VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

Transkripsi

1 VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

2 Pengertin Dsr Vektor merpkn kombinsi dri st besrn dn st rh Vektor dpt dintkn dlm pnh-pnh, pnjng pnh mentkn besrn ektor dn rh pnh mennjkkn rh ektor Ekor pnh dinmkn titik wl dn jng pnh dinmkn titik terminl Q S P R

3 Jik titik wl st ektor dlh P dn titik terminln dlh Q, mk dpt ditliskn Q PQ P Vektor ng mempni pnjng dn rh ng sm disebt ektor ekilen (sm) Vektor nol merpkn ektor ng mempni besr 0 t

4 Penjmlhn Vektor b c b b c c b

5 Pengrngn Vektor Jik dn b dlh sebrng ektor, mk pengrngn ektor dri b didefinisikn oleh : b (-b) - b b - b b

6 Sklr diklikn Vektor Jik dlh ektor tk nol dn k dlh bilngn riil tk nol (sklr), mk hsil kli k didefinisikn sebgi ektor ng pnjngn k kli pnjng ng rhn sm seperti rh jik k > 0 dn berlwnn dengn rh jik k < 0 0,5 - -,5

7 Opersi Vektor di R ( w, w ) (w,w) w w w (,) w

8 Opersi Vektor di R CONTOH : Jik (3,-) dn w (4,5) mk : w (3,-) (4,5) ( 34, -5 ) (7,3) - w (3,-) - (4,5) ( 3-4, --5 ) (-,-7) 5 5 (3,-) (5,-0)

9 Opersi Vektor di R Kdngkl ektor titik wln tidk pd titik sl, jik ektor P P mempni titik wl P (, ) dn titik terminl P (, ) mk P P ( -, - ) P (, ) P P P (, )

10 Pnjng Vektor Besr t pnjng sebh ektor dintkn dengn t Pnjng st ektor (, ) dirng dlh (, )

11 CONTOH APLIKASI VEKTOR R- Slh st sistem ng menggnkn ektor dlh perhitngn d pd bidng Listrik Terdpt tig Komponen D Listrik D Kompleks (S) -- VA D Aktif (P) -- Wtt D Rektif (Q) -- VAr QL (VAr) S P QL P (,0) Q (0,) S P Q (,) ϕ P(Wtt) Qc(VAr)

12 Power Fctor Correction QL(VAr) S (VA) lst S new ϕ lst ϕ lst P(Wtt) Qc(VAr)

13

14 Pnjng Vektor di R-3 z 0 D C B A (,, 3 ) 3 3 ) ( ) (0 ) (0 ) ( ) (0 CA D B CA C

15 Jik P(,,z) dn P(,,z) dlh titik dirng 3, mk jrk d dintr ked titik tersebt dlh : ) ( ) ( ) ( ),, ( z z PP d z z PP z P (,,z ) P (,,z )

16 DOT PRODUCT

17 ORIENTASI RUANG z Vektor i pnjngn nit serh smb Vektor j pnjngn nit serh smb Vektor k pnjngn nit serh smb z (,0,0) i k (0,0,) (0,,0) j Triple i,j,k disebt ektor bsis Setip ektor dirng 3 dpt dingkpkn dengn i,j,k sehingg (,, 3 ) i j 3 k

18 Definisi Jik dn dlh ektor-ektor di rng- dn rng-3 dn θ dlh sdt dintr dn, mk hsil kli titik (dot prodct). didefinisikn :. cos θ jik 0 dn 0. 0 jik 0 dn 0 θ θ

19 Contoh Jik (0,0,) dn (0,,) dn sdt ntr dn dlh 45 o (liht gmbr) mk. dlh : z (0,,) θ (0,0,) ( )( ) cos. θ

20 Jik, dn w dlh ektor di rng dimensi t 3, dn k merpkn sklr, mk:

21 i.i j.j k.k i.j0 j.k0 k.i0 z k (0,0,) (,0,0) (0,,0) j i

22 VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH Jik (,, z ) dlh ektor ng pnjngn st, mk disebt ektor stn..i cos α cos α dengn α dlh sdt ntr ektor dn rh positif smb. cos β z cos γ

23 VEKTOR SATUAN, COSINUS ARAH Vektor mempni komponen,, z. Jik dlh ektor bkn nol mk : i j Adlh ektor stn, dengn komponen-komponen ng merpkn cosins rh : z k cosα cos β cosγ z

24 Sdt ntr Vektor 3 3. ) (. ) ( cos cos PQ PQ θ θ z (,,3) θ (,,3) Q P. cos θ

25 Contoh Dikethi ektor (,-,) dn (,,) crilh sdt dintr ektor dn ()() (-)() ()() 3 6 dn 6 (,-,) θ z (,,) cosθ. ( 3 6)( 6) 3 6 0,5 θ 60 o

26 Resme sdt Jik dn dlh ektor-ektor tknol dn θ dlh sdt dintr ked ektor tersebt mk : θ lncip, jik dn hn jik. > 0 θ tmpl, jik dn hn jik. < 0 θ tegklrs (π /), jik dn hn jik. 0

27 PROYEKSI ORTHOGONAL w w w dinmkn proeksi orthogonl pd Dintkn dengn : pro w dinmkn komponen ektor ng orthogonl terhdp w w - pro

28 Forml Proeksi ) orthogonl (komponen. ) sepnjng (komponen. pro w pro w w w w w cos cos θ θ

29 wk w w k w. (kw). k w. Kren w tegk lrs mk w. 0 k.

30 Pnjng Komponen Proeksi w w w.. pro pro pro. cosθ w cosθ w

31 Contoh Crilh rms ntk jrk D dintr titik P o ( o, o ) dn gris b c 0 Misl Q (,) dlh sebrng titik pd gris dn n(,b) ektor dengn titik wl di Q

32 : sehingg 0 tersebt mk gris terletk pd ), ( titik kren ) ( ) ( ) ( ) (. ), ( b c b D Sbstitsi b c c b Q b b D b n b n QP QP o o o o o o o o o o bc0 Q(,) P(0,0) n(,b)

33 CROSS PRODUCT

34 DEFINISI CROSS PRODUCT Hsil kli silng dri ektor dn dlh sebh ektor w besrn w didefinisikn sebgi hsil kli ntr besrn dn dn sins sdt θ ntr kedn. Arh ektor w tegk lrs pd bidng ng memt dn sedemikin rp sehingg, dn w membentk sebh sistem tngn knn sinθ n

35 Hsil Cross pd Vektor bsis i j,, (0,0, ) k z k (0,0,) i i j j k k 0 (0,,0) i j k j k i k i j (,0,0) i j i j i - k k j -i i k -j k j

36 DEFINISI CROSS PRODUCT Jik (,, 3 ) dn (,, 3 ) dlh ektor dirng 3 mk hsil kli silng dlh ektor ng didefinisikn oleh : ( i j 3 k) ( i j 3 k) i ( i j 3 k) j ( i j 3 k) 3 z ( i j 3 k) ( 3-3 )i ( 3-3 )j ( - )k

37 At dlm notsi determinn : k j i ,, 3 3 k j i

38 Jik dn dlh ektor di rng 3, mk :. ( ) 0 ( orthogonl ke ). ( ) 0 ( orthogonl ke ) - ( ) ( w ) ( ) ( w ) ( ) w ( w ) ( w ) k ( ) k() k() 0

39 Contoh Sol Crilh dimn (,,-) (3,0,) i j k 3 0 i, j, k (, 7, 6)

40 HASIL KALI VEKTOR DARI VEKTOR TRIPEL Perntn ( b ) c dn ( b c ) dikenl sebgi hsil kli ektor dri ektor tripel. Tnd krng sngt mempengrhi : ( i i ) j 0 i ( i j ) i k - j

41 Ltihn Dikethi segitig ABC Bktikn. cos C γ b α A c b c bc α. b c sin α sin β sin γ 3. Ls Segitig ABC ( AB AC) β B

42 b c ( b c) ( ) b b b c c b c c ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c cos 80 α b c b c cos ( ) α ( ) ( ) ( ) 0 b c b c ( ) ( ) b c ( ) ( ) b sin γ c sin β b c sin β sinγ L ABC AB t AB AC sinα AB AC

43 SOAL Vector Mislkn (,,3) (,-3,) w (3,,-) crilh komponen ektor ng memenhi : 7 w Mislkn,,w dlh ektor seperti sol, crilh sklr c, c dn c3 sehingg : c c c 3 w (6,4,-) Hitnglh jrk ntr P(8,-4,) dn P (-6,-,0) Crilh sem sklr sehingg k 3dimn (,,4)

44 SOAL Dot Prodct Tentknlh pkh dn membentk sdt lncip, tmpl t ortogonl (7,3,5) (,,) (6,,3) (4,,6) (-8,4,) V(-,0,0) (4,0,6) (-3,0,) Crilh sdt dintr digonl kbs dn slh st sisin crilh komponen ektor ng ortogonl ke jik : (-7,,3) (0,0,) (5,0,) (8,3,4)

45 SOAL Cross Prodct Jik 4i j 3k dn b -i j -k, tentknlh ektor stn ng tegk lrs pd ked ektor tersebt Titik titik A, B, C mempni posisi ektor 3i j k b i 3j 4k dn c i j k terhdp titik sl 0 (Gmbr. ). Hitnglh jrk terdekt ntr titik A terhdp bidng 0BC A s b B 0 c C