Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor Swandi *, Sri Gemawati 2, Samsdhha 2 Mahasiswa Program Stdi Magister Matematika, Dosen Pendidikan Matematika Uniersitas Pasir Pengaraian 2 Dosen Jrsan Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan Alam Uniersitas Ria Kamps Binawida, Pekanbar 28293 *wandiswandi2323@gmail.com ABSTRAK Hasil kali titik dari ektor dan ang masing-masing bkan ektor nol dinatakan dengan.. Hasil kali titik ektor dan adalah sat bilangan real ang didefinisikan oleh. = cos θ. Hasil kali titik pada ektor dapat diinterpretasikan secara geometri. Pada tlisan ini dibahas interpretasi hasil kali titik secara geometri dan membktikan cosins jmlah sdt dan selisih sdt melali hasil kali titik pada ektor. Kata knci: Hasil kali titik, cosins, ektor Pendahlan Pada bk pelajaran matematika SMA/MA kelas 3 IPA karangan Sartono siswa hana sekedar menghitng nilai hasil kali titik dari sat ektor saja tanpa memahami apa ang sedang mereka kerjakan. Pada bk matematika SMA/MA tersebt dikatakan bahwa hasil kali titik antara da ektor didefinisikan sebagai hasil kali panjang/norma keda ektor dan cosins sdt antara ektor tersebt [6, h 58]. Dengan formla hasil kali titik antara da ektor adalah. = cos θ, 0 0 θ 80 0 ata. = + 2 2 [6, h 58]. Siswa merasa dalam matematika banak rms ang hars dihafal dan pembelajaranna terasa membosankan, padahal hasil kali titik dapat dikembangkan dengan menginterpretasikan hasil kali titik tersebt secara geometri [2, h 28]. Pada tlisan ini diinterpretasikan hasil kali titik melali kesebangnan segitiga serta membktikan sdt trigonometri (cosins jmlah sdt dan selisih sdt) melali hasil kali titik pada ektor. FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 09
2 Interpretasi Hasil Kali Titik secara Geometri Misalkan sebarang ektor dan berimpit pada pangkal ektor, kemdian tarik garis tegak lrs dari jng ektor ke ektor. Perhatikan Gambar berikt ini θ. =. Gambar : Hasil kali titik sebagai dasar proeksi Hasil kali titik adalah sebagai dasar sebah proeksi. Pada Gambar, hasil kali titik dari sebah ektor dengan sebah ektor nit adalah proeksi ektor tersebt dengan arah ektor nit [5,, h 28]. Secara geometri didapatkan formla. = cos θ, 0 0 θ 80 0 () Dari persamaan () hasil kali sebah ektor dengan dirina sendiri adalah panjang kadrat dari ektor tersebt. = 2. Jika dan adalah ektor ang tegak lrs maka. = 0. 3 Pengembangan Hasil Kali Titik pada Vektor Interpretasi Hasil Kali Titik Secara Geometri Misalkan ektor = (3, 3) dan = (8, 0) berimpit pada titik pangkal, kemdian ektor diperpanjang dan ditarik garis dari titik jng ektor ang membentk sdt sik-sik di D pada perpanjangan ektor. Perhatikan Gambar 2. Dari Gambar 2 diperoleh = 3 2 + 3 2 = 3 2 dan = 8 2 + 0 2 = 8. Kemdian, = = 8,0 8 =,0 dan = = 3,3 3 2 = 2 2, 2 2, sehingga AB = pro =. = 3,3.,0 = 3, FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 0
AD = pro =. = 8,0. 2 2, 2 2 = 4 2. 6 5 4 p = (4, 4) D 3 E = (3,3) 2 A q = (3,0) = (8,0) 0 2 B 3 4 5 6 7 C 8 9 0 Gambar 2: Contoh khss interpretasi ektor Hakekatna ektor pada Gambar 2 dalam R 3 sementara = (, 2 ) dan = (, 2 ) adalah ektor-ektor pada R 2, ntk menghindari masalah dimensi maka dan dilihat ektor pada bidang dari sat sistem koordinat z dimana ektor-ektor tersebt dinatakan = (, 2, 0) dan = (, 2, 0). Dari Gambar 2, maka interpretasi hasil kali titik secara geometri dipermm. Perhatikan Gambar 3, misalkan sebarang ektor dan berimpit pada titik pangkal ektor, kemdian ektor diperpanjang dan ditarik garis dari titik jng ektor ang membentk sdt sik-sik di D pada perpanjangan ektor sehingga ABE sebangn ADC. Pada ADC diperoleh cos θ = AD maka AD = cos θ. (2) Pada ABE diperoleh cos θ = AB maka AB = cos θ. (3) FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204
D. θ A. B C Gambar 3: Interpretasi ektor secara mm Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh hbngan AD = AB. (4) Pada Gambar 3 diperoleh ABE sebangn ADC, sehingga berlak AB = AE = BE AD AC DC Dari persamaan (4) diperoleh. = pro maka pro =. dan. = pro maka pro = =.,. =. Ataran Cosins Melali Vektor Misalkan ektor dan berimpit pada titik pangkal, kemdian tarik garis dari titik jng ektor ke titik jng ektor. Perhatikan Gambar 4. = C b = t a A θ w c = p = B Gambar 4: Pembktian atran cosins melali ektor FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 2
Pada Gambar 4 diperoleh t = sin θ = b sin θ w = cos θ = b cos θ p = c w = c (b cos θ) Dengan menggnakan teorema phthagoras diperoleh atran cosins a 2 = t 2 + p 2 a 2 = (b sin θ) 2 + (c (b cos θ)) 2 a 2 = b 2 sin 2 θ + c 2 2bc cos θ + b 2 cos 2 θ a 2 = b 2 (sin 2 θ + cos θ 2 ) + c 2 2bc cos θ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos θ (0) Membktikan Cosins Jmlah Sdt Misalkan pada lingkaran nit dengan r = satan, maka ektor dalam lingkaran nit dapat ditlis cos θi + sin θj dimana θ adalah sdt pada positif berlawanan arah jarm jam dan θ jika searah jarm jam. Perhatikan Gambar 5 berikt ini. Gambar 5: Membktikan cosins (90 + ) Pada Gambar 5 diketahi = cos i + sin j, = cos( 90)i + sin( 90)j = j cos 90 + =. = cos i + sin j. j cos 90 + = cos i. j sin j. j cos 90 + = sin Dari Gambar 5, dapat dipermm ntk mendapatkan formla cosins jmlah sdt, perhatikan Gambar 6. Pada Gambar 6 diketahi = cos i + sin j, = cos β i + sin β j ata = cos βi sin βj, sehingga cos + β =. = cos i + sin j. cos βi sin βj = cos cos β i. i + cos sin β i. j + sin cos β j. i FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 3
sin sin β (j. j) = cos cos β + cos sin β 0 + sin cos β 0 sin sin β () cos + β = cos cos β sin sin β Jika = β maka cos 2 = cos 2 sin 2. β Gambar 6: Membktikan cosins jmlah sdt Membktikan Cosins Selisih Sdt Misalkan pada lingkaran nit dengan r = satan, maka ektor dalam lingkaran nit dapat ditlis cos θi + sin θj dimana θ adalah sdt pada positif. Perhatikan Gambar 7 berikt ini: Gambar 7: Membktikan cosins (80 ) Pada Gambar 7 diketahi = cos i + sin j dan = cos 80i + sin 80j = i, sehinga cos 80 =. = cos i + sin j. i cos 80 = cos i. i sin j. i cos 80 = cos FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 4
Dari Gambar 7, dapat dipermm ntk mendapatkan formla cosins selisih sdt, perhatikan Gambar 8 berikt ini β Pada Gambar 8, diketahi = cos i + sin j dan = cos βi + sin βj, sehingga cos β =. = cos i + sin j. cos βi + sin βj cos β = cos cos β i. i + cos sin β i. j + sin cos β j. i + sin sin β (j. j) = cos cos β + cos sin β 0 + sin cos β 0 + sin sin β cos β = cos cos β + sin sin β cos β = cos ( β = cos β = cos cos β + sin sin β Jika = β maka = cos 2 + sin 2 Kesimplan Dari pembahasan dapat disimplkan bahwa interpretasi hasil kali titik secara geometri dapat kembangkan melali kesebangnan segitiga dan ntk memdahkan siswa dalam mengingat formla cosins sdt jmlah dan selisih dapat dibktikan melali hasil kali titik ait dengan melkiskan da bah ektor pada lingkaran nit. Daftar Pstaka Gambar 8: Membktikan cosins sdt selisih [] Anton, H dan Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan Jilid., Erlangga, Bandng. [2] Anton, H. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid., Binarpa Aksara., Jakarta, 997. [3] Bretscher, O. 2005. Linear Algebra with Applications 3ed., Pearson Edcation, London. [4] C. Dra, Teian. 2008. The Geometr of the Dot and Cross Prodcts., corinne@phisics., Oregonstate. Ed. [5] Stirling, B. Linear Algebra., Oford Uniersit Press, New York, 992. [6] Wirodikromo. S. 2006. Matematika SMA 3 IPA, Erlangga, Jakarta. FMIPA Uniersitas Ria, 4-5 Nopember 204 5