Jrnal Matematika Vol. 16, No. 2, November 2017 ISSN: 1412-5056 / 2598-8980 http://ejornal.nisba.ac.id Diterima: 14/08/2017 Disetji: 20/10/2017 Pblikasi Online: 28/11/2017 Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy 1 Irmawati, 2 Icih Skarsih, 3 Respitawlan 1,2,3 Program Stdi Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan Alam, Universitas Islam Bandng, Jl. Tamansari No.01 Bandng 20116 Email : 1 wati_irma9394@yahoo.com, 2 skarsh@yahoo.co.id, 3 respitawlan@gmail.com Abstract. Let AU = V, with A is n x n real coefficient matrix which is real nmbers, U is vector of n nknown fzzy variables, and V is n fzzy constants vector. This system is named fzzy linear eqations system. To find the soltion of fzzy linear eqations system AU = V, this system mst be transformed into BU = V with B is 2n x 2n coefficient matrix, U is 2n x 1 matrix of nknown variable, and V is 2n x 1 matrix of constants. The soltion of BU = V indirectly is the soltion of AU = V, becase the matrix U corresponded to U is not necessarily fzzy nmbers. The necessary and sfficient condition to make the matrix U become the soltion of AU = V is B 1 mst be non negative. To help finding the soltion fzzy linear eqations system, on algorithm is bilt and implemented on Matlab. Keywords: Fzzy Linear Eqations System, Fzzy Nmbers, Algorithm. Abstrak. Diberikan AU = V dengan A adalah matriks koefisien berkran n x n yang merpakan bilangan real, U adalah n variabel fzzy yang tidak diketahi, V adalah vektor konstanta fzzy dengan panjang n. Sistem tersebt dinamakan sistem persamaan linear fzzy. Dalam mencari solsi sistem persamaan linear fzzy AU = V, sistem tersebt hars ditransformasikan dalam bentk BU = V dengan B adalah matriks koefisien berkran 2n x 2n, U adalah matriks 2n x 1 dari variabel yang tidak diketahi, dan V adalah matriks 2n x 1 dari konstanta. Solsi dari BU = V tidak langsng menjadi solsi AU = V, karena U yang bersesaian dengan U belm tent berpa bilangan fzzy. Syarat perl dan ckp agar U merpakan solsi AU = V, yait B 1 hars non negatif. Untk memdahkan mencari solsi dari sistem persamaan linear fzzy perl dibangn algoritma solsi sistem persamaan linear fzzy dan implementasinya menggnakan Matlab. Kata Knci : Sistem Persamaan Linear Fzzy, Bilangan Fzzy, Algoritma. Pendahlan Salah sat permasalahan yang sering dihadapi dalam bidang matematika adalah persoalan ntk mencari penyelesaian (soltion) dari sat sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear ditemkan hampir di sema cabang ilm pengetahan, dan sistem-sistem linear mncl dalam penerapan bidang-bidang seperti perdagangan, ekonomi, sosiologi, elektronika, teknik, fisika, dan banyak lagi bidang lain. Sistem persamaan linear yang biasanya dipelajari adalah koefisien, variabel dan konstantanya merpakan bilangan real, tetapi dalam dnia nyata tidak sema koefisien, variabel dan konstantanya hars real. Terdapat kass-kass tertent yang koefisien, variabel dan konstantanya tidak menggnakan bilangan real, seperti bidang teori kontrol, teori keptsan, dan beberapa bagian dalam managemen sains. Bidangbidang tersebt memerlkan sistem persamaan yang berbasis teori fzzy sebagai model matematikanya. Sistem persamaan linear fzzy dengan n persamaan dan n variabel yang tidak diketahi dapat ditlis dalam bentk matriks AU = V. Penyelesaian sistem persamaan linear fzzy dapat dilakkan dengan mentransformasikan sistem persamaan linear fzzy AU = V ke dalam sistem persamaan linear non-fzzy BU = V, dimana sema 1
2 Irmawati, et al. koefisien, variabel dan konstanta merpakan bilangan real. Solsi dari sat sistem persamaan linear yang terbentk, belm tent merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy AU = V. Ada syarat perl dan ckp agar vektor U yang bersesaian dengan U, sebagai solsi sistem persamaan linear BU = V menjadi solsi dari sistem persamaan linear fzzy. Untk mempermdah mencari solsi dari sistem persamaan linear fzzy perl dibangn algoritma dan implementasinya menggnakan Matlab. Landasan Teori Bilangan Fzzy Menrt Goetchel & Kaleva dalam Allahviranloo (2008) bilangan fzzy dapat didefinisikan sebagai berikt : Definisi 1 (Bilangan Fzzy) Sebah bilangan fzzy R didefinisikan sebagai pasangan fngsi ( (r), (r)), ntk 0 r 1 yang memenhi persyaratan sebagai berikt : a. (r) monoton naik dan fngsi kontin kiri. b. (r) monoton trn dan fngsi kontin kanan. c. (r) (r) ntk setiap r dalam [0,1]. Himpnan bilangan- bilangan fzzy dinyatakan dengan F. Bilangan fzzy yang dignakan adalah bilangan fzzy segitiga = (a, c, b) dengan fngsi keanggotaannya : 0 x a μ(x) = c a x b { c b,, x a ata x b, a x c c x b dengan c a, c b ntk bilangan segitiga didapat (r) = a + (c a)r dan (r) = b + (c b)r. Definisi 2 (Operasi pada bilangan fzzy) Untk sebarang = ((r), (r)), v = (v(r), v(r)) dan k > 0. Operasi yang ada pada bilangan fzzy antara lain penjmlahan + v, pengrangan v, perkalian. v dan perkalian skalar oleh k sebagai berikt : 1. Penjmlahan + v(r) = (r) + v (r), + v (r) = (r) + v(r) (1) 2. Pengrangan v(r) = (r) v (r), v (r) = (r) v(r) (2) 3. Perkalian v(r) = min{(r)v(r), (r)v(r), (r)v(r), (r)v(r)} { (3) v(r) = max{(r)v(r), (r)v(r), (r)v(r), (r)v(r)} 4. Perkalian Skalar (k (r), k(r)), k 0 = { (4) (k(r), k (r)), k < 0 Solsi Fzzy dan Algoritma Pencarian Solsi Sistem persamaan linear fzzy dengan n persamaan dan n variabel yang tidak diketahi memiliki bentk :
Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy 3 a 11 1 + a 12 2 + + a 1n n = v 1 a { 21 1 + a 22 2 + + a 2n n = v 2 (5) a n1 1 + a n2 2 + + a nn n = v n dengan nsr-nsr a i,j yang merpakan bilangan real, nsr-nsr v i dari vektor konstanta dan j berpa entri-entri dari variabel yang tidak diketahi, ntk v i, j merpakan bilangan fzzy dan 1 i, j n. Sistem persamaan linear fzzy dari persamaan (5) dapat dinyatakan dalam bentk matriks sebagai berikt : AU = V (6) a 11 a 12 a 1n 1 v 1 a 21 a 22 a 2n 2 v 2 dengan A = [ ], U = [ ] dan V = [ ]. a n1 a n2 a nn n v n Sat model sistem persamaan linear (6) mempnyai solsi fzzy jika terdapat vektor bilangan fzzy U = ( 1, 2,, n) t dengan j = ( j (r), j (r)), ntk 1 j n dan 0 r 1 yang memenhi : n i=1 a ij j = n i=1 a ij j = v i dan n i=1 a ij j = n i=1 a ij j = v i Langkah awal ntk mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear fzzy (6) adalah dengan mengbah sistem persamaan linear fzzy (6) menjadi sistem persamaan linear non-fzzy.sistem persamaan linear fzzy (6) bentknya berbah dari sistem n variabel dan n persamaan menjadi 2n variabel dan 2n persamaan : BU = V (7) dengan 1 v 1 v 1 2 2 v v 2 2 b 1 1 b 1 2 b 1 2n b B = [ 2 1 b 2 2 b 2 2n ], U = n n =, V n+1 v = n v n 1 v =. n+1 v 1 b 2n 1 b 2n 2 b 2n 2n n+2 2 v n+2 v 2 [ 2n ] [ n ] [ v 2n ] [ v n ] dengan entri-entri b i,j ditentkan sebagai berikt : 1. jika a ij 0 maka b ij = a ij dan b i+n j+n = a ij 2. jika a ij < 0 maka b i j+n = a ij dan b i+n j = a ij 3. b ij = 0 ntk lainnya. Persamaan (7) bkan lagi sistem persamaan linear fzzy, karena sema entrientrinya bkan bilangan fzzy. Persamaan (7) merpakan persamaan linear yang nilai variabelnya berada dalam rang fngsi. Dengan menggnakan persamaan (7), sistem persamaan linear fzzy dapat diselesaikan melali penyelesaian sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear (7) mempnyai solsi jika dan hanya matriks B nonsinglar (Anton,1987). Matrik B nonsinglar jika dan hanya jika det(b) 0. Jika U adalah solsi dari sistem persamaan linear (7), maka solsi dari sistem persamaan linear fzzy (6) dapat dibentk sebagai berikt :
4 Irmawati, et al. ( 1 1, ) ( 1, n+1 ) 2 U = [ ]= ( 2, 2 ) ( = [ 2, n+2 ) ] n [( n, n )] ( n, 2n ) Setelah dibentk vektor U, vektor tersebt dicek apakah merpakan bilangan fzzy ata bkan. Jika vektor U =[ 1, 2,, n] t merpakan bilangan fzzy, maka vektor U =[ 1, 2,, n] t merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy (6). Sebaliknya, jika vektor U =[ 1, 2,, n] t bkan merpakan bilangan fzzy, maka vektor U =[ 1, 2,, n] t bkan merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy (6). Contoh 1. Diberikan sistem persamaan linear fzzy : 1+2 3 = (r 2, r) 3 1+4 2+6 3 = (r 3, r + 1) 1-2 2+3 3 = (2r + 1, r + 4) Dibentk matriks BU = V sesai dengan persamaan (7), didapat : 1 0 2 0 0 0 r 2 0 4 6 3 0 0 2 2 r 3 B = 0 0 3 1 2 0, U = 3 3 = 0 0 0 1 0 2 4 dan V = 2r + 1 1 r. 3 0 0 0 4 6 5 2 r 1 [ 1 2 0 0 0 3 ] [ 6 ] [ 3 ] [ r 4 ] karena determinan dari matriks B tidak sama dengan nol, maka sistem BU = V mempnyai solsi dan solsinya adalah 2.0909r + 0.0909 2 2 0.6364r 0.6136 U = 3 3 = 4 = 1.5455r 1.0455 1 1.9091r + 1.9091 5 2 0.3636r + 1.1136 [ 6 ] [ 3 ] [ 1.4545r 0.9545 ] Karena vektor U =[ 1, 2, 3] t tidak memenhi Definisi 1 maka vektor U =[ 1, 2, 3] t bkan merpakan bilangan fzzy. Jadi vektor U =[ 1, 2, 3] t bkan merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy contoh 1. Contoh 2. Diberikan sistem persamaan linear fzzy : 4 1 = (r 3, r) 2 = ( 4 + r, r 1) Dibentk matriks BU = V sesai dengan persamaan (7), didapat : 0 0 4 0 r 3 0 0 0 1 B = [ ], U 4 0 0 0 = [ 2 2 4 + r ] = [ 3 ], V = [ ] 1 r 0 1 0 0 4 2 r + 1 karena determinannya tidak sama dengan nol, maka sistem BU = V mempnyai solsi sebagai berikt : 0,25r U = [ 2 2 ] = [ ] 3 = [ r + 1 ] 1 0,25r 0,75 4 2 r 4
Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy 5 Karena vektor U = ( 1, 2) memenhi Definisi 1, maka vektor U =[ 1, 2] t merpakan bilangan fzzy. Jadi vektor U =[ 1, 2] t merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy contoh 2. Contoh 3. Diberikan sistem persamaan linear fzzy : 1+2 2 + 2 3 = (r 4, 2r) 1-5 2+9 3 = ( 3 + r, 4 r) 2 1+4 2+8 3 = (r 1,2 r) Dibentk matriks BU = V sesai dengan persamaan (7) didapat : 1 2 4 0 0 0 r 4 0 0 9 1 5 0 2 2 3 + r B = 2 4 8 0 0 0, U 0 0 0 1 2 4 = 3 3 = 4, dan V = r 1. 1 2r 1 5 0 0 0 9 5 2 4 + r [ 0 0 0 2 4 8 ] [ 6 ] [ 3 ] [ r 2 ] karena determinannya sama dengan nol, maka sistem BU = V tidak mempnyai solsi. Walapn sistem persamaan BU = V pada contoh 1 dan contoh 2 mempnyai solsi tnggal, tidak berarti U yang bersesaian dengan U merpakan solsi dari persamaan linear fzzy contoh 1 dan contoh.2. Jika B dalam contoh 1 dan 2 nonsinglar, tidak ada jaminan bahwa U yang bersesaian dengan U merpakan bilangan fzzy ntk setiap V F. Ada syarat perl dan ckp agar sistem persamaan linear fzzy pnya solsi. Teorema 1 : Misalkan B = [ B 1 B 2 B 2 B 1 ] adalah matriks koefesien pada persamaan (7). Matriks B nonsinglar jika dan hanya jika matriks-matriks A = B 1 B 2 dan B 1 + B 2 kedanya nonsinglar. Teorema 2 : Misalkan B = [ B 1 B 2 ] adalah matriks koefesien pada B 2 B 1 persamaan (7). Jika invers matriks B ada, maka inversnya berbentk B 1 = M N [ N M ]. Toerema 3 :Misalkan sistem persamaan linear fzzy AU = V dengan n variabel dan n persamaan. Persamaan BU = V seperti persamaan (7), dengan B nonsinglar. Vektor U yang bersesaian dengan U yang merpakan solsi BU = V, menjadi solsi sistem persamaan linear fzzy AU = V jika dan hanya jika entri-entri matriks B 1 non-negatif. (Noranita,2008) Untk membktikan bahwa vektor U yang bersesaian dengan U merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy, akan dicari B 1 dari masing-masing contoh, berdasarkan syarat perl dan ckp pada teorema 3. Contoh 4. :Misalkan diketahi sistem persamaan linear seperti di contoh 1 sehingga 1 0 2 0 0 0 0 4 6 3 0 0 B = 0 0 3 1 2 0, 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 4 6 [ 1 2 0 0 0 3 ] dan didapat matriks B 1 1 = Adj(B) sebagai berikt : det(b)
6 Irmawati, et al. B 1 = 0.2727 0.4545 1.0909 0.2727 0.5455 0.9091 0.3409 0.1818 0.1364 0.4091 0.0682 0.1364 0.3636 0.2273 0.5455 0.1364 0.2727 0.4545 0.2727 0.5455 0.9091 0.2727 0.4545 1.0909 0.4091 0.0682 0.1364 0.3409 0.1818 0.1364 [ 0.1364 0.2727 0.4545 0.3636 0.2273 0.5455 ] Terlihat bahwa B 1 memiliki entri-entri yang bernilai tidak non-negatif, sehingga tidak memenhi teorema 3. Jadi vektor U yang bersesaian dengan U bkan merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy pada contoh 1. Contoh 5. :Misalkan diketahi sistem persamaan linear seperti di contoh 2 sehingga 0 0 4 0 0 0 0,25 0 0 0 0 1 B = [ ]dan didapat matriks B 4 0 0 0 1 1 = Adj(B) = [ 0 0 0 1 ] det(b) 0,25 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Terlihat bahwa entri-entri dari B 1 non-negatif, sehingga memenhi teorema 3. Jadi vektor U yang bersesaian dengan U merpakan sistem persamaan linear fzzy pada contoh 2. Adapn Algoritma Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy sebagai berikt : Diberikan sistem persamaan linear fzzy. Langkah 1 : Sistem persamaan linear fzzy dibah dalam bentk matriks AU = V dengan A=[a ij ], U = [ j], V = [v i] ntk i, j = 1,2,.., n. : Mentransformasikan matriks AU = V ke bentk persamaan BU = V Langkah 2 Langkah 3 : Menghitng determinan matriks B. Langkah 4 : Mencari invers matriks B. Langkah 5 : Menyelesaikan sistem persamaan BU = V. Langkah 6 : Menampilkan hasil
Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy 7 Dari raian di atas dapat digambarkan flowchart ata diagram alr dari algoritma solsi sistem persamaan linear fzzy sebagai berikt : Mlai SPL Fzzy Bentk Matriks A Bentk matriks B dengan ketentan: a ij 0 a ij = b ij = b i+n j+n a ij < 0 a ij = b i j+n = b i+n j b ij = 0 ntk Ya lainnya. Tidak det(b) 0 Tidak Ya Hitng B 1 B 1 non negatif Tidak pnya solsi Hitng solsi U = B 1 V Tampilkan Hasil Selesai Gambar 1. Flowchart Solsi Sistem Persamaan Linear Fzzy
8 Irmawati, et al. Kesimplan Penyelesaian sistem persamaan linear fzzy dapat dilakkan dengan mentransformasikan sistem persamaan linear fzzy AU = V ke dalam sistem persamaan linear non-fzzy BU = V, selanjtnya dicari U yang merpakan solsi dari sistem persamaan BU = V. Vektor U yang dibentk dari U tidak secara langsng menjadi solsi dari sistem persamaan linear fzzy AU = V. Syarat perl dan ckp agar vektor U yang bersesaian dengan U merpakan solsi dari sistem persamaan linear fzzy AU = V, adalah B 1 hars non-negatif. Algoritma yang dibangn ntk mencari solsi sistem persamaan linear fzzy menggnakan pemograman Matlab akan lebih memdahkan dalam mencari solsi dari sistem persamaan linear fzzy. Daftar Pstaka Allahviranloo, Tofigh, dkk. 2008. Application & Applied Mathematics. Signed Decomposition Of Flly Fzzy Linear Systems, Vol.3, No.1, Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer, (Edisi Kelima). Jakarta: Erlangga. Arhami, M, dkk. 2005. Pemrograman Matlab. Yogyakarta: Andi. Lipschtz,Seymor & Lipson, Marc.2006. Scham s Otlines Teori dan Soal Aljabar Linear, (Edisi Ketiga). Jakarta: Erlangga. Noranita, Beta. 2008. Jrnal Elektronik Undip. Sistem Persamaan Linear Fzzy. Semarang: Universitas Diponegoro. Prcell, Varberg, Ridgon. 2003. Kalkls, (Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.