Bab 4 PRINSIP PRINSIP PEMODELAN FISIS

Bab 4 PRINSIP PRINSIP PEMODELAN FISIS 4. Fase-fase Pemodelan Dalam bab ini kita akan mendiskusikan bagaimana membangun model model matematika system dinamis. Kita akan memerhatikan masalah bagaimana mencaai model dalam bentuk d dt ( t) f ( ( t), u( t)) y ( t) h( ( t), u( t)) (4.) Dimulai dari sistem fisis, rekayasa, biologis, ekonomi atau lainnya. Pemodelan adalah, sejalan dengan aktivitas keilmuan dan rekayasa yang lain, miri dengan seni dariada ilmu engetahuan. Pemodelan yang berhasil didasarkan ada erasaan terhada masalah dan nalar seerti ada asek formal yang daat diajarkan. Dalam bab ini kita akan mengambil sika nalar yang ragmatis terhada emodelan. Selanjutnya, dalam Bab 6, kita akan menunjukkan endekatan sistematis yang menyelesaikan sebagian besar tetai tidak semua masalan emodelan. Kita daat membedakan tiga fase berikut ini dalam mencaai model matematika:. Masalah disusun secara terstruktur. Persamaan ersamaan dasar diformulasikan 3. Model ruang-keadaan dibentuk Fase terdiri dari usaha untuk membagi sistem kedalam beberaa sub sistem, menentukan sebab dan akibat, variabel variabel aa yang enting dan bagaimana mereka berinteraksi. Ketika mengerjakan ekerjaan ini, enting untuk mengetahui enggunaan yang dimaksudkan dari model. Hasil dari fase adalah diagram blok atau deskrisi yang sejenis. Fase ini meletakkan kebutuhan terbesar ada embuat model dalam bentuk emahaman dan intuisi terhada sistem fisis. Dalam fase ini ula bahwa level komleksitas dan tingkat endekatan ditentukan. Fase melibatkan emeriksaan beberaa subsistem tersebut, blok blok, yang dihasilkan dari fase. Hubungan antara variabel dan konstanta dalam subsistem dibentuk. Dalam melakukannya, kita menggunakan hukum hukum alam dan ersamaan

fisis dasar yang diasumsikan berlaku. Ini sering berarti bahwa kita memerkenalkan beberaa endekatan dan idealisasi (massa titik, gas ideal, dan sejenisnya) dalam rangka mencegah ernyataan yang terlalu komleks. Untuk sistem non-teknis, dimana ersamaan dasar yang secara umum diterima sangat sedikit, fase ini memberikan kesematan untuk dugaan baru dan emikiran inovatif. Fase 3 kebalikan dari fase fase sebelumnya, adalah taha yang lebih formal yang bertujuan ada engorganisasian ersamaan-ersaman dan hubungan hubungan yang tertinggal ada fase. Meskiun jika model telah didefinisikan setelah taha, fase ini biasanya erlu untuk memberi model cocok untuk analisis dan simulasi. Selama fase 3 sebuah rogram aljabar komuter daat membantu (lihat Bab 7), dan tidak selalu erlu untuk melakukan seluruh ekerjaan untuk menghasilkan bentuk ekslisit (4.). Untuk tujuan simulasi mungkin cuku mencaai model ruang-keadaan untuk subsistem dilengkai dengan instruksi untuk koneksi antar subsistem. Tiga fase ini akan didiskusikan secara lebih detail dalam subbab berikut dalam bab ini, dimana kita akan juga menggambarkan enggunaannya dalam contoh fisis. Masalah enting dalam emodelan adalah menemukan model yang tidak terlalu komleks. Ini berarti bahwa kita harus selalu membuat enyederhanaan, idealisasi dan endekatan. Penyederhanaan model didiskusikan dalam subbab 4.6. 4. Contoh: Pemodelan Head Bo Mesin Kertas Untuk memberikan dimensi nyata ada diskusi kita mengenai fase fase emodelan, kita akan menggambarkan enggunaannya dalam contoh fisis, yaitu head bo sebuah mesin kertas. Pembuatan kertas dari bubur kertas ada dasarnya dilakukan dalam cara berikut. Bubur adalah adonan serat kayu dalam air. Bubur ini dituangkan diatas kabel, yang secara kontinyu menggerakkan mesh seanjang 0 0 meter. Pada kabel sebagian besar air dialirkan keluar, menghasilkan lembaran kertas, yang kemudian dikeringkan, diress dan digulung. Lihat diagram skematik ada gambar 4.. Bubur dialirkan ada kabel oleh sebuah head bo. Penting ini dilakukan dengan cara yang dikontrol baik agar memeroleh kualitas kertas yang seragam. Ini dicaai dengan mendorong bubur melalui

celah semit. Head bo modern menggunakan udara bertekanan untuk mencaai aliran seragam dan keceatan tinggi yang cuku (mendekati 0 m/detik). Sebuah head bo mesin kertas dierlihatkan ada gambar 4.. kita akan menggambarkan rinsi rinsi bab ini dengan emodelan head bo. Gambar 4. Mesin Kertas Gambar 4. Diagram head bo. ariabel didefinisikan dalam subbab 4.3 4.3 Fase : Menstrukturkan Masalah Ketika mengerjakan ekerjaan emodelan, kesulitan utama adalah emahaman struktur umum: Sinyal sinyal aa yang diminati? (yaitu diangga sebagai outut?) Besaran yang mana yang enting untuk menggambarkan aa yang terjadi dalam sistem? Dari besaran tersebut, mana yang berubah terhada waktu dan mana yang harusnya diangga sebagai variabel variabel internal? Besaran aa yang kurang lebih invarian terhada waktu dan harus diangga sebagai konstanta?

ariabel aa yang memengaruhi beberaa variabel yang lain? Hubungan aa yang statis dan mana yang dinamis? (Bandingkan dengan gambar 3.6) Menjawab ertanyaan ertanyaan ini daat membutuhkan emahaman terhada sistem dan kerja lebih banyak, teta selalu erlu sebagai langkah awal dalam emodelan. Ketika memodelkan sistem yang sudah ada, kita sering menggunakan ercobaan sederhana untuk membantu langkah langkah awal ini, contohnya untuk menentukan konstanta waktu dan engaruh sinyal (lihat subbab 8.). Catat bahwa enggunaan yang dimaksudkan dari model harus diketahui ketika kita menjawab ertanyaan ertanyaan tadi. Model yang hanya akan digunakan untuk erhitungan sederhana (aa yang menjadi konstanta waktu yang mendominasi dan erkiraan hasil statis?) daat memerbolehkan endekatan kasar dan daat mengabaikan banyak efek dan variabel. Model yang akan digunakan dalam keutusan desain yang enting membutuhkan erhatian lebih besar ketikan menjawab ertanyaan ertanyaan tersebut. Penggunaaan yang dimaksudkan dari model menentukan komleksitasnya. Dalam ekerjaan emodelan selanjutnya, mungkin setelah awal simulasi, kita memeroleh emahaman lebih dalam mengenai sifat sifat sistem. Kemudian adalah biasa untuk kembali ke taha awal untuk mengubah beberaa keutusan. Dalam beberaa kasus, adalah natural untuk bekerja dengan beberaa model secara aralel. Model model ini daat memiliki komleksitas yang sangat berbeda dan daat digunakan untuk menjawab ertanyaan berbeda. Ketika memodelkan mesin jet, kita kadang kadang menggunakan model dengan ratusan keadaan untuk memelajari masalah termal dan model dengan sejumlah keadaan untuk mendesain regulator. Ketika kita telah memutuskan variabel aa dalam sistem yang diminati, taha selanjutnya adalah memerjelas bagaimana mereka berinteraksi. Pada tahaini yang utama adalah ertanyaan mengenai sebab dan akibat yang dierhatikan. Eksresi kuantitatif, formula dan ersamaan dierkenalkan dalam fase (lihat subbab 4.). Sering kali hasil dari analisis ini ditamilkan sebagai diagram blok (lihat subbab 3.), yang daat dilihat sebagai hasil dan tujuan fase. Merangkum fase dalam emodelan, kita telah menetakan berikut ini:

Tentukan outut dan sinyal eksternal untuk model. Putuskan variabel internal aa yang enting untuk menggambarkan sistem. Gambarkan interaksi antara sinyal eksternal, variabel internal dan outut dalam sebuah diagram blok. Kadang kadang, khususnya dalam sistem yang lebih komleks, adalah antas untuk ertama tama membagi sistem kedalam beberaa subsistem dan membagi subsistem lebih lanjut kedalam blok blok. Dalam kasus tersebut kita mengiterasi diantara dua taha tersebut. Contoh Fase : Head Bo Perhatikan head bo ada subbab 4. dan gambar 4.. Kita diberikan data berikut ini: A Inut inut sistem: M: laju aliran udara (aliran massa) (kg/s) Q: laju aliran bubur (aliran volume) (m 3 /s) B Outut sistem: Disini kita daat memilih aa yang kita minati. Outut laju aliran bubur q harus menjadi minat kita, karena ini menentukan aa yang dialirkan kedalam kabel. Dan sesuai ula untuk mengangga ketinggian bubur h sebagai outut, karena akan ada embatasan raktis adanya. Kita juga memilih tekanan lebih e dari landasan udara sebagai outut: q: laju aliran bubur keluaran (aliran volume) (m 3 /s) h: ketinggian bubur (m) e : tekanan lebih landasan udara (N/m ) C Pembagian kedalam subsistem: Adalah alami untuk mengangga bubur kertas dan landasan udara sebagai subsistem terisah. ariabel yang memengaruhi subsistem udara adalam M dan (voluma yang ada), sedangkan subsistem bubur memiliki inut Q dan e. Kita memiliki hubungan berikut ini antara variabel variabel tersebut: M: adalah inut kedalam keseluruhan sistem : tergantung ada ketinggiah bubur h Q: adalah inut kedalam keseluruhan sistem e: adalah outut dari subsistem udara

Ini menghasilkan diagram blok ada gambar 4.3. Untuk memeroleh diagram blok yang lebih detail, kita memerkenalkan variabel dan konstanta dari subsistem yang dicari. Gambar 4.3: Diagram blok dari head bo Subsistem Udara Inut: M: aliran masuk udara (kg/s) : volume udara (m 3 ) Outut: P e : tekanan lebih udara (N/m ) ariabel Internal: ρ: keraatan udara (kg/m 3 ) m: massa aliran keluaran udara (kg/s) : tekanan dalam landasan udara (N/m ) N: massa udara dalam landasan udaa (kg) Konstanta: T: temeratur absolut udara (K) (Kita mengangga roses fisis dalam landasan udara adalah isotermal) A : luas otong aliran keluaran udara (m ) R: konstanta gas untuk udara (m /K/s ) P 0 : tekanan atmosfer (N/m )

Gambar 4.4 Subsistem udara. III menandai sinyal dari blok III dari gambar 4.3 Subsistem Bubur Inut: Q: laju aliran inut (m 3 /s) P e : tekanan lebih landasan udara (N/m ) Outut: Q: laju aliran keluaran (m 3 /s) H: ketinggaian bubur (m) ariabel internal: H eff : ketinggian efektif bubur (m) (lihat subbab 4.4) : volume bubur (m 3 ) Konstanta: A: luas otong head bo (m ) A : luas otong celah (m ) C: koefisian luas celah (lihat subbab 4.4) : volume total head bo (m 3 ) ρ0: keraatan bubur (kg/m 3 ) (diasumsikan incomressible) g: erceatan gravitasi (m/s ) Beberaa anggaan sederhana sekarang membawa ada diagram blok ada gambar 4.4 dan 4.5.

Gambar 4.5. Subsistem Bubur 4.4 Fase : Menyusun Persamaan Persamaan Dasar Kita sekarang harus mentransformasi model diagram blok yang dieroleh dalam fase kedalam model matematis. Kita melakukannya dengan menformulasikan hubungan kuantitatif antara inut dan outut dari blok blok yang berbeda. Dalam fase ini, kita menggunakan engetahuan mengenai mekanika, fisika, ekonomi dan lainnya. Hubungan antara variable sistem daat berbeda jenis. Kadang kadang mereka kembali ada hukum alam yang telah maan seerti hukum Ohm yang mendeskrisikan hubungan antara arus dan tegangan untuk sebuah resistor. Dalam kasus lain hubungan itu mungkin diberikan oleh sebuah kurva hasil ekserimen yang memberikan, sebagai contoh, tekanan ada katu sebagai fungsi aliran. Situasi ketiga terjadi ketika kita menggunakan formula sederhana yang menggambarkan karakter umum dari hubungan tetai secara jelas meruakan endekatan kasar. Ini adalah situasi untuk model ekologis dan model ekonomis dalam subbab. dan.4. Pekerjaan dalam fase adalah sangat tergantung masalah. Bagaimanaun, untuk sistem dalam fisika dan rekayasa kita daat memberikan edoman tertentu untuk organisasi dari ekerjaan. Samai keadaan tersebut kita mencatat bahwa hubungan antara besaran fisis biasanya daat dibagi kedalam dua gru: hukum konservasi dan hubungan konstitutif.. Hukum konservasi menghubungkan besaran yang sejenis. Contoh umum adalah sebagai berikut: Daya masuk daya keluar energi yang disiman tia satuan waktu Laju aliran inut laju aliran outut volume yang disiman tia unit waktu Laju aliran massa inut laju aliran massa outut massa yang disiman tia unit waktu

Hukum Kirchhoff (jumlah arus ada sebuah titik ertemuan adalah nol, jumlah semua tegangan dalam sirkuit adalah nol) adalah juga contoh hukum konservasi. Hukum konservasi menyatakan konservasi sejumlah besaran fisis dasar: konservasi energi, massa, elektron (hukum Kirchhoff) dan sebagainya.. Hubungan konstitutif menghubungkan besaran yang berbeda jenis. Contohnya adalah hubungan antara tegangan dan arus ada resistor, kaasitor dan induktor, hubungan antara ketinggian dan arus keluaran dalam tangki dan hubungan antara enurunan tekanan dan aliran ada sebuah katu. Hubungan konstitutif sering menggambarkan sifat sifat bahan tertentu atau komonen tertentu atau blok didalam sistem. Ini digambarkan dalam gambar 4.6. Catat bahwa hubunganini adalah statis ada variabel yang diilih. Dari sudut andang engguna tidak ada erbedaan mendasar antara hukum alam ada gambar 4.6a dan kurva ekserimen (atau tabel) ada gambar 4.6b, yang adalah sesifik untuk katu tertentu. Dalam raktek tentu lebih mudah untuk menggunakan hubungan linier yang sederhana. Hubungan konstitutif, seerti yang ada gambar 4.6, selalu meruakan endekatan. Ketidakakuratan tergantung ada tie sistem dan ketelitian dalam menentukan kurvanya. Catatan: Untuk alasan raktis, kita akan juga mengangga hubungan yang mengikuti definisi sebagai hubungan konstitutif. Kurva dalam gambar 4.6c misalnya, daat dieroleh dari konservasi energi. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 (a) (b)

0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 3 4 5 (c) (d) Gambar 4.6 Hubungan Konstitutif. (a) arus sebagai fungsi tegangan ada resistor (b) aliran sebagai fungsi luas ada katu (c) aliran outut sebagai fungsi ketinggan ada tangki (d) tekanan sebagai fungsi volume gas ideal ada suhu konstan (Semua variabel dinormalisasi ada internal 0 ) Cara memformulasi yang baik ersamaan dasar dari sebuah blok adalah sebagai berikut: Tuliskan hukum konservasi yang relevan untuk blok/subsistem Gunakan hubungan konstitutif yang sesuai untuk menyatakan hukum konservasi dalam variabel model. Hitung dimensi besaran besaran yang berbeda sebagai engecekan. Kita menggambarkan rosedur tersebut menggunakan contoh head bo. Contoh Fase : Head Bo Kita melanjutkan contoh dari gambar 4.4 dan 4.5. Kita memeroleh hasil berikut untuk susbsistem yang berbeda. Sistem Udara I + II Hukum konservasi (konservasi massa) Hubungan konstitutif. N M m (4.) N ρ. (masa keraatan. volume) (4.3). ρ (tekanan) (4.4) R T. Aliran massa m ditentukan dengan hukum Bernoulli untuk gas: m a e ρ (4.5)

Tekanan total adalah jumlah tekanan atmosfer dan tekanan lebih: e + o (4.6) Subsistem Bubur Kertas II + I + Hukum konservasi (konservasi volume). Q q (4.7) Hubungan konstitutif Ah (volume luas. tinggi) (4.8) (4.9) Aliran q ditentukan oleh hukum Bernoulli, seerti ada subbab.3. Yang memerumit adalah tekanan lebih diatas bubur kertas. Mengkonversikan tekanan ini menjadi ketinggian bubur efektif, kita eroleh Aliran keluar head bo sekarang menjadi h eff e h + (4.0) ρg Koefisien C mengkomensasi fakta bahwa hukum Bernoulli valid hanya ada lubang dengan luas enamang kecil dan untuk aliran tana energi hilang. Kita definisikan luas enamang efektif Ca (m ), dimana a adalah luas geometris. q a C. h g (4.). eff 4.5 Fase 3: Membentuk Model Ruang-Keadaan Setelah fase kita memeroleh, singkat kata, sebuah model matematis untuk sistem. Persamaan ersamaan itu sering tak terstruktur, bagaimanaun, dan tidak mudah untuk lanjut dari fase ke simulasi. Dalam contoh kita bahas dalam sub bab terakhir, hasil dari fase adalah 0 ersamaan. Secara jelas ini daat diorganisasikan dengan lebih baik. Dalam subbab ini kita akan mendemonstrasikan bagaimana berangkat dari fase menuju model ruang-keadaan dalam bentuk (4.). Rese umum adalah jelas:. Pilih suatu set variabel keadaan. Nyatakan turunan waktu tia variabel keadaan dengan bantuan variabel keadaan dan inut

3. Nyatakan outut sebagai fungsi variabel keadaan dan inut. Jika taha dan 3 berhasil, kita memiliki deskrisi ruang-keadaan seerti ada (4.). Kesulitan kesulitan dalam rosedur ini secara jelas terletak ada taha. Bagaimana kita memilih variabel state? Sebagai edoman, berguna untuk mengingat interretasi keadaan (lihat subbab 3.4). ariabel keadaan mewakili memory aa yang telah terjadi sebelumnya. Semua variabel internal berkaitan dengan enyimanan besaran besaran yang berbeda adalah kandidat untuk eran sebagai variabel keadaan. Contoh 4.. Besaran Disiman Berikut ini adalah contoh contoh besaran yang disiman: Posisi massa titik (energi otensial tersiman) Keceatan massa titik (energi kinetic tersiman) Muatan Kaasitor (energi medan listrik tersiman) Arus melalui induktor (energi medan magnet tersiman) Temeratur (energi termal tersiman) Ketinggian tangki (volume tersiman) Aturan lain adalah bahwa variabel internal, yang turunan waktunya terjadi dalam ersamaan ada fase, adalah variabel keadaan yang cocok. Ketika membentuk model ruang-keadaan (4.), tidak erlu untuk mengumulkan semua formula dan ersamaan bersama-sama kedalam satu (bernilai vektor) ersamaan. Untuk sistem yang lebih besar sering lebih menguntungkan untuk membuat model ruangkeadaan terisah untuk beberaa subsistem dan kemudian menghubungkannya berdasarkan diagram blok. Model termodularkan seerti ini memungkinkan untuk memeriksa (dalam simulasi) aa yang terjadi ketika blok tertentu digantikan oleh blok lain. Contoh Fase 3: Head Bo Diandu dengan diskusi dalam subbab sebelumnya, kita membuat ilihan berikut ini sebagai variabel keadaan: (olume bubur kertas)

N (Masa udara) Kita sekarang harus mengeksresikan turunan waktu dan dengan hanya menggunakan,, M, Q, dan konstanta. ( ).. + + + o o e RT A g C a Q RT A g C a Q hg C a Q q Q ρ ρ ρ ρ (4.) Disini kita telah menggunakan taha taha berurutan (4.7), (4.0), (4.), (4.8) dan (4.4), (4.6) dan (4.9), (4.8). ( ).. RT a M N N RT a M a M m M N o o o ρ (4.3) Disini ersamaan ersamaan berikut ini digunakan: (4.), (4.5), (4.6) (4.3), (4.4) dan (4.8), (4.9). Outut dihitung dalam cara yang sama: / + o RT A g C a q ρ (4.4) e o RT (4.5) A h (4.6) Persamaan (4.), (4.3) dan (4.4)-(4.6) sekarang membentuk sebuah model ruangkeadaan untuk head bo,dan kita telah mencaai tujuan dari emodelan. Jumlah ariabel Keadaan Sangat mudah untuk memeriksa aakah kita telah memilih cuku variabel keadaan. Tesnya adalah turunan waktu daat dieksresikan dengan hanya menggunakan

variabel keadaan dan inut ada sistem, bersama sama dengan besaran konstan. Ini daat lebih sulit untuk daat menentukan jika ada variabel keadaan yang tidak dierlukan. Dalam contoh head bo kita, N,,, dan h adalah kandidat memungkinkan sebagai variabel keadaan. Kita lihat secara langsung dari (4.8) bahwa tidak erlu untuk menetakan dan h menjadi variabel keadaan. Disaming itu, tidak mudah, bagaimanaun, untuk melihat variabel mana yang redundan. Untuk model ruang-keadaan linier ada beberaa tes berdasarkan rangking matriks tertentu untuk menentukan jika kita memiliki jumlah keadaan minimal. Test berkaitan untuk sistem nonlinier lebih sulit untuk dilakukan, baik dari sudut andang metematis dan komutasi. Bagaimanaun, ketika model digunakan dalam simulasi, satu-satunya kerugian (secara rinsi) dari terlalu banyak variabel keadaa adalah bahwa komutasi yang tidak erlu telah dilakukan. Hasil simulasi adalah sama untuk keduanya.