LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I

186 LAMPIRAN V LKS 1 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan I Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Persamaan Garis Singgung Kurva : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang telah dipelajari. 3. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. RINGKASAN MATERI Gradien garis singgung kurva y = f (x) di titik x = a, adalah m = f (x). Dari gambar dibawah, garis singgung kurva adalah Titik singgung antara garis singgung dan kurva y = f(x) adalah Persamaan garis singgung kurva di titik A (a,b) adalah Y = f(x) Y 2 B (x 2, y 2 ) S Y 1 A(x 1, x 2 ) x 1 x 2

187 Contoh Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x 2 + 3x 2 di x = 1 Jawab : menentukan titik singgung kurva untuk x = 1 y = 2.1 2 + 3.1 2 = 3 menentukan gradien garis singgung kurva di x = 1 f(x) = y = 2x 2 + 3x 2 f (x) = 4x + 3 untuk x = 1 maka f (1) = 4.1 + 3 = 7 Persamaan garis singgung kurva di (1,3) y b = m (x a) y 3 = 7 (x 1) y 3 = 7x 7 y = 7x 4 Tugas Mandiri Seorang penjelajah angkasa bergerak dari kiri ke kanan sepanjang kurva y = x 2 4x 5. Jika ia mematikan mesinnya, ia akan bergerak sepanjang garis singgung pada titik di mana ia saat itu berada. Carilah persamaan garis singgung kurva tersebut jika ia berhenti di titik ( 3,-8)! Jawab : Diketahui :.....

188 Langkah-langkah penyelesaian: Gradient garis singgung kurva y = x 2 4x 5 adalah Saat penjelajah itu berhenti di titik (3,-8) gradiennya adalah Persamaan garis singgung di titik (, ) adalah y f a = m(x a) SELAMAT BEKERJA

189 LKS 2 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan II Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok : Matematika : Fungsi Naik, Fungsi Turun Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. RINGKASAN MATERI Pernahkan kamu melemparkan bola ke atas, baik itu bola kasti atau bola voli? Jika pernah bagaimanakah bentuk lintasan yang dibentuk oleh bola tersebut? Tentunya saat bola dilemparkan bola itu naik dan turun saat kecepatannya 0 seperti gambar dibawah ini.

190 Misalkan lintasan atau kurva yang dibentuk kurva tersebut adalah f(x). Fungsi f(x), dengan f(x)= 9 x 2 adalah fungsi yang kontinu dan Terdeferensialkan pada interval a < x < b seperti di bawah 1. Jika f (x) = 0 interval a < x < b, maka f konstan. 2. Jika f (x) > 0 interval a < x < b, maka f naik. 3. Jika f (x) < 0 interval a < x < b, maka f turun 4. Jika f (x) 0 interval a < x < b, maka f tidak turun. 5. Jika f (x) 0 interval a < x < b, maka f tidak naik Contoh Soal: Fungsi f ditentukan oleh f (x) = x 3 6x 2 15x + 2. Carilah interval dimana fungsi naik. Jawab : f (x) = x 3-6x 2 15x + 2 f (x) = 3x 2-12x 15 Syarat agar fungsi naik adalah f (x) > 0. 3x 2 12x 15 > 0 3(x 2 4x 5) > 0 (x + 1) (x 5) > 0 + + + + - - - - - + + + + -1 5 Jadi, f naik pada interval x < -1 atau x > 5

191 Tugas Mandiri Selesaikanlah masalah di bawah ini!!!!!! 1. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darah pasien memenuhi persamaan K t = t 3 + at 2 + bt + c dengan t menunjukkan waktu ( dalam jam) setelah pemberian obat. Konsentrasi obat hanya turun pada interval 1 < t < 5, tentukan nilai a + b! Jawab: Diketahui: Ditanya : Langkah-langkah: K t = t 3 + at 2 + bt + c K t = Kurva turun ketika K t K t turun pada interval 1 < t < 5 Dari interval dan turunan dari persamaan diatas, diperoleh nilai a dan b yaitu: Untuk t = -1 maka:............ Untuk t = 5 maka:............ Jadi a + b adalah...... SELAMAT BEKERJA...

192 LKS 3 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan III Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok : Matematika : Nilai Stasioner Dan Jenis-Jenisnya Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang telah dipelajari. 3. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. RINGKASAN MATERI Kapan sebuah fungsi mempunyai nilai stasioner????? Syarat fungsi stationer apabila y = f (x) = 0, dan pada fungsi stationer diperoleh titik stationer. Ada 3 jenis titik stationer, yaitu : 1. Titik stationer nilai maksimum atau titik balik maksimum. f (a) = 0 dan f (a) < 0 y p titik balik maksimum a x

193 2. Titik stationer nilai minimum atau titik balik minimum. f (a) = 0 dan f (a) > 0 y a x q titik balik minimum 3. Titik stationer sebagai titik belok (sadle point) f (a) tidak harus sama dengan nol. f (a) = 0 atau ditulis : y = 0 dan y = 0 atau y 0 dan y = 0 Contoh titik belok : y y titik belok turun titik belok naik a x a x Contoh: Diketahui f (x) = x (x 2) 2 Tentukan nilai stationer serta jenisnya Jawab : f (x) = x (x 2) 2 = x (x 2 4x + 4) = x 3 4x 2 + 4x f (x) = x 3 4x 2 + 4x f (x) = 3x 2 8x + 4 f (x) = 6x -8 Nilai stationer dicapai apabila f (x) = 0 3x 2 8x + 4 = 0 (3x 2) (x 2) = 0 3x 2 = 0 atau x 2 = 0 x = 2/3 atau x = 2

194 Nilai stationer adalah f (a) Untuk x = 3 2 f f (x) = x (x 2 ) 2 2 2 5 2 2 32 3 3 3 2 1 27 27 jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua f (x) = 6x 8 f ( 3 2 ) = 6. 3 2-8 = - 4 f ( 2 3 ) < 0 maka A ( 2 3, 1 5 27 ) titik balik maksimum nilai balik maksimum. Untuk x = 2 f (x) = x (x 2) 2 f (2) = 2 (2 2) 2 = 0 jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua f (x) = 6x 8 f (2) = 6. 2 8 = 4 f (2) > 0 maka B (2,0) titik balik minimum nilai balik minimum. Tugas Mandiri 1 Rata-rata pertumbuhan suatu baktri setelah t menit diberikan oleh persamaan N t = 6t 3 + 2bt 2 + 8t + 2. Jika pertumbuhan bakteri tersebut tidak naik dan tidak turun pada waktu t = 2 berapakah nilai b? Jawab: Diketahui : Ditanya: Langkah-langkah: Nilai stasioner diperoleh ketika N t = 6t 3 + 2bt 2 + 8t + 2

195 Kemudian substiktusikan Kesimpulan Jadi nilai b adalah. Tugas Mandiri 2 Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus f t = 15t 2 t 3. Reaksi maksimum tercapai setelah? Jawab:................................................ SELAMAT BEKERJA

196 LKS 4 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan IV Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Lengkapilah ringkasan materi yang disediakan sesuai dengan yang Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. RINGKASAN MATERI Perhatikan gambar berikut ini : Y A B E C D x 1 x 2

197 Pada gambar di atas terlihat, pada selang x1 x x2 kurva mencapai nilai maksimum pada titik E dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum). Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup a x b pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut : 1. Tentukan nilai-nilai ujung interval 2. Tentukan nilai-nilai stasionernya 3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum Tugas Mandiri 1 Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi persamaan v x = x 3 + px 2 + 15x 2 dengan p adalah konstanta. Jumlah zat maksimum dicapai pada x = 5. Tentukan nilai x yang membuat jumlah zat minimum! Jawab : Diketahui : Ditanya : Langkah-langkah Pertama tentukan turunan dari persamaan: v x = x 3 + px 2 + 15x 2 v x = Fungsi maksimum ketika :.

198 Penyelesaian Untuk p = substitusikan ke Fungsi akan minimum ketika: Kesimpulan Jadi, nilai minimum fungsi dicapai ketika Tugas Mandiri 2 Setelah satu jam x milligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperature (dinyatakan dalam fahreinheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan T x = 1 3 x3 + 1 2 x2 6x 7 pada selang 4 < x < 3. Rata-rata perubahan T(x) bersesuaian dengan ukuran dosis x. T(x) disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat, jika nilai maksimum sensitivitas tubuh adalah a dan nilai minimum sensitivitas tubuh adalah b. Tentukan nilai a. b! Jawab:.................................

199.................. SELAMAT BEKERJA

200 LKS 5 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan V Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. Apa saja ya penggunaan maksimum dan minimum dalam kehidupan sehari-hari? RINGKASAN MATERI Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan. Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentuknya. Dengan menggunakan y = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

201 Contoh Soal: Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari untuk peternakan ayam. Jika pagar kawat yang tersedia penjangnya 500 m dan peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang, tentukan ukurannya agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya! Jawab : Misalkan lebar kandang = x meter maka panjangnya = (500-2x) meter Jika x 0 dan (500 2x) 0 maka 0 x 250 Luas kandang = L (x) = x(500-2x) = 500x - 2x 2 L (x) = 500 4 x = 4 (125 x) Nilai ekstrem diperoleh jika L (x) = 0 4 (125 x) = 0 x = 125 500-2x x L x Jadi, untuk x = 125 terdapat nilai ekstrem maksimum L(125) = 125 (500-250) = 31.250 Jadi, untuk membuat kandang dengan lebar = 125 m dan panjang = 250 m, akan terdapat luas kandang yang sebesar-besarnya, yaitu 31.250 m 2. Tugas Mandiri 1 Carilah luas persegi panjang yang terbesar yang dapat dibuat dengan titik sudutnya berada di sumbu x dan menyinggung bagian dalam dari parabola y = 12 x 2!

202 y 12 2 3 O x 2 3 y Jawab: Misalkan alasnya.., tingginya.. Maka luasnya adalah L =. L =.. Syarat mencapai maksimum f x L x = Jadi, Luas maksimum persegi panjang adalah

203 Tugas Mandiri 2 Ani akan membuat sebuah persegi panjang dari sebuah karton yang kelilingnya adalah 40. Berapakah luas persegi panjang yang terbesar yang dapat dibuat oleh Ani? Jawab:... SELAMAT BEKERJA

204 LKS 6 LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Pertemuan VI Nama : Kelas : Mata Pelajaran Materi Pokok Standar kompetensi : Matematika : Kecepatan dan Percepatan : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam pemecahan masalah Kelas / Semester : XI IPA / II Petunjuk: 1. Bacalah LKS ini dengan teliti dan seksama! 2. Kerjakan latihan di kertas yang telah disediakan. RINGKASAN MATERI Cara menghitung kecepatan dan percepatan adalah Kecepatan Kecepatan yaitu kecepatan sebagai perubahan jarak yang ditempuh benda terhadap waktu. Apabila jarak yang ditempuh suatu benda dalam t detik dinyatakan dengan s(t), maka: Kecepatan sesaat benda tersebut pada detik ke t adalah: v t = ds(t) dt = s t kecepatan rata-rata benda dalam interval waktu t: v = s t = t + t s(t) t

205 Percepatan Apabila kecepatan benda juga merupakan fungsi dari waktu (v(t)) maka perubahan kecepatan terhadap waktu ini dinamakan percepatan rata-rata a dalam interval waktu t: a = perubahan kecepatan waktu yang diperlukan = v t Percepatan sesaat benda pada detik ke-t: a t = dv(t) dt = d dt ds(t) dt = d2 s(t) dt 2 = s (t) Tugas Mandiri Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dan tempat peluncuran 5 km dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam! Jawab:..................................................................... SELAMAT BEKERJA