BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan. Contoh persamaan Contoh kesamaan a) + = 9 a) 5 = + b) 9 = 0 b) + 8 = c) + = 0 c) adalah bilangan prima genap d) = + 5 e) 4 Keterangan: Persamaan + = 9 hanya benar untuk =, dan persamaan 9 = 0 hanya benar untuk = atau = -. Kedua persamaan tersebut dinamakan persamaan bersyarat (kondisional). Persamaan + = 0 untuk R, tidak ada nilai yang memenuhi atau tidak mempunyai jawaban. Sedangkan persamaan = + 5 disebut persamaan palsu. Persamaan mempunyai banyak jawaban atau benar untuk semua kecuali =±, 4 persamaan ini disebut persamaan identitas. Aksioma Aksioma : Jika f() = g() maka f() + h() = g() + h() : Jika f() = g() maka f(). h() = g(). h() Aksioma : Jika f() = g() maka f() = g(). Akar akar dari f() = g() mengandung akar dari f() = g(). Tentkan HP dari persamaan berikut. X =. 4. = 4 +
. Persamaan linear (Persamaan garis) Bentuk umumnya: a + by = c atau y = m + c dengan m = gradien (kemiringan) Y a, b, c bilangan real Y a a + by = ab c m = - 0 b X 0 X a b. Persamaan garis yang melalui titik (, y) dengan graien m adalah y y = m( ). Persamaan garis yang melalui dua titik A(, y) dan B(, y) adalah y y y y Soal soal latihan. Tentukan gradien dari persamaan garis berikut: a. y = 6 b. X + 4y = 5 c. + 5y 6 = 0. Sistem Persamaan linear dua varibel. Bentuk umum: a + by = c p + qy = r a, b, c dan p, q, r bilangan real Penyelesian system persamaan tersebut adalah pasangan bilangan terurut (, y). Ada sifat yang dimiliki pada system persamaan linear : a b ) Kedua persamaan tersebut bergantungan, jika p q ) Kedua persamaan tersebut bertentangan (berlawanan), jika a b ) Kedua persamaan tersebut bebas p q Cara penyelesaian system persamaan linear diantaranya dengan: c r a p b q c r a. Substitusi b. Eliminasi c. Gabungan Substitusi dan eliminasi d. Determinasi
Contoh soal: Dari system persamaan berikut, manakah yang merupakan system persamaan yang saling bergantungan, bertentangan, dan bebas. a) y = 6 y = b) + y = 5 4 + 6y = 5 c) + y = + y = 4 Soal Soal Latihan. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut: a. 5 y = 8 + 4y = d. 6 b. ( ) = 5(y 4) + = y 9 c. 9y = 8 + 5y = 7 e. 4 5 9 y y 5 4 y 5 y 4 y 5 y HP {(, - )}. Diketahui sistem persamaan linear sbb. (p ) py = 6p (4p 5) + (p )y = 7 + 4p Tentukan nilai p agar system persamaan tersebut a) Bergantungan b) berlawanan (bertentangan). Carilah nilai, y dan z dari system persamaan linear berikut: + = 4 y z 8 + y z 8 6 y z y z Hp {(, 5, -)} 4. Carilah nilai a pada system persamaan (a + ) y = a y = 0 (a + 6) ay = a Dengan mengeliminasi dan y, kemudian hitunglah nilai dan y. 5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik sbb: a) A(, ) dengan gradien m = ½ b) B(-5, 4) dengan gradien m = -
c) A(, ) dan B(6, 8) d) Memotong sumbu X di (-4, 0) dan gradien m = -/4 e) Memotong sumbu-sumbu koordinat di titik (0,4) dan (-½, 0). Sistem Persamaan linear tiga varibel. Bentuk umum: a +by +cz = d a +by +cz = d a +by +cz = d dengan a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, dan d R disebut system persamaan linear tiga variable. Seperti halnya pada system persamaan linear dua variable, penyelesaian system persamaan linear tiga variable ini mempunyai kesamaan dalam penyelesaianya, antara lain:. Metode substitusi. Metode eliminasi. Gabungan substitusi dan eliminasi 4. Metode determinan dalam matriks. Jika = 0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (0, y0, z0), memenuhi system persamaan linear tersebut di atas, maka (0, y0, z0) disebut penyelesaian system persamaan linear tiga variabel, dan himpunan penyelesaiannya ditulis {(0, y0, z0)}. Contoh soal: Carilah himpunan penyelesaian dari setiap system persamaan linear berikut:. y + z = 6. y + z = 6. 5 + y z = + y z = y + z = 4 y + z = 0 5 + y z = + y + z = 6 + y z = 4
BAB PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA. Persamaan Kuadrat (Persamaan pangkat dua) Bentuk umum: a + b + c = 0, dengan syarat a 0, a, b, c R. Cara penyelesaian persamaan kuadrat: ) Pemfaktoran, yaitu jika a. b = 0 maka a = 0 atau b = 0 ) Melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu dengan mengubah PK menjadi ( ± p) = k ) Rumus akar akar persamaan kuadrat (rumus abc), yaitu : b b 4ac, = a Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan ke tiga cara tersebut:. 8 + 5 = 0. 4 7 = 0 Soal Latihan Selesaikanlah persamaan berikut dengan ketiga cara!. 0 = 0 6. 4 + = 0. ¼ = 0 7. 9 + 6 4 = 0. 4 9 = 0 8. ( 5) + 5( 5) = 0 4. + 5 + = 0 5. 5 9 = 0 9. 7 +. Jumlah dan Hasil Kali Akar- akar Persamaan Kuadrat 0. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan : a + b + c = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a( )( ) = 0. Jadi : a + b + c = 0 a( )( ) = 0 b c + + = 0 a a ( )( ) = 0 ( + ) + = 0 Sehingga: + = b dan = c a a 5 5
Jika, dan adalah akar-akar dari persamaan : a + b + c + d = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a( )( )( ) = 0. Jadi : a + b + c + d = 0 a( )( ) ( ) = 0 b + c d + + = 0 ( )( ) ( ) = 0 a a a [ ( + ) + ]( ) = 0 ( + +) + ( + + ) = 0 Jadi didapat : ( + +) = - b/a ( + + ) = c/a dan = - d/a Bagaimana dengan rumus jumlah dan hasil kali akar akar persamaan yang pangkat 4? Contoh: + 4 + 6 = 0. Carilah ( + +) =... ( + + ) =... dan =... Rumus-rumus yang umum digunakan: ) + = ( + ). 8) ) + = ( + ) ( + ) ) = ( ) ( ) 9) 4) 4 + 4 = ( + ) 4() 5) ( ) = ( + ) 4 6) = ( + )( ) 7) 5 + 5 =... ( ) Contoh Soal:. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. + 6 + = 0 b. 4 = 0. Jika dan adalah akar akar dari persamaan + 4 + 5 = 0. Tentukan nilai dari: a. c. + e. b. ( + )( + ) d. + f.. Tentukan nilai m, jika akar yang satu dari persamaan + m + 8 = 0 dua kali akar yang lain. 6
Soal Latihan:. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari perssamaan kuadrat berikut ini: a. 4 + 7 = 0 b. ( ) = + 4 c. a (a + ) a = 0 d.. Jika dan adalah akar akar dari persamaan 5 + 6 = 0. Tentukan nilai dari: a. b. + c. d. ( + )( + ) e. + f.. Kedua akar persamaan kuadrat + (a 6) 9 = 0 saling berlawanan. Tentukan nilai a. 4. Tentukan p, jika akar akar persamaan kuadrat (p + ) 9 + p + = 0 saling berkebalikan. 5. Akar akar persamaan + a + 60 = 0 mempunyai beda 7. Tentukan a dan akar yang lainnya. 6. Akar-akar dari persamaan a + 9 = 0 adalah kali dari akar-akar 4 + b = 0. Tentukan nilai (a 4b). 7. Diketahui dan adalah akar-akar dari persaman + q + (q ) = 0 tentukan q bila:. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika diketahui akar akar suatu persamaan kuadrat adalah dan, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagai berikut: ) Menggunakan perkalian faktor: ( )( ) = 0 ) Menggunakan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat: ( + ) + = 0 b + = dan. = a ) Menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat a + b + c = 0, yaitu: a + b + c = 0 a( )( ) = 0 c a 7
Contoh Soal Jawab: Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya diketahui berikut ini:. dan 8. 7 dan 4. ½ dan 4. 5 dan. Dik. = dan = 8. Cara : ( )( 8) = 0 + 4 = 0 Cara : + = 8 dan. = 4 ( + ) + = 0 8 + 4 = 0 Cara : a( )( ) = 0 a( )( 8) = 0 a( 8 + 4) = 0 Jika a =, maka persamaannya adalah 8 + 4 = 0. Untuk nomor :,, dan 4 selanjutnya terserah anda..4 Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Jika suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berhubungan dengan akar-akar persamaan tersebut, misalnya akarakarnya saling berlawanan, akar-akarnya saling berkebalikan, akar-akarnya k kali akar-akar yang lain, akar-akarnya k lebihnya dari akar-akar yang lain, akar-akarnya k kurangnya dari akar-akar yang lain, dan lain-lain. Cara penyelesaiannya digunakan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, yaitu: ( + ) + = 0 (hasil jumlah akar) + (hasil kali akar) = 0 Membentuk persamaan kuadrat baru. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan akar-akar persamaan a + b + c = 0 adalah c + b + a = 0. Jika akar-akarnya k dan k, maka persamaan kuadrat yang baru adalah a + kb + k c =0. Jika akar-akarnya ( k) dan ( k), maka persamaan kuadrat yang baru adalah a( + k) + b( + k) + c = 0 4. Jika akar-akarnya berlawanan, maka persamaan kuadrat yang baru adalah c/a = 0 atau a c = 0 8
Contoh soal: Jawab: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kali akar-akar persamaan 5 + 0 = 0 Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 5 + 0 = 0 adalah dan maka + = 5 dan. = 0, sehingga persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah; Jumlah akar = + Hasil kali akar =. = ( + ) = 9(. ) =.(5) = 9(0) = 5 = 90 Soal Latihan: Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah 5 + 90 = 0. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sbb: a. dan 0 d. 4 dan 5 f. dan b. 5 dan 4 5 4 4 5 5 c. dan e. dan g. dan 5. Jika dan merupakan akar akar dari persamaan 4 + 5 = 0, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar akarnya sbb: a. + dan + d. dan b. dan c. dan e. dan. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berkebalikan dengan akar akar persamaan kuadrat + = 0 4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berlawanan dengan akar akar persamaan kuadrat 4 = 0 5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya lima kali akar akar persamaan kuadrat + = 0. 6. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya tiga lebihnya dari akar akar persamaan kuadrat + 6 7 = 0. 7. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya lima kurangnya dari akar akar persamaan kuadrat = 0 8. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya kuadrat dari akar akar persamaan kuadrat a b c = 0 9
9. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berkebalikan dan berlawanan dari akar akar persamaan kuadrat a - b - c = 0.5 Sifat sifat Akar Persamaan Kuadrat Soal Latihan Secara empiris, dapat ditentukan kaitan antara jenis akar-akar pesamaan kuadrat a + b + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b 4ac sebagai berikut:. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a) Jika D kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional. b) Jika D bukan kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real, dan rasional.. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya imajiner 4. Real positif, jika D 0, + > 0 dan. > 0 5. Real negatif, jika D 0, + < 0 dan. > 0 6. Real berlainan tanda, jika D > 0, dan. < 0 7. Real berlawanan, jika D > 0, + = 0 atau b = 0 8. Real berkebalikan, jika D 0, dan. = atau a = c 9. Sebuah akarnya nol, jika. = 0 dan c = 0 (sebuah lagi akarnya real).. Persamaan kuadrat (p + ) + p = 0, dengan p R. Tunjukan bahwa dua akarnya real dan berlainan p R.. Diketahui persamaan kuadrat + (p ) + (p p + ) = 0. Tentukan nilai p, agar persamaan kuadrat tersebut: a) Mempunyai dua akar real yang berbeda b) Mempunyai dua akar real yang sama (akar kembar) c) Tidak mempunyai akar akar yang real. Persamaan kuadrat a + a a + = 0, dengan a R. Tunjukan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar real a R. 4. Diketahui persamaan kuadrat 4 + p = 0, Tentukan nilai/batas p agar persamaan kuadrat tersebut. a) Mempunyai dua akar real yang berbeda. b) Mempunyai dua akar yang sama. c) Tidak mempunyai akar real 5. Carilah m agar persamaan kuadrat (m ) + 5 = 0 mempunyai dua akar kembar. 6. Tentukan harga m agar akar akar persamaan 8 (m + ) + (m 5) = 0 a) Real sama b) Real berlawanan c) Real berkebalikan 0
7. Diketahui persamaan kuadrat (q 4pr) + 4(p + r) 4 = 0 dengan p, q, dan r R. Tentukan syaratnya agar kedua akar persamaan tersebut: a) Real positif b) Real berlainan tanda c) Real berlawanan d. Real sama 8. Persamaan kuadrat 4 + a = 0 dan 80 + b = 0 mempunyai sebuah akar bersamaan. Akar kedua dari persamaan pertama berlawanan dengan akar kedua dari persamaan kedua. Tentukan nilai a dan b. 9. Persamaan n + n + 8 = 0 memiliki dua akar negatif. Tentukan nilai n. 0. Diketahui (k ) + k + k + = 0 mempunyai akar akar nyata dan berlawanan. Tentukan nilai k.. Diketahui persamaan kuadrat 4 + (n ) = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai n, agar persamaan tersebut mempunyai dua akar real, rasional, dan berlainan.. Untuk persamaan kuadrat n 5 + = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai nilai n yang mungkin, agar persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real, irasional, dan berlainan..6 Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat ialah fungsi yang berbentuk f : a + b + c, dimana a 0 dan a, b, c R atau sering ditulis f() = a + b + c Sebagai contoh, fungsi f : +, maka dinyatakan: a) Rumus untuk fungsi f adalah f() = + dengan R b) Peta dari 0 adalah f(0) = (0) (0) + = c) Peta dari adalah f() = () () + =, dst. Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f() untuk = 0 Secara umum f(a) = a a + adalah nilai fungsi f untuk = a. d) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = + Harga ekstrim fungsi kuadrat y = f() = a + b + c, dapat ditulis sbb: y = a + b + c y = a( b + ) + c a = a( b b b + + ) + c a 4a 4a b = a( + ) b + c a 4a b = a( + ) ( b 4ac) + a 4a b = a( + ) D a 4a
Untuk a > 0: b Jika =, maka y mencapai harga ekstrim minimum (harga minimum) a D Jika D > 0, maka minimum negatif 4a D Jika D = 0, maka minimum nol 4a D Jika D < 0, maka minimum positif. 4a Untuk a < 0: b Jika =, maka y mencapai harga ekstrim maksimum (harg maksimum) a D Jika D > 0, maka maksimum positif 4a D Jika D = 0, maka maksimum nol. 4a Jika D < 0, maka D maksimum negatif. 4a Contoh: Diketahui y = + 5. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya..7 Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f() = a + b + c berbentuk parabola dengan persamaannya dirumuskan sebagai y = a + b + c Y D 4a D 4a X a>0; D > 0 a>0; D = 0 a>0; D < 0 X A < 0; D >0 A < 0; D = 0 A < 0; D < 0
Sketsa grafik fungsi kuadrat dapat digambarkan dengan langkah langkah sbb:. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (dengan sumbu X, ambil y=0 dan dengan sumbu Y, ambil = 0) b. Cari sumbu simetri = a b D. Tentukan titik puncak dengan (, ) a 4a 4. Ambil beberapa titik anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. (dibuat dalam table, bila perlu). 5. Gambarlah grafik fungsi tersebut pada sebuah bidang kartesius. Contoh soal Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini: a) y = - 4 b) y = - + 6 5 c) y = - - + Membentuk Persamaan kuadrat P(p, q) y = a( p) + q ) Persamaan parabola yang berpuncak di titik P(p, yp) adalah y = a( p) + yp ) Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (, 0) dan (, 0) adalah: y = a{ ( + ) + } Contoh:. Diketahui grafik sbb. a) b) Solusi (, -) - - a) y = a( p) + q b) y = a{ ( + ) + } y = a( ) + (-) y = a{ (- ) + (-)()} = a( 4 + 4), melalui titik (0, ) di dapat: y = a{ + }, mel (0, -) = a( 4 ) - = a(-) a = a = / Jadi fungsi kuadratnya adalah y = 4 + Jadi fungsinya adalah y = /( + ) y = / + 4/
Soal latihan. Jumlah kuadrat akar akar persamaan + (m ) (m + ) = 0 adalah k. Tentukan harga k yang sekecil-kecilnya.. Bagilah 00 menjadi dua bagian sehingga jumlah kuadrat bagian-bagiannya sekecil kecilnya.. Hitunglah harga ekstrim dari y = ( + ½ p) ( + p). Jika harga ekstrim tersebut dicapai untuk = - /8. 4. Tentukan harga ekstrim dari y = (7 )( + 5) dan jenisnya 5. Hitunglah harga maksimum dari y = 9. 6. Lukislah grafik fungsi berikut ini: a) y = d. = y 4y + 4 b) = y e. y = 0 + 90 c) y = - + f. = y + y + 4 7. Dik. kurva sbb. a) Y = 4 8 + / (, -) - 4 Carilah persamaan kurvanya y = -5/8 + 5/8 + 0/8 4
BAB PERSAMAAN IRASIONAL, FUNGSI IRASIONAL DAN GRAFIKNYA 4. Persamaan Irasional (persamaan radikal) Persamaan irasional adalah persamaan yang mengandung variable dibawah tanda akar dan atau yang dapat dijadikan demikian, variable berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya. Misalnya: ) 4 = 5, ) / = ) = + 4) = ( + 5) ½ - 4 Contoh persamaan yang mengandung variable di bawah tanda akar tetapi bukan persamaan irasional sbb: ) =, ekuivalen dengan = ) ( ) = +, ekuivalen dengan + = + Persamaan irasional yang dibahas disini hanyalah persamaan irasional yang tanda akarnya berpangkat dua dengan semesta pembicaraan bilangan real. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut. ) ) ) 4) ( 5) 5 5 5 4 0 5 4 6 8 4. Fungsi Irasional dan grafiknya Fungsi irasional ialah fungsi yang domainnya terletak di bawah tanda akar. Variabel berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya. Bentuk umumnya y = f () dengan syarat f() 0. Contoh Gambarlah grafik fungsi y = Jawab Syarat + 0 - A B C D - 0 8 y 0-0 4 5 6 7 8 5
Soal Latihan. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan irasional berikut : a) 9 5 7 8 e) 4 0 b) 7 4 f) 0 c) + 5 g) 5 5 5 0 d) 7. Tentukan nilai c pada persamaan c agar persamaan tersebut mempunyai akar real.. Ganbarlah sketsa grafik fungsi: a) y = ± b) y = ± 9 c) y = d) y = ± e) y = ± f) y = 4 6
4. Eksponen BAB 4 PERSAMAAN EKSPONEN, FUNGSI EKSPONEN DAN GRAFIKNYA Eksponen artinya perpangkatan, bentuknya seperti a n = a.a.a.a.... a sebanyak n faktor, n disebut eksponen. Kita telah mengenal beberapa sifat dari bentuk eksponen, seperti berikut ini: Jika a dan b bilangan real sedangkan m dan n bilangan rasional, maka: ) a m a n = a m + n ; 5) a -m = atau a m = ; a 0 ) a m : a n = a m - n m m ; a 0 a a ) (a n ) m = a m n ; a > 0 6) a m/n n m = a ; a > 0 4) (a b) m = a m b m 7) a 0 = dan a - = a Contoh Soal:. Sederhanakan bentuk berikut ini tanpa ada pangkat negatif: a b a ab a b a) b) c) a a b b a. Hitunglah a) 0,6 b) 0. 008 c) d) ( ) e) 7 9. Sederhanakanlah bentuk akar berikut: a) a a a b) a c) 4. Persamaan Ekponen Persamaan eksponen adalah persamaan yang memiliki variable sebagai eksponen bilangan berpangkat. Bentuk bentuk umum persamaan eksponen sebagai berikut: ) a f() = f() = 0 ) g() f() = a. f() = 0 b. g() = c. g() = - dengan f() genap ) a f() = a p f() = p 4) a f() = a g() f() = g() 5) f() g() = f() h() a. g() = h() b. f() = 6) f() g() = h() g() a. g() = 0 a 4 4 c. f() = - dengan g() dan h() genap. b. f() = h() 7) a f() + b g() + c = 0, bentuk ini kita ubah kebentuk persamaan kuadrat. y y y ( ) 8 4 8 0 7 7
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: a. b. c. d. e. 4 7 ( 5 ( +8 0) + ) 5 + 4 + ( ) ( 9 0 ) Soal latihan: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:. =. ( ). 0 0,0 4. + + = 5. ( ) 4 6 6. 4 + + = 8 7. = 8. + = 8 9. 0. 5. ( ) + = ( ). ( 5). ( ) 4. ( 5 5 6) 4 7 4 54 50 (5 5) ( ) ( 65 6) ` 4. Fungsi Eksponen dan grafiknya Fungsi eksponen adalah fungsi yang domainnya terdapat pada eksponen bilangan berpangkat. Bentuk umumnya : y = a f(), syarat: a > 0, a dan f() bulat rasional. 8
Contoh:. Gambarlah grafik fungsi y = A B C D E - - 0 + y 0 / 4 8 + 5 4-4 - - - 0 4 5 X Catatan: a) Grafik fungsi y = f() dimana f() merupakan fungsi linear, kurvanya tidak mempunyai asimtot tegak, asimtot datarnya y = 0 b) Untuk selanjutnya dalam melukis grafik fungsi model ini cukup dengan menentukan dulu asimtotnya kemudian tiga titik disebelah atas asimtot.. Gambarlah grafik fungsi y Solusi : a) Harga minimum dari + dicapai untuk = -b/a = b) Titik titik pada grafik A B C D E - - 0 + y + 4 4 + c) Asimtot tegak tidak ada dan asimtot datarnya juga tidak ada 9
d) Grafiknya sbb: 4-0 Soal Latihan Gambarlah grafik fungsi berikut ini:. y =. y = -. y = (/) + 4. y ( ) 0
BAB 5 PERSAMAAN LOGARITMA, FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIKNYA 5. LOGARITMA Invers dari fungsi perpangkatan disebut logaritma, secara umum jika basisnya a maka a log y = ekuivalen dengan a = y untuk a > 0, a dan y > 0. Untuk logaritma yang berbasis 0 cukup ditulis log y =. Berikut ini sifat sifat logaritma:. a log = 0 7. a log y = a log z y = z. a log a = 8. a log (y) = a log + a log y. a log a = 9. a log /y = a log - a log y a log y 4. a y 0. a log n = n a log p 5. a log log =. a log. log y = a p log y log a Contoh a n m n a log. log 6. m. am log a n n m. Hitunglah : a) log = e) log(- 0) =.. b) log 7 = f) log /6 =. c) 7 log /7 = g) / log 64 =. d) log 0,0000 = h) /7 log /8 =... Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut: a) log 5 + log 4 log 05 d) log + log log 4 b) 6 log 9 + 6 log 8 6 log (½) - e) 9 log 4 + 9 log 9 log 6 c) ½ log 9 log 8 f) log4 log6 9 6. Diketahui a log b = p, a log c = q, dan a log d = r. Nyatakan dalam p, q, dan r tiap bentuk berikut: a) a log (bcd) b) a log (b/c) c) a log b a log c a log d 4 4. Diketahui log = a dan log 5 = b. Nyatakanlah logaritma berikut dalam bentuk a dan b a) log 5 b) 6 log 5 c) 9 log 75 5. Diketahui log = p dan log y = q. Nyatakanlah log dalam bentuk p dan q y
5. Persamaan Logaritma Persaman logaritma ialah persamaan yang mengandung variable pada numerus dan atau pada bilangan pokoknya. Suatu bentuk aljabar E() = F() atau E() = C dimana E() dan F() fungsi logaritma dan C suatu konstanta dinamakan bentuk bentuk logaritma. Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, diantaranya sbb: ) a log f() = p f() = a p, a > 0; a dan f() >0 ) a log f() = a log g() f() = g(), a > 0; a dan f(), g() >0 ) h() log f() = h() log g() h() > 0, h() dan f(), g() >0 4) Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat. Contoh soal latihan Selesaikan persamaan logaritma berikut ini: a) Log ( + ) log = log b) Log ( + ) = log ( 4) + c) log + log ( ) = 0 d) +6 log + log ( ) = + log Soal - soal Latihan Tentukan himpunan penyelesaian dari persaman logaritma berikut ini:. log 5 =. log log ( ) + log = log log ( ). log (5 4) = log 5 4. log log = log ( log ) + log 5. log 4 6. 7 log( 7 log ) 7 7. 5 log + log = log 8. 7 log (log 5 + 5) = 9.. log log 0. log 4. log ( ) + = 0. log 0,0 + 0 log 0,0 =. +log =.000..log log + 0 = 0 4. 6 log (6 0) = 5. log 0 log 9 = 0 7 8 0 log(log ) 0
5. Fungsi Logaritma dan grafiknya Fungsi logaritma ialah fungsi yang domainnya terletak pada numerous suatu logaritma, bentuknya seperti y = a log f(), a > 0, a, dan f() > 0 Mengingat fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen, maka grafiknya saling simetris. Contoh : Buatlah grafik fungsi y = a log dan = a y dengan a > dan 0 < a < y = a y = y = a y = = a log y a > 0 < a < = a log y Dari gambar di atas dapat kita simpulkan sbb:. Grafik selalu melalui titik (0, ) untuk setiap a > dan 0 < a < ; a. Garis = 0 (sumbu Y) sebagai asimtot tegak (bila y ~ atau y - ~ maka 0). Grafik berada di sebelah kanan sumbu Y, dengan kata lain daerah asal (domain) dari fungsi adalah Df = { > 0} 4. Bila 0 < a < grafik turun untuk > 0 dan grafik naik untuk > 0 bila a >.
BAB 6 PERSAMAAN PECAH, FUNGSI PECAH DAN GRAFIKNYA 6. Persamaan Pecah Persamaan pecah adalah persamaan yang ruas kiri dan atau ruas kanannya terdiri dari pecahan yang penyebutnya mengandung variable. Contoh :. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 6 9. Tentukan himpunan penyelesian dari persamaan 6 40 4 0 0 4 4 8 9 8 7 4 5 4