SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pertemua : 5&6 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :. Mejelaska pegertia sistem persamaa liear serta solusi dari SPL. Mejelaska cara merepesetasika sistem persamaa liear ke dalam etuk perkalia matriks. Megguaka metode Elimiasi Gauss Naive, Gauss yag diperaiki utuk mecari solusi dari SPL 4. Megeali kodisi muculya masalah pemagia dega ol, galat pemulata da kodisi uruk 5. Megguaka metode iterasi Jacoi da iterasi Gauss-Seidel seagai metode umerik utuk meghitug solusi SPL Materi :. Solusi Sistem Persamaa Liear Sistem Persamaa Liear (SPL) adalah gauga dari eerapa persamaa liear yag aka diselesaika secara simulta. Bayak permasalaha dalam kehidupa sehari-hari yag serig dimodelka dega megguaka sistem persamaa liear diataraya adalah peetua esarya kuat arus dari setiap alira listrik dalam suatu jariga listrik, meetuka ayakya arus lalu litas pada setiap perempata jala yag sedag diamati, meyelesaika model ekoomi pertukara arag da lai-lai. Secara umum sistem persamaa liear didefiisika dalam Defiisi. Defiisi Seuah himpua terhigga m uah persamaa liear dega variael,,..., diseut sistem persamaa liear dega variael dituliska seagai a a... a a a... a a a... a m m m m Suatu uruta ilaga-ilaga s, s,, s diseut himpua peyelesaia sistem jika s, s,..., s memeuhi setiap persamaa dalam sistem terseut. Persamaa a a... a a a... a dapat dituliska am am... am m ke dalam etuk perkalia matriks da vektor. Persamaa ii dituliska dalam etuk persamaa a a a a a a atau A am am am m
a a a a a a atau A a a a m m m m dega a a a a A a a a a a m m m, da m. Di dalam meyelesaika sistem persamaa liear ada tiga jeis solusi yag mugi ditemuka yaitu: SPL memiliki tepat satu solusi, SPL memiliki jumlah solusi tak terhigga atau tidak memiliki solusi. Represetasi dari tiga jeis solusi SPL dalam geometri utuk dua persamaa da dua variale ditujukka pada (c) Gamar. (c) Gamar (a) solusi dari sister persamaa liear terseut adalah titik potog dari kedua garis dari kedua persamaa liear, (c) Gamar () adalah saat jumlah solusi tak terhigga, hal ii terjadi ketika grafik dari kedua persamaa liear erimpit. Utuk (c) Gamar (c) garis dari kedua persamaa liear sejajar sehigga tidak aka erpotoga atau dega kata lai keadaa seperti ii sistem persamaa liear tidak memiliki solusi. Bayak Solusi Tepat Satu Solusi 6 (a) () Tidak Puya Solusi (c) Gamar Kemugkia Solusi dari Sistem Persamaa Liear
Khusus utuk pemahasa dalam metode umerik ii haya dikhususka utuk meetuka solusi dari SPL yag tepat satu solusi. Salah satu kodisi awal yag memugkika seuah SPL memiliki tepat satu solusi adalah matriks A adalah matriks ujur sagkar. Utuk selajutya maka aka diguaka matriks A erukura. Apaila matriks A memetuk matriks segitiga atas da ilai diketahui maka dapat ditetuka ilai yag memeuhi sistem persamaa liear terseut. Cotoh Perhatika SPL erikut ii a a a a a a a a a a a a Persamaa ii dapat diselesaika dega mecari terleih dahulu ilai lalu da terakhir diseut dega sustitusi alik. Adapu ilai, da adalah : a ( a a ),, a a a. Proses ii Berdasarka Cotoh ii maka solusi dari seuah sistem persamaa liear utuk persamaa A = utuk a a a a a a A, a a a da. adalah Latiha a k kj j jk k kk a akk, k,,...,da a. Dega megguaka persamaa, tuliska rumus sustitusi alik utuk i, i,,,4 utuk A erukura 4 4.. Tetuka solusi dari sistem persamaa liear erikut ii a) 9 ) 4 4 7 5 7 4 4 4. Berika seuah cotoh kapa sustitusi alik tidak dapat dilakuka. 4. Berikut ii adalah script yag dapat diguaka utuk meghitug sustitusi alik. Legkapilah script terseut, kemudia jalaka utuk soal yag dierika pada o.
fuctio ilai=sualik(a, ) /* meetuka ilai dari A= jika A adalah matriks segitiga atas A=matriks ;=ruas kaa */ //meghitug ukura matriks A [m,]=size ; //meghitug yag terakhir ()= ; //loop utuk meghitug (k) for k = -:-: jum=; for j = jum=jum+a(k,j)*(j); ed (k)= ; ed //hasil disimpa ke parameter ilai ilai = ; edfuctio. Elimiasi Gauss Dalam megguaka elimiasi Gauss maka setiap sistem persamaa liear aka diuah terleih dahulu dega megguaka matriks yag diperluas atau matriks augmeted. Cara memuat matriks yag diperluas adalah dega meggaugka matriks A erukura dega vektor erukura mejadi seuah matriks aru erukura (+). Cotoh Dierika sistem persamaa liear erikut ii 4 4 Maka matriks yag diperluasya adalah 4 9 7 4 4 4 9 7 Metode elimiasi Gauss ekerja dega megguaka tiga atura yag diseut dega operasi aris elemeter. Tiga atura terseut adalah:. Pertukara aris Dalam elimiasi Gauss dimugkika utuk mempertukarka dua aris da hasilya tidak aka mempegaruhi ilai yag diperoleh. Cotoh meukarka aris ketiga dega aris kedua 8 4 6 6 9 6 9 8 4 6. Peskalaa aris Seuah aris dapat dikalika dega seuah ilaga real uka ol da hasilya pu tidak aka mempegaruhi solusi yag aka dicari. Berikut adalah cotoh perkalia aris kedua dega ½. 4
8 4 6 4 6 9 6 9. Peggatia aris Seuah aris dapat digati dega pejumlaha aris terseut dega kelipata aris yag lai. Baris kedua dapat digati dega hasil peghituga tapa mempegaruhi solusi akhir dari SPL yag dicari. 8 4 6 4 6 9 6 9 Secara umum persamaa yag diguaka utuk meghitug peggatia aris agar meghasilka matriks segitiga atas diseut persamaa pivot. Eleme pivot adalah ilai-ilai pada diagoal utama. Baris yag ada diawah eleme pivot harus diuah mejadi aris aru dimaa semua eleme yag ada di awah eleme pivot pada kolom pivotig harus erilai. Caraya adalah dega megguaka persamaa a i, j arisi aris j arisi j,,...,( ), i j,..., 4. a j, j a i, j arisi aris j arisi j,,...,( ), i j,..., a j, j Metode elimiasi Gauss ertujua utuk meguah matriks A mejadi matriks segitiga atas dega megguaka atura operasi aris elemeter. Ada dua jeis metode elimiiasi Gauss yaitu: a. Elimiasi Gauss Naif. Elimiasi Gauss yag diperaiki Elimiasi Gauss Naif haya megguaka atura peggatia aris saja, sedagka elimiasi Gauss yag diperaiki megguaka semua atura dari operasi aris elemeter. 4 Cotoh Berikut ii adalah proses yag dilakuka utuk meguah matriks mejadi matriks A mejadi segitiga atas dari Cotoh. megguaka Elimiasi Gauss Naif. 4 4 4 4 4 4 4 4 9 5 5 7 5 7 4 Setelah diperoleh matriks eretuk ujur sagkar maka selajutya dapat dihitug solusi dari SPL. Hituglah solusi SPL ii dega megguaka sustitusi alik. Latiha. Selesaika sistem persamaa liear erikut ii dega megguaka Elimiasi Gauss Naif 4 4 6 4 4 4 4. Legkapi script erikut ii utuk meghitug Elimiasi Gauss Naif 5
fuctio sol=aivegauss(a, ) // Meggaugka ilai A da // A matriks da vektor kolom M=[A ]; //Hitug ukura aris matriks M // = jumlah aris [,m]=size(m); //Pejumlaha aris dega kelipata aris yag lai for j = for i = M(i,:)=-M(i,j)/ *M(j,:)+ ; ed ed //Simpa keluara akhir matriks M ke parameter sol sol=m; edfuctio. Modifikasi script diatas sehigga dari M diperoleh matriks A da lalu guaka fugsi sustitusi alik utuk medapatka solusi dari SPL da simpa hasilya ke parameter sol. Proses pada Elimiasi Gauss Naif aka erhasil selama eleme pivot. Apaila ada ilai eleme pivot = dapat diatasi dega megguaka strategi pivotig. Ada dua jeis strategi pivotig yaitu: a. Pivotig seagia Seelum peghituga aris aru, terleih dahulu setiap kolom dari eleme pivot dicek terleih dahulu dega megguaka atura erikut ii: a ip, a ma a, a,... a, a 5 i, p p, p p, p, p, p adalah ilai maksimum dari kolom p lalu pertukarka aris ke-i dega aris ke-p. Utuk operasi pada kolom kedua da kolom ketiga adalah seagai erikut: Cari teresar lalu pertukarka dega aris pivot Dega tekik ii aka meghidari muculya eleme pada proses operasi aris dalam elemiasi gauss aif. Apaila setelah dilakuka proses pivotig teryata masih ada eleme pivot yag sama dega maka SPL tidak dapat diselesaika atau sigular.. Pivotig legkap Jika proses pivotig juga meliatka pegeceka kolom dalam pecaria eleme teresar lalu dipertukarka maka cara ii diseut dega pivotig legkap. Detail dari proses pivotig legkap tidak diahas di mata kuliah ii dikareaka proses pertukara kolom aka meguah uruta sehigga aka meamah kerumita dari program. Latiha. Guaka atura pivotig seagia utuk meyelesaika masalah erikut ii 6 9 8 4 6. Legkapi script erikut ii da cek prosesya dega memasukka soal o, lalu modifikasi higga dapat memuculka hasil akhir dari SPL. 6
fuctio sol=egauss(a, ) // Meggaugka ilai A da // A matriks da vektor kolom M= ; //Hitug ukura aris matriks M // = jumlah aris [,m]= ; //Pejumlaha aris dega kelipata aris yag lai for j = //asolutka kolom utuk mecari eleme pivotig kolom=as(m(:,j)); //hitug ilai maksimum dari kolom ke j [ilai,id]=ma(kolom(j: )); //update ilai id agar sesuai dega ukura matriks m ideks=id+j-; //Cek kodisi utuk meukar aris if the M=tukar(M,ideks,j); ed //lajutka dega melakuka operasi aris for i = M(i,:)=-M(i,j)/M(j,j)*M(j,:)+M(i,:); ed ed //Hasil akhir dari proses operasi aris sol=m; edfuctio fuctio hasil=tukar(m, ideks, j) //fugsi utuk melakuka pertukara aris semetara=m(j,:); M(j,:)= ; M(ideks,:)= ; hasil=m; edfuctio. Metode Elimiasi Gauss Jorda Metode Elimiasi Gauss Jorda adalah peraika dari metode elimiasi Gauss. Berdasarka Cotoh maka dega strategi pivotig seagia da elimiasi Gauss Jorda aka mejadi seagai erikut : 4 4 4 9 9 / 4 / 4 / 4 9 / 4 / 4 / 4 4 4 9 4 4 4 4 / / 5 / ke 7 7 7 / / 9 / / 9 / 4 / 4 / 4 9 / 4 / 4 / 4 / 4 9 / 4 / 4 / 4 5 5 5 / / 9 / 4 Dalam metode Gauss Jorda setelah elimiasi maju selajutya dilakuka elimiasi mudur. Eleme pivot dimulai dari agka pada aris terakhir yaitu aris ke-. 9/4 9 / 4 / 4 / 4 9 / 4 / 4 5 /4 7
Hasil dari Elimiasi Gauss Jorda sama dega hasil Elimiasi Gauss setelah dilakuka proses sustitusi alik. Latiha 4 Megguaka script pada Latiha o modifikasi fugsi terseut agar dapat diguaka utuk meghitug SPL megguaka Elimiasi Gauss Jorda. Pada Elimiasi Gauss Jorda tidak diguaka fugsi sustitusi alik. Beerapa etuk matriks erdasarka hasil Elimiasi Gauss adalah:. Memiliki tepat satu solusi, cotohya : 4 4 4 4 4 9 5 7 4 dari cotoh ii dapat dilihat ahwa SPL puya tepat satu solusi ketika persamaa diakhir Elimiasi Gauss memiliki jumlah variael da jumlah persamaa sama ayak. Dalam cotoh ii jumlah variael da jumlah persamaa adalah.. Memiliki ayak solusi, cotohya: 4 4 5 7 5 / 4 / 4 / 4 4 5 7 Utuk SPL yag puya ayak solusi terjadi ketika diakhir Elimiasi Gauss, jumlah variael > jumlah persamaa. Hal ii megakiatka aka ada variale yag ilaiya eas. Cotoh diatas memiliki satu variale eas karea jumlah variael = > jumlah persamaa =.. Tidak memiliki solusi, cotohya: 4 4 5 7 5 / 4 / 4 / 4 4 5 7 / Pada SPL yag tidak memiliki solusi dapat dikeali ketika ada kodisi aris yag semua ruas kaaya erilai tetapi memiliki ruas kaa yag tidak seperti yag ditujukka oleh cotoh..4 Metode Iteratif utuk Meyelesaika SPL Ada dua jeis metode yag diguaka utuk meyelesaika SPL, yaitu : metode lagsug da metode iteratif. Metode Elimiasi Gauss da Elimiasi Gauss Jorda termasuk kedalam kelompok metode lagsug sedagka metode iteratif adalah metode Iterasi Jacoi da metode Iterasi Gauss Seidel. a. Metode Iterasi Jacoi Misalka dierika persamaa yag harus diselesaika dega variael, maka secara umum dapat dituliska mejadi a a... a a a... a a a... a Metode Jacoi dapat dilakuka dega syarat aii, i,,...,. Persamaa iterasi Jacoi pada iterasi ke- dapat dituliska dega: 8
( a a... a ) a ( a a... a ) a da pada iterasi ke- dituliska mejadi ( a a... a ) a ( a a... a ) a ( a a... a ) a dega rumus umumya adalah ( a a... a ) a k i aij j j, ji k i, k,,,..., i,,..., a ii da teaka awalya adalah. Hetika kodisi iterasi ketika semua ilai galat relatif hampira memeuhi ilai tolerasi galat. Secara umum persamaa utuk meghitug galatya adalah : k i k i k i utuk semua i,,,...,. Metode Iterasi Gauss Seidel Metode ii adalah metode lai selai metode Iterasi Jacoi yag ekerja secara iteratif. Metode Iterasi Gauss Seidel memiliki kecepata yag leih cepat jika diadigka dega metode iterasi Jacoi. Prisip kerja metode ii adalah hasil taksira ilai dijadika masuka utuk meghitug ilai pada iterasi yag sama. Utuk leih jelasya dierika persamaa pada iterasi pertama dari iterasi Gauss Seidel dega teaka awal maka i i 9
( a a... a ) a ( a a... a ) a ( a a... a ) a ( a a... a ) a da pada iterasi kedua diperoleh persamaa erikut ( a a... a ) a a a ( a a... a ) ( a a... a ) ( a a... a ) a dega rumus umumya adalah i k k i ij j ij j j ji a a k i, k,,,..., i,..., a heti megguaka perhituga galat relatif hampira yag diguaka pada iterasi Jacoi. ii da kodisi Ada syarat cukup yag dapat mejami ahwa iterasi yag dilakuka aka koverge yaitu sistem persamaa liear yag aka dihitug diseut domia secara diagoal. a a i,,,..., ii j, ji Apaila syarat ii tidak dipeuhi uka erarti SPL yag dicari tidak koverge. Latiha 5. Selesaika SPL erikut dega megguaka Iterasi Jacoi da Iterasi Gauss Seidel dega tolerasi galat,.. 7.85 ij. 7. 9... 7.4 Peyelesaia dari masig-masig metode dapat dikerjaka dega melegkapi tael erikut ii Iterasi Nilai Hampira Galat
dst. Buatlah script utuk meghitug solusi dari SPL megguaka Iterasi Jacoi da Iterasi Gauss Seidel seagai iputa adalah A,, tolerasi galat, teaka awal da seagai output adalah ilai da galat setiap iterasi