4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap pemodela Yaitu merumuska masalah dalam istilah matematis, medefiisika peubah da persamaa yag terlibat dega memeperhitugka jeis komputer yag dipakai. 2.1.2 Tahap algoritma atau aalisis Perumusa peyelesaia secara umerik dilajutka dega racag bagu algoritma bersama dega aalisis kesalaha pedahulua, utuk pemecaha soal. Algoritma adalah salah satu metode yag diguaka utuk peyelesaia soal. Algoritma adalah suatu ragkaia prosedur yag legkap da tidak meyagsika utuk meuju peyelesaia. Setelah meetuka sebuah algoritma maka lagkah selajutya harus mempertimbagka berapa besar derajat ketelitia yag diperluka, memperkiraka besarya kesalaha pembulata da kesalaha diskretitasi ( discretitatio error), meetuka jumlah lagkah yag tepat atau jumlah iterasi yag dibutuhka, megadaka pegujia ketelitia yag mecukupi, da memberika keloggara utuk aksi korektif dalam kasus-kasus o kovergesi.
5 2.1.3 Tahap pemrograma (programmig) Tahap ii aka megubah algoritma mejadi sebuah diagram alir yag memperlihatka diagram blok dari suatu prosedur yag memeperlihatka ragkai itruksi pada suatu komputer. Kemudia dilajutka dega peulisa program(codig), pecaria da perbaika kesalaha serta pegujia. 2.2 Metode komputasi utuk meaksir besarya kesalaha Berbagai metode yag bayak metode utuk memperkiraka kesalahakesalaha dalam perhituga yag mereka lakuka, adapu diataraya metode yag dimaksud adalah : 2.2.1 Metode presisi ragkap dua Dalam hal ii kita cukup meyelesaika soalya dua- satu kali dalam presisi tuggal da satu kali dalam presisi ragkap. Dari selisih hasil dapat diketahui da dapat diperkiraka besarya kesalaha pembulata totalya (dega asumsi bahwa semua kesalaha-kesalaha diaggap kurag sigifika). Kemudia dapat diadaka asumsi bahwa akumulasi pembualata yag sama aka terjadi pada soal-soal yag sama yag aka diselesaika dega kebiasaa yag sama. 2.2.2 Metode aritmetika iterval (iterval aritmathic) Tiap bilaga disajika dalam dua bilaga, ilai-ilai maksimum da miimum yag mugki terdapat dalam soal tersebut. Nilai yag sebearya
6 yag harus didapat harus terkadug dalam ruag ligkup yag ditetuka ilai maksimum da miimum. 2.2.3 Metode agka-sigifika (sigifca digits- aritmathic) Silisih dua bilaga yag seperti halya pada metode presisi ragkap dua maka aka terdapat beberapa agka hilag. Pada metode ii aka dicari agka-agka yag hilag itu, metode ii aka megusahaka utuk mempertahaka agka-agka yag hilag itu sehigga hasil yag didapat tidak terlalu koservatif. 2.3 Metode Numerik da ilai pedekata Metode Numerik adalah salah satu cabag ilmu matematika, cabag ilmu ii mempelajari cara utuk meyelesaika sebagia problem matematika seperti peyelesaia itegral dega beberapa metode misalya metode trapesium, metode simpso 1/3 da metode simpso 3/8. Metode berarti cara atau jala utuk mecari pemecaha dari suatu problem agar lebih mudah utuk diselesaika. Sedagka umerik berasal dari kata umeris yag berarti hasil atau ilai agka. Jadi metode umerik dapat diartika sebagai cara atau jala utuk memecahka/meyelesaika problem matematika utuk medapatka ilai pedekata yag bisa diaggap sebagai suatu peyelesaia yag baik dega error sekecil mugki. Error adalah tigkat kesalaha dari perhituga yag dilakuka, semaki error itu kecil maka bisa diaggap sebagai hasil yag tepat, tetapi jika error itu besar maka hasil yag didapat buka merupaka hasil yag diigika.
7 Nilai pedekata adalah maifestasi hasil dari sebuah perhituga yag telah kita lakuka, ilai dapat berarti sebuah harga atau value, sedagka pedekata adalah keadaa dimaa membuat objek itu seolah-olah seperti objek yag sebearya. Maka ilai pedekata adalah ilai dari sebuah hasil perhituga yag medekati hasil sebearya, sebearya ilai ii tidak tepat sama seperti ilai yag sebearya haya sebuah ilai yag medekati ilai sebearya. 2.4 Itegrasi Numerik Itegrasi umerik merupaka suatu proses mecari ilai hampira itegral dari fugsi tertetu yag dibatasi titik variabel tertetu, dega betuk persama secara umum: b = a I f ( x) dx (2-1) Dega f(x) sebagai fugsi terhadap variabel x yag dihitug batas x=a yag merupaka batas palig kiri sampai dega batas x=b yag merupaka batas palig kaa. Itegral tertetu merupaka suatu proses pejumlaha yag bisa juga dikataka luas dibawah kurva y=f(x), dari a ke b. Beberapa metode umerik utuk persamaa itegral didasarka pada pegertia iterprestasi aproksimasi utuk memperoleh hasil yag medekati hampira peyelesaia itegral tersebut. Dasar peitegrala umerik meurut perumusa Newto-Cowtes b berdasarka pada: I = f ( x) dx f x dx a a ( ) (2-2) b
8 Nilai hampira itegral dari suatu fugsi f(x) didasarka pada poliomial. Persamaa poliomial adalah persamaa aljabar yag haya megadug jumlah dari variabel x berpagkat bilaga bulat (iteger). Betuk umum persamaa poliomial order adalah: 2 1 f ( x) = a0 + a1x + a2 x +... + a 1x + (2-3) Nilai merupaka jumlah titik data, yag dapat diguaka utuk megevaluasi koefisie a,,..., 0 a1 a. Fugsi f(x) bisa fugsi liier da bisa juga fugsi kuadrat. a x 2.5 Metode Luas Trapesium Persamaa 2-1 diatas dipakai utuk meghitug luas dibawah kurva dega batas x=a sampai x=b. Metode luas trapesium didasarka pada ide ilai pedekata fugsi y=f(x) pada masig-masig subiterval dega garis lurus sedemikia sehigga betuk area pada sumbu sub iterval berupa trapesium. Pedekata luas trapesium merupaka metode pedekata luas dibawah kurva dega meghampiri luasa tersebut dega megguaka sejumlah deret trapesium yag terletak diatara subiterval-subiterval tersebut. Gambar diambil atau dipecah mejadi beberapa subiterval membetuk trapesium sehigga perhituga itegral dega megguaka subiterval yag bayak meghasika kesalaha yag lebih kecil da semaki teliti hasil hampira itegral tersebut. Rumus metode umerik utuk peyelesaia itegral dega pedekata luas trepesium adalah sebagai berikut:
9 = + + = 1 h I f ( a) f ( b) 2 f ( x i ) 2 (2.4) i 1 Dega selag a ke b dipecah mejadi sub iterval dega lebar yag sama h=(b-a)/ da x + k = a hk utuk k=1,2,3,.. da k=123... da a=x 0 < <x x 1 < x =b. 2.6 Metode Simpso Metode Simpso merupaka metode yag lebih teliti dibadig luas trepesium. Bila proses diulag pada iterval (a,b) mejadi 2 subiterval yag berlebar sama h=(b-a)/2 da da x k = a + hk utuk k=1,2,3,.. da k=123...2 da a=x 0 < <x x 1 < x 2 =b. Rumus Simpso utuk f(x) dega 2 subiterval berlebar h: = 1 h 2h 4h f ( x) = f ( a) + f ( b) + f ( x2 k ) + f ( x2k 1) 3 (2.5) 3 k = 1 3 k = 1 2.7 Algoritma Metode Luas Trapesium da Metode Simpso Algoritma adalah sebuah alir program yag meujukka lagkah demi lagkah dalam meyelesaika sebuah persoala. Adapu algoritma Metode Luas Trapesium adalah : 1. Meetuka fugsi y=f(x) yag aka dihitug. 2. Masukka masuka a,b da. 3. Lebar subiterval dapat dihitug dega: h=(b-a)/
10 4. Jumlah awal=0 5. Hitug luas trapesium setiap subiterval dari k=1 sampai -1 dega Selama k<-1: - x=a+h*k - Jumlah=Jumlah+fugsi(x); 6. Jumlahka luas trapesium dari setiap subiterval pertama sampai dega luas trapesium subiterval yag ke dega: Jumlah=h*fugsi(a)+fugsi(b)+2*Jumlah)/2 Sedagka utuk Metode Simpso algoritmaya adalah : 1. Meetuka fugsi y=f(x) yag aka dihitug. 2. Masukka masuka a,b da. 3. Lebar subiterval dapat dihitug dega: h=(b-a)/2 4. JumlahGeap=0 5. Hitug luas setiap subiterval dari k=1 sampai -1 dega Selama k<-1: - x=a+h*2*k - JumlahGeap=JumlahGeap+fugsi(x); 7. JumalahGajil=0 8. Hitug luas setiap subiterval dari k=1 sampai dega Selama k<: - x=a+h*(2*k-1)); - JumlahGajil=JumlahGajil+Fugsi(x);
11 9. Jumlahka luas dari setiap subiterval pertama sampai dega luas subiterval yag ke dega: Jumlah=h*fugsi(a)+fugsi(b)+2*JumlahGeap+4*JumlahGajil/3