungsi (v). Fungsi hiperbolikus Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : e sinh = e cosh = e + e sinh tanh = cosh, dan seterusnya. Rumus-rumus penting : cosh sinh = 1 sech = 1 tanh cosech = coth 1 Rumus-rumus diatas dengan mudah dapat dibuktikan dengan definisi diatas. Soal-soal Latihan 1. 1. Jika f() = +, hitunglah masing-masing nilai : a. f(1) c. f(k) 1 b. f(-) d. f( ). Manakah dari yang berikut menentukan suatu fungsi f dengan rumus y = f()? a. + y = 9 c. y + y + 3 = 4
Bab. Fungsi 3 b. = 3 y + 1 d. 3 = y y 3 3. Jika g(t) = cari dan sederhanakan [ g( + h) g()]/ h! t 4. Tentukan daerah asal (domain) fungsi berikut : +1 a. f() = 9 c. g() = - 3 15 b. f() = 1 4 1 d. h() = 4 5. Jika f() = 1 dan g() = 1+ tentukan jika mungkin : a. (f + g) () c. (g/f) (3) b. (f o g) ( 8 ) d. (f. g) (0) 6. Tentukan f dan g,jika h() = f o g () : a. h() = + 6 b. h() = ( + ) 1 7. Andaikan f() = 16 dan g() =. Tentukan manakah daerah asal: a. f o g b. g o f 8. Sketsakan grafik fungsi berikut : a. f() =, jika 0 b. y = - 1 6, jika >